第二单元 代数式之 用字母表示数及列代数式

1．用字母表示数(1)偶数与奇数的概念及表示①像0，±2，±4，±6，…，能被2整除的整数叫做偶数．如果用k表示任意一个整数，那么任意一个偶数可以用2k表示．②像±1，±3，±5，…，不能被2整除的整数叫做奇数．如果用k表示任意一个整数，那么任意一个奇数可以用2k－1(或2k＋1)表示．③偶数与奇数可以是负整数；0是偶数．(2)用字母表示数的意义用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使所得式子反映的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便．①用字母表示数可以简明地表达数学运算律．用字母可以简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、分配律等．②用字母表示数可以简明地表达公式、法则．用字母可以表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等．③用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系．例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小4.用字母可以清楚地表明这种数量关系，如果用字母a表示第一个数，则第二个数为a－4；如果用字母b表示第二个数，则第一个数为b＋4.④用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念．如用a与b表示互为相反数的两个数，则a＋b＝0；若a＋b＝0，则a与b互为相反数．(3)用字母表示数应注意的问题①字母的确定性：在同一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示．如长方形的长和宽要分别用a，b两个字母表示，面积用S表示，则有S＝ab.②字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义，并且符合实际．如表示人的数量的字母的取值必须是非负整数．③字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数．④字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系．⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子．【例1－1】若n为自然数，则三个连续的自然数可表示为______，三个连续的奇数可表示为______，三个连续的偶数可表示为______．解析：(1)每两个连续自然数相差1，所以如果中间的自然数为n，则较小的自然数为n －1，较大的自然数为n＋1；(2)奇数一般用2n－1或2n＋1表示，偶数一般用2n表示，而且每两个连续奇数或偶数相差2.答案不唯一，只要符合连续自然数相差1，连续奇数或偶数相差2都正确．实际上在表示连续的几个数时，一般先表示中间的那一个数，再根据数的特点表示其他的数．如表示三个连续的偶数时，先表示中间一个为2n，则另外两个可以表示为：2n－2,2n＋2.答案：答案不唯一，如：n－1，n，n＋1；2n－3，2n－1，2n＋1；2n－2,2n,2n＋2.【例1－2】填空：(1)买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要__________元；(2)今天，参加全省课改实验区的初中毕业考试的同学约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有__________万人；(3)如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴__________根．解析：(1)显然买3个篮球需要3m元，买5个排球需要5n元，则买3个篮球和5个排球共需要(3m ＋5n )元；(2)女生的人数等于总人数减去男生的人数，由于男女同学共15万人，而男生有a 万人，则女生有(15－a )万人；(3)观察发现：搭1条“金鱼”需要火柴8根，搭2条“金鱼”需要火柴14根，搭3条“金鱼”需要火柴20根，而8＝6×1＋2,14＝6×2＋2,20＝6×3＋2，…，所以搭n 条“金鱼”需要火柴(6n ＋2)根．注意：“(3m ＋5n )元”、“(15－a )万人”、“(6n ＋2)根”中表示和或差的式子一定要加括号．答案：(1)(3m ＋5n ) (2)(15－a ) (3)(6n ＋2)2．代数式(1)代数式的概念用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．如：90a ，a ＋b ,2k －1,4a ，a 2，s v ，13πr 2h 等都是代数式． 单个的数或字母也是代数式．如m ，－2 013也是代数式．(2)代数式的书写规定①代数式中如果出现乘号，可以写成“·”或不写．字母与字母相乘时“×”省略，按字母表顺序书写，如m ×n 写成mn ，相同字母写成幂的形式，如a ×a 写成a 2，(a ＋b )×(a ＋b )写成(a ＋b )2.数字与字母相乘时省略“×”，数字要写在字母的前面，若数字是带分数要化成假分数，如4×n 写成4n ,112×a 写成32a . 数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“·”，仍用“×”．②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线．如s÷t 写成s t ，x ÷2一般写成x 2或12x . ③若是和差形式的代数式，式子后面有单位时，要在单位前把代数式括起来．如t ℃升高2 ℃后是(t ＋2) ℃，不能写成t ＋2 ℃.(3)代数式的读法代数式的读法一般有两种：一是按运算关系来读，如x ＋9读作x 加9；另一种是按运算结果来读，如x ＋9读作x 与9的和．另外，对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看作一个整体按运算结果来读．谈重点 如何判断一个式子是不是代数式(1)判断一个式子是不是代数式的关键是看式子中有没有运算符号，是不是数字和字母参与运算，单独的一个数或字母可以看成是它与1的积或它除以1的商，也可以看成是这个数与0的和或差．(2)代数式中只能有运算符号，不应含有“＝”或“＞”“＜”“≥”“≤”等符号，即等式或不等式都不是代数式．(4)列代数式列代数式就是把问题中的一些数量关系用代数式表示出来．列代数式的实质就是把文字语言转化为数学符号语言．列代数式应遵循下列关键点：①抓住“多”“少”“大”“小”“和”“差”“积”“商”“倍”“分”“平方”“比”“几分之几”“除”“除以”等关键词语，弄清各量之间的关系．②明确数量关系中的运算顺序，一般是先说的先算，后说的后算，如“和的积”是加在乘之前，而“积的和”是乘在加之前．③准确理解“的”和“与”划分的语句层次．“的”表示从属关系，“与”表示并列关系．解技巧 正确列代数式列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算必须加括号，先说高级运算，再说低级运算，则不必使用括号．如x 与1的差的3倍应写成3(x －1)，必须加括号，而x 的3倍与1的差，则写成3x －1，不必加括号．【例2－1】 “比a 的32大1的数”用代数式表示是( )． A ．32a ＋1 B ．23a ＋1 C ．52a D ．32a －1 解析：根据题意可知“a 的32”可以表示为32a ，大1，用加法，所以，“比a 的32大1的数”用代数式表示为32a ＋1，故选A. 答案：A【例2－2】 判断下列式子中，哪些是代数式？0,4x ＋5y ，x ，－40,20＋5x ,3x ＝2y ,2＋1＝3,3x ＞0.分析：根据代数式的概念可判断4x ＋5y ，20＋5x 是代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，则0，x ，－40也是代数式；而3x ＝2y ,2＋1＝3,3x ＞0不符合代数式的概念．因此它们不是代数式．解：0,4x ＋5y ，x ，－40,20＋5x 是代数式．3．整式(1)单项式①单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式．如4a ，a 2，13πr 2h 等都是单项式． 单个的字母或数也是单项式．如－3，a 也是单项式．②单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．如4a ，a 2，－a ，13πr 2h 的系数分别是4,1，－1，13π. 单项式的系数是1或－1时“1”省略不写，如a 2，－a 的系数分别是1和－1，其中“1”要省略不写．③单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．如4a ，a 2，13πr 2h 的次数分别是1,2,3. 析规律 判断单项式及其次数(1)判定一个代数式是否是单项式，关键是看式子中的数与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系(乘方也是一种乘积形式)．如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式．凡是字母出现在分母中的代数式，也一定不是单项式．(2)单项式的次数指的是所有字母的指数的和，如果字母没有写指数，那么这个字母的指数是1，特别注意，π是常数不是字母，单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．(2)多项式①多项式的概念几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．如：a ＋b ,2k －1，x 2＋2x －3等都是多项式．②多项式的项在多项式里，每个单项式叫做多项式的项．多项式的每一项都包括它前面的符号．如3x 2－2y －9的项是3x 2，－2y ，－9.③常数项不含字母的项，叫做常数项，注意常数项也包括它前面的符号．如多项式3x 2－2y －9中的常数项是－9，而不是9.④多项式的次数在多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．如多项式3x 2－2y －9的次数是2，这个多项式是二次多项式．⑤一个多项式有几项，这个多项式叫做几项式如多项式3x 2－2y －9是三项式．于是可按多项式的次数与项数区分多项式．如4a 2b －3ab ＋2a －1是三次四项式．解技巧 对多项式及相关概念的理解(1)多项式至少是两项，多项式中一定含有加减运算；(2)一个多项式中，任意一项的次数都不大于这个多项式的次数；(3)当多项式中某项的系数是用科学记数法表示的形式时，不要把10的指数算成是该项次数的一个组成部分．(3)整式单项式与多项式统称整式．谈重点 单项式与多项式的区别(1)单项式的系数应包括前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数相加的结果，只与字母有关，而与系数无关，数字单项式的次数是0.(2)多项式没有系数，它的次数与组成的各个单项式的次数有关，用次数最高的单项式的次数代表多项式的次数．我们可以用一个多项式的次数与项数对多项式进行分类．(3)判定一个式子是单项式还是多项式，首先判定它是否是整式，若分母中含有字母，则它一定不是整式，因此也不可能是单项式或多项式；而单项式与多项式的区别在于看是否含有加减运算，含有加减运算的整式是多项式，不含加减运算的整式是单项式．【例3－1】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． 23ab 2，－y ，a mn ，xy 3＋5,25x 7，－3x 2y 3z ，πr 2. 分析：代数式a mn 含有分母，并且分母中有字母，所以不是单项式；xy 3＋5含有加法运算，也不是单项式．解：单项式是23ab 2，－y ,25x 7，－3x 2y 3z ，πr 2. 23ab 2的系数是23，次数是3；－y 的系数是－1，次数是1；25x 7的系数是25，次数是7；－3x 2y 3z 的系数是－3，次数是6；πr 2的系数是π，次数是2.【例3－2】 下列代数式，哪些是多项式？说出多项式的项，并指出它是几次几项式．(1)x 4－2x 3＋x －5；(2)a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1； (3)2a ＋x y ；(4)t －s ＋9s 2.分析：第三个代数式2a ＋xy 中的第二项不是单项式，所以2a ＋x y 不是多项式．多项式x 4－2x 3＋x －5的次数是4，多项式a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1的次数是4，多项式t －s ＋9s 2的次数是2.解：x 4－2x 3＋x －5，a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1，t －s ＋9s 2是多项式． x 4－2x 3＋x －5的项是x 4，－2x 3，x ，－5，它是四次四项式；a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1的项是a 3，－ab 2,3a 2b 2，－14b 3，－1，它是四次五项式；t －s ＋9s 2的项是t ，－s,9s 2，它是二次三项式．4．代数式的值(1)代数式的值的概念①概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．②代数式的值，一般不是一个固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的，是根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算所得的结果．(2)注意事项①代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形． ②代数式的字母取值，必须使要求的代数式有意义．如在代数式s t中，当t ＝0时，代数式没有意义．③当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值还要保证具有实际意义．如a 表示学生人数，则a 只能取正整数．(3)求代数式的值求代数式的值，其步骤有两步：①用数值代替代数式里的字母，简称“代入”；②按照代数式指明的运算，计算出结果，简称“计算”．谈重点 求代数式的值需注意的几点(1)代入时，按已知给定的数值，将相应的字母换成数字，其他的运算符号、原来的数字都不能改变．(2)代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，必须添上乘号．(3)代数式的值是由所含字母取值确定的，是随着代数式中字母的取值的变化而变化的，所以求代数式的值时，在代入前，必须写出“当……时”，表示代数式的值是在这种情况下求得的．(4)如果字母给出的数值是负数，代入时必须加括号．(5)如果字母给出的数值是分数，作乘方运算时也必须添上括号．【例4】 已知a ＝23，b ＝－4，求代数式a 2－b 2＋3a －b 的值． 分析：把a ，b 的值代入到代数式中，可得a 2－b 2＋3a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－(－4)2＋3×23－(－4)，再按有理数的运算法则计算．解：当a ＝23，b ＝－4时， a 2－b 2＋3a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－(－4)2＋3×23－(－4) ＝49－16＋2＋4＝－959.5．列代数式的方法(1)正确列代数式的关键在于：①正确理清数量关系；②善于抓住关键词语；③能正确判断数量关系中的运算顺序．(2)两种常用的列代数式的方法方法一：“翻译法”．列代数式的关键之一在于分清数量关系中的运算层次和运算顺序，一般地叙述数量关系的顺序与代数式的书写顺序基本上是一致的，即可按照“先读的先写”这种类似英语中的“翻译”的方法来列代数式．方法二：“方程法”．列代数式的关键之一在于正确地理清各数量之间的关系．一般问题中数量间的关系是容易找到的，但当题目中所涉及的各数量之间的关系不容易理清时，可借助方程的思想来帮助分析．【例5－1】用代数式表示：(1)a，b两数和的2倍与a，b两数积的差；(2)a，b两数和的平方与a，b两数平方差的商；(3)a，b两数和的倒数与它们的积的差的平方．解：(1)2(a＋b)－ab；(2)a＋b2a2－b2；(3)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋b－ab2.【例5－2】汛期来临时，某地区决定实施“海堤加固”工程．某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击该地区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设该地区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了多少天．(用含a的代数式表示)解：完成整个任务原计划用的时间－完成整个任务的实际时间＝完成整个任务的实际时间比原计划时间少用的天数．原计划用a60天，实际上用了a60×1.5天，所以少用了a60－a90＝a180(天)．6.用字母表示数学规律(1)数字规律一组数字或等式有一定的规律，可以用字母来表示．常见的有两类：①数字：如偶数、奇数、比某一个数的几倍多(少)多少．②等式：具有一定规律的计算等式．(2)图形规律图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁．用字母表示图形中的规律的方法及步骤：①根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；②用字母列出式子．释疑点用字母表示数学规律(1)用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的．(2)规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律．【例6－1】观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④____________________；……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1(n∈正整数)．【例6－2】用火柴棒按如下方式搭图：(1)填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数(2)分析：(1)可采用数的办法填空；(2)有两种方法：一是观察图形，确定每增加一个三角形需要增加的火柴棒的根数；二是通过观察上表中数的关系，从而找到规律．解：(1)3 5 7 9 11 (2)照题中规律搭下去，搭n个这样的三角形需要火柴棒的根数为3＋2(n－1)．7.代数式求值的方法求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算．(1)直接代入计算当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法．(2)整体代入计算已知含有两个字母或多个字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法．整体代入步骤：①对已知代数式或所求代数式进行适当变形；②整体代入求值．(3)按指定的程序代入计算按指定的程序代入计算，即数值转换机．给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可．【例7】下图是一组数值转换机，(1)当x＝－3时，写出图a的输出结果；(2)找出图b的转换步骤，并求出当x＝2.5时输出的结果．分析：(1)先根据题图提供的程序写出代数式，代数式是3x－2，再将x＝－3代入求值；(2)根据代数式中指明的运算顺序，先算加法再算除法，所以其步骤分别是＋4和÷5.解：(1)由转换机程序可知代数式是3x－2，当x＝－3时，原式＝(－3)×3－2＝－11.(2)观察可知转换机的步骤是：＋4和÷5.当x＝2.5时，原式＝(2.5＋4)÷5＝1.3.8．代数式的应用(1)列代数式求阴影部分的面积一般有三种方法：①和差法：就是不改变图形的位置，将阴影部分的面积用规则图形的和或差来表示，经过计算后可以求出阴影部分的面积．②移动法：就是将图形的位置进行移动，以便利用和差法所提供的条件，具体的做法是平移、旋转、割补、等积变换等．③覆盖法：就是几个图形覆盖在一起，重叠的部分的面积就是阴影部分的面积．(2)探究图形排列的规律，利用代数式表示所需图形的个数．主要考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．找规律的题目，要通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决此类题目的难点在于找出能够代表一般规律的代数式．很多题目考查对于数字变化规律的运算猜想能力，需要有一定的数学思想．【例8－1】如图所示，求图中阴影部分的面积：分析：阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分的面积，即：(1)长方形的面积减去长方形的面积；(2)长方形的面积减去四个正方形的面积；(3)长方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个长方形的面积；(4)长方形的面积减去两个小扇形的面积，即a (a ＋b )－π4a 2－π4b 2. 解：(1)mn －pq ；(2)ab －4x 2；(3)ab －an －bm ＋mn ；(4)⎝⎛⎭⎪⎫1－π4a 2－π4b 2＋ab . 【例8－2】 下面是由一些火柴棒拼出的一系列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察图形：(1)用n 表示火柴棒根数s 的公式；(2)当n ＝20时，计算s 的值．解：(1)s ＝3n ＋1.(2)当n ＝20时，s ＝3×20＋1＝61(根)．9.用单项式、多项式的概念求字母的值数学中的概念是通过事物的特征下的定义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值．如：由单项式－2x 4可知它的系数是－2，次数是4，反过来若知道－ax m 的系数是－2、次数是4，就可以知道－a ＝－2，m ＝4，从而求出a ＝2，多项式的运用也是如此．【例9－1】 若m 3x 2y n ＋1是关于x ，y 的五次单项式，且系数为18，则m ＝______；n ＝______. 解析：因为单项式是关于x ，y 的五次单项式，所以m 是常数，因为系数为18，因此有m 3＝18，m ＝12；2＋n ＋1＝5，n ＝2. 答案：122 【例9－2】 已知多项式5x m y 2＋(m －2)xy －3x ，如果它的次数为4次，则m 应为多少？如果多项式只有两项，则m 为多少？分析：①次数最高项的次数是多项式的次数，在已知的多项式中只有5x m y 2次数能成为多项式的次数，所以m ＋2应该等于4；②如果多项式是二项式，只有(m －2)xy 这项不存在才可以，所以这项的系数只能是0.解：如果多项式的次数为4次，则m ＋2＝4，即m ＝2；如果多项式只有两项，则m －2＝0，即m ＝2.。

第十三讲 用字母表示数、列代数式第一部分、教学目标：1、通过本章导图中的计算活动实验，使学生体验到字母表示数的优越性。

2、通过用字母表示实例中的数量演习活动，使学生加深对字母表示数的认识。

3、在列代数式的探索活动中，使学生习惯用字母表示数，并初步建立符号意识。

第二部分、教学重点、难点重点：1、理解用字母表示数的意义，会用字母表示数。

2、把语言描述的数量关系用代数式表示出来。

难点： 1、会用含有字母的式子表示数量关系，并知道字母的取值范围。

2、理解描述语句，正确列出代数式。

第三部分、教学过程例题讲解：例1、已知下列各式：ab S 21=，a ，﹣2，a +b ，a +b ＝b+a ，x 2≥0，2x ，其中属于代数式的共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】根据代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．进行分析即可．【解答】解：a ，﹣2，a+b ，2x 属于代数式，共4个， 故选：B ．练1.1、在以下各式中属于代数式的是（ C ） ①ab S 21= ②a+b ＝b+a ③a ④a 1 ⑤0 ⑥a+b ⑦ab b a + A ．①②③④⑤⑥⑦ B ．②③④⑤⑥ C ．③④⑤⑥⑦ D ．①②练1.2、给出下列式子：①b a 2213；②p ÷q ；③2（x+y ）；④﹣1mn ．其中书写不规范的是（ A ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．②③练1.3、在式子0.5xy ﹣2，3÷a ，)21b a +（，a •5，abc 413-中，符合代数式书写要求的有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2、代数式cb a 2)(+的意义是（ ） A ．a 与b 的平方和除c 的商B ．a 与b 的平方和除以c 的商C ．a 与b 的和的平方除c 的商D ．a 与b 的和的平方除以c 的商【分析】（a+b ）2表示a 与b 的和的平方，然后再表示除以c 的商． 【解答】解：代数式cb a 2)(+的意义是a 与b 的和的平方除以c 的商， 故选：D ．练2.1、代数式ba 13-的正确解释是（ C ） A ．a 与b 的倒数的差的立方B ．a 与b 的差的倒数的立方C ．a 的立方与b 的倒数的差D ．a 的立方与b 的差的倒数例3、某水果店老板以每斤x 元的单价购进草莓100斤，加价30%卖出70斤以后，每斤比进价降低a 元，将剩下30斤全部卖出，则可获得利润为 元．【分析】根据题意用利润＝总售价﹣总成本可列出利润的表达式．【解答】解：由题意得，可获利润为：70x （1+30%）+30（x ﹣a ）﹣100x ＝21x ﹣30a （元）．故答案为：（21x ﹣30a ）．练3.1、x 克盐溶解在a 克水中取这种盐水m 克，其中含盐 克．练3.2、一个两位数，它个位上的数与十位上的数的和等于9，设它个位上的数字为a ，则这个两位数可以表示为（ D ）A ．（9﹣a ）+aB ．（9﹣a ）aC ．10a+（9﹣a ）D ．10（9﹣a ）+a 例4、观察下列等式：①1＝12②2+3+4＝32③3+4+5+6+7＝52④4+5+6+7+8+9+10＝72…请根据上述规律判断下列等式正确的是（ ）A ．1009+1010+…+3026＝20172B ．1009+1010+…+3027＝20182C ．1010+1011+…+3028＝20192D ．1010+1011+…+3029＝20202【分析】根据题目中式子的特点可以发现开头数字是奇数，则最后的数字也是奇数，若开头数字是偶数，最后的数字就是偶数，结果是开头数字与最后数字和的一半的平分，等号坐标有多少个数字，结果就是这个数字个数的平方，由此可以判断各个选项中的式子是否正确．【解答】解：∵①1＝12②2+3+4＝32③3+4+5+6+7＝52④4+5+6+7+8+9+10＝72…∴开头是1009的式子最后的数字是奇数，故选项A 错误；开头是1010的式子最后的数字是偶数，故选项D 错误；1009+1010+…+3027＝222018230271009=+）（，而1009到3027有3027﹣1008＝2019个数字，故这列数应该是开头数字是1009，最后的数字是3025，故选项B 错误；1010+1011+…+3028＝222019230281010=+）（，故选项D 正确； 故选：C ．练 4.1、阅读下列材料：3216112⨯⨯⨯=；532612122⨯⨯⨯=+；74361321222⨯⨯⨯=++；9546143212222⨯⨯⨯=+++；…，根据材料请你计算2222250...8642+++++＝ ．【解答】解：22+42+62+82+…+502＝4×（12+22+32+42+ (252)＝4××25×26×51＝22100，故答案为：22100．练4.2、有一列数：,,,......,,,14321n n a a a a a a -，其中1a ＝5×2+1，2a ＝5×3+2，3a ＝5×4+3，4a ＝5×5+4，5a ＝5×6+5，……，当n a ＝2033时，n 的值为（D ）A ．335B ．336C ．337D ．338例5、如图所示的图形是按一定规律排列的．则第n 个图形中O 的个数为 ．【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解．【解答】解：观察图形发现：第①个图有3×1+1＝4个O ，第②个图有3×2+1＝7个O ，第③个图有3×3+1＝10个O ，第④个图形有3×4+1＝17个O ，……，按此规律，则第n 个图形中O 的个数为3n+1个，故答案为：3n+1．练5.1、如图，从左至右第1个图由1个正六边形，6个正方形和6个等边三角形组成；第二个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成按此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ A ）A ．（9n+3）个B ．（6n+5）个C ．（6n+3）个D ．（9n+5）个 练5.2、如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则83211...111a a a a ++++的值为（A ）A ．4529B ．3536C ．264175D ．312209例6、国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日．经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同．甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人．（1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．【分析】（1）根据题意可以列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）将x ＝30代入（1）中的两个关系式，然后比较大小，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，甲旅行社收取组团两日游的总费用（单位：元）为：500x ×0.85＝425x ，若人数不超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用（单位：元）为：500x×0.9＝450x，若人数超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用（单位：元）为：500（x﹣20）×0.8+500×20×0.9＝400x+1000；（2）∵王老师组团参加两日游的人数共有30人，∴甲旅行社收取组团两日游的总费用为：425×30＝12750（元），乙旅行社收取组团两日游的总费用为400×30+1000＝13000（元），∵12750＜13000，∴王老师应选择甲旅行社．练6.1、窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其中上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长是acm．（1）计算窗户的面积（计算结果保留π）．（2）计算窗户的外框的总长（计算结果保留π）．（3）安装一种普通合金材料的窗户单价是175元/平方米，当a＝50cm时，请你帮助计算这个窗户安装这种材料的费用（π≈3.14，窗户面积精确到0.1）．【解答】（1）解：窗户的面积为：4a2+πa2 （m2）．（2）解：窗户的外框的总长为：6a+×2πa＝6a+πa（m）（3）解：当a＝50cm，即：a＝0.5m时，窗户的总面积为：4a2+πa2＝4×0.52+π×0.52＝1+（m2）．取π≈3.14，原式＝1+0.3925≈1.4（m2）安装窗户的费用为：1.4×175＝245（元）．练6.2、某景点的门票价格为：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（打8折）．设一个旅游团共有x（x＞40）人，其中学生y人．（1）用代数式表示该旅游团应付的门票费；（2）如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费多少元？【解答】解：（1）成人门票费为20（x﹣y）元，学生门票费为10y元，所以旅游团应付的总费用为[20（x﹣y）+10y]×80%＝（16x﹣8y）元．（2）旅游团有47个成人，12个学生，即x﹣y＝47，y＝12，所以[20（x﹣y）+10y]×80%＝（20×47+10×12）×80%＝848（元）．答：如果旅游团有47个成人，12个学生，那么他们应付门票费848元．第四部分、板书设计第五部分、作业布置今天是2020年月号星期天气今日所学：用字母表示数、列代数式今日作业：自我巩固第页下次上课时间：下周正常上课第三部分、课后反思。

（一）用字母表示数，列式表示数量关系
用字母表示数，可以简明地表达一些一般
的数量和数量关系，即把问题中与数量有
关的语句，用含有数、字母和运算符号的
式子表示出来.
（二）代数式的概念
（1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表
示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字
母也是代数式.
（2）注意：代数式中不含“＝”“>”“<”“≠”等符号.
（三）列代数式
1.把问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子
表示出来，这就是列代数式.
2.书写代数式的注意事项：
3.列代数式的步骤：
（1）读懂题意，弄清其中的数量关系，抓住题
目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、
商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、
减少、几分之几等.
（2）分清运算顺序，注意关键性断句及括号的恰当使用.
（四）解释简单代数式表示的实际背景或几何意义
实际问题中的数量关系可以用代数式表示，另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义.注意在说代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符.
（五）求代数式的值
提示：（1）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形.（2）代数式中字母的取值，必须使该代数式有意义.
（3）用代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值要保证具有实际意义.
（4）代数式中的字母每取一个确定的数时，能相应地求出代数式的一个确定值.。

龙文教育学科教师辅导讲义课 题4.1-2用字母表示数及代数式教学目标1、明确用字母表示数的意义及会用字母表示数；2.会列代数式表示简单的数量关系，会正确书写代数式，会求代数式的值.3.在数学活动中，体会抽象概括的数学思想方法和“特殊 一般”相互转化的辨证关系.重点、难点理解字母所代表数的范围。

考点及考试要求教学内容知识梳理1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc 。

2. 代数式书写规范：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ；（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式；（6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .出现除式时，用分数表示；(7)若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2，非正数是：-a 2.典型例题例1 某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x ﹥3)千米应付______________元.分析：因为x ﹥3，所以应付费用分为两部分，一部分为起步价5元，另一部分为走（x-3）千米应付的1.2（x-3）元. 解：[])3(2.15-+x注意：和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来. 例2 下列代数式中，书写正确的是（ ）A. ab ·2B. a ÷4C. -4×a ×bD.xy213 E.mn35 F. -3×6分析：A ：数字应写在字母前面 B ：应写成分数形式，不用“÷”号 C ：数与字母相乘，字母与字母相乘时，“×”号省略 D ：带分数要写成假分数 E 、F 书写正确. 解：E 、F.例3 下列各题中，错误的是（ ） A. 代数式.,22的平方和的意义是y x y x +B. 代数式5(x+y)的意义是5与(x+y)的积C. x 的5倍与y 的和的一半，用代数式表示为25y x +D. 比x 的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3 分析：选项C 中运算顺序表达错误，应写成)5(21y x +友情提示：数学语言有文字语言、符号语言、图形语言.进行数学思维时，同学们要学会恰当使用各种语言推理分析，各种语言的互译是一种数学基本功. 例4 当x=1时，代数式13++qx px 的值为2005，求x=－1时，代数式13++qx px 的值.分析：当x=1时，13++qxpx ==++1q p 2005，p+q=2004,当x=－1时，13++qx px =－=+-1q p －（p+q ）+1=－2004+1=－2003.解：当x=1时，13++qxpx ==++1q p 2005∴ p+q=2004∴当x=－1时，13++qxpx =－1+-q p=－（p+q ）+1=－2004+1 =－2003.提示：“整体”思想在数学解题中经常用到，请同学们在解题时恰当使用.例5 下图是一个数值转换机的示意图，请你用x 、y 表示输出结果，并求输入x 的值为3，y 的值为-2时的输出结果. 解：输出结果用x 、y 表示为：223yx +当x=3,y=-2时,223yx +=2)2(323-+⨯=-1.提示：把图形语言翻译为符号语言的关键是识图， 弄清图中运算顺序.例6 某餐饮公司为大庆路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P ，点P 选在何处，才能使这20户居民到P 点的距离总和最小？输入x 输入y×2( )3+÷2输出结果分析：面对复杂的问题，应先把问题“退”到比较简单的情形：如图1，如果沿街有2户居民，很明显点P 设在p 1、、、p 2之间的任何地方都行.如图2，如果沿街有3户居民， 点P 应设在中间那户居民、p 2门前.------以此类推，沿街有4户居民，点P 应设在第2、3户居民之间的任何位置，沿街有5户居民，点P 应设在的第3户门前，------沿街有n 户居民：当n 为偶数时，点P 应设在第2n 、12+n 户居民之间的任何位置；当n 为奇数时，点P 应设在第21+n 户门前.解：根据以上分析，当n=20时，点P 应设在第10、11户居民之间的任何位置. 思维驿站： 请同学们认真体会“特殊⇔一般”的辨证关系，掌握化归的思想方法，学会把复杂的问题化为简单的情形来解决.二、点将练兵训练一一、 选择题 1、 在式子x+2,3a2b,m,S=,2Rπc b a yx 2,3>+-中代数式有（）A 、6个B 、5个C 、4个D 、3个. p 1. p .p 2图1.p 1、 .p 2（p ） .p 3图22、 下列式子中符合书写要求的是（）A 、42ba B 、abc 312 C 、cb a ÷⨯ D 、ayz33、 一件衣服降价10%后卖a 元，则原则是（）A 、10xB 、x 910 C 、x 101 D 、x10094、 用代数式表示“a ，b 两数的和与c 的积是”（）A 、a 十bcB 、ab 十cC 、（a 十b ）cD 、a （b 十c ） 5、甲数为a ，乙数为b ，甲数的32 与乙数的倒数差是（）A 、ba 132- B 、b a -23C 、ba 132+D 、b a +236、大连向北京打长途电话，通话费3分钟以内3.6元，每超过1分钟加收1元钱，某人打电话x 分钟（x>3的整数），则应付话费（）元A 、3.6xB 、3.6+xC 、0.6+xD 、x 一3.6 7、代数式ba12-的正确解释是（）A 、 a 与b 的倒数的差的平方B 、 a 与b 的差的平方的倒数C 、 a 的平方与b 的差的倒数D 、 a 的平方与b 的倒数的差8、长方形的长是宽的1.6倍，则宽为12厘米时，其周长L 的值是（） A 、62.4厘米 B 、31.2厘米 C 、27.2厘米 D 19.8厘米 二、 填空题1、a 、b 两数的平方和，其代数式表示为2、比a 、b 两数的差的3倍大c 的数是3、一种商品是m 元，则涨价15%以后的售价是4、当x=1，y=2时，代数式y x 214 的值是5、当n 为自然数，则任何一个偶数可表示为6、某人存入银行a 元，设年利率为x ，若扣除税b 元，则一年后取回本息共 元。

一、新课讲解1、用字母表示数：（1）用字母表示数的意义：①表达数学规律②表达数学公式③表示数的方法：数字与字母（字母与字母）相乘时，乘号可以用“×”表示，也可以省略（省略时，数字必须写在字母的前面）。

④表达问题中的数量关系⑤表示方程中的未知数（2）注意事项：①同一问题中的不同的数或者数量要用不同的字母表示②不同问题中不同的数或数量可以用相同字母表示，但相同字母表示的含义不同。

③用字母表示的数，往往不止一个，而是若干个或者无数个。

④任意性⑤多个字母表示一种数量关系时，字母的取值相互制约。

2、代数式（1）代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式。

注：代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号。

代数式中的字母所代表的数必须使这个代数式有意义。

（2）代数式的读法：①按运算顺序来读；②按运算的结果来读；③按实际背景和几何意义来读注：①对于有括号的代数式，应把括号里面的代数式看成一个整体，按运算结果来读。

②对于以分数形式出现的代数式，按分数形式或除法形式读，都应分别把分子与分母看成一个整体来读。

（3）代数式书写格式的要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“●”或者省略不写②数字与字母相乘时，数字应写在字母前。

③带分数与字母时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。

④在代数式中出现除法作运算时，一般按照分数的写法来写。

⑤在实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称：如代数式是乘或者商的形式，就将单位名称写在代数式的后面即可；如代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在代数式的后面。

（4）列代数式：定义：在解决实际问题时，把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，就是列代数式。

注：列代数式时，首先要认真审题，弄清问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式书写格式的规定规范地书写出来。

列代数式（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解字母表示数的意义；能用字母表示简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值．【要点梳理】要点一、用字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba ．要点二、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a +等式子，它们都是数和字母用运算符号连接所成的式子，称为代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：含有等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式． 要点三、列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．要点四、代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．要点诠释：求代数式的值的步骤：（1）代入数值； （2）计算结果．【典型例题】类型一、用字母表示数1．填空：（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是 ；（2） 一个正方形的边长是a cm ，把这个正方形的边长增加1 cm 后所得到的正方形的周长是 ；（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．【答案】（1）-a ； （2）（4a+4)cm ； （3）(2n+500).【解析】解：（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a ；（2）这个正方形的边长增加1cm 后所得到的正方形的边长为(a+1) cm ，所以周长为4（a+1）cm ，也即（4a+4)cm ；（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．【总结升华】原题中的数据有单位，写出的代数式的形式是“和（或差）”的形式的，一定要用括号把代数式括起来.举一反三：【变式1】试引进字母，用适当的代数式表示：（1）能被3整除的整数；（2）除以3余数是2的整数.【答案】（1）3n （n 为整数）；（2）32n + （n 为整数）.【变式2】小宁到银行存入p 元人民币，现行年利率为2.25%，问存期一年可得到的利息是多少？如果一年后把钱全部取出，本金和利息有多少元？【答案】解：存期一年可得到的利息是2.25%p ；一年后把钱全部取出，本金和利息共有(1 2.25%)p +元.类型二、列代数式2．用代数式表示：（1）一打铅笔有12支，总价为a 元，则每支铅笔的价格是 元；（2）某商品的进价是a 元，预期的利润率是20%，则此商品的售价应定为 元.【答案】（1）a 12. （2）(120%)a +. 【解析】基本关系式：（1）单价＝总价支数； （2）1⨯售价＝进价（+利润率）. 【总结升华】列代数式实质上就是把文字语言转化为数学符号语言，对数学符号组成的式子，最后结果一定要化为最简形式.举一反三：【变式1】（1）x 的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 .(2)操作电脑时，甲4小时打x 个字，乙5小时打y 个字，甲乙两人每小时共打 个字． （3）（海南）农民张大伯因病住院，手术费用为a 元，其他费用为b 元，由于参加农村合作医疗，手术费用报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此住院可报销 元 （用代数式表示）．【答案】（1）235x - （2）（45x y +） (3)(85%60%a b +) 【变式2】代数式38a 意义是什么？【答案】解：38a 可以看成一个大物体的体积是一个棱长为a 的小正方体体积的8倍.或也可以看成一个棱长为2a 的正方体的体积（答案不唯一）.类型三、代数式的的值3. 当13,22x y =-=-时,求223x y xy y +-的值. 【思路点拨】求代数式的值的步骤：（1）代入数值； （2）计算结果.【答案与解析】解：当13,22x y =-=-时, 223x y xy y +-22313133()()()()()22222=-⨯-+-⨯--- 3927888=--+158=【总结升华】（1）如果代数式中省略乘号，代入数值后需添上“×”号．如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号； (2)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢. 举一反三：【变式】当7,4,0x y z ===时，求代数：(23)x x y z -+的值．【答案】解: 当7,4,0x y z ===时，(23)x x y z -+7(27430)=⨯⨯-+⨯7(144)=⨯-70=．4．按下列程序计算x=3时的结果__________.【思路点拨】根据题目所给程序依次计算即可．【答案】15；【解析】当3x =时，则22(1)1(31)115x +-=+-=．【总结升华】本题考查了代数式求值，弄清运算程序是解题的关键．举一反三：【答案】97提示：22(5)3(55)397x +-=+-=．类型四、综合应用5．有一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字大5，用代数式表示这个两位数，并求当a ＝3时，这个两位数是多少？【答案与解析】解：（1）代数式表示这个两位数是10(5)a a ++.（2）把3a =代入代数式10(5)a a ++，得：103(35)38⨯++=.因此这个两位数是38 .【总结升华】代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a 不能为零且不能为负数和分数．举一反三：【变式1】一工厂有煤x(t),计划每天烧煤y(t).(1)列式表示计划可烧煤的天数.(2)若实际每天少烧煤0.5t,列式表示实际比计划多烧煤的天数.(3)当72,6x y ==时，求计划烧煤天数以及实际比计划多烧煤的天数. 【答案】解：（1）由题意得，计划烧煤天数为x y （天）； （2）实际烧煤天数为0.5x y -（天）， 实际比计划多烧煤的天数为0.5x x y y--. （3）72,6x y ==，计划烧煤天数72126x y ==（天）； 实际比计划多烧煤的天数为7272120.560.5611x x y y -=-=--（天）. 【变式2】（巴中）已知如图所示，正方形ABCD 的边长为1，以AB 为直径作半圆，以点A 为圆心，AD 为半径画弧．那么图中阴影部分的面积为 .【答案】π．8 =。