1.3.1线段的垂直平分线

（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108度．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故答案为：108．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．（2013•义乌市）（2013•锦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE=6或16．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．【解答】解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB，∵AE=5，tan∠AED=，∴sin∠AED=，∴AD=AE•sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．【点评】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．（2012•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是BD=CD（答案不唯一）．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【专题】压轴题；开放型．【分析】由ED是BC的垂直平分线，可得BE=CE，BD=CD，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，易证得△AEC是等边三角形，即可得AE=EC=AC=BE．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴BE=CE，BD=CD，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠ECB=∠B=30°，∠A=90°﹣∠B=60°，∴∠ACE=90°﹣30°=60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE=EC=AC，∴AE=AC=EC=BE．∴图中两条相等的线段是：BE=CE=AC=BE或BD=CD．故答案为：此题答案不唯一，如BD=CD等．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．（2008•凉山州）菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm．那么，菱形ABCD的面积是8cm2，对角线BD的长是4cm．【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求菱形的面积就要求两对角线的长，可根据线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=4cm，又∵AE垂直平分BC，∴BE=EC=×BC=×4=2cm在Rt△ABE中，AB=4cm，BE=2cm由勾股定理得AE===2=BC•AE=4×2=8cm2∵AB=BC=4cm，∴S菱形ABCD在Rt△AEC中，AE=2cm，EC=2cm∴AC==4，OC=AC=2在Rt△BCO中，BC=4cm，OC=2cm，∴OB===2对角线BD的长=2•OB=2×2=4cm．菱形ABCD的面积是8cm2，对角线BD的长是4cm．【点评】本题考查的是菱形的性质及线段垂直平分线的性质，是中学阶段的常规题．（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有4（因还有一个凹四边形，所以填5也对）个不同的四边形．【考点】线段垂直平分线的性质；剪纸问题．【专题】压轴题；开放型．【分析】可动手操作拼图后解答．【解答】解：让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号①③（把你认为正确结论的序号都填上）【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．【解答】解：∵AB=AC，AC=AD，∴AB=AD∵AC 平分∠DAB∴AC 垂直平分BD，①正确；∴DC=CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B 可看作是以点A 为圆心的圆上，根据圆周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正确；当△ABC 是正三角形时，∠CAB=60°那么∠DAB=120°，如图所示是不可能的，所以错误．故①③对．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化．（2010•江西）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α（α＜∠A 1A 0A 2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示角的度数：θ3=60°﹣α，θ4=α，θ5=36°﹣α；（2）图1﹣图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n﹣1与正n 边形A 0B 1B 2…B n﹣1重合（其中，A 1与B 1重合），现将正多边形A 0B 1B 2…B n﹣1绕顶点A 0逆时针旋转α（0°＜α＜°）；（3）设θn 与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn 的度数；（4）试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°﹣（45°﹣α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°﹣36°﹣36°﹣α=36°﹣α；（2）存在，如在图1中直线A 0H 垂直且平分的线段A 2B 1，△A 0A 1A 2≌△A 0B 1B 2，推得A 2H=B 1H，则点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上；由A 0A 2=A 0B 1，则点A0在线段A 2B 1的垂直平分线上，从而得出直线A 0H 垂直且平分的线段A 2B 1（3）当n 为奇数时，θn =﹣α；当n 为偶数时，θn =α（4）多写几个总结规律：当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分，当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分【解答】解：（1）60°﹣α，α，36°﹣α（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：选图如，图中有直线A 0H 垂直平分A 2B 1，证明如下：方法一：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形∴A 0A 2=A 0B 1∴∠A 0A 2B 1=∠A 0B 1A 2又∠A 0A 2H=∠A 0B 1H=60°∴∠HA 2B 1=∠HB 1A 2∴A 2H=B 1H，∴点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上又∵A 0A 2=A 0B 1，∴点A0在线段A 2B 1的垂直平分线上∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1方法二：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形∴A 0A 2=A 0B 2∴∠A 0A 2B 1=∠A 0B 1A 2又∠A 0A 2H=∠A 0B 1H=60°∴∠HA 2B 1=∠HB 1A 2∴A 2H=B 1H，在△A 0A 2H 与△A 0B 1H 中∵A 0A 2=A 0B 1，HA 2=HB 1，∠A0A 2H=∠A 0B 1H ∴△A 0A 2H≌△A 0B 1H ∴∠A 0A 2H=∠A 0B 1H，∴A 0H 是等腰三角形A 0A 2B 1的角平分线，∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1选图如，图中有直线A 0H 垂直平分A 2B 2，证明如下：∵A 0B 2=A 0A 2∴∠A 0B 2A 2=∠A 0A 2B 2又∵∠A 0B 2B 1=∠A 0A 2A 3∴∠HB 2A 2=∠HA 2B 2∴HB 2=HA 2∴点H 在线段A 2B 2的垂直平分线上又∵A 0B 2=A 0A 2，∴点A 0在线段A 2B 2的垂直平分线上∴直线A 0H 垂直平分A 2B 2（3）当n 为奇数时，θn =﹣α；当n 为偶数时，θn =α．（4）存在．当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分，当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（2009•烟台）（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得；EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．【解答】（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，∴EB=EC．∴∠3=∠4．∵∠ACB=90°，∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∴AF=AE，∴∠F=∠5，∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠1=∠2=∠F=∠5，∴∠AEC=∠EAF．∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=60°．∴△EAC为等边三角形，∴AC=EC．∴平行四边形ACEF是菱形．（3）解：四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：由（1）可知，∠2与∠3互余，∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．【点评】本题利用了：（1）中垂线的性质，（2）等边对等角和等角对等边，（3）直角三角形的性质，（4）平行四边形和判定和性质，（5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，（6）矩形的性质．（1999•杭州）如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA2=ON•OP．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接OB，所求的乘积式可化为：OA•OB=ON•OP；将上式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即证△OAN∽△OPB．【解答】证明：连接OB；∵PM垂直平分AB，∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；∴∠AOM=∠BOM=∠AOB；∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；∵∠AOM=∠MOB，∴∠AON=∠BOP；∴△ANO∽△PBO，∴，即OA•OB=OP•ON；∵OA=OB，∴OA2=ON•OP．【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，涉及到的知识点有：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等，综合性强，难度偏大．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA即CM=2BM．【解答】证法1：如答图所示，连接AM，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，∴∠MAC=90°，∴CM=2AM，∴CM=2BM．证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM=MD．∵AC=AB，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAD=∠BNM=90°，∴AD=BD=BM=MD，又∵∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣90°=30°，∴∠CAD=∠C，∴AD=DC，BM=MD=DC，∴CM=2BM．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（2011•河池）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB 于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．（2008•德阳）（2006•淮安）如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题；转化思想．【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可知，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．【解答】解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC=AE；根据在平行四边形ABCD中有BC=AD，AB=CD，∴△CDE的周长等于CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．故选B．【点评】本题结合线段垂直平分线的性质考查了平行四边形的性质，利用中垂线将已知转化是解题的关键．（2013•仙桃）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN 值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，∴AB==2cm=AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm同理CF=cm，∴BM==2cm，同理CN=2cm，∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．（2012•勃利县校级模拟）△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A．6B．10C．6或14D．6或10【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵BC=10，DE=4，∴AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=10﹣4=6，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14（舍去），综上所述，AD+AE=6或14（舍去）．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．（2009•山西）（2008•眉山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=a，DC=b，DC边的垂直平分线EF交BC 边于E，且E为BC边的中点，又DE∥AB，则梯形ABCD的周长等于（）A．2a+2b B．3a+b C．4a+b D．5a+b【考点】线段垂直平分线的性质；梯形．【分析】根据平行四边形的性质可知，AD=BE，由线段垂直平分线的性质可知，DE=EC，则梯形的性质可求解．【解答】解：根据已知，得四边形ABED是平行四边形，则DE=AB=a，BE=AD．根据线段的垂直平分线的性质，得CE=DE．又E为BC边的中点，所以BC=2CE=2AB=2a，AD=BE=a．所以梯形的周长是4a+b．故选C【点评】本题综合运用平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．（2012•遂宁）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是10.5．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再求出△BCD的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，则BD=AD，则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，∵AC=6，BC=4.5，∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．（2011•海南）如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于2cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA=NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC+BN+NC=5cm，∴BC+AN+NC=5cm，而AC=AN+NC=3cm，∴BC=2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义．（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为45°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．（2008•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题首先利用线段垂直平分线的性质推出△AOE≌△COE，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=CO．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD﹣x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3﹣x）2+22解得CE=．故答案为．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质．关键是要设所求的量为未知数利用勾股定理求解．（1997•广西）如图，∠A=52°，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=38°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意确定点O是△ABC的外心，所以连接OB．利用圆周角定理可知∠BOC=2∠A，然后等腰△BOC的性质和三角形内角和定理来求∠OCB的度数即可．【解答】解：∵O是AB、AC的垂直平分线的交点，∴点O是△ABC的外心．如图，连接OB．则∠BOC=2∠A=104°．又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∴∠OCB=（180°﹣∠BOC）÷2=38°，故答案是：38°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．【解答】证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE与△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．（2008•广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？【考点】线段垂直平分线的性质；梯形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；（2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF∵AB=8，CF=AD=2，∴BC=BF﹣CF=8﹣2=6时有AB=BF．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠F=∠DAE．（1分）又∵∠FEC=∠AED，∴∠ECF=∠ADE，∵E为CD中点，∴CE=DE，在△FEC与△AED中，∵，∴△FEC≌△AED．（3分）∴CF=AD；（4分）（2）解：当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，（6分）其理由是：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD．（7分）又∵CF=AD，BC+CF=BF，∴AB=BF．（8分）∴△ABF是等腰三角形，∴点B在AF的垂直平分线上．（9分）【点评】本题利用了：（1）梯形的性质，（2）全等三角形的判定和性质，（3）中垂线的性质．（2006•厦门模拟）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点G、E、F分别为边AB、BC、AC的中点．求证：DF=BE．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接GF，易得AF是GD的中垂线，所以AD=AG．又∠BAC=90°，即AF⊥BD，所以DF=FG．因为EF为△ABC的中位线，所以BG=EF，BG∥EF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以GF=BE．【解答】证法（﹣）：连接GF，∵AD=AB，点G为AB边的中点，∴AD=BG=AB．∴AD=AG．又∵∠BAC=90°，即AF⊥BD，∴DF=FG．∵EF为△ABC的中位线，∴EF=AB，EF∥AB．∴BG=EF，BG∥EF．∴四边形BEFG为平行四边形．∴GF=BE．∴BE=DF．证法（二）：∵F，E是AC，BC的中点，∴FE=AB（中位线定理）；∵AD=AB，∴AD=FE，∵点F是AC中点，∴AF=FC，又∠DAF=∠CFE=90°，∴△DAF≌△FEC，∴DF=EC，∴DF=BE．【点评】本题利用了中垂线的判定和性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质求解．。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。

)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。

)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

l公路村庄村庄线段垂直平分线知识要点： 一、线段垂直平分线1定义 2画法3性质 线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

4证明说明性质定理实质上“三线合一”定理的逆定理。

利用这一定理, 可以直接让线段等, 是让两条线段相等的重要依据。

5表示性质定理:∵P 为线段AB 的垂直平分线上一点, ∴PA = PB 规侓； 中垂线 想等线 6例题例1、如右图，两个盛产水果的村庄A 、B 位于公路的同侧，交通条件极为方便，他们想因地地制宜，在公路旁建一个现代化的食品加工厂，使它到两个村庄的距离相等，请画出符合条件的食品加工厂的位置。

练习；有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

例。

(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝40°，求∠NMB 的大小； (2)如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．(3)你发现了什么样的规律?试证明之；(4)将(1)中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改． 等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．练习；已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。

例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.BAED11AB CDE图变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

线段的垂直平分线(1)教学目标知识技能1.了解线段的垂直平分线的折叠画法,掌握线段垂直平分线的尺规作法。

2.掌握线段垂直平分线的性质。

3.能用线段垂直平分线的性质解决简单的问题。

过程与方法经历探究线段垂直平分线性质过程，学会运用线段垂直平分线的性质解决简单问题的方法。

情感、态度与价值观通过学习利用线段垂直平分线的性质解决线段相等问题，初步感受线段垂直平分线在解决相等问题中的作用。

学情介绍学生在学习了线段垂直平分线概念、三角形全等、轴对称和轴对称图形的基础上学习本节内容，教师适当点拨学生容易接受这部分内容。

内容分析教材首先通过设置问题栏目，引出线段垂直平分线的三种做法，然后以探究的方式归纳出线段的垂直平分线的性质。

教学重、难点重点：线段的垂直平分线的性质。

难点：运用线段垂直平分线的性质解决简单问题。

教学过程：（一）、旧知回顾：上一堂课我们在学习轴对称图形的特征和性质，那么同学们根据上节课知识思考以下问题：（1）线段是轴对称图形吗？（2）你能亲手折一折线段AB的对称轴MN吗？（3）对称轴MN是线段AB的什么线？（4）什么叫做线段的垂直平分线，学生回答：过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线以此导入新课。

（二）课上探究：活动一：自主学习1、问题：怎样做一条线段的垂直平分线？2、在纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。

活动二：合作交流（小组内相互交流，得出结论）1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？2、直线MN与线段AB有怎样的关系？精讲点拨：（各小组总结发现的结论，教师及时进行总结）总结：线段直线MN为线段AB垂直平分线。

活动三：交流提升问题：用尺规怎样画线段的垂直平分线呢？例题分析：（自主预习课本，画出线段的垂直平分线）已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线MN。

作法：(略)证明：（略）强调指出：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．活动四：2、动手操作：在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？PA=PB由此你得出什么规律学生归纳得出命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

北师大版数学九年级上册1.3《线段的垂直平分线》说课稿1一. 教材分析《线段的垂直平分线》这一节的内容是北师大版数学九年级上册第一章第三节的一部分。

在此之前，学生已经学习了线段、射线和直线的基本概念，以及线段的性质，如线段的长度、端点等。

本节课的内容是在此基础上，引导学生探究线段的垂直平分线的性质和判定方法。

教材从生活实例出发，引出线段的垂直平分线的概念，然后通过一系列的演示和证明，让学生理解并掌握线段的垂直平分线的性质。

最后，教材还提供了几个应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力。

他们在学习线段、射线和直线的过程中，已经建立了对这些概念的基本理解。

但是，对于线段的垂直平分线这一概念，他们可能还比较陌生，需要通过实例和证明来逐步理解和接受。

同时，学生在学习过程中可能会有以下疑问：1. 什么是线段的垂直平分线？2. 线段的垂直平分线有什么特殊的性质？3. 如何判定一条线段是另一条线段的垂直平分线？针对这些疑问，我在教学过程中要给予充分的关注，并通过讲解和引导，帮助学生解决问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、演示、证明等方法，培养学生直观表达能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：线段的垂直平分线的概念、性质和判定方法。

2.教学难点：线段的垂直平分线的判定方法，以及如何运用所学知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，进行直观演示和动画展示，帮助学生更好地理解知识。

六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入线段的垂直平分线概念，激发学生学习兴趣。

北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》教案一. 教材分析《线段的垂直平分线》是北师大版数学八年级下册第1章《几何图形及其性质》的第三节内容。

本节主要让学生掌握线段的垂直平分线的性质，并会运用这些性质解决实际问题。

教材通过引入线段的垂直平分线，引导学生探究其性质，从而培养学生的几何思维和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了线段的基本概念，如长度、中点等，并学习了直线的性质。

但学生对线段的垂直平分线可能较为陌生，因此需要通过实例让学生直观地感受和理解线段的垂直平分线的概念和性质。

三. 教学目标1.让学生理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质。

2.培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。

3.培养学生的几何思维和观察、操作、推理能力。

四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的概念及其性质。

2.如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，引导学生观察、操作、推理，从而让学生掌握线段的垂直平分线的性质，并能运用到实际问题中。

六. 教学准备1.教学PPT或黑板。

2.线段模型或实物。

3.练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容：在一条线段上，如何找到一个点，使得该点到线段两端点的距离相等？引导学生思考并猜测这样的点可能在线段的某个特殊位置。

呈现（10分钟）教师展示线段的垂直平分线的定义和性质，引导学生观察、操作，并解释线段的垂直平分线的意义。

通过实例让学生直观地感受线段的垂直平分线的性质。

操练（10分钟）教师给出几个练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和应用题，旨在让学生巩固线段的垂直平分线的性质，并学会运用到实际问题中。

巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自解题的心得体会，互相提问，教师巡回指导。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出其优点和不足，并给予针对性的指导。

拓展（10分钟）教师引导学生思考：线段的垂直平分线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，并引导学生运用线段的垂直平分线解决实际问题。

§1.3.1 线段的垂直平分线(教案)郑州市第三十一初级中学荆飞教学分析【教材分析】在七年级我们曾经学习过轴对称和轴对称图形，本章将继续学习一些有关轴对称和轴对称图形的性质和证明.以前的学习过程，主要是发展学生的合情推理，而这一章的内容将要求学生从演绎推理的角度对问题进行证明.另外，在整个初中阶段，学生主要接触图形的四种运动状态，而本章将对轴对称和轴对称图形进行深入研究，本节课的线段的垂直平分线就是一个轴对称图形非常重要的一个数学模型.【我的思考】学生对于掌握定理及定理的证明并不存在太大的困难，这是因为在七年级“生活中的轴对称”中学生已经有了一定的基础.但是对于定理的逆定理的掌握应该是比较困难的，所以对逆定理研究时应该给学生留出更多的时间和空间去理解思考和感受.【学习目标】1、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.3、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.【教学重、难点】重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理.难点：两者在应用上的区别及各自的作用.【教学准备】1、分配学习小组（建议2人一组），明确每个人的任务.2、预习本节课的内容.P M N CB A 【教学过程】一、 巧妙设疑，引入新课【设计说明：本环节主要利用学生学习过的线段的垂直平分线，将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考提出解决方案，并总结结论，在上课时进行小组内的交流，共享.从而能有效地引起学生的研究兴趣.】问题1：我们曾经利用折纸的办法得到线段的垂直平分线，那么线段垂直平分线的性质是什么？师生活动：将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考并提出解决方案，在上课时展示.问题2：你能尝试证明这个结论吗？请画出图形，写出已知和求证，并写出证明过程，与你的同伴交流.师生活动：此时学生可能提出了一个问题：要证明“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需要一个一个依次证明吗？何况不能一个一个依次证明呢？此时教师应鼓励学生思考，想办法来解决此问题.师：如果一个图形上的每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了，所以我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质.二、 新知探究活动一：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等已知：直线AB MN ⊥,垂足为C ，且BC AC =,P 是MN 上的任意一点.求证：PB PA =证明：AB MN ⊥PM N C B A 90=∠=∠∴PCB PCAPC PC BC AC ==,)(SAS PCB PCA ∆≅∆∴PB PA =∴(全等三角形的对应边相等）师：总结证明线段平分线的性质定理后，你能给出它的符号语言吗？生：∵ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 ∴ PA=PB师：那么通过线段垂直平分线的性质定理学习，对我们有哪些新的方法应用呢？生：这个结论可以用来证明两条线段相等。

北师大版数学九年级上册1.3《线段的垂直平分线》教案1一. 教材分析《线段的垂直平分线》是北师大版数学九年级上册1.3节的内容。

本节课主要介绍了线段的垂直平分线的性质和判定方法。

通过学习，学生能够理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和判定方法有一定的了解。

但是，对于线段的垂直平分线的概念和性质可能较为抽象，需要通过实例和操作来加深理解。

三. 教学目标1.了解线段的垂直平分线的概念。

2.掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法。

3.能够运用线段的垂直平分线解决实际问题。

四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的概念。

2.线段的垂直平分线的性质和判定方法的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过实例讲解，让学生直观地理解线段的垂直平分线的性质；通过小组合作学习，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.实例图片和图形。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）a.介绍线段的垂直平分线的概念。

b.通过实例展示线段的垂直平分线的性质。

c.讲解线段的垂直平分线的判定方法。

3.操练（15分钟）a.学生分组讨论，总结线段的垂直平分线的性质和判定方法。

b.学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4.巩固（5分钟）通过问题驱动，让学生运用线段的垂直平分线解决实际问题。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：线段的垂直平分线在实际应用中的意义和作用。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调线段的垂直平分线的性质和判定方法。

7.家庭作业（5分钟）布置练习题，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点知识点。

教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现15分钟，操练15分钟，巩固5分钟，拓展5分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。