2016年苏锡常镇四市高三数学情况调研(二)试题

2016届高三年级第二次模拟考试（一）数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟.-、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A = ｛x|x<3 , x€ R｝, B = ｛x|x>1 , x€ R｝，贝U AA B = __2. 已知i为虚数单位，复数z满足Z + 4= 3i,则复数z的模为____________ .3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40, 0.125,则n 的值为_________ .2 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程-------- =匚=1表示双曲线，则实数m的取4 —m 2+ m值范围为_________ .5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是____________ .6. ____________________________________________ 执行如图所示的程序框图，输出的x（第6题图）（第7题图）值为____________________________________________________7. 如图，正方体ABCDA i B i C i D i的棱长为1, P是棱BB i的中点，则四棱锥PAA i C i C的体积为________ .8. 设数列｛a n｝是首项为i,公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，若S i, S2, S n成等比数列，则数列｛a n｝的公差为_________ ._ t x2+ 49. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f（x）= （x>0）的图象上任意一点，过M 点向直线y= x和y轴作垂线，垂足分别是A, B，则MA • MB = ___________ .i0.若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_________ .2 211.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 0的动直线l 与圆C : x + y - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A,B ，若点A 恰为线段0B 的中点，则圆心C 到直线I 的距离为 ________________________.W 6时，f(x i ) = f(X 2)，则X l f(X 2)的取值范围是 ___________ .13.已知函数 f(x)= 2X —1 + a, g(x) = bf(1 — x)，其中 a, b € R ，若关于 x 的不等式 f(x) > g(x) 的解的最小值为2,则a 的取值范围是 ______________ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分14分)已知函数 f(x) = sin 2x +nn — .3sin 2x -才. (1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x € — n ,亍 时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA 丄平面ABCD , M 是AD 的中点，N 是PC 的中点.(1)求证：MN //平面PAB ;17.(本小题满分14分)如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架OA , OB , OC 两两成12012. 已知函数f (x )= -x 2+ 4x , <Iog 2 ( x — 2)0< x<4, + 2, 4 W x W 6,若存在 x i , X 2^ R ，当 O W X i <4 W X 214.若实数x , y 满足 x 2— 4xy + 4y 2+ 4x 2y 2= 4，则当x + 2y 取得最大值时,(2)若平面 PMC 丄平面PAD ,(第16题图)OC = 1, AB= OB + OC,且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）；在厶AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与厶AOC的面积成正比，比例系数为4.3k.设OA =x, OB = y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）求N —M的最大值及相应的x的值.（第17题图）18.(本小题满分16分)(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ ABP 大值；②若直线l 的斜率为 于，试探究0A 2+ OB 2是否为定值？若是定值， 则求出此定值；若 不是定值，请说明理由.19.(本小题满分16分)设函数f (x )= x 「2e x — k (x — 2lnx )(k 为实常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数). (1) 当k = 1时，求函数f (x )的最小值；在平面直角坐b 2 = 1(a>b>0)过点P 1,弓，离心率为2.三条边所在直线的斜率的乘积为 t ,求t 的最(2) 若函数f(x)在区间(0, 4)内至在三个极值点，求k的取值范围.20.(本小题满分16分)已知首项为1的正项数列｛a n ｝满足 空+1 + a n <|a n +仙，n € N *. 3(1) 若a 2= 2, a 3= x , a 4= 4,求x 的取值范围；1(2) 设数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若-S n <S n + i <2S n , n € N *，求q 的取值范围；(3) 若a i , a 2,…，a k (k >3)成等差数列，且 a i + a ?+…+ a k = 120,求正整数k 的最小 值，以及k 取最小值时相应数列 a i , a 2,…，a k 的公差.2016届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在 A , B , C , D 四小题中只.能选•做•两题.，每小题10分，共计20分.解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 与O O 相切于点B ,直线AO 交O O 于D , E 两点，BC 丄DE ，垂足为C , 且AD= 3DC , BC = 2，求O O 的直径.C.选修4-4:坐标系与参数方程点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，O C 的极坐标方程为 P= 2 , 3sin 0 .设P 为直线I 上1,1 0-0 设M =,N = 2-0 2-一 0 1 -试求曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程.在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数),以原点0为极选修4-2：矩阵与变换 B.一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标.D.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)= 3x + 6, g(x)= 14-x ,若存在实数 x 使f(x) + g(x)>a 成立，求实数 a 的取值范围.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在长方体 ABCDA i B i C i D i 中，AA i = AB = 2AD = 2, E 为AB 的中点，F 为 上的一点，D i F = 2FE.(1) 证明：平面 DFC 丄平面D i EC ; (2) 求二面角ADFC 的大小.23.(本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和， 这三角形数阵开头几行如右图所示.(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行， 且该行中三个相邻的数之比为3 :4 : 5?若存在,试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n , r 为正整数，且n > r + 3.求证：任何四个相邻的组合数C ；, C n 1, C n 2,c n +3不能构成等差数列.I 1 II 2 I13 3 1 14 6 4 1 I 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(第22题图)2016届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)亍亍亍亍亍亍亍0 12 3 4 5 6(第22题图)数学参考答案填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70 分.2 … 4. (-2, 4) 5. 5 6. 610.(2， +8)11.芈 12.3, 2576 113.( —a,-6小题，共计90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算 一n n2 n 八15. 解：(1)由题意知，f(x) = 3sin2x + 三 + cos(2x + y)=2sin2x + 可 ,(4 分)2 n所以f(x)的最小正周期为T = -^= n .(6分)n^2 n 冗当一2 + 2k n w 2x +gW - + 2k n (k € Z )时，f(x)单调递增， 解得 x € — 7^+ k n ，—土;+ k n (k € Z )，所以f(x)的单调递增区间为[—务+ k n ，- 12+ k n ](k € Z ). (8分) (2)因为x € —才，nn ，所以才w 2x +夺三午，⑴分)当2x +=—，即x =— 12时，f(x)取得最大值2， (12分) 3 2 12当2x +号=4了，即x =才时，f(x)取得最小值—.3.(14分)116. 证明：(1)取 PB 中点 E ，连 EA ，EN ，△ PBC 中，EN // BC 且 EN = ^BC ，又 AM = ?AD ，AD // BC ，AD = BC ，(3 分)得EN // AM ，EN = AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得 MN // AE ，MN ?平面 PAB ，AE?平面 PAB ， ••• MN // 平面 PAB(7 分)(2)过点A 作PM 的垂线，垂足为 H ，•/平面PMC 丄平面 PAD ，平面 PMC 门平面 PAD = PM ，AH 丄PM ，AH?平面PAD ， • AH 丄平面PMC ， • AH 丄 CM.(10 分)•/ PA 丄平面 ABCD ，CM?平面 ABCD ，• PA 丄CM.(12 分)PA n AH = A ，PA ，AH ?平面 PAD ，CM 丄平面 PAD ， •/ AD?平面 PAD ，• CM 丄AD.(14 分)17. 解：(1)因为 OA = x ，OB = x ，AB = y + 1，1. (1 , 3)2. 53. 320 1 7. 3 8. 2 9. - 2 2] U - 4 ,+^14. 2二、解答题：本大题共 步骤.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分.由余弦定理，x2+ y2—2xycos120 ° = (y + 1)2，x 2—1解得y= x，(3分)2 —x由 x>0, y>0 得 1<x<2，又 x>y ，得 x>-1,解得 1<x< 1 +j 3, （6 分）2— x 21，呼〕（7（2） M = kOB = ky , N = 4 .3S AOC = 3kx ,（x 2 — 1、则 N — M = k （3x — y ） = k 3x — , （8 分） \、 2 — x /3 91 y 『2-2（y 1+ y 2）+ 4 ~2 • m y 1y 2所以 t = k AB • k AP •陆一器—4m =- m +1 + 64,（9 分）所以当m =-殳时，t 有最大值討分）所以OA 的取值范围是则 N —M =k3（ 2—t ）—（2—t t ）2—1=k 10—W k 10— 2 4t3 = （10— 4 ,3）k.（11 分）当且仅当4t = 3即t =~^€号，此时 x = 2 — ~23, （13 分）,N — M 的最大值是（10 — 4.3）k.（14分）& 1 9 18.解：⑴孑+ 4b 2 =2 2 所以椭圆C :牛+牛=4 3 1, 'a — b = 1，得 a 2= 4, b 2= 3.（2 分）1.（3 分） ⑵①设直线I 的方程为x = my + 1,直线I 与椭圆C 的交点为A （X 1, %）, B （X 2,x = my + 1,y 2）,__ 9 __所以y1+y 2=—3mm 爲,y1y2=—37扁,3 、 y1—2 所以 k AP • k BP= - X 1— 13 y2—2 X 2 — 13 y1 —2 my 13 y2—2my 2设 2 — x =t € ,1， 4t + 3所以当x =2 —x②设直线l 的方程为y = ~2x + n ,直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1, y i ), B (X 2, y 2), 丫=亍+ n ,22得 3x 2 + 2 3nx + 2n 2— 6 = 0,乞+乞=1 4十3 ，△ = (2 ,3n)2— 4X 3(2n 2— 6)>0, 即—*'6<n< 牛七.,_ 2鈕 _2n 2— 6X l + x 2= ------- 亍,x i X 2 = 3—， (12 分)OA 2+ OB 2= X 1+ y 1 + x 2 + y 2= (x 2 + x 2)+ (y ? + y 2)+ n + "2x 2+ n = 7(x 2 + x 2)十 3n (X 1 + x ?)+ 2n=x 1 + x 2 +=7(x 1 + X 2)2 — 3x 1x 2+ . 3n(X 1 + X 2) + 2『(14 分) =7 -^V — 7 咛 + 3n(—穿n) +=7.(16 分)Xef(x) =(x — 2lnx)(x>0), X(e x — x 2)~3X19.解：(1)由函数(2分)因为当x>0时，e X >x 2.理由如下： 要使x>0时，e X >x 2 设 $ (x )= x — 2lnx ,，只要 x>2lnx , , 2 x — 2$(x)=1—x =丁$ ' (x)<0 ； 于是当 0<x<2 时， 当 x>2 时，O' (x)>0. 即 $ (x = x — 2lnx 在 x = 2 处取得最小值 $ (2= 2— 2ln2>0，即 x>0 时，x>21nx , 所以 e x — x 2>0, (5 分) 于是当 0<x<2 时，f ' (x)<0 ; 当 x>2 时，f ' (x)>0.所以函数f(x)在(0, 2)上为减函数，(2,+^ )上为增函数.(6分)2所以f(x)在x = 2处取得最小值f(2) = e — 2 + 2ln2.(7分)4⑵因为 f ' (=)(X- 2)(齐 kx2)( X — 2)x当 k w 0 时，e— k>0,x 值点，所以k>0.(8分) 所以f(x)在(0, 2)上单调递减，(2, 4)上单调递增，不存在三个极 又 f , (= (x -八e x- g(x—2)exe 2 •( X -2)令 g(x )= X 2 得 g '(冷X 3，易知g(X )在(0, 2)上单调递减，在(2,+^ )上单调递增，在X = 2处取得极小值, 24e e得 g(2) = 4，且 g(4) =(10 分)Xe于是可得y = k 与g(X )= -2在(0, 4)内有两个不同的交点的条件是k €X-设y = k 与g(X )=十在(0,4)内有两个不同交点的横坐标分别为 F 面列表分析导函数 f '(及原函数f(x):可知f(x)在(0, x i )上单调递减，在(x i , 2)上单调递增.在(2 , X 2)上单调递减，在(X 2, 4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0, 4)上存在三个极值点.(15分)e e 、即函数f(x)在(0, 4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是 e ，16 .(16分)120.解：(1)由题意得，2a n <a n +1<2a n , (2 分) 3 -所以 4<X <3，2<4<2X ，解得 x € (2, 3). (4 分)n + 1 n1 - q1 — q<2 • , 1 - q 1 - qq n (q -2) >- 1, q 1 (q -2) > — 1, q n (2q - 1) <1, q 1 (2q - 1) <11⑵ 由题意得，•••2a n <a n + 1<2a n ,且数列｛a n ｝是等比数列，a 1= 1,e，16 .(12 分)1n -1尹n n -1<q <2q1(q -2｝0， [q n -1(q -2) <0,••• q €£，2](6 分)又••• ^S n <S n + 1<2S n , 而当q = 1时，S 2= 2S 1不满足题意.(7分)X 1,X 2,则有 0<X 1<2<X 2<4 ,1 1-q n2 1-q<1, 10 2又.a 1 + a ? +…+ 比=120,「. S k = #k 2+ a 1 — dk=炎+1=120,••• d =晋,k — k 240—2k 厂 2 € k — k1, 1，解得 k € （15, 239）, k € N *,所以k 的最小值为 1316,此时公差为4=亦.（16分）附加题21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题 ，每小题10分，共计20分.A.选修4-1:几何证明选讲 解：因为DE 是O O 的直径，则/ BED + Z EDB = 90°, 又 BC 丄 DE ,所以/ CBD + Z EDB = 90°, （3 分）又 AB 切O O 于点 B ，得/ ABD =Z BED ，所以/ CBD = Z DBA.（5 分） 即 BD 平分/ CBA ，则 BC = ADD = 3,又 BC = 2,从而 AB = 3 2, 所以 AC = AB 2— BC 2= 4，所以 AD = 3, （8 分）AB 2AE =-A — = 6,故 DE = AE — AD = 3，即O O 的直径AD由切割线定理得 AB 2 = AD ・AE ，即 为3.（10分）B.选修4-2:矩阵与变换半0 L 0 1解：MN =-0 2,（4 分）设（x , y ）是曲线y = sinx 上的任意一点，在矩阵 MN 变换下对应的点为（x ', y '）. _ 11 01 1所以 x'= ?X , y '= 2y ,且 x = 2x', y = ?y ', （8 分）解得q € 1, 1 ; （9分）②当q € （1 , 2）时，•- q € g, 1 ]（11 分）1⑶••• 2a n <a n + 1<2a n ,且数列a 1, a ?,…，a k 成等差数列，1,1二 2【1 + （n — 1）d]<1 + nd<2[1 + （n — 1）d] , n = 1, 2，…，k — 1.d （n + 1）>— 1,- d €〔— 1, 1） （13 分） d （ 2— n ） <1 ,k丁 （q -2） <— 1, q n（2q - 1） >1, q 1 （q -2） <- 1, q 1（2q - 1） >1 ,无解.（6分）1代入 y = sinx ,得2y '= sin2x 即 y'= 2sin2x '.即曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为 y = 2sin2x.(10分)C.选修4-4:坐标系与参数方程解：由 p= 2 3sin 0，得 p 2= 2 3sin 0，从而有 x 2 + y 2 = 2 3y , (3 分) 所以 x 2+ (y —.③2= 3.(5 分) 设 P 3+ $，于t , C(0, ,3), PC =3 + ；t + jt —■ 3 = .t 2+ 12, (8 分)故当t = 0时，PC 取得最小值，此时 P 点的坐标为(3, 0). (10分) D.选修4-5:不等式选讲解：存在实数x 使f(x) + g(x)>a 成立， 等价于f(x) + g(x)的最大值大于 a , (2分)因为 f(x) + g(x) = 3x + 6 +• 14 — x = ；3X x + 2+ 1X 14 — x , (4 分)由柯西不等式： (“ 3X ：x + 2 + 1X ‘14 — x)2< (3 + 1)(x + 2 + 14 — x) = 64, (7 分) 所以 f(x) + g(x) = 3x + 6 + 14 — x < 8，当且仅当 x = 10 时取“ =”，(9 分) 故常数a 的取值范围是(一a, 8). (10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.22.解：(1)以D 为原点，分别以 DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y轴、z 轴建立如A(1 , 0, 0), B(1 , 2, 0), C(0, 2, 0), D 1(0, 0, 2).E 为AB 的中点， E 点坐标为E(1 , 1 , 0), D 1F =2FE ,D T F = 2D TE = 3(1 , 1, — 2) = (3 , 2, 一 3),=I , I , 2 .(2 分)2 2 22x +屏+ 3z =0 ,2y = 0 , 取x = 1得平面FDC的一个法向量 n = (1, 0, — 1) , (3分) 设p = (x , y , z)是平面ED 1C 的法向量，贝y°，2 D 1C = 0,图所示空间直角坐标系，则 DF = D D 1+ D 7F = (0 ,(2设n = (x , y , z)是平面 DFC 的法向量，则n DF = 0 ,n DC = 0 ,12 • n ! 1n r 1n !r !( n — r )!n !2 - n !n != +(r + 2) !( n — r — 2)!(r + 1)!( n — r — 1)!(r + 3)!)n! __________ (n — r — 3)! .(6所以有________ 21)_______ 1 ______ (r + 1)(r + 2),11)(n — r )22) _________ 1 _________ (n — r — 2)( n — r — 1)(r + 2)(r + 3)，经整理得到 n 2— (4r + 5)n + 4r(r + 2) + 2= 0, n 2— (4r + 9)n + 4(r + 1)(r + 3)+ 2= 0. 两式相减可得n = 2r + 3,2 2 4,3x +3y —3z =0，2y — 2z = o ,取y = 1得平面D I EC 的一个法向量p = (1 , 1 , 1), (4分) •- np = (1 , 0, — 1)(1,1,1) = 0, •••平面DFC 丄平面D 1EC.(5分)⑵ 设q = (x , y , z)是平面ADF 的法向量，贝U2 2 2 _丿3x + 3y + 3z_ 0,取y = 1得平面 ADF 的一个法向量 q = (0, 1, ,=0,设二面角A-DF-C 的平面角为0,由题中条件可知灰牙,n i ,q DF = 0, q DA = 0,—1), (7 分)贝U cos 0=—n q |n ||q |0 + 0+ 1,2 — 22, (9 分)面角A-DF-C 的大小为120° .（10分）23.解：1, 2,n 组成.如果第n 行中有C n —1"CTkk 3 C n k +1 4,—k + 1 =即么 3n — 7k = — 3, 4n — 9k =5, (2 分)解这个联立方程组，得 k = 27, n = 62.（3分） 即第62行有三个相邻的数 C 66, C67 , C28的比为3： 4： 5.（4⑵ 若有 n , r(n > r + 3)，使得 C ：, C +1, C +2,c n 十3成等差数列,则 2c ；+1=c n +c n +2r +2 r +1 r + 3,2C n = C n 十 C n ,于是 C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3成等差数列，（8 分） 而由二项式系的性质可知c 2r + 3= C2++33<C 2++13= C 2；+3,这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立. （10分）。

学苏锡常镇四市高三二模数学试卷Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UAB = ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V ，则12SS 的值为 ▲ ．11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值； （2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）C B 1A 1PDCBA在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）．（1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒（1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围； （3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列． 23．（本小题满分10分） 设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．654．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 103211．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)-14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． (6)分（2）∵()0,C ∈， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =b =，∴a b = …………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ (8)分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， (2)分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ (4)分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， (6)分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． (8)分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x y ab+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① (2)分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ (12)分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ，所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒ (8)分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，． (9)分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---．若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． (3)分（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2exx a -=，令2()exx G x =，则(2)()exx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． (5)分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24ea ->，从而0a =或24ea <-，所以当0a =或24ea <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )e x m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC ∠=∠． …………4分又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分∴BE AC BAAD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， (2)分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， (6)分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ (4)分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， (8)分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ，22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． (3)分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， (5)分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，∴由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4； 当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7； 当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10； 当l=10时，不满足进行循环的条件， 故输出的S 值为15． 故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球， 从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos α，tan α的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cos α=﹣=﹣，tan α==﹣2，∴tan （α+β）===，整理可得：tan β=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h ，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，∵b1008=1，∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，∴a2016=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n 的坐标为（t ，0），直线方程为y=k （x ﹣t ），代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，即有x 1+x 2=，x 1x 2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则实数a 的取值范围为 [3，+∞） ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则a ≥3即可，故实数a 的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x ，同理可得+≥2y ，+≥2z ，三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），即为++≥x +y +z ，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，Eξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2016），∴，则a2017＜1；又，∴×2017=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2016年10月17日。

201５～2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研㈡历史2016年5月注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前,考生务必用0。

5毫米黑色墨水的签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项的方框涂满、涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时,须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡指定位置上作答,在其他位置作答一律无效。

第Ⅰ卷（选择题,共6０分)一、本大题共２0题,每题3分,共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.1。

先秦诸子中，有人认为“古之善为道者,非以明民,将以愚之.民之难治,以其智多。

故以智治国，国之贼；不以智治国,国之福。

”下列主张与上述言论观点相近的是Ａ．“民可使由之，不可使知之”B．“未有仁而遗其亲者也,未有义而后其君者也”C.“善政民畏之，善教民爱之。

善政得民财,善教得民心。

”D.“夫圣人之治国,不恃人之为吾善也，而用其不得为非也。

＂２.贞观四年,唐太宗问政于张玄素。

玄素曰：“臣观自古以来,未有如隋室丧乱之甚，岂非其君自专，其法日乱。

向使君虚受于上,臣弼违于下,岂至於此……如其广任贤良，高居深视，百司奉职，谁敢犯之。

”材料表明，张玄素A.痛陈隋室苛法之弊ﻩﻩB．反对君主独断专行C.主张实行分权制衡ﻩﻩD.建议扩大取士范围３．南宋陆游曾作诗云：“野人无历日，鸟啼知四时；二月闻子规，春耕不可迟；三月闻黄鹂，幼妇悯蚕饥；四月鸣布谷，家家蚕上簇；五月鸣鸦舅,苗稚忧草茂.”上述诗文主要反映出农民Ａ.重视历法指导 B.关注生态环境ﻩﻩC．讲求精耕细作ﻩﻩD.注重农事时令4．《清高宗实录》记载乾隆上谕:“市井之事，当听民间自为流通,一经官办,本求有益于民,而奉行未协,转多扞格(抵触之意)。

"该上谕表明乾隆皇帝A．推行以商养官ﻩＢ．摒弃抑商政策ﻩﻩＣ．放宽集市管理ﻩD．主张藏富于民5．１8５４年，英国向清政府提出中国全境开放通商、外国公使常驻北京、鸦片贸易合法化等１８项修约条款。

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试卷2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}|13,|2A x x B x x =-<<=<，则A B = .2. 已知i 是虚数单位，复数()123,2z yi y R z i =+∈=-，且121z i z =+，则y = . 3.下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 .4.已知直线20x =为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式.右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为 .6.已知1Ω是集合(){}22,|1x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){},|x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 . 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比34533,3q S S =+=，则3a = .8.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为为 .9.已知α是第二象限角，且()sin tan 2ααβ=+=-，则tan β= . 10.已知直线:210l mx y m +--=，圆22:240C x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = .11.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若满足2cos 2b A c =-，则角B 的大小为 .12.在ABC ∆中，1,,,AB AC AB AC t P t⊥==是ABC ∆所在平面内的一点，若4AB ACAP AB AC =+，则PBC ∆的面积的最小值为 .13.已知函数()24,03,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 .14.已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知向量()()23cos ,1,sin ,cos .m x n x x =-= （1）当3x π=时，求m n ⋅的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且312m n ⋅=-，求cos2x 的值.16.（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,,E F G 分别为,,AB AD AC 的中点，,90.AC BC ACD =∠=（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明：//EP 平面BCD .17.（本题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341x ω=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本2x （如是非的人工费用等）百元.已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18.（本题满分16分）已知函数()3ln ,,f x a x bx a b =-为实数，0,b e ≠为自然对数的底数， 2.71828e =.（1）当0,1a b <=-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，求a b的取值范围.19.（本题满分16分） 已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F -，左准线为2x =-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A,B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F,交y 轴于点P,且满足PA AF λ=PB BF μ=，求证：λμ+为常数；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆的面积的取值范围.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+，其中,,n N λμ*∈为非零常数. （1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列.①求实数,λμ的值；②数列{}n a的前n项和n S构成数列{}n S，从{}n S中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ试卷21.【选做题】在A,B,C,D四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE切圆O于点D,直线EO交圆O于A,B两点，DC⊥OB于点C,且DE=2BE，求证：2OC=3BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-，及对应的特征向量11e⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求矩阵M的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为2cos 32sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（[]0,2,απα∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为()sin 3a a R πρθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.D.选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为正实数，求证：222.b c a a b c a b c++≥++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得()n n N*∈分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .23.（本小题满分10分）已知()()()()()()01111n k k n n n k n n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--，其中,,,.x R n N k N k n *∈∈∈≤（1）试求()()()123,,f x f x f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.。

苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则A B = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b满足a b a b ==+ ，则a 与2a b - 夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-= 上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD-中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA EB⊥，点,M N分别是,AE CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17、如图，已知,A B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，3tan,44BAN BCNπ∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,A B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016—2017学年度高三年级第二次调研测试数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{- 2 3．14 4．20 5．316．1 7 8．12-9．2 10．(,3]-∞- 11．8 1213．[7,13] 14．{20,16}--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=， ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =，即1cos 2A =， ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分（2）因为3cos 5B =，(0,π)B ∈，所以4sin 5B ，…………………8分 所以24sin22sin cos 25B B B ==，27cos212sin 25B B =-=-， ……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()25225=-⨯--=．…………………………………………………14分16．（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥， 所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分 所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分 （2）在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB ，………………………………………………………10分 又EA ⊂平面EAB ，所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B = ，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC ．………………………………………………………14分17．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =．则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =， 所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB (km)．所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈，其中0BAN θ=∠，在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3sin sin BD BP θθ==， 所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅．………8分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==， 令'()0f θ=，得πθ=，列表如下：所以()f θ的最小值为π()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元)，此时4AP = ……12分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A的正西方向(4km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得2c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则b = 所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=． ………………………………………4分 （2）由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+，0k >，则(0,4)M k ，所以直线FN的方程为y x =-，则2(0,)N k -． (i)当直线PA 的斜率为12，即12k =时，(0,2)M ，(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥，所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k-++，……………………10分 直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得，222848(,)1212k k Q k k --++， 所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点．所以APQ △的面积211632()212122P Q k S OA y y k k k=⋅-=⨯=++≤14分当且仅当12k k=，即k ==”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………16分 19．（1）当0a =时，2()2ex f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-， 若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ．综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0}；当0a >时，()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ；当0a <时，()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． ……………………4分（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e '()e e x x h x x x-=-=．所以函数()h x 的最小值为0h =，所以2()ln 02e x h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分 （3）假设存在常数a ，b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x 21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x x ϕ=+，则'()x ϕ='()0x ϕ=，得x =当0x <'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >'()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x -+≤恒成立．所以存在a ，12b =-符合题意．………………………………………16分20．（1）当1n =时，121(1)(1)6(1)a a S ++=+，故25a =；当2n ≥时，11(1)(1)6(1)n n n a a S n --++=+-，所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n n n n n a a a a S n S n ）--+-++=+-+-，即11(1)()6(1)n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，………………………………………………3分 所以216(1)66k a a k k a -=+-=+-，25+6(1)61k a k k =-=-，*k N Î，故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数ìï+-?ï=íï-?ïî …………………………………………5分 （2）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n =+-+-， 由(31)n S n n ≤+得，23321n n a n ≤+++恒成立，令2332()1n n f n n ++=+，则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n +++-=>++，所以(1)4a f ≤=．……………………………………………………………8分当n 为偶数时，13(3+1)6n S n n a n =?-， 由(31)n S n n ≤+得，3(1)a n ≤+恒成立，所以9a ≤．又10a a =>，所以实数a 的取值范围是(0,4]．……………………………10分 （3）当2a =时，若n 为奇数，则31n a n =-，所以31n a n =-．解法1：令等比数列{}n b 的公比*4()m q m N =?，则1(1)154n m n n b b q --==?．设(1)k m n =-，因为214114443k k --++++=，所以(1)21545[3(1444)1]m n k --??++++，213[5(144+4)2]1k -=++++-，…………………………14分因为215(144+4)2k -++++为正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*4()m q m N =?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分 解法2：设222231(3)k b a k k ≥==-，所以公比2315k q -=． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数，取*252()k m m N =+?，则31q m =+，故15(31)n n b m -=?， 由1315(31)n n k m --=?得，11[5(31)1]()3n n k m n N -*=++?， 而当2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，…………………………………………………14分又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，所以n k 也都是正整数， 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列，因为公比*31()q m m N =+?有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题) 参考答案与评分标准21．[选做题]A ．因为D 为弧BC 的中点，所以DBC DAB ∠=∠，DCDB =，因为AB 为半圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒， 又E 为BC 的中点，所以EC EB =，所以DE BC ⊥， 所以ABD △∽BDE △，所以2AB BD BD AD BE BC==，所以2AB BC AD BD ⋅=⋅．……………………………10分B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，……………6分 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为2，4．……………………………………………………10分 C ．直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=，圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，…………………………………………5分圆心C 到直线l =1m =-或5m =-．…………10分 D ．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18≥，当且仅当a b c ===”， 所以18m =．…………………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-， 所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（1）设“甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题”为事件E ．AB CDEO （第21(A)题）甲选做D 题的概率为1113C 1C 3=，乙，丙不选做D 题的概率都是2324C 1C 2=．则1111()32212P E =⨯⨯=．答：甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率为112． …………………3分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3． …………………………………………4分1112(0)(1)32212P X ==-⨯⨯=，212111115(1)()(1)C (1)()3232212P X ==⨯+-⨯-⨯=， 12222111114(2)C (1)()(1)C (1)3223212P X ==⨯-⨯+-⨯-=， 222111(3)C (1)3212P X ==⨯-=． ……………………………………………8分X 的数学期望4()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．（1）21(1)n x -+的展开式中含n x 的项的系数为21C n n -，………………………………1分由1011101111(1)(1)(C C C )(C C C )n n n n n nn n n n n n x x x x x x ------++=++++++可知， 1(1)(1)n n x x -++的展开式中含n x 的项的系数为01111111C C C C C C n n n n n n n n n -----+++．所以0111111121C C C C C C C n n n n n n n n n n n ------+++= ．…………………………………4分（2）当*k N Î时，!!C !()!(1)!()!k nn n k k k n k k n k =?--- 11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---=?--．……………………………6分所以12222211111(C )2(C )(C )[(C )](C C )(C C )n n nn k k k k knnnnn nn n k k k n k k n --===+++===邋?11111(CC )(C C )nn k k n k kn nn n k k n n----====邋．………8分由（1）知0111111121C C C CC C Cn n n n n nn nn nn ------+++= ，即1211(C C )C nn k k nn n n k ---==å，所以1222221(C )2(C )(C )C n nn n n n n n -+++= ． …………………………………10分。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ． 8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．（第7题）9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．C B 1A 1PDCBA某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-（a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程； （2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10．p11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14． 1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C ==．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =，∴a b =． …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分 （2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分 若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分 （2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分 令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分 则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k +-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分∴。

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学 Ⅰ 试 题 2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B = ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+()R y ∈，22i z =-，且121i z z =+，则y = ▲ ． 3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲ ．数据 [12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)频数2 13 44．已知直线230x y -=为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知1Ω是集合{}22(,)1x y x y +…所表示的区域，2Ω是集合{}(,)x y y x …所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ．9．已知α是第二象限角，且3sin 10α=，tan()2αβ+=-，则tan β= ▲ ．10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ．11．在△ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，若满足2cos =23b A c a -，则角B 的大小为 ▲ ．12．在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC 所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩… 若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．14．已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 ▲ ．开始结束是否5S >2S S x ←+0S ←输入x1x x ←+输出S二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量m (3cos ,1)x =-,n 2(sin ,cos )x x =．（1）当π3x =时，求⋅m n 的值； （2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅m n 3132=-，求cos 2x 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC BC =，90ACD ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD ．17．（本小题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341w x =-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；PG FEDCBA（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．（本小题满分16分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值； ②若A ，B 两点满足OA OB ⊥（O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈,λ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．y xPF BAO2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加）试题 2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相．．．应的．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于,A B 两点，DC OB ⊥于点C ， 且2D E BE =，求证：23OC BC =． B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-及对应的特征向量e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 求矩阵M 的逆矩阵．AB C DEOC ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为[]32cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数)，曲线2C 的极坐标方程为πsin()3a ρθ+=（R a ∈）．若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：222b c a a b c a b c++++…．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知01()(1)(1)()(1)()n n k k n n nn n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++-- ，其中*,R N N x n k k n ∈∈∈，，…． （1）试求1()f x ，2()f x ，3()f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案2017.5一、填空题． 1．{}12x x -<< 2．1 3．19.7 4．2135．14 6．347．38．162 9．1710．-111．π612．3213．1(,6)(,0]4-∞-- 14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）当π3x =时，m 3(,1)2=-，n 31(,)24=， ……………………………4分所以⋅m n 311442=-=．…………………………………………………………6分 （2）⋅m n 2cos sin cos x x x -=3311π1sin 2cos 2sin(2)22262x x x =--=--， ………………………8分 若⋅m n 3132=-，则π1sin(2)313262x =---，即33πsin(2)6x -=， 因为π[0,]4x ∈，所以πππ2663x --剟，所以π6cos(2)63x -=， ……………10分则πππ3π1cos 2cos[(2)]cos(2)sin(2)666262x x x x =-+=-⨯--⨯ ……………12分 633132332326-=⨯-⨯=． ……………………………14分 16．（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，90ACD ∠=︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC 平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………………………3分 又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ， ………………………………………………4分 因为AC BC =，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分又CE CD C = ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分 （2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分17．解：（1）348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭（05x 剟）．………………4分 （2）法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭()4867231431x x -⋅+=+…．……………………………………8分 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．……………………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．……………………………7分 故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增；当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减；…………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， ………………………………………………………2分令()0f x '=，得33a x =-，因为0a <时，303a->，x3(0,)3a -33a -3(,)3a-+∞()f x ' -0 + ()f x极小值所以33()()ln ln()333333a a a a a ag a f a =-=--=--， ……………………………4分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =，且当1x =时，()t x 有最大值1， 所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-．………6分 （2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b =图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………………9分因为22(3ln 1)()(ln )x x m x x -'=，令()0m x '=，得3e x =， x3(1,e)3e]3(e,e ()m x ' -0 + ()m x3e所以当3(1e)x ∈，时，()(3e,)m x ∈+∞，……………………………………………14分当3e e]x ∈（，时，3()(3e,e ]m x ∈，所以,a b 满足的关系式为 33e e ab <…，即a b 的取值范围为33e e ]（，．…………16分19．解：（1）由题设知22=e ，22222==+a c b c ，即222=a b ，……………………1分 2(1,)2-代入椭圆C 得到2211122+=b b，则21=b ，22=a ，…………………2分 ∴22:12x C y +=． ……………………………………………………………………3分（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则(0,)P k ．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 代入椭圆得2222(1)2x k x ++=，整理得，2222(12)4220k x k x k +++-=，∴22121222422,1212k k x x x x k k--+==++． ……………5分 由λ= PA AF ，μ= PB BF 知，1212,11x x x x λμ--==++， ……………………………7分 ∴222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++（定值）．………9分②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积22S =，……………10分 当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设1:,:OA y kx OB y x k==-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，∴222112222,2121k x y k k ==++，同理222222222,22k x y k k ==++， …………………12分 △AOB 的面积()()()222212212k OA OBS kk +⋅==++． ………………………………13分令[)211,t k =+∈+∞，()()221112112t S t t t t ==-++-， 令1(0,1)u t =∈，则221122,2321924S u u u ⎡⎫==∈⎪⎢⎪-++⎛⎫⎣⎭--+⎪⎝⎭． ……………15分 综上所述，22,32S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………16分20．解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++， ∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分 又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分 ∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分（2）①设1(1)1n a a n d dn d =+-=-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得21(2)4n n n n a a a a λμ++=++，∴2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++， …………………………5分 ∴222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+ 对任意*∈N n 恒成立． ………………………………………………………………7分∴22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，即122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，∴1,4,2λ===u d ．…………9分综上，14,21n a n λμ===-，． ……………………………………………………10分②由①知2(121)2n n n S n +-==．设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分 由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分 因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +…，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +…，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +…，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. A ．（选修4－1 几何证明选讲）.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==． …………2分在Rt △ODE 中，∵DC OB ⊥，∴2OD OC OE = ，即2()R OC R x =+ ， ① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE = ，即24()x x R x =+ ，② ………6分∴23R x =，代入①，22()3R R OC R =+ ，35ROC =， ……………………………8分 ∴BC OB OC =-35R R =-25R=， ∴23OC BC =． ……………………………………………………………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：由题知，111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，……………………4分 ∴2,2a b ==，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………6分 12det()1223432M ==⨯-⨯=-， …………………………………………………8分∴111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………………10分 C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：2222(3)(3)4cos 4sin 4x y αα-+-=+=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=． ……………………………………4分13sin()sin cos 322a a πρθρθρθ+=⇒+=，∴曲线D 的直角坐标方程为320x y a +-=， ……………………………………6分 曲线C 圆心到直线D 的距离为22333122(3)1a d ⋅+⋅-==+， ………………………8分∴32-=a ，∴1=a 或5a =．………………………………10分（少一解，扣一分）D ．（选修4—5：不等式选讲） 解法一：基本不等式∵22b a b a +…，22c b c b +…，22a c a c +…，∴222b c a a b c a b c +++++222a b c ++…， ………………………………………6分 ∴222b c a a b c a b c++++…， ………………………………………………………10分解法二：柯西不等式2222()()()b c a a b c b c a a b c++++++…，∴222b c a a b c a b c++++…， …………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则111221352()5C C C P A C ==．… …………………………………………………………2分 答：在一局游戏中得3分的概率为25．………………………………………………3分 （2）X 的所有可能取值为1,2,3,4．在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=，…………………………………5分 2122351(1)5C C P X C ===； 436(2)51025P X ==⨯=； 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分X1 2 3 4 P15625 28125 42125∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分23．解：(1)01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=；………………………………………1分021222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+- 2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=； ………………………………………2分0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=． ………………………………………3分（2）猜测：()!n f x n =． …………………………………………………………………4分而!!!()!(1)!()!k n n n kC k k n k k n k ==---，11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC n k n k k n k ---==----， 所以11k k n n kC nC --=． …………………………………………………………………5分 用数学归纳法证明结论成立．①当1n =时，1()1f x =，所以结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即01()(1)(1)()!k k k k k k k k k f x C x C x C x k k =--++--= ．当1n k =+时，01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++--- 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k k k k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+---011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)k k kk kk k k kkk k k k k k k k k k x C x C x C x k C x C x kC x k Cx k +++++++++++=--++--+---+--+---0101111111[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k kkk k k k k kkkk x C x C C x C C x k k x C x C x k Cx k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+-----0101111111[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+---010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+--- （*）由归纳假设知（*）式等于!!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+． 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②，()!n f x n =成立． ………………………………………………………10分。

苏锡常镇四市2016届高三3月教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：苏州市教育科学研究院2016．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 函数1y x =-的定义域为A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A B = ▲ ． 2． 设2i z =-（i 是虚数单位），则||z = ▲ ．3． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲ ．4． 样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲ ． 5． “π2ϕ=”是“函数()sin y x ϕ=+的图象关于y 轴对称”的 ▲ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空）6． 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = -1，S 3 = 6，则S 6 = ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．开始n ← 1 S ← 0 n ← n + 1输出n Y S > 20N （第4题）7． 函数()1e ln y x x=≥的值域是 ▲ ． 8． 执行右面的程序图，那么输出n 的值为 ▲ ．9． 在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“ab是整数”的概率为 ▲ ． 10．已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ ． 11．直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ ．12．已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足2OA BC ⋅= ，3OB CA ⋅= ，则O C A B ⋅= ▲ ．13．已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ．14．已知x ，y ∈R ，满足24y x -≤≤，x ≥1，则222221x y x y xy x y ++-+-+-的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足A = B + 30°． （1）若c = 1，sin b B =，求B ．（2）若22212a c ac b +-=，求sin A 的值．16．（本小题满分14分）如图，正四棱锥P - ABCD 的高为PO ，PO = AB = 2．E ，F 分别是棱PB ，CD 的中点，Q 是棱PC 上的点．（1）求证：EF ∥平面P AD ；PEQ（2）若PC ⊥平面QDB ，求PQ ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F ：()2235x y -+=．（1）设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=，求点M 的坐标；（2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．18．（本小题满分16分）如图，O 为总信号源点，A ，B ，C 是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上， OA = 10 km ，OB = 20 km ，C 在O 的北偏西45° 方向上，CO =52km ． （1）求居民区A 与C 的距离；（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <π），铺设三条分光缆的总费用为w （元）．① 求w 关于θ的函数表达式；（第17题）TQPF 'HO yxFθE北OABC②求w的最小值及此时tan 的值．19．（本小题满分16分）若存在实数x 0与正数a ，使0x a +，0x a -均在函数()f x 的定义域内，且()()00f x a f x a +=-成立，则称“函数f （x ）在x = x 0处存在长度为a 的对称点”． （1）设32()321f x x x x =-+-，问是否存在正数a ，使“函数f （x ）在x = 1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由．（2）设()bg x x x =+（x > 0），若对于任意x 0∈（3，4），总存在正数a ，使得“函数()g x 在x = x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1， ()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．江苏省苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：苏州市教育科学研究院 2014．521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，EC 与⊙O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE = EB = 4，AD = 5，求AP 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在 矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)， 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．O PF ED CBA求a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系中，设极径为ρ（0ρ>），极角为θ（02πθ<≤）．⊙A 的极坐标方程为2cos ρθ=，点C 在极轴的上方，∠AOC =π6．△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C 为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D ．选修4—5：不等式选讲已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++= 的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ． （1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内， 求点E 的坐标．23．（本小题满分10分）如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ．z yx1111PAB C D DCBA nA A 3A 21A QPxC B A O（1）写出a2，a3，a4的值；（2）写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．。

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试卷2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}|13,|2A x x B x x =-<<=<，则A B = .2. 已知i 是虚数单位，复数()123,2z yi y R z i =+∈=-，且121z i z =+，则y = .3.下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 .4.已知直线230x y -=为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式.右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为 . 6.已知1Ω是集合(){}22,|1x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){},|x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 .7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比34533,3q S S =+=，则3a = .8.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23的侧面积为 . 9.已知α是第二象限角，且()sin tan 210ααβ=+=-，则tan β= . 10.已知直线:210l mx y m +--=，圆22:240C x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = .11.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若满足2cos 23b A c a =，则角B 的大小为 .12.在ABC ∆中，1,,,AB AC AB AC t P t⊥==是ABC ∆所在平面内的一点，若4AB AC AP ABAC=+，则PBC ∆的面积的最小值为 .13.已知函数()24,03,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 .14.已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分） 已知向量()()23cos ,1,sin ,cos .m x n x x =-=（1）当3x π=时，求m n ⋅的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且312m n ⋅=-，求cos2x 的值.16.（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,,E F G 分别为,,AB AD AC 的中点，,90.AC BC ACD =∠=（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明：//EP 平面BCD .17.（本题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341x ω=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本2x （如是非的人工费用等）百元.已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18.（本题满分16分）已知函数()3ln ,,f x a x bx a b =-为实数，0,b e ≠为自然对数的底数， 2.71828e =. （1）当0,1a b <=-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，求ab的取值范围.19.（本题满分16分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F -，左准线为2x =-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A,B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F,交y 轴于点P,且满足PA AF λ=PB BF μ=，求证：λμ+为常数； ②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆的面积的取值范围.20.（本题满分16分） 已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+，其中,,n N λμ*∈为非零常数.（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列.①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ试卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE 切圆O 于点D,直线EO 交圆O 于A,B 两点，DC ⊥OB 于点C,且DE=2BE ，求证：2OC=3BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-，及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 求矩阵M 的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为32cos 32sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（[]0,2,απα∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为()sin 3a a R πρθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.D.选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为正实数，求证：222.b c a a b c a b c++≥++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得()n n N *∈分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .23.（本小题满分10分）已知()()()()()()01111nkknnn knn n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--，其中,,,.x R n N k N k n *∈∈∈≤（1）试求()()()123,,f x f x f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.《学前儿童发展心理学》案例分析题汇总一、当孩子遭遇挫折时小一班的毛毛从幼儿园回家一直噘着小嘴，一副可怜的样子。