2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试题

2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I 2016.3一、填空题；本大题共14小矗，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位 置上．1．已知集合A={x|x<3．x ∈R}，B={x|x>l ，x ∈R ），则A B = ． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足43zi i+=，则复数z 的模为 ． 3．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频致 和频率分别为40，0.125．则n 的值为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1 表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ．5．为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机 选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连 续2天的概率是 ．6．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 .7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的 中点，则四棱锥P - AA 1C 1C 的体积为 ．8．设数列{an}是首项为l ，公差不为零的等差数列，S n 为 其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n }的公差 为 。

9．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f(x)= 24x x+ (x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅= .10,若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的 取值范围是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线，与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线，的距离为12．已知函数f(x)= 224,04,log (2),46x x x x x ⎧-+≤<⎨-≤≤⎩若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时， f(x 1)=f(x 2)．则x 1f(x 2)的取值范围是 。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()U A B = ð ▲ ． 2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162， 159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()22-，，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ． 8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． （第7题）结束开始 n ← 1 x ← a x ← 2x + 1输出x N n ≤3n ← n + 1Y9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若3c =，△ABC 的面积15=4S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，12AA AB =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A CD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， （第16题）C 1B 1A 1PDCBA求证：AP 平面A CD．1某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，0x>）时，销售量()q x（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则1260 ()1q xx=+；若x大于或等于180，则销售量为零；当20180x≤≤时，()q x a b x=-（a，b为实常数）．（1）求函数()q x的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左，右焦点分别是1F，2F，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于63，求椭圆C的方程；（2）若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点1F的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A ，B ，C ，D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． DEOBCA（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求M A M B ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17- 9． [010]，10．32p11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14． 51- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分 （2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴2115sin 1cos 1164C C =-=-=． ∵115sin 24S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分 ∵3c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分 由①②，得42440a a -+=，从而22a =，2a =±（舍负），所以2b =， ∴2a b ==． …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，∴1BC ∥平面1A CD ． …………6分 （2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ， CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分 ∵12BB BA =，11BB AA = ，114BP BB =， ∴12=4BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CD A D D = ，CD ⊂平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD∴AP ⊥平面1A CD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由20601800a b a b ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩，，得9035a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，． …………2分故1260,020,1()9035,20180,0,180x x q x x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()90003005201800180xx x f x x x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⋅⎨⎪>⎪⎪⎩，＝，≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()90003005f x x x x -⋅＝，()90004505f x x '-⋅＝，令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ 由题设，得22ab ab a b=+，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵63c e a ==，∴22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+ ，212=(,)+b c FQ c a c， …………13分 从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ， ∴110F P FQ ⋅= ﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n n b b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分 当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---．若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分 若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln 2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln 2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分 （2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e x x x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分 当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分 ∵0a ≠，∴0020e e ex m x mx m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒两边同除以e m，得2e 1e tt t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增， 又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程为112(322x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得22(31)10t t +--=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 ∴X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++= ，且12||||||1k a a a +++ ≤时，有1211||22k b b b k +++- ≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++= ，且121||||||1k a a a ++++ ≤， ∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++ ≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++= ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++ ≤≤，X 0123P81256 27642712813256由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

（第6题）EPDCBA2015年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题2015.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{}{}11,0A x x B x x =-<<=>，则A B = ▲ ．2．若复数512im +-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m = ▲ ． 3．双曲线2212y x -=的离心率为 ▲ ．4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 ▲ ．5．函数2ln(2)y x =-的定义域为 ▲ ．6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，4PA =，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －P AB 的体积为 ▲ ．7．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若242a a =，24516a a +=，则5a9．若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:e x C y =在1x =垂直，则实数a 的值为 ▲ ．10．设函数π()sin())(0,)2f x ωx φωx φωφ=++><且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ ．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 ▲ ．（第7题）13．已知直线1y kx =+与曲线11()f x x x x x=+--恰有四个不同的交点，则实数k 的取值 范围为 ▲ ．14．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +…，则213x y x y++-的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量πsin(),36α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ，(1,4cos )a =b ，(0,π)α∈．（1）若a ⊥b ，求tan α的值；（2）若a ∥b ，求α的值．16．（本题满分14分）如图，四边形11AA C C 为矩形，四边形11CC B B 为菱形，且平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，D ，E 分别为边11A B ，1C C 的中点．（1）求证：1BC ⊥平面1AB C ； （2）求证：DE ∥平面1AB C ．C 1B 1A 1（第16题）ECBAD17．（本题满分14分）如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒． （1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．（第17题）l19．（本题满分16分）已知函数2()e (0)x f x x a a =-…． （1）当1a =时，求()f x 的单调减区间；（2）若方程()f x m =恰好有一个正根和一个负根，求实数m 的最大值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设数列{}n b 满足112()()()n n n n n n b S S S n S S n *++=--+∈N ． （1）若数列{}n a 为等差数列，且0n b =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若11a =，23a =，且数列{}21n a -，{}2n a 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式221n n b b -<的所有正整数n 的集合．D（第21A 题）2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学ⅠI （附加题）试题21．A ．如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）， 求证：∠CBE =∠BDE ．B ． 求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．C ．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin rq q =+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，求直线l 被曲线C所截得的弦长．D ．求函数y =（第22题）22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 60︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．若存在n 个不同的正整数12,,,n a a a ，对任意1i jn <剟，都有i j i ja a a a +∈-Z ，则称这n 个不同的正整数12,,,n a a a 为“n 个好数”． （1）请分别对2n =，3n =构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数”．苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案一、填空题1．{}01x x << 2．1- 3 4．0.3 5．((),2,-∞+∞6．4 7．16 8．1329．13e - 10．π[π,π],()2k k k -+∈Z11．34 12． 13．11{,0,}88- 14 二、解答题15．解：（1）因为a ⊥b ，所以πsin()12cos 06αα++=， ……………………………2分1cos 12cos 02ααα++=25cos 02αα+=， …………………4分又cos 0α≠，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π4cos sin()36αα+=， ……………………………………………8分即14cos cos )32ααα+=，2cos22αα+=， ………………………………………………………10分所以πsin(2)16α+=， ………………………………………………………………11分因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666α+∈， ………………………………………13分 所以ππ262α+=，即π6α=． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B平面11AA C C =1CC ，∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ⊂平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分 ∵1B CAC C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分（2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ,∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，∴DF ∥1AB ，又DF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C , ∴DF ∥平面1AB C ，∵EFDF F =，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， ………………………………2分所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分-=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC 中，222cos 2OC OB BC COB OC OB+-∠=⋅56==， …………………10分所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠ 53003006001006=+-⨯=． …………………13分答：CE 的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点，∴221312a b+=．…………2分∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++， …………………………………11分∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分 （3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++．∴OP OM ⋅为定值4． …………………………………………………………16分19．解：（1）当1a =时，221,e (1),()1,e (1),x x x xf x x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩… …………………………………1分 当1x >时，2()e (21)x f x x x '=+-，由()0f x '…，解得1x --，所以()f x 的单调减区间为[11]--， ………………………………………3分 当1x …时，2()e (21)x f x x x '=-+-，由()0f x '…，解得1x -…x -…所以()f x 的单调减区间为[-， ……………………………………………5分综上：()f x 的单调减区间为[-，[11]--． ………………………6分 （2） 当0a =时，2()e x f x x =⋅，则2()e 2e e (2)x x x f x x x x x '=⋅+⋅=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-，所以()f x 有极大值24(2)e f -=，极小值(0)0f =，…………………………………7分当0a>时，22e(),()e(),xxxx af xa x x⎧>-⎪=⎨-⎪⎩…同（1）的讨论可得，()f x在(,1)-∞上增，在(1,上减，在(1)上增，在1上减，在)+∞上增，……………8分且函数()y f x=有两个极大值点，1(1)2e1)f==，…………………………9分11)1)f==，……………………………10分且当1x a=+时，12(1)e(1)1)af a a a++=++>>所以若方程()f x m=恰好有正根，则1)m f>（否则至少有二个正根）．……………………………………11分又方程()f x m=恰好有一个负根，则(1)m f=．………………………12分令()e(1),1xg x x x-=+…，则()e0xg x x-'=-<，所以()e(1)xg x x-=+在1x…时单调减，即2()(1)eg x g=…，………………………13分等号当且仅当1x=时取到．所以22(1)()ef…，等号当且仅当0a=时取到．且此时11)1)0f==，………………………………………14分即(1)f>1)f，…………………………………………………15分所以要使方程()f x m=恰好有一个正根和一个负根，m的最大值为24e．………16分20．解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，所以11na a nd+=+，1(1)2nn nS na d-=+，…………………………………………1分由112()()()n n n n n nb S S S n S S n*++=--+∈N，得112(2)n n n n nb a S n S a++=-+，及由0nb=，又由0nb=，得[]1111(1)2()2(1)02n na nd na d n na n n d a nd-⎡⎤++-+-++=⎢⎥⎣⎦对一切n*∈N都成立，………………………………………………………………3分即()222211111(32)20d d n a d d a n a a d a-+--+--=对一切n*∈N都成立．令1n=，2n=，解之得10,0,da=⎧⎨=⎩或11,1,da=⎧⎨=⎩经检验，符合题意，所以{}n a 的通项公式为0n a =或n a n =． …………………………………………5分 （2）由题意得1212n n a --=，1232n n a -=⨯，2213(21)424n n n n S =-+-=⨯-，11212242432524n n n n n n S S a ---=-=⨯--⨯=⨯-．…………………………………6分 221222122(2)n n n n n b a S n S a ++=-+22(424)2(8282)n n n n n =⨯⨯⨯--⨯-+122(294)16n n n n ++=--+． ……………………………………………………7分 212212122(21)(2)n n n n n b a S n S a ---=--+111162(524)(21)(102832)n n n n n ----=⨯⨯⨯---⨯-+⨯112(3022611)168n n n n --=⨯--+-． ………………………………………8分12112212(294)16[2(3022611)168]n n n n n n b b n n n n ++----=--+-⨯--+-121552(25)8282(5)22n n n n n n --=--+=+-+． ………………………9分记215282)()2(5n n n f n -=+-+，即15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++， ……………10分记15()2(5)22n g n n =⨯-+，则111515(1)()2(5)252222n n g n g n n n ++-=⨯-+-⨯++1252n =⨯-，当1n =，2，3时，(1)()0g n g n +-<，当*n ∈N 时，4n ≥，(1)()g n g n +-12502n =⨯->， …………………………12分因为1n =时，13(1)02g =-<，所以(4)0g <；且1(6)02g =-<；53(7)02g =>． 所以15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++在7(*)n n ∈≥N 时也是单调递增， …………14分1n =时，(1)50f =-<； 2n =时，(2)340f =-<； 3n =时，(3)1000f =-<； 4n =时，(4)2240f =-<； 5n =时，(5)3600f =-<； 6n =时，(6)240f =-<； 7n =时，(7)34000f =>，所以满足条件的正整数n 的集合为｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分21、A ．证明：因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， ………………………………………………………………3分 又CA CB =，所以2CB CE CD =⋅，即CB CDCE CB=， …………………………5分 又BCD BCD ∠=∠，所以BCE D ∽DCB D ， …………………………………8分 所以∠CBE =∠BDE ． ………………………………………………………………10分B ． 解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心为(1,1)…………………………………………………………3分0y -=， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d ==， ………………………………8分所以弦长== ………………………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：因为22= 120(3332)(1)33x x -+++=≤， ……………………………………………3分所以y=．………………………………………………5分等号当且仅当3332113x x-+=，即712x=时成立．………………………………8分所以y…………………………………………………………10分22．解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量OC，OD为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则(1,0,0)A-，(1,0,0)C，(0,B，D，(P-，所以M，MD=，(1,PB=，……………………3分cos,0MD PAMD PAMD PA⋅<>===．…………………………………4分所以异面直线PB与MD所成的角为90︒．…………………………………………5分（2）设平面PCD的法向量为1111(,,)x y z=n，平面P AD的法向量为2222(,,)x y z=n，因为(CD=-，(1PD=，(0,0,PA=，由11111110,0,CD xPD x⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩nn令11y=，得1=n，……………………7分由22222260,0,PAPD x z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩nn令21y=-，得21,0)=-n，…………………8分所以121212cos,⋅<>===n nn nn n12sin,<>=n n10分23．解：（1）当2n=时，取数11a=，22a=，因为21312+=-∈-Z，…………………1分当3n=时，取数12a=，23a=，34a=，则12125a aa a+=-∈-Z，23237a aa a+=-∈-Z，13133a aa a+=-∈-Z，…………………………………………………3分即12a=，23a=，34a=可构成三个好数．………………………………………4分（2）证：①由（1）知当2,3n =时均存在，②假设命题当(2,)n k k k Z=≥∈时，存在k个不同的正整数12,,,ka a a，其中12ka a a<<<，使得对任意1i j k<剟，都有i ji ja aa a+∈-Z成立，…………………………………5分则当1n k=+时，构造1k+个数12,,,,kA A a A a A a+++，，（*）其中123k A a =⨯⨯⨯⨯，若在（*）中取到的是A 和()i A a i k +…，则21i i iA A a AA A a a ++=--∈--Z ，所以成立，若取到的是()i A a i k +…和()j A a j k +…，且i j <， 则2+i j i j i ji j i j A a A a a a AA a A a a a a a ++++=+----，由归纳假设得i j i ja a a a +∈-Z ，又j i k a a a -<，所以j i a a -是A 的一个因子，即2i jAa a ∈-Z ， 所以2+i j i j i ji j i jA a A a a a A A a A a a a a a ++++=∈+----Z ， ………………………………………8分 所以当1n k =+时也成立． ………………………………………………………9分 所以对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数” ……………………………10分。

2016届高三年级第二次模拟考试（一）数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟.-、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A = ｛x|x<3 , x€ R｝, B = ｛x|x>1 , x€ R｝，贝U AA B = __2. 已知i为虚数单位，复数z满足Z + 4= 3i,则复数z的模为____________ .3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40, 0.125,则n 的值为_________ .2 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程-------- =匚=1表示双曲线，则实数m的取4 —m 2+ m值范围为_________ .5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是____________ .6. ____________________________________________ 执行如图所示的程序框图，输出的x（第6题图）（第7题图）值为____________________________________________________7. 如图，正方体ABCDA i B i C i D i的棱长为1, P是棱BB i的中点，则四棱锥PAA i C i C的体积为________ .8. 设数列｛a n｝是首项为i,公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，若S i, S2, S n成等比数列，则数列｛a n｝的公差为_________ ._ t x2+ 49. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f（x）= （x>0）的图象上任意一点，过M 点向直线y= x和y轴作垂线，垂足分别是A, B，则MA • MB = ___________ .i0.若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_________ .2 211.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 0的动直线l 与圆C : x + y - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A,B ，若点A 恰为线段0B 的中点，则圆心C 到直线I 的距离为 ________________________.W 6时，f(x i ) = f(X 2)，则X l f(X 2)的取值范围是 ___________ .13.已知函数 f(x)= 2X —1 + a, g(x) = bf(1 — x)，其中 a, b € R ，若关于 x 的不等式 f(x) > g(x) 的解的最小值为2,则a 的取值范围是 ______________ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分14分)已知函数 f(x) = sin 2x +nn — .3sin 2x -才. (1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x € — n ,亍 时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA 丄平面ABCD , M 是AD 的中点，N 是PC 的中点.(1)求证：MN //平面PAB ;17.(本小题满分14分)如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架OA , OB , OC 两两成12012. 已知函数f (x )= -x 2+ 4x , <Iog 2 ( x — 2)0< x<4, + 2, 4 W x W 6,若存在 x i , X 2^ R ，当 O W X i <4 W X 214.若实数x , y 满足 x 2— 4xy + 4y 2+ 4x 2y 2= 4，则当x + 2y 取得最大值时,(2)若平面 PMC 丄平面PAD ,(第16题图)OC = 1, AB= OB + OC,且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）；在厶AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与厶AOC的面积成正比，比例系数为4.3k.设OA =x, OB = y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）求N —M的最大值及相应的x的值.（第17题图）18.(本小题满分16分)(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ ABP 大值；②若直线l 的斜率为 于，试探究0A 2+ OB 2是否为定值？若是定值， 则求出此定值；若 不是定值，请说明理由.19.(本小题满分16分)设函数f (x )= x 「2e x — k (x — 2lnx )(k 为实常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数). (1) 当k = 1时，求函数f (x )的最小值；在平面直角坐b 2 = 1(a>b>0)过点P 1,弓，离心率为2.三条边所在直线的斜率的乘积为 t ,求t 的最(2) 若函数f(x)在区间(0, 4)内至在三个极值点，求k的取值范围.20.(本小题满分16分)已知首项为1的正项数列｛a n ｝满足 空+1 + a n <|a n +仙，n € N *. 3(1) 若a 2= 2, a 3= x , a 4= 4,求x 的取值范围；1(2) 设数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若-S n <S n + i <2S n , n € N *，求q 的取值范围；(3) 若a i , a 2,…，a k (k >3)成等差数列，且 a i + a ?+…+ a k = 120,求正整数k 的最小 值，以及k 取最小值时相应数列 a i , a 2,…，a k 的公差.2016届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在 A , B , C , D 四小题中只.能选•做•两题.，每小题10分，共计20分.解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 与O O 相切于点B ,直线AO 交O O 于D , E 两点，BC 丄DE ，垂足为C , 且AD= 3DC , BC = 2，求O O 的直径.C.选修4-4:坐标系与参数方程点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，O C 的极坐标方程为 P= 2 , 3sin 0 .设P 为直线I 上1,1 0-0 设M =,N = 2-0 2-一 0 1 -试求曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程.在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数),以原点0为极选修4-2：矩阵与变换 B.一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标.D.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)= 3x + 6, g(x)= 14-x ,若存在实数 x 使f(x) + g(x)>a 成立，求实数 a 的取值范围.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在长方体 ABCDA i B i C i D i 中，AA i = AB = 2AD = 2, E 为AB 的中点，F 为 上的一点，D i F = 2FE.(1) 证明：平面 DFC 丄平面D i EC ; (2) 求二面角ADFC 的大小.23.(本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和， 这三角形数阵开头几行如右图所示.(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行， 且该行中三个相邻的数之比为3 :4 : 5?若存在,试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n , r 为正整数，且n > r + 3.求证：任何四个相邻的组合数C ；, C n 1, C n 2,c n +3不能构成等差数列.I 1 II 2 I13 3 1 14 6 4 1 I 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(第22题图)2016届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)亍亍亍亍亍亍亍0 12 3 4 5 6(第22题图)数学参考答案填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70 分.2 … 4. (-2, 4) 5. 5 6. 610.(2， +8)11.芈 12.3, 2576 113.( —a,-6小题，共计90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算 一n n2 n 八15. 解：(1)由题意知，f(x) = 3sin2x + 三 + cos(2x + y)=2sin2x + 可 ,(4 分)2 n所以f(x)的最小正周期为T = -^= n .(6分)n^2 n 冗当一2 + 2k n w 2x +gW - + 2k n (k € Z )时，f(x)单调递增， 解得 x € — 7^+ k n ，—土;+ k n (k € Z )，所以f(x)的单调递增区间为[—务+ k n ，- 12+ k n ](k € Z ). (8分) (2)因为x € —才，nn ，所以才w 2x +夺三午，⑴分)当2x +=—，即x =— 12时，f(x)取得最大值2， (12分) 3 2 12当2x +号=4了，即x =才时，f(x)取得最小值—.3.(14分)116. 证明：(1)取 PB 中点 E ，连 EA ，EN ，△ PBC 中，EN // BC 且 EN = ^BC ，又 AM = ?AD ，AD // BC ，AD = BC ，(3 分)得EN // AM ，EN = AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得 MN // AE ，MN ?平面 PAB ，AE?平面 PAB ， ••• MN // 平面 PAB(7 分)(2)过点A 作PM 的垂线，垂足为 H ，•/平面PMC 丄平面 PAD ，平面 PMC 门平面 PAD = PM ，AH 丄PM ，AH?平面PAD ， • AH 丄平面PMC ， • AH 丄 CM.(10 分)•/ PA 丄平面 ABCD ，CM?平面 ABCD ，• PA 丄CM.(12 分)PA n AH = A ，PA ，AH ?平面 PAD ，CM 丄平面 PAD ， •/ AD?平面 PAD ，• CM 丄AD.(14 分)17. 解：(1)因为 OA = x ，OB = x ，AB = y + 1，1. (1 , 3)2. 53. 320 1 7. 3 8. 2 9. - 2 2] U - 4 ,+^14. 2二、解答题：本大题共 步骤.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分.由余弦定理，x2+ y2—2xycos120 ° = (y + 1)2，x 2—1解得y= x，(3分)2 —x由 x>0, y>0 得 1<x<2，又 x>y ，得 x>-1,解得 1<x< 1 +j 3, （6 分）2— x 21，呼〕（7（2） M = kOB = ky , N = 4 .3S AOC = 3kx ,（x 2 — 1、则 N — M = k （3x — y ） = k 3x — , （8 分） \、 2 — x /3 91 y 『2-2（y 1+ y 2）+ 4 ~2 • m y 1y 2所以 t = k AB • k AP •陆一器—4m =- m +1 + 64,（9 分）所以当m =-殳时，t 有最大值討分）所以OA 的取值范围是则 N —M =k3（ 2—t ）—（2—t t ）2—1=k 10—W k 10— 2 4t3 = （10— 4 ,3）k.（11 分）当且仅当4t = 3即t =~^€号，此时 x = 2 — ~23, （13 分）,N — M 的最大值是（10 — 4.3）k.（14分）& 1 9 18.解：⑴孑+ 4b 2 =2 2 所以椭圆C :牛+牛=4 3 1, 'a — b = 1，得 a 2= 4, b 2= 3.（2 分）1.（3 分） ⑵①设直线I 的方程为x = my + 1,直线I 与椭圆C 的交点为A （X 1, %）, B （X 2,x = my + 1,y 2）,__ 9 __所以y1+y 2=—3mm 爲,y1y2=—37扁,3 、 y1—2 所以 k AP • k BP= - X 1— 13 y2—2 X 2 — 13 y1 —2 my 13 y2—2my 2设 2 — x =t € ,1， 4t + 3所以当x =2 —x②设直线l 的方程为y = ~2x + n ,直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1, y i ), B (X 2, y 2), 丫=亍+ n ,22得 3x 2 + 2 3nx + 2n 2— 6 = 0,乞+乞=1 4十3 ，△ = (2 ,3n)2— 4X 3(2n 2— 6)>0, 即—*'6<n< 牛七.,_ 2鈕 _2n 2— 6X l + x 2= ------- 亍,x i X 2 = 3—， (12 分)OA 2+ OB 2= X 1+ y 1 + x 2 + y 2= (x 2 + x 2)+ (y ? + y 2)+ n + "2x 2+ n = 7(x 2 + x 2)十 3n (X 1 + x ?)+ 2n=x 1 + x 2 +=7(x 1 + X 2)2 — 3x 1x 2+ . 3n(X 1 + X 2) + 2『(14 分) =7 -^V — 7 咛 + 3n(—穿n) +=7.(16 分)Xef(x) =(x — 2lnx)(x>0), X(e x — x 2)~3X19.解：(1)由函数(2分)因为当x>0时，e X >x 2.理由如下： 要使x>0时，e X >x 2 设 $ (x )= x — 2lnx ,，只要 x>2lnx , , 2 x — 2$(x)=1—x =丁$ ' (x)<0 ； 于是当 0<x<2 时， 当 x>2 时，O' (x)>0. 即 $ (x = x — 2lnx 在 x = 2 处取得最小值 $ (2= 2— 2ln2>0，即 x>0 时，x>21nx , 所以 e x — x 2>0, (5 分) 于是当 0<x<2 时，f ' (x)<0 ; 当 x>2 时，f ' (x)>0.所以函数f(x)在(0, 2)上为减函数，(2,+^ )上为增函数.(6分)2所以f(x)在x = 2处取得最小值f(2) = e — 2 + 2ln2.(7分)4⑵因为 f ' (=)(X- 2)(齐 kx2)( X — 2)x当 k w 0 时，e— k>0,x 值点，所以k>0.(8分) 所以f(x)在(0, 2)上单调递减，(2, 4)上单调递增，不存在三个极 又 f , (= (x -八e x- g(x—2)exe 2 •( X -2)令 g(x )= X 2 得 g '(冷X 3，易知g(X )在(0, 2)上单调递减，在(2,+^ )上单调递增，在X = 2处取得极小值, 24e e得 g(2) = 4，且 g(4) =(10 分)Xe于是可得y = k 与g(X )= -2在(0, 4)内有两个不同的交点的条件是k €X-设y = k 与g(X )=十在(0,4)内有两个不同交点的横坐标分别为 F 面列表分析导函数 f '(及原函数f(x):可知f(x)在(0, x i )上单调递减，在(x i , 2)上单调递增.在(2 , X 2)上单调递减，在(X 2, 4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0, 4)上存在三个极值点.(15分)e e 、即函数f(x)在(0, 4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是 e ，16 .(16分)120.解：(1)由题意得，2a n <a n +1<2a n , (2 分) 3 -所以 4<X <3，2<4<2X ，解得 x € (2, 3). (4 分)n + 1 n1 - q1 — q<2 • , 1 - q 1 - qq n (q -2) >- 1, q 1 (q -2) > — 1, q n (2q - 1) <1, q 1 (2q - 1) <11⑵ 由题意得，•••2a n <a n + 1<2a n ,且数列｛a n ｝是等比数列，a 1= 1,e，16 .(12 分)1n -1尹n n -1<q <2q1(q -2｝0， [q n -1(q -2) <0,••• q €£，2](6 分)又••• ^S n <S n + 1<2S n , 而当q = 1时，S 2= 2S 1不满足题意.(7分)X 1,X 2,则有 0<X 1<2<X 2<4 ,1 1-q n2 1-q<1, 10 2又.a 1 + a ? +…+ 比=120,「. S k = #k 2+ a 1 — dk=炎+1=120,••• d =晋,k — k 240—2k 厂 2 € k — k1, 1，解得 k € （15, 239）, k € N *,所以k 的最小值为 1316,此时公差为4=亦.（16分）附加题21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题 ，每小题10分，共计20分.A.选修4-1:几何证明选讲 解：因为DE 是O O 的直径，则/ BED + Z EDB = 90°, 又 BC 丄 DE ,所以/ CBD + Z EDB = 90°, （3 分）又 AB 切O O 于点 B ，得/ ABD =Z BED ，所以/ CBD = Z DBA.（5 分） 即 BD 平分/ CBA ，则 BC = ADD = 3,又 BC = 2,从而 AB = 3 2, 所以 AC = AB 2— BC 2= 4，所以 AD = 3, （8 分）AB 2AE =-A — = 6,故 DE = AE — AD = 3，即O O 的直径AD由切割线定理得 AB 2 = AD ・AE ，即 为3.（10分）B.选修4-2:矩阵与变换半0 L 0 1解：MN =-0 2,（4 分）设（x , y ）是曲线y = sinx 上的任意一点，在矩阵 MN 变换下对应的点为（x ', y '）. _ 11 01 1所以 x'= ?X , y '= 2y ,且 x = 2x', y = ?y ', （8 分）解得q € 1, 1 ; （9分）②当q € （1 , 2）时，•- q € g, 1 ]（11 分）1⑶••• 2a n <a n + 1<2a n ,且数列a 1, a ?,…，a k 成等差数列，1,1二 2【1 + （n — 1）d]<1 + nd<2[1 + （n — 1）d] , n = 1, 2，…，k — 1.d （n + 1）>— 1,- d €〔— 1, 1） （13 分） d （ 2— n ） <1 ,k丁 （q -2） <— 1, q n（2q - 1） >1, q 1 （q -2） <- 1, q 1（2q - 1） >1 ,无解.（6分）1代入 y = sinx ,得2y '= sin2x 即 y'= 2sin2x '.即曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为 y = 2sin2x.(10分)C.选修4-4:坐标系与参数方程解：由 p= 2 3sin 0，得 p 2= 2 3sin 0，从而有 x 2 + y 2 = 2 3y , (3 分) 所以 x 2+ (y —.③2= 3.(5 分) 设 P 3+ $，于t , C(0, ,3), PC =3 + ；t + jt —■ 3 = .t 2+ 12, (8 分)故当t = 0时，PC 取得最小值，此时 P 点的坐标为(3, 0). (10分) D.选修4-5:不等式选讲解：存在实数x 使f(x) + g(x)>a 成立， 等价于f(x) + g(x)的最大值大于 a , (2分)因为 f(x) + g(x) = 3x + 6 +• 14 — x = ；3X x + 2+ 1X 14 — x , (4 分)由柯西不等式： (“ 3X ：x + 2 + 1X ‘14 — x)2< (3 + 1)(x + 2 + 14 — x) = 64, (7 分) 所以 f(x) + g(x) = 3x + 6 + 14 — x < 8，当且仅当 x = 10 时取“ =”，(9 分) 故常数a 的取值范围是(一a, 8). (10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.22.解：(1)以D 为原点，分别以 DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y轴、z 轴建立如A(1 , 0, 0), B(1 , 2, 0), C(0, 2, 0), D 1(0, 0, 2).E 为AB 的中点， E 点坐标为E(1 , 1 , 0), D 1F =2FE ,D T F = 2D TE = 3(1 , 1, — 2) = (3 , 2, 一 3),=I , I , 2 .(2 分)2 2 22x +屏+ 3z =0 ,2y = 0 , 取x = 1得平面FDC的一个法向量 n = (1, 0, — 1) , (3分) 设p = (x , y , z)是平面ED 1C 的法向量，贝y°，2 D 1C = 0,图所示空间直角坐标系，则 DF = D D 1+ D 7F = (0 ,(2设n = (x , y , z)是平面 DFC 的法向量，则n DF = 0 ,n DC = 0 ,12 • n ! 1n r 1n !r !( n — r )!n !2 - n !n != +(r + 2) !( n — r — 2)!(r + 1)!( n — r — 1)!(r + 3)!)n! __________ (n — r — 3)! .(6所以有________ 21)_______ 1 ______ (r + 1)(r + 2),11)(n — r )22) _________ 1 _________ (n — r — 2)( n — r — 1)(r + 2)(r + 3)，经整理得到 n 2— (4r + 5)n + 4r(r + 2) + 2= 0, n 2— (4r + 9)n + 4(r + 1)(r + 3)+ 2= 0. 两式相减可得n = 2r + 3,2 2 4,3x +3y —3z =0，2y — 2z = o ,取y = 1得平面D I EC 的一个法向量p = (1 , 1 , 1), (4分) •- np = (1 , 0, — 1)(1,1,1) = 0, •••平面DFC 丄平面D 1EC.(5分)⑵ 设q = (x , y , z)是平面ADF 的法向量，贝U2 2 2 _丿3x + 3y + 3z_ 0,取y = 1得平面 ADF 的一个法向量 q = (0, 1, ,=0,设二面角A-DF-C 的平面角为0,由题中条件可知灰牙,n i ,q DF = 0, q DA = 0,—1), (7 分)贝U cos 0=—n q |n ||q |0 + 0+ 1,2 — 22, (9 分)面角A-DF-C 的大小为120° .（10分）23.解：1, 2,n 组成.如果第n 行中有C n —1"CTkk 3 C n k +1 4,—k + 1 =即么 3n — 7k = — 3, 4n — 9k =5, (2 分)解这个联立方程组，得 k = 27, n = 62.（3分） 即第62行有三个相邻的数 C 66, C67 , C28的比为3： 4： 5.（4⑵ 若有 n , r(n > r + 3)，使得 C ：, C +1, C +2,c n 十3成等差数列,则 2c ；+1=c n +c n +2r +2 r +1 r + 3,2C n = C n 十 C n ,于是 C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3成等差数列，（8 分） 而由二项式系的性质可知c 2r + 3= C2++33<C 2++13= C 2；+3,这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立. （10分）。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ． 8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．（第7题）9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．C B 1A 1PDCBA某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-（a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程； （2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10．p11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14． 1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C ==．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =，∴a b =． …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分 （2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分 若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分 （2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分 令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分 则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k +-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分∴。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）英语2016年3月第一卷（选择题，共85分）第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

听力录音部分结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What are the speakers going to do?A. Pay for the taxi.B. Drink water.C. Sing songs.2. What is the man looking for now?A. His own iPad.B. His wife’s mobil e phone.C. His mobile phone.3. When does the first flight arrive in Beijing?A. 5:38 am.B. 7:58 am.C. 8:00 am.4. What is the woman probably?A. A teacher.B. A job adviser.C. An officer.5. What is Mike doing now?A. He is meeting friends.B. He is coming here.C. Not clear.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题, 每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第六段对话，回答第6和第7两个小题。

江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则A B I = ▲ ． 2． 设复数3i1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲ ． 4． 函数()22()log 6f x x =-的定义域为 ▲ ．5．函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．6． 右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲ ．7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．8． 若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．9． 曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲ ．10．已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 ▲ ．11．已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为 ▲ ．12．设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与434a 的等差中项为5a ，则6S = ▲ ．13．若不等式22()2cx y x x y --≤对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 ▲ ．（第6题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c ，3A C p +=． （1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若b =ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．D（第16题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分） 已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一 点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点. 求证：直线PC 经过点E .B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α 是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知两个动点P ，Q 分别在两条直线1:l y x =和2:l y x =-上运动，且它们的横坐标分别为角q 的正弦，余弦，[0,π]q ∈.记OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r，求动点M 的轨迹的普通方程.D ．选修4—5：不等式选讲已知0,0a b >>，证明：222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥.（第21-A 题）C【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,,,A B C D E 五种商品有购买意向.已知该网民购买,A B 两种商品的概率均为34，购买,C D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.23．（本小题满分10分）设n 个正数12,,,n a a a L 满足12n a a a L ≤≤≤（*N n ∈且3n ≥）． （1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n （*N n ∈且3n ≥）个正数12,,,n a a a L 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．江苏省常州市教育学会高三学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{}0,1 23．8 4．(),-∞+∞U 5．2p 6．127 7．9108．1 9．202x y p --= 10．[)0,2 11 12．63413．4 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为A B C p ++=，3A C p +=，所以2B C =． ………………………2分又由正弦定理，得sin sin b c B C =，sin sin b Bc C=，2sin cos sin C C C =，化简得，cos C =………………………5分（2）因为()0,C p ∈，所以sin C ==．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====． ………………………8分 （3）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………10分因为A B C p ++=，所以sin sin()sin cos cos sin 1()3A B C B C B C +-=++== ………………………12分因为b c =， b =92c =．所以△ABC 的面积119sin 222S bc A ==⨯． ………………………14分 16．证明：（1）连结AC ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． ………………………2分 在△PAC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥PA ． ………………………4分 因为OM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以OM ∥平面PAD ． ………………………6分（2）连结PO ．因为O 是BD 的中点，PB =PD ， 所以PO ⊥BD ．又因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD I 平 面ABCD =BD ，PO ⊂平面PBD 所以PO ⊥平面ABCD ．从而PO ⊥CD ．……………………8分又因为CD ⊥PC ，PC PO P =I ,PC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ．因为OM ⊂平面PAC ，所以CD ⊥OM ． ………………………10分 因为PA ⊥PC ，OM ∥PA ，所以OM ⊥PC ． ………………………12分 又因为CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，CD PC C =I ,所以OM ⊥平面PCD ． ………………………14分 17．解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，()8,450x ∈． ………………………6分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分18． 解：（1）由题设，得11,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12,c a =⎧⎨=⎩，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………4分（2）令0m =，则3(1)2A ，，3(1)2B -，或者3(1)2A -，，3(1)2B ，．当3(1)2A ，，3(1)2B -，时，3(4)2P ，；当3(1)2A -，，3(1)2B ，时，3(4)2P -，，所以，满足题意的定直线2l 只能是4x =． ………………………6分 下面证明点P 恒在直线4x =上．设11()A x y ，，22()B x y ，，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为1y ，从而只要证明1(4)P y ，在直线BD 上． ………………………8分D由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(43)690m y my ++-=，2144(1)0m D =+>Q ，122643m y y m -∴+=+，122943y y m -=+．① ………………………10分 ∵212212122233()002255533341()222222DB DPy y my y y y y k k x my my -----=-=-=--+-- 121222+332y y my y my -=-， ………………………13分 ①式代入上式，得0DB DP k k -=， 所以 =DB DP k k ． ………………………15分 ∴点1(4)P y ，恒在直线BD 上，从而直线1l 、直线BD 与直线2:4l x =三线恒过同一点P ， 所以存在一条定直线2l ：4x =使得点P 恒在直线2l 上． ………………16分 19．解：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++． ………………………2分因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞U ． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ．(1)n a a n d =+-Q ，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数， 所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分20．解：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分 （2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立． ………………………5分1）当(0,1)x ∈时， 1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-+-<⨯-=≤， 故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-I （，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-⨯-=≥，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； ………………………13分ⅱ）若102b <<，则111b ->，所以当11,1x b∈-（）时， 221[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x--+-'==<， 故函数()y Q x =在11,1x b ∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≥； ………………15分 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞U ，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时， 12b =，从而实数b 的取值集合为1{}2． ………………………16分高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． ………………………2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角， 所以o 1452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分 同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． ………………………8分 又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E . ………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：由题意，1l ，2l 是方程2()0a f ab b l l l l-==-=-的两根． 因为11l =，所以1ab =．① ………………………2分又因为222l =M αα，所以2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b l l =⎧⎨=⎩ ………………………5分 所以221ab l ==． 因为12l l ≠，所以21l =-．从而1a b ==-． ………………………8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：设(,)M x y ，则sin cos ,sin cos ,x y q q q q =+⎧⎨=-⎩………………………2分 两式平方相加得222x y +=． ………………………5分又π),4x q =+π),4y q =-[0,π],q ∈所以x ⎡∈-⎣，y ⎡∈-⎣. ………………………8分所以动点M 轨迹的普通方程为222x y +=（,x y ⎡∈-⎣）．………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为0,0a b >>所以2230a b ab ab ++=>≥， ………………………4分22130ab a b ab ++>≥， ………………………8分 所以222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥. ………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,4,5i A i =，则：5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=,114223322133221223311()(1)(1)(1)4433244332334423P A C C =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=,……………2分 所以该网民至少购买4种商品的概率为 541111()()8324P A P A +=+=. 答：该网民至少购买4种商品的概率为1124. ………………………3分 （2）随机变量h 的可能取值为0,1,2,3,4,5， 332211(0)(1)(1)(1)(1)(1)44332288P h ==-⨯-⨯-⨯-⨯-=,11223322122331(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P C C h ==⨯-⨯-⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯-+1332211(1)(1)(1)(1)24433288⨯-⨯-⨯-⨯-=, 3322122331(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P h ==⨯⨯-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯-⨯-+11222233133221(1)(1)(1)(1)(1)(1)3344244332C C -⨯⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 112233221(1)(1)(1)44332C C +⨯-⨯⨯-⨯-=47288, 1114711(3)1(0,1,2,4,5)128828828838P P h h ==-==-----=97288, 41(4)()3P P A h ===, 51(5)()8P P A h ===. ………………………8分 所以：随机变量h 的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………10分23．解：（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123111222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ =0， 所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++++≥成立． ………………………4分 （2）归纳的不等式为：23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++L L ≥+（*N n ∈且3n ≥）．…5分 记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++L L +， 当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立；假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++L L ≥+． 则当1n k =+时，()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a ---+++++=+++++-++++L L + =111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-++++---+ …………………………7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+ =()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a a a a +++++++=≤， 所以10k F +≥， 所以当1n k =+，不等式成立． …………………………9分 综上所述，不等式23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++L L ≥+（*N n ∈且3n ≥）成立．…10分。

苏锡常镇、宿迁市2015～2016学年度高三教学情况调研(一)(十四)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＜3，x ∈R }，B ＝{x|x ＞1，x ∈R }，则A ∩B ＝____________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为____________．3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为__________．5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是__________．6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为______________．(第6题)(第7题)7. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积为____________． 8. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则数列{a n }的公差为__________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f(x)＝x 2＋4x(x ＞0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝____________．10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是____________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，0≤x ＜4，log 2（x －2）＋2，4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1＜4≤x 2≤6时，f(x 1)＝f(x 2)，则x 1f(x 2)的取值范围是____________．13. 已知函数f(x)＝2x －1＋a ，g(x)＝bf(1－x)，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a 的取值范围是____________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16.(本小题满分14分)如图，已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.17. (本小题满分14分)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k 为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 求N－M的最大值及相应的x的值．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．① 若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值；② 若直线l 的斜率为32，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．19. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x －2e x －k(x －2lnx)(k 为实常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1) 当k ＝1时，求函数f(x)的最小值；(2) 若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n＜52a n ＋1a n ，n ∈N *. (1) 若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和．若12S n ＜S n ＋1＜2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3) 若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．1. (1，3) 解析：A ∩B ＝{x|1＜x ＜3，x ∈R }．本题考查了集合的交集的概念．本题属于容易题．2. 5 解析：z ＝－3－4i ，则复数z 的模为5. 本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 320 解析：由题意知40n ＝18，则n ＝320.本题考查了频数和频率的概念及计算公式．本题属于容易题．4. (－2，4) 解析：本题考查双曲线的标准方程的基础知识与一元二次不等式的解法．本题属于容易题．5. 25解析：在周一至周五的五天中随机选择2天共有10种情况，选择的2天恰好为连续2天的情况共有4种，则所求的概率为25.本题考查用列举法求古典概型的概率．本题属于容易题．6. 6 解析：由题设可知，循环体执行3次，第一次x 值为4，第二次x 值为5，第三次x 值为6，符合题意．本题考查了算法语句的基本概念．本题属于容易题．7. 13 解析：四棱锥PAA 1C 1C 的体积为13×22×2＝13.本题考查四棱锥的体积求法，棱长与体积的关系．本题属于容易题．8. 2 解析：S 1＝1，S 2＝2＋d ，S 4＝4＋6d 成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d ，d 不为零，得d ＝2.本题考查了等比数列前n 项和公式，考查了方程的思想．本题属于容易题．9. －2 解析：设M(x 0，y 0)，可求得A ⎝⎛⎭⎫x 0＋y 02，x 0＋y 02，B(0，y 0)，MA →＝⎝⎛⎭⎫－x 0＋y 02，x 0－y 02，MB →＝(－x 0，0)，MA →·MB →＝x 20－x 0y 02，而M(x 0，y 0)在f(x)＝x 2＋4x上，则x 0y 0＝x 20＋4，x 20－x 0y 0＝－4，则MA →·MB →＝－2. 本题考查了向量数量积的坐标运算、直线垂直和交点求法．本题属于中等题．10. (2，＋∞) 解析：设钝角三角形三内角C ，B ，A 成等差数列，则2B ＝A ＋C.因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.设钝角三角形的三内角为60°－α，60°，60°＋α，则90°＜60°＋α＜120°，即30°＜α＜60°，设60°＋α对应a 边，60°－α对应b 边，由正弦定理，得a b ＝sin （60°＋α）sin （60°－α）＝sin60°cos α＋cos60°sin αsin60°cos α－cos60°sin α＝m(分子分母同时除以cos α≠0)，∴ tan α＝3（m －1）m ＋1.∵ 30°＜α＜60°，∴33＜tan α＜3，∴ m ＞2，故m 的取值范围为(2，＋∞)．本题考查了等差中项的概念，正弦定理以及和差角公式，弦切互化．本题属于中等题．11. 364解析：∵ 圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的距离公式知，所求的距离为364.本题考查了圆的标准方程，直线与圆，点到直线的距离公式．本题属于中等题．12. ⎣⎡⎦⎤3，25627 解析：函数f(x)的图象如图所示，因为存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1＜4≤x 2≤6，f(x 1)＝f(x 2)，所以1≤x 1≤3，故x 1f(x 2)＝x 1f(x 1)＝－x 31＋4x 21.令g(x 1)＝－x 31＋4x 21，x 1∈[1，3]，则g′(x 1)＝－3x 21＋8x 1.由g′(x 1)>0得x 1∈⎝⎛⎭⎫1，83，由g′(x 1)<0得x 1∈⎝⎛⎭⎫83，3，所以g(x 1)min ＝g(1)＝3，g(x 1)max ＝g ⎝⎛⎭⎫83＝25627.所以x 1f(x 2)的取值范围是⎣⎡⎦⎤3，25627.本题考查函数图象，以及导数在求最值中的运用．本题属于难题．13. (－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析：因为f(x)＝2x －1＋a ，所以g(x)＝bf(1－x)＝b(2－x ＋a)，由f(x)≥g(x)得，2x －1＋a ≥b(2－x ＋a)，所以22x ＋2a(1－b)2x －2b ≥0.令2x ＝t ，则t 2＋2a(1－b)t －2b ≥0.令h(t)＝t 2＋2a(1－b)t －2b ，因为f(x)≥g(x)的解的最小值为2，所以h(t)≥0的解的最小值为4，故⎩⎪⎨⎪⎧h （0）≤0，h （4）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ≤0，16＋8a （1－b ）－2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≥0，4a （1－b ）＝b －8， ① 当b ＝1时，显然不成立；② 当b ≠1时，4a ＝b －81－b ＝－1－71－b，因为b ≥0且b ≠1，所以4a ≤－8或4a ＞－1，即a ∈(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.本题主要考查指数函数、二次函数的最值与不等式等内容综合运用．本题属于难题．14. 2 解析：(解法1)因为实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，所以(x ＋2y)2＋4x 2y 2－8xy ＝4，即(x ＋2y)2＋4(xy －1)2＝8，所以(x ＋2y)2＝8－4(xy －1)2，所以当(xy －1)2＝0时，即xy ＝1时，x ＋2y 取得最大值，此时x＝2，y ＝22，所以xy＝2.(解法2)因为实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，所以(x －2y)2＋4x 2y 2＝4，令x －2y ＝2cos θ，xy ＝sin θ，则(x ＋2y)2＝(x －2y)2＋8xy ＝4cos 2θ＋8sin θ，所以(x ＋2y)2＝－4sin 2θ＋8sin θ＋4，所以当sin θ＝1时，(x ＋2y)2取得最大值，此时xy ＝1，x －2y ＝0，所以xy＝2.本题考查了代数式的变形，方程的综合运用．本题属于难题．15. 解：(1) 由题意知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos(2x ＋π3)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分)当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)单调递增，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )．(8分)(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3.(10分)当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值2；(12分)当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f(x)取得最小值－ 3.(14分)16. 证明：(1) 取PB 中点E ，连结EA ，EN ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，(3分)∴ EN ∥AM 且EN ＝AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) ∴ MN ∥AE.∵ MN ⊄ 平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴ MN ∥平面PAB.(7分)(2) 过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，∵ 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴ AH ⊥平面PMC.∵ CM ⊂平面PMC ，∴ AH ⊥CM.(10分) ∵ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥CM.(12分)∵ PA ∩AH ＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ， ∴ CM ⊥平面PAD.∵ AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥AD.(14分)17. 解：(1) 因为OA ＝x ，OB ＝y ，AB ＝y ＋1，由余弦定理，x 2＋y 2－2xycos120°＝(y ＋1)2，解得y ＝x 2－12－x，(3分)由x ＞0，y ＞0得1＜x ＜2.又x ＞y ，得x ＞x 2－12－x，解得1＜x ＜1＋32，(6分)所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(7分)(2) M ＝kOB ＝ky ，N ＝43k ·S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k(3x －y)＝k ⎝⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ，(8分) 设2－x ＝t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1，则N －M ＝k ⎣⎡⎦⎤3（2－t ）－（2－t ）2－1t＝k ⎣⎡⎦⎤10－⎝⎛⎭⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎫10－24t·3t ＝(10－43)k.(11分)当且仅当4t ＝3t 即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32，(13分) 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k.(14分)18. 解：(1) 由题意知1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2a ＝12，解得a 2＝4，b 2＝3.(2分)所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ① 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，化简得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 易知Δ＞0，(5分)所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以k AP ·k BP ＝y 1－32x 1－1·y 2－32x 2－1＝y 1－32my 1·y 2－32my 2＝1m 2·y 1y 2－32（y 1＋y 2）＋94y 1y 2＝－1m －34，(7分)所以t ＝k AB ·k AP ·k BP ＝－1m 2－34m ＝－⎝⎛⎭⎫1m ＋382＋964，(9分)所以当m ＝－83时，t 有最大值964.(10分)② 设直线l 的方程为y ＝32x ＋n ，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎨⎧y ＝32x ＋n ，x 24＋y 23＝1，得3x 2＋23nx ＋2n 2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n 2－6)＞0，即－6＜n ＜ 6.x 1＋x 2＝－23n3，x 1x 2＝2n 2－63，(12分)OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋n 2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋n 2＝74(x 21＋x 22)＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2 ＝74(x 1＋x 2)2－72x 1x 2＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2(14分) ＝74⎝⎛⎭⎫－233n 2－72·2n 2－63＋3n ⎝⎛⎭⎫－233n ＋2n 2 ＝7.(16分)19. 解：(1) 由函数f(x)＝e xx 2－(x －2lnx)(x ＞0)，可得f′(x)＝（x －2）（e x－x 2）x 3.(2分)因为当x ＞0时，e x ＞x 2.理由如下：要使x ＞0时，e x ＞x 2，只要x ＞2lnx ，设φ(x)＝x －2lnx ，φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，于是当0＜x ＜2时，φ′(x)＜0；当x ＞2时，φ′(x)＞0.即φ(x)＝x －2lnx 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln2＞0，即x ＞0时，x ＞2lnx ， 所以e x －x 2＞0.(5分)于是当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．(6分)所以f(x)在x ＝2处取得最小值f(2)＝e 24－2＋2ln2.(7分)(2) 因为f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e x x 2－k x， 当k ≤0时，e xx2－k ＞0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k ＞0.(8分)又f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e x x 2－k x， 令g(x)＝e xx 2，得g′(x)＝e x ·（x －2）x 3，易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则g(x)在x ＝2处取得极小值，得g(2)＝e 24，且g(4)＝e 416.(10分)于是可得y ＝k 与g(x)＝e x x 2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(12分)设y ＝k 与g(x)＝ex x2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，则有0＜x 1＜2＜x 2＜4，下面列表分析导函数f ′(x)及原函数f(x)：11在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(16分) 20. 解：(1) 由题意得12a n ＜a n ＋1＜2a n ，(2分)∴ 34＜x ＜3，x2＜4＜2x ，解得x ∈(2，3)．(4分) (2) 由题意，∵ 12a n ＜a n ＋1＜2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴ 12q n －1＜q n ＜2q n －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12＞0，q n －1（q －2）＜0，∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，2.(6分) ∵ 12S n ＜S n ＋1＜2S n ，而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意．(7分) 当q ≠1时，12·1－q n 1－q ＜1－qn ＋11－q ＜2·1－q n 1－q，∴ ① 当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）＞－1，q n （2q －1）＜1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）＞－1，q 1（2q －1）＜1，解得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1；(9分) ② 当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）＜－1，q n （2q －1）＞1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）＜－1，q 1（2q －1）＞1，无解．∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，1.(11分) (3) ∵ 12a n ＜a n ＋1＜2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，∴ 12[1＋(n －1)d]＜1＋nd ＜2[1＋(n －1)d]，n ＝1，2，…，k －1. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）＞－1，d （2－n ）＜1，∴ d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1.(13分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴ S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， ∴ d ＝240－2k k 2－k ，∴ 240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，解得k ∈(15，239)，k ∈N *，∴ k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.(16分)。

学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）2015-2015数学Ⅰ2016.370分。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计?A B1x?B?{x丨?{x丨x?3，，x?R}xR}A?，已知集合. 1.，则zii?3?4zz. 满足的模为，则复数2.已知为虚数单位，复数i n，，0.125的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为 3.一个容量为40n.的值为则22yx1??xOy已知方程中，则实数4.在平面直角坐标系表示双曲线，m??4m2m.的取值范围为天恰好为连续2为强化安全意识，某校模拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的5..天的概率是2x.6.执行如图所示的程序框图，输出的值为BBD?ABCABCD P的中点，则四棱锥，是棱的棱长为17.如图，正方体11111CCP?AA.的体积为11}S}{a{aSSSn成等比数列，则数列项和，若，是首项为1，公差不为零的等差数列，8.设数列为其前，nnn412.的公差为24x??x)f(y?xy)?0(xxOy MM的图像上的任意一点，点向直线9.在平面直角坐标系和中，设是函数过xMA?MB?BA.轴作垂线，垂足分别是，则，mm的取值范围是，则实数10.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为.220?x?5C:x?y?6xOy lOBA，的动直线与圆11.在平面直角坐标系相交于不同的两点中，已知过原点，lOBCA.恰为线段到直线若点的中点，则圆心的距离为2??4x，0?x?4?x，f(x)?x，x?R0?x?4?x?6f(x)?f(x)，则已知函数，当若存在时，12.?2211124?x?6，log(x?2)?2，?2xf(x).的取值范围是21．1?x a?(x)?2fx)xg((x)?x)?bf(1?x)fg(R?，ab的解的最小值的不等式，若关于，，其中13.已知函数a.的取值范围是为2，则x222244y?4xy?4x?xy?yx，yx?2. 取得最大值时，满足的值为14.若实数，则当y. 分6小题，共计90二、解答题：本大题共分）（本小题满分1415.??)x??3sin(2(x)?sin(x?2)f. 已知函数63f(x)的最小正周期和单调递增区间；（1）求函数??x][x??，)(fx的值2（. ）当时，试求的最值，并写出取得最值时自变量36分）（本小题满分1416.ABCD平面PA?ABCDABCDP?ADM的是的底面如图，已知四棱锥是平行四边形，,PCN. 是中点，的中点PAB∥平面MN）求证：；（1ADCM?PAD平面PAB?平面. ，求证（2）若14分）17.（本小题满分OC??1AB?OB120OA，OB，OC?OC，且，两两成，如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架kOB?OBOBkOA MM为正，且与现设计师在支架上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为（长成正比，比例系数.NNAOC△AOC△的面积成正比，比例与区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为；在常数），且k43x?OAy?OB.，系数为.设y xx 1关于）求的函数解析式，并写出的取值范围；（MN?x. ）求2（的最大值及相应的的值分）18.（本小题满分162213yx xOy)0b??1(a?C:?)1，P(.过点，离心率为在平面直角坐标系中，已知椭圆2222baC的方程；（1）求椭圆Cl BA.2）设直线，与椭圆交于两点（tt ClABP△三条边所在直线的斜率的乘积为①若直线过椭圆的最大值；的右焦点，记，求322OB?OAl是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由，试探究. ②若直线的斜率为219.（本小题满分16分）?2x?k(x?2lnx)(k为实常数，e?2.x(fx)?71828 e是自然对数的底数). 设函数k?1f(x)的最小值；1）当时，求函数（k)4，(0 )f(x的取值范围）若函数2. 内存在三个极值点，求在区间（20.（本小题满分16分）5*22Nn?}a{aaa?a?. 满足1已知首项为的正项数列，nn1n?n?1n23?aa?xa?4x的取值范围；（1，，求，）若4322．1qq SS?2S?}}aS{{an为数列若，求）设数列前的取值范围；是公比为的等比数列，项的和.（2nnn nn?1n2kkk?a?3，a，a（） ，，，，aaa取最小值时相应数（3）若，求正整数的最小值，以及120 成等差数列，且k2211k a，a， ，a的公差. 列k12数学Ⅱ（附加题）. 20分四小题中只能选做两题，每小题10分，共计，【选做题】在AB，C，D21. ：几何证明选讲1选修4—A.2?BC3DCBC?OCAD?DEAOO EABDB，两点，，且于，直线，如图，，与圆相切于点垂足为，直线交圆O的直径求圆.B.选修4—2：矩阵与变换1??10??0???M?NMNxsiny?，在矩阵，试求曲线. 变换下得到的曲线方程设2??02????10??：坐标系与参数方程C.选修4—41?,tx?3??2?xOy)为参数(tOlx轴的正半轴为极轴建立的参数方程为在平面直角坐标系为极点，中，直线，以原点?3?t?y?2???sin2?3lC PPP的直角到圆心.极坐标系，圆设C的极坐标方程为为直线的距离最小时，求点上一动点，当. 坐标：不等式选讲4—5D.选修(x)?3x?6g(xf)?14?xf(x)?g(x)?aax的取值范围，，若存在实数成立，求实数使已知函数.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）ABCD?ABCDAA?AB?2AD?2EABF为中点，如图，在长方体，中，为11111DEDF?2FE.上的一点，11．DFC?DEC；平面（1）证明：平面1A?DF?C的大小. 2）求二面角（23.（本小题满分10分）在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示.3:4:5?若存在，（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为试求出是第几行，若不存在，请说明理由；n?r?3rn.，为正整数，且（2）已知rr?1r?2r?3CCCC不能构成等差数列，，.，求证：任何四个相邻的组合数nnnn。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）英语2016年3月第一卷（选择题，共85分）第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

听力录音部分结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What are the speakers going to do?A. Pay for the taxi.B. Drink water.C. Sing songs.2. What is the man looking for now?A. His own iPad.B. His wife’s mobil e phone.C. His mobile phone.3. When does the first flight arrive in Beijing?A. 5:38 am.B. 7:58 am.C. 8:00 am.4. What is the woman probably?A. A teacher.B. A job adviser.C. An officer.5. What is Mike doing now?A. He is meeting friends.B. He is coming here.C. Not clear.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题, 每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第六段对话，回答第6和第7两个小题。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）生物2016.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1～5页，第Ⅱ卷6～10页。

满分共120分，考试时间为100分钟。

注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必在答题卡上写清自己的姓名、准考证号（或考试号），并用2B铅笔涂写在答题卡上。

2．答第Ⅰ卷时，在答题卡的对应题号后，用2B铅笔把正确答案的字母涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

答第Ⅱ卷时，答案要填写在答题卡的对应题号后的指定位置。

3．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题55分）一、单项选择题：本部分包括20题，每题2分，共计40分。

每题只有一个选项．．．．．．最符合题意。

1．下列关于细胞内有机物的叙述中，正确的是A．蛋白质分子只有在细胞内才能发挥功能B．核糖通过氧化分解为细胞的生命活动提供主要能量C．脂肪分子中含氧比例小于糖类，是细胞内良好的储能物质D．DNA空间结构为双螺旋结构，是一切生物的遗传物质2. 下列关于大肠杆菌的叙述中，正确的是A．基因全部分布于拟核中B．含有与有氧呼吸有关的酶C．通过无丝分裂的方式增殖D．可以作为目的基因的运载体3．下列有关细胞核结构和功能的叙述中，正确的是A．细胞核的某些结构在细胞分裂过程中会周期性消失和出现B．胚胎干细胞的细胞核比正常体细胞的核小C．核膜与细胞器膜在结构上没有直接联系D．细胞核与细胞质之间进行物质交换都是通过核孔实现的4.下列关于胚胎工程理论及应用的叙述中，错误．．的是A．在动物的饲料中添加一定量的促性腺激素不能达到超数排卵B．理论上胚胎干细胞能被诱导分化为机体内所有的细胞C．胚胎分割若在囊胚期，内细胞团需均等分割，滋养层则不必D．移植的胚胎只能来自体内受精或者体外受精直接产生的胚胎5. 下列有关细胞呼吸的叙述中，错误．．的是A．在无氧条件下，酵母菌有氧呼吸第二阶段不能正常进行B．细胞呼吸释放的能量大部分用于合成ATPC．无氧呼吸产物的不同是由于参与反应的酶不同D．种子晒干可降低细胞呼吸的强度，从而有利于种子贮藏6. 下列有关绿叶中色素的叙述中，错误．．的是A. 试管中的叶绿素溶液在透射光下呈红色B. 胡萝卜素和叶黄素的吸收光谱主要在蓝紫光区域C. 无土栽培青菜幼苗时，营养液中缺少Mg将导致叶片变黄D. 色素分离实验中，滤纸条上不同色素带的宽度一般可以表示色素的含量7. 下列有关细胞癌变的叙述中，错误．．的是A. 细胞癌变是原癌基因与抑癌基因的变异逐渐积累的结果B. 致癌病毒能够将其携带的癌基因整合到人的基因组中从而诱发细胞癌变C. 癌细胞的浸润性和扩散性是由于细胞膜上的糖蛋白增加所致D. 癌细胞中特定的mRNA或蛋白质可用于肿瘤的研究和诊断8. 卵细胞质中贮存许多mRNA，科学家为探究mRNA的作用与受精的关系，进行了如下实验。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ． 8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ． （第7题）9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p，则12S S 的值为 ▲ ．11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，C B 1A 1PDCBA求证：AP 平面ACD．1某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C C 的方程； （2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅱ（附加题） 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14．1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C ==．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c ，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =b ，∴a b ==． …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分 （2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴14BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，． …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分 当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQc a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n n b b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分 当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln22b -≥． …………3分 （2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()exx x G x -'=， 令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分 当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x m f x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分 =3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 ∴X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分 则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三二模数学试卷2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，…，nx 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中x =11ni i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =U ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将开n ←x ←输Nn ≤Ycm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ． 5．若双曲线221x my +=过点()22-，则该双曲线的虚轴长为▲ ． 6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ． 9．若直线340x y m +-=与圆222440xy x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x xx=+，若1(1)(log3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若19m S-=-，0mS=，其中3m >，且*m ∈N ，则na =▲ ． 13．已知函数2()f x x xa=-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r≥对任意实数a b c d，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若3c =△ABC 的面积15S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，12AA =，（第C B 1A 1PD CBAD是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．17．（本小题满分14分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a b x =-（a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C 6C 的方程； （2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F的位置关系，并说明理由﹒19．（本小题满分16分）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nnnab = ()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}nb 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}nc 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3nb ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()exf x a x bx=⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=L 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 —1：几何证明选讲 已知△ABC 内接于O e ，BE 是O e 的直径，AD是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A ，B ，C ，D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，DEOBCA（第21-A题）B．选修4—2：矩阵与变换已知变换T把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T对应的矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(12)M，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos=﹒若直线l与圆C相交于A B，两点，求MA MB Cρθ⋅的值．D．选修4—5：不等式选讲设x为实数，求证：()()2242≤﹒++++131x x x x【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12na a a L ，，，满足120na a a +++=L ，且12||||||1na a a +++L ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22nb b b n+++-L ≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2U 7．1 8．17- 9． [010]， 10．32．()()0,13,+∞U 12．312n - 13．(1,5)- 14．51二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）∵∥m n，∴cos (4)cos c B a b C =-， (2)分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-， 化简，得sin()4sin cos B C A C+=﹒ …………4分∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分 （2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴2115sin 1cos 116C C =--．∵115sin 2S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分∵3c =22132a b ab =+-， ∴224a b +=，②…………12分 由①②，得42440a a -+=，从而22a=，2a =±（舍负），所以2b ，∴2a b =．…………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C是矩形，∴O是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥．…………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC，∴CD ⊥平面11AA B B﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA，∴CD AP⊥． …………9分∵12BB BA =，11BB AA = ，114BP BB =， ∴12BPAD BAAA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP=90︒，∴1AP A D⊥．…………12分又∵1CD A D D=I ，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD∴AP ⊥平面1ACD ．…………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由20601800a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得9035a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，．…………2分故1260,020,1()9035,20180,0,180x x q x x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅， 由（1）得126000020,1()90003005201800180xx x f x x x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()90003005f x x x x-＝()90005f x x'-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b +=，即0ax by ab +-=﹒由题设，得22ab aba b=+，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵6c e a ==22223a b a -=，即223ab =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+， 由222211x y ab y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k--=，所以，22211b k a-== ， ∵点P在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令x =，得22b c y a c=+，所以点22(0,)+b c Q a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+u u u r，212=(,)+b c FQ c a cu u u r ， …………13分从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++u u u r u u u r22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=u u u r u u u r﹒ …………15分所以点1F 在以PQ为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n SS λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13nnn SS λ=+，从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n SS λ++=+中，令1n =，可得12123aa λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅，n *∈N﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323nn na a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}nb 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=．…………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n nn n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯--11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}nc 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列，13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0nc =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n nc λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n nb λλλλ--=⨯---． 若3λ>时， 103λλ->-，1nn bb +<，n *∈N ，[1,)nb ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1nn bb +>，n *∈N ，且0nb>．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1nn b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3nb ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤．…………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分 20．解：（1）当1a =-时，2()exf x x bx=-+-，∴()e2xf x x b'=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R恒成立﹒ …………1分由e20xx b -+-≤，得e2xb x+≥-，令()e2xF x x=+-，则()e2xF x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-， 所以2ln 22b -≥．…………3分（2）当0b =时，2()e xf x a x =+，由题意2e 0xa x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x xG x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e2xf x a x x=+-，()e22xf x a x '=+-，假设存在，则有0()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex mx m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e e x m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒ 两边同除以em，得2e 1e t t t-=，即2e e 1t t t =-， …………12分令2()e e 1t tg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt tg t '=-+=--， 令2()e 12t th t =--，则22111()e (e 1)0222t t h t '=-=->， ∴()h t 在(0)+∞，上单调递增， 又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立，∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ． ∵BE是Oe 的直径，∴90BAE ∠=︒． (2)分 ∴BAE ADC∠=∠．…………4分 又∵BEA ACD ∠=∠， ∴△BEA∽△ACD． …………7分∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD⋅=⋅． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩.…………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ．…………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：直线l 的参数方程为112(32x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)， …………2分 圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得22(31)10t t +--=， …………6分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅．…………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222xx x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++…………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，…………8分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ，22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分X的分布列为………10分 23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤， ∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当12k a aa +++=L ，且12||||||1ka a a +++L ≤时，有1211||22k b b b k+++-L ≤．…………3分则当1n k =+时，由1210kk a a aa +++++=L ，且121||||||1k a a a++++L ≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++L L ≤≤，∴11||2k a +≤，…………5分又∵1211()0k k k a aa a a -++++++=L ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++L L ≤≤，∴X 0123P8125627642712813256由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-L ≤， …………7分 ∴1121121|||1k k kk k a a b b b bb b b k k ++-++++=++++++L L1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++L -)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-，即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B = ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高〔单位：cm 〕，得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ．5．假设双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，假设输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．〔第7题〕8．假设1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．假设直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 10．设棱长为a 的正方体的体积和外表积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，假设123=V V ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，假设1(1)(log 3)0af f +>〔0a >且1a ≠〕，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d 〔d 为奇数，且1d >〕的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，假设存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，假设不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．〔1〕求cos C 的值；〔2〕假设c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．〔本小题总分值14分〕在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．〔1〕求证：1BC ∥平面1ACD ； 〔2〕假设点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ． C B 1A 1PDCBA某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x 〔单位：元，0x >〕时，销售量()q x 〔单位：百台〕与x 的关系满足：假设x 不超过20，则1260()1q x x =+；假设x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数〕．〔1〕求函数()q x 的表达式；〔2〕当x 为多少时，总利润〔单位：元〕取得最大值，并求出该最大值．18．〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒〔1〕假设椭圆C C 的方程； 〔2〕假设过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒ 〔1〕假设3λ=，求数列{}n b 的通项公式； 〔2〕假设1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； 〔3〕假设对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．〔本小题总分值16分〕已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-〔a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数〕，其导函数为()y f x '=．〔1〕设1a =-，假设函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； 〔2〕设0b =，假设函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；〔3〕设2b =，且0a ≠，点()m n ，〔m ，n ∈R 〕是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x 〔0x m ≠〕，使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学Ⅱ〔附加题〕命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．〔第21-A 题〕C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒假设直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，假设有3次摸到红球即停止．〔1〕求恰好摸4次停止的概率；〔2〕记4次之内〔含4次〕摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．〔本小题总分值10分〕设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10．3211．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：〔1〕∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分〔2〕∵()0,C ∈，1cos 4C =，∴sin C ==．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =，∴a b =． …………14分 16．证明：〔1〕连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分 〔2〕∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分 17．解：〔1〕当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分〔2〕设总利润()()f x x q x =⋅，由〔1〕得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分〔1〕∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 〔2〕点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，〔*〕 …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程〔*〕 ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 〔1〕当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n n b b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 〔2〕当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 〔3〕在〔2〕中，假设1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由〔1〕和〔2〕可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 假设3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分 假设01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分 假设1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 假设13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：〔1〕当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分 〔2〕当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 〔3〕2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……〔*〕﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分 令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即〔*〕式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x 〔0x m ≠〕，使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学Ⅱ〔附加题〕 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：〔1〕设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 〔2〕由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 X 的分布列为…………10分23．证明：〔1〕当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 〔2〕假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分 则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k +-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤- ∴111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由〔1〕和〔2〕可知，结论成立． …………10分。

2014—2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)物 理 2015．3注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项1．本试卷包含选择题和非选择题两部分．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为100分钟，满分值为120分．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号(考试号)用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔将对应的数字标号涂黑．3．答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．一、单项选择题：本大题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有—个选项符合题意．1．两根相互靠近的长直导线1、2中通有相同的电流，相互作用力为F ．若在两根导线所在空间内加一匀强磁场后，导线2所受安培力的合力恰好为零．则所加磁场的方向是A ．垂直纸面向里B ．垂直纸面向外C ．垂直导线向右D ．每直导线向左2．如图所示为空间站中模拟地球上重力的装置．环形实验装置的外侧壁相当于“地板”．让环形实验装置绕O 点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g ，装置的外半径为R )A ．R gB ．gR C ．2R g D ．g R 2 3．如图所示，边长为a 的导线框abcd 处于磁感应强度为B 0的匀强磁场中，bc 边与磁场右边界重合．现发生以下两个过程：一是仅让线框以垂直于边界的速度移匀速向右运动；二是仅使磁感应强度随时间均匀变化．若导线框在上述两个过程中产生的感应电流大小相等，则磁感应强度随时间的变化率为A ．a vB 02 B ．a v B 0C ．av B 20 D ．a v B 04 4．已知月球半径为R ，飞船在距月球表面高度为R 的圆轨道上飞行，周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法正确的是A ．月球第一宇宙速度为T R π4B ．月球表面重力加速度为R T228π C ．月球密度为23GT π D ．月球质量为23232GTR π 5．汽车从静止开始先做匀加速直线运动，然后做匀速运动．汽车所受阻力恒定，下列汽车功率P 与时间t 的关系图像中，能描述上述过程的是二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选的得0分：6．如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体．物体在A 处时，弹簧处于原长状态．现用手托住物体使它从A 处缓慢下降，到达B 处时，手和物体自然分开．此过程中，物体克服手的支持力所做的功为W ．不考虑空气阻力．关于此过程，下列说法正确的有A ．物体重力势能减小量一定大于WB ．弹簧弹性势能增加量一定小于WC．物体与弹簧组成的系统机械能增加量为WD．若将物体从A处由静止释放，则物体到达B处时的动能为W7．图中理想变压器的原、副线圈匝数之比为2：1，电阻R1=R2=10Ω，电表A、V均为理想交流电表．若R1两端电压u1=102sinl00πt(V)，则下列说法正确的有A．电压表示数为14.14VB．电流表的示数为0.5 AC．R l消耗的功率为20WD．原线圈输入交流电频率为50Hz8．如图所示，从同一竖直线上不同高度A、B两点处，分别以速率v 1、v2同向水平抛出两个小球，P为它们运动轨迹的交点．则下列说法正确的有A．两球在P点一定具有相同的速率B．若同时抛出，两球不可能在P点相碰C．若同时抛出，落地前两球竖直方向的距离逐渐变大D．若同时抛出，落地前两球之间的距离逐渐变大9．沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标点O、x l、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点附近由静止释放，运动到A点处的动能为E k，仅考虑电场力作用．则A．从O点到C点，电势先升高后降低B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动C．粒子在AB段电势能变化量大于BC段的D．粒子运动到C点时动能小于3E k三、简答题；本题分必做题(第10、11题)和选做题(第12题)两部分，共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．【必做题】10．(8分)在测量某电源电动势和内电阻的实验中：(1) 图1是实验中得到的U—I图像，由此可得该电源电动势和内电阻的测量值分别是V和Ω；(以上结果均保留两位有效数字)(2) 某同学在完成上述实验之后，又进行了下述探究实验．他将相同器材分别按图2和图3所示电路进行连接，在每次保持电压表(可视为理想电表)示数相同的情形下，读出电流表的示数分别为和I1和I2．调节滑动变阻器R，测得多组数据，得到I1与I2的关系为I1=kI2 (k为已知)．则电流表与电源的内阻之比为．11．(10分)某研究性学习小组用图示装置来测定当地重力加速度，主要操作如下：①安装实验器材，调节试管夹(小铁球)、光电门和纸杯在同一竖直线上；②打开试管夹，由静止释放小铁球，用光电计时器记录小铁球在两个光电门间的运动时间t，并用刻度尺(图上未画出)测量出两个光电门之间的高度h，计算出小铁球通过两光电门间的平均速度移；③保持光电门1的位置不变，改变光电门2的位置，重复②的操作．测出多组(h，t)，计算出对应的平均速度v；④画出v-t图像请根据实验，回答如下问题：(1)设小铁球到达光电门1时的速度为v0，当地的重力加速度为g．则小铁球通过两光电门间平均速度v 的表达式为．(用v0、g和t表示)(2)(3)根据v一t图像，可以求得当地重力加速度g= m/s2，试管夹到光电门1的距离约为cm．(以上结果均保留两位有效数字)12．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若三题都做，则按A、B两题评分．A．(选修模块3-3)(12分)(1)下列说法中正确的是A．在较暗的房间里，看到透过窗户的“阳光柱”里粉尘的运动不是布朗运动B．随着分子间距离增大，分子间作用力减小，分子势能也减小C．“第一类永动机”不可能制成，是因为它违反了能量守恒定律D．一定量理想气体发生绝热膨胀时，其内能不变(2)如图所示是一定质量的理想气体沿直线ABC发生状态变化的p—V图像．已知A→B的过程中，理想气体内能变化量为250J，吸收的热量为500J，则由B→C的过程中，气体温度．(选填“升高”或“降低”)，放出热量J．(3)在latm、0℃下，1mol理想气体的体积均为22.4L．若题(2)中气体在C时的温度为27℃，求该气体的分子数(结果取两位有效数字)．阿伏伽德罗常数取6.0× 1023mol-1．B．(选修模块3-4)(12分)(1)下列说法中正确的是A．光速不变原理指出光在真空中传播速度在不同惯性参考系中都是相同的B．变化的电场一定产生变化的磁场，变化的磁场一定产生变化的电场C．在光的双缝干涉实验中，若仅将入射光由红光改为绿光，则干涉条纹间距变宽D．声源与观察者相对靠近时，观察者所接收的频率大于声源振动的频率(2)如图所示，实线是一列简谐横波在t时刻的波形图，虚线是在t时刻后△t=0.2s时刻的波形图．已知△t <T．若该简谐波的波速为5m/s，则质点M在t时刻的振动方向为，质点M在位时间内通过的路程为m．(3)如图所示，一艘赛艇停在平静的水面上，赛艇前部上端有一标记P ，在其正前方A 处有一浮标．潜水员从P 前方S =4m 处开始下潜，当下潜至深度为H =27m 的B 处时，才能看到赛艇尾端后方水面上的景物，且看到P 刚好被浮标挡住．测得PA 、BA 与竖直方向的夹角分别为530和370．忽略赛艇吃水深度，求赛艇的长度L ．sin530=0.8，cos530=0.6．C ．(选修模块3-5)(12分)(1)在光电效应实验中，用同一种单色光，先后照射锌和银的表面，都能发生光电效应现象．对于这两个过程，下列四个物理量中，一定不同的是A ．单位时间内逸出的光电子数B ．反向截止电压C ．饱和光电流D ．光电子的最大初动能(2)电子俘获是指原子核俘获一个核外轨道电子，使核内一个质子转变为一个中子．一种理论认为地热是镍58(5828Ni)在地球内部的高温高压环境下发生电子俘获核反应生成钴57(Co)时产生的．则镍58电子俘获的核反应方程为 ：若该核反应中释放出的能量与一个频率为ν的光子能量相等，已知真空中光速和普朗克常量分别是c 和h ，则该核反应中质量亏损△m 为 ．(3)如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 均可视为质点，质量均为m ，Q 与轻质弹簧相连并处于静止状态，P 以初速度移向Q 运动并与弹簧发生作用．求整个过程中弹簧的最大弹性势能．四、计算题：本题共3小题，计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只有最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．13．(15分)如图是某学习小组在空旷的场地上做“摇绳发电实验”的示意图．他们将一铜芯线像甩跳绳一样匀速摇动，铜芯线的两端分别通过细铜线与灵敏交流电流表相连．摇绳的两位同学的连线与所在处的地磁场(可视为匀强磁场)垂直．摇动时，铜芯线所围成半圆周的面积S =2m 2，转动角速度ω=102rad/s ，用电表测得电路中电流I =40µA ，电路总电阻R =10Ω，取2=2.25．(1)求该处地磁场的磁感应强度B ；(2)从铜芯线所在平面与该处地磁场平行开始计时，求其转过四分之一周的过程中，通过电流表的电量q ；(3)求铜芯线转动一周的过程中，电路产生的焦耳热Q ．14．(16分)如图所示为仓储公司常采用的“自动化”货物装卸装置，两个相互垂直的斜面固定在地面上，货箱A(含货物)和配重B通过与斜面平行的轻绳跨过光滑滑轮相连．A装载货物后从h=8.0 m高处由静止释放，运动到底端时，A和B同时被锁定，卸货后解除锁定，A在B的牵引下被拉回原高度处，再次被锁定．已知θ=530，B的质量M为1.0×103 kg，A、B与斜面间的动摩擦因数均为µ=0.5，滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，g取10 rn/s2，sin530=0.8，cos530=0.6．(1)为使A由静止释放后能沿斜面下滑，其质量m需要满足什么条件?(2)若A的质量m=4.0×103kg，求它到达底端时的速度v；(3)为了保证能被安全锁定，A到达底端的速率不能大于12 m/s．请通过计算判断：当A的质量m不断增加时，该装置能否被安全锁定．15．(16分)如图1所示，在xoy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1；第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的匀强磁场B，E2=2.5N/C，磁场B随时间t周期性变化的规律如图2所示，B0=0.5T，垂直纸面向外为磁场正方向．一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点(0.6m，0.8m)处以速度v0=3m/s沿x轴负方向入射，恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域．己知：m=5×10-5kg，q=2×10-4C，t=0时液滴恰好通过O点，g取10m/s2．(1)求电场强度E1和液滴到达O点时速度v的大小；(2)液滴从P点开始运动到第二次经过x轴所需的时间；(3)若从某时刻起磁场突然消失，发现液滴恰好以与y轴正方向成300角的方向穿过y轴后进入x>0的区域，试确定液滴穿过y轴时的位置．。

苏、锡、常、镇四市2015届高三模拟测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上； 1、 已知是虚数单位，复数31iz i+=+对应的点在第＿＿＿象限。

2、 设全集U R =，集合{}13A x |x =-≤≤，集合{}1B x |x =>，则U AC B =＿＿＿。

3、 已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为＿＿＿。

4、 “3x >”是“5x >”的＿＿＿条件。

（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。

5、 若双曲线()2210y x a a-=>的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线方程为＿＿＿。

6、 根据右图所示的流程图，输出的结果T 为。

7、 在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为＿＿＿。

8、 在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为＿＿＿。

9、 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有221cos αcos β+=。

类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有＿＿＿。

10、已知圆C ：()()()2210x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q两点，若90PCQ ︒∠=，则实数a =＿＿＿。

11、分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为＿＿＿。

12、已知向量a ，b 满足2a =，1b =，且对一切实数x ，a xb a b +≥+恒成立，则a 与b 的夹角大小为＿＿＿。

绝密★启用前2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试卷（带解析）xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x |x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，∁U M =________．2．若复数z 满足z +i =2+ii（i 为虚数单位），则|z |=______________．3．函数f (x )=1ln (4x −3)的定义域为______________．4．下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为_________．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 3，则该正四棱锥的体积为____________．7．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为_______．8．在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线x 2a−y 23=1的右焦点，则双曲线的离心率为______________．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3,S 9,S 6成等差数列，且a 2+a 5=4，则a 8的值为______________．10．在平面直角坐标系x O y 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2+y 2=5交于A ,B 两点，其中A 点在第一象限，且B M =2M A ，则直线l 的方程为______________．11．在△A B C 中，已知A B =1,A C =2,∠A =60∘，若点P 满足A P =A B +λA C ，且B P ⋅CP =1，则实数λ的值为______________．12．已知sin α=3sin (α+π6)，则tan (α+π12)=______________．13．若函数f (x )={12x−1,x <1ln xx 2,x ≥1，则函数y =|f (x )|−18的零点个数为______________．14．若正数x ,y 满足15x −y =22，则x 3+y 3−x 2−y 2的最小值为______________．二、解答题15．在△A B C 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边．若a cos B =3,b cos A =1，且A −B =π6．（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三棱柱A B C−A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱A B上一点，且O E∥平面B CC1B1．（1）求证：E是A B中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥B C．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门B A D C（如图）．设计要求彩门的面积为S（单位：m2），高为 （单位：m）（S, 为常数）．彩门的下底B C固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f(α)；（2）问当α为何值l最小，并求最小值．18．在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A.（1）求该椭圆的方程；（2）过点D(2,−2)作直线P Q交椭圆于两个不同点P,Q，求证：直线A P,A Q的斜率之和为定值.19．已知函数f(x)=(x+1)ln x−a x+a（a为正实数，且为常数）.（1）若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若不等式(x−1)f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.20．已知n为正整数，数列{a n}满足a n>0，4(n+1)a n2−na n+12=0，设数列{b n}满足b n=a n2t n.（1）求证：数列{nn}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N ∗，均存在m ∈N ∗，使得8a 12S n −a 14n 2=16b m成立，求满足条件的所有整数a 1的值. 21．已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 =[11]，并且矩阵M 对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4). （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的另一个特征值.22．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2−2 2ρcos (θ−π4)=2.（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23．如图，已知正四棱锥P −A B C D 中， P A =A B =2，点M ,N 分别在P A ,B D 上，且P M P A =B N B D =13.（1）求异面直线M N 与P C 所成角的大小； （2）求二面角N −P C −B 的余弦值.24．设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n =sinn π2tan n θ，其前n 项和为S n .（1）求证：当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ； （2）求证：对任何正整数n ，S 2n =12sin 2θ⋅[1+(−1)n +1tan 2n θ].参考答案1．{6,7}【解析】由M={x|x2−6x+5≤0,x∈Z}，得：M={1,2,3,4,5}，则C U M={6,7}，故答案为{6,7}. 2．10【解析】由z+i=2+ii ，得z=2+ii−i=1−3i，则|z|=12+3=10，故答案为10.3．(34,1)∪(1.+∞)【解析】要使函数有意义需满足{4x−3>0ln(4x−3)≠0，解得x∈(34,1)∪(1.+∞)，故答案为(34,1)∪(1.+∞).4．24【解析】由题意列出如下循环过程：i=2t=1t=1×2=2；i=3t=2t=2×3=6；i=4t=6t=4×6=24；i=5不满足循环条件i≤4，输出t的值24，故答案为24.5．300【解析】由题意得高二年级应抽取45−20−10=15人，则高二年级学生人数为1545×900= 300，故答案为300.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.6．43【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为3，底面对角线长为22，所以棱锥的高为(3)2−(2)2=1，所以棱锥的体积为13×2×2×1=43，故答案为43.7．13【解析】从{1,2,3,4}中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有1,2，2,4两种情况，所以根据古典概型公式得p=26=13，故答案为13.8．2【解析】抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，则在双曲线中c=2，a=22−3=1，则离心率为ca=2，故答案为2.9．2【解析】设等比数列{a n}的公比为q，首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3,S9,S6成等差数列；当q≠1时，因为S3,S9,S6成等差数列，所以2×a1(1−q9)1−q =a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，化简得2q 6−q 3−1=0，解得q 3=−12或q 3=1（舍去），则a 2+a 5=a 2(1+q 3)=4，得a 2=8，则a 8=a 2⋅q 6=8×14=2，故答案为2.点睛：本题考查等比数列的前n 项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论；设等比数列{a n }的公比为q 、首项是a 1，根据公比q 与1的关系进行分类，由等比数列的前n 项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简a 2+a 5=4可得a 2和q 3的值，故可求得a 8. 10．y =x −1【解析】由题意，设直线x =m y +1与圆x 2+y 2=5联立，可得(m 2+1)y 2+2m y −4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则y 1=−2y 2，y 1+y 2=−2m m +1，y 1y 2=−4m +1，联立解得m =1，则直线l 的方程为y =x −1，故答案为y =x −1. 11．1或−14【解析】△A B C 中，B =1,A C =2,∠A =60∘，点P 满足A P =A B +λA C ，∴A P −A B =λA C ，∴B P =λA C ，又C P =A P −A C =(A B +λA C )−A C =A B +(λ−1)A C ，B P ⋅C P =λA C ⋅[A B +(λ−1)A C ]=λA C ⋅A B +λ(λ−1)A C 2=λ×2×12+λ(λ−1)×4=1整理得4λ2−3λ−1=0，解得λ=−14或1，故答案为 1或−14.12．2 3−4【解析】由sin α=3sin (α+π6)，得sin (α+π12−π12)=3sin (α+π12+π12)， 即sin (α+π12)cosπ12−cos (α+π12)sinπ12=3[sin (α+π12)cosπ12+cos (α+π12)sin π12]整理得：sin (α+π12)cos π12=−2cos (α+π12)sin π12，即tan (α+π12)=−2tan π12， 而tanπ12=tan (π3−π4)=3−=2− 3，故tan (α+π12)=2 3−4，故答案为2 3−4.13．4【解析】 当x <1时，f (x )=12x −1，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且f (x )∈(−12,+∞)，故 f x =18由两个解；当x ≥1时，f (x )=ln xx2，f ′(x )=x −2x ln x x 4=1−2ln xx 3，故当1≤x < e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x > e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；f ( e )=12e，故f (x )∈[0,12e]，故 f x =18由两个解，综上可得函数y =|f (x )|−18的零点个数为4，故答案为4.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对x ≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x <1时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可. 14．1【解析】由正数x,y满足15x−y=22，可得y=15x−22>0，则x>2215，y>0，又x3+y3−x2−y2=（x3−x2）+（y3−y2），其中y3−y2+14y=y（y2−y+14）=y（y−12）2≥0，即y3−y2≥−14y，当且仅当y=12时取得等号，设f(x)=x3−x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2−2x=x(3x−2)，当x>32时，f′(x)>0，f(x)递增，2215<x<32时，f′(x)<0，f(x)递减．即有f(x)在x=32处取得极小值，也为最小值98，此时y=15×32−22=12，则x3+y3−x2−y2≥（x3−x2）+（y3−y2）≥98−14y=98−18=1．当且仅当x=32，y=12时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得x>2215，y>0，又x3+y3−x2−y2=x3−x2+y3−y2，求出y3−y2≥−14y，当且仅当y=12时取得等号，设f(x)=x3−x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.15．（1）c=4;（2）B=π6.【解析】试题分析：（1）由a cos B=3,b cos A=1，利用余弦定理化为：a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=2c，相加即可得出c；（2）运用正弦定理结合题意可得：tan Atan B=3，将其代入tan(A−B)中可解出tan B=33，结合B的范围可得结果.试题解析：（1）（法一）在△A B C中，由余弦定理，a cos B=3，则a a2+c2−b22a c=3，得a2+c2−b2=6c；①b cos A=1，则b b2+c2−a22b c=1，得b2+c2−a2=2c，②①+②得：2c2=8c，c=4.（法二）因为在△A B C中，A+B+C=π，则sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin(C−π)=sin C，由asin A =bsin B=csin C得：sin A=a sin Cc，sin B=b sin Cc，代入上式得：c=a cos B+b cos A=3+1=4.（2）由正弦定理得a cos Bb cos A =sin A cos Bsin B cos A=tan Atan B=3，又tan(A−B)=tan A−tan B1+tan A tan B =2tan B1+3tan2B=33，解得tan B =33，B ∈(0,π)，B =π6.16．（1）见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）连接B C 1，由O E ∥平面B CC 1B 1结合线面平行性质定理可得O E ∥B C 1，结合O 是AC 1中点及A EE B=A O O C 1=1，可得结果；（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.试题解析：（1）连接B C 1，因为O E ∥平面B CC 1B 1，O E ⊂平面A BC 1，平面B CC 1B 1 ∩平面A BC 1=B C 1，所以O E ∥B C 1. 因为侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1∩A 1C =O ，所以O 是AC 1中点， 所以A E E B =A OO C 1=1，E 是AB 中点.（2）因为侧面AA 1C 1C 是菱形，所以AC 1 ⊥A 1C ，又AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B =A 1，A 1C ,A 1B ⊂面A 1B C ，所以AC 1⊥面A 1B C ，因为B C ⊂平面A 1B C ，所以AC 1⊥B C ．17．（1）l 表示成关于α的函数为l =f (α)=S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)；（2）当α=π3时，l 有最小值为 3 +S.【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将l 表示成关于α的函数l =f (α)； （2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l 最小，并求最小值. 试题解析：（1）过D 作D H ⊥B C 于点H ，则∠D C B =α（0<α<π2）， D H = ，设A D =x ，则D C =sin α，C H =tan α，B C =x +2tan α，因为S=12(x +x +2tan α)⋅ ，则 x =S−tan α；则l =f (α)=2D C +A D =S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)； （2）f ′(α)= ⋅(−2cos αsin 2α−−1sin 2α)= ⋅1−2cos αsin 2α，令f ′(α)= ⋅1−2cos αsin α=0，得α=π3.所以， l min =f (π3)= 3 +S. 答：（1）l 表示成关于α的函数为l =f (α)=S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)； （2）当α=π3时，l 有最小值为 3 +S.18．（1）x 22+y 2=1.（2）直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.【解析】试题分析：（1）由题意可知2c =2，c =1，离心率e =ca ，求得a = 2，则b 2=a 2−c 2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线P Q 的方程：y + 2=k (x − 2)，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线A P ，A Q 的斜率，即可证明直线A P ，A Q 的率之和为定值.试题解析：（1）由题c =1 ， e =c a= 22 ，所以a = 2，b =1 .所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y + 2=k (x − 2)，代入x 2+2y 2=2， 得(1+2k 2)x 2−4 2(k 2+k )x +4k +28k +2=0， 设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则：Δ=−4(8k +1)>0，k <−18，x 1,2=4 2(k 2+k )± Δ2(1+2k )，所以x 1+x 2=4 2(k 2+k )1+2k ，x 1⋅x 2=4k 2+8k +21+2k ，又k A P +k A Q =1x 1−22x2−2=1 2) 2x 1− 2+2 2) 2x 2− 2=2k 2(x 1x 2xx − 2(x +x )+2=2k 24 2(k 2+k )1+2k 2−44k 2+8k +21+2k 2− 24 2(k 2+k )1+2k 2+2=1.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. 19．（1）0<a ⩽2.（2）0<a ⩽2.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即f ′(x )=ln x +x +1x−a ，因f (x )在(0,+∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，利用分离参数思想得a ⩽ln x +1x+1恒成立，即a ⩽ ln x +1x+1m i n即可；（2）分为0<a ⩽2和a >2两种情形，当0<a ⩽2时，结合（1）很容易得到结论，当a >2时，运用二次求导确定其单调性得解.试题解析：（1）f (x )=(x +1)ln x −a x +a ，f ′(x )=ln x +x +1x−a . 因f (x )在(0,+∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，a ⩽ln x +1x +1恒成立. 令g (x )=ln x +1x +1，则g ′(x )=x −1x ，因此，g min (x )=g (1)=2，即0<a ⩽2.（2）当0<a ⩽2时，由（1）知，当x ∈(0,+∞)时，f (x )单调递增. 又f (1)=0，当x ∈(0,1)，f (x )<0；当x ∈(1,+∞)时，f (x )>0. 故不等式(x −1)f (x )⩾0恒成立． 若a >2，f ′(x )=x ln x +(1−a )x +1x，设p (x )=x ln x +(1−a )x +1，令p ′(x )=ln x +2−a =0，则x =e a −2>1.当x ∈(1,e a −2)时，p ′(x )<0，p (x )单调递减，则p (x )<p (1)=2−a <0， 则f ′(x )=p (x )x<0，所以当x ∈(1,e a −2)时，f (x )单调递减，则当x ∈(1,e a −2)时，f (x )<f (1)=0，此时 x −1 f x <0，矛盾. 因此，0<a ⩽2. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a > (x )或a < (x )恒成立，即a > max (x )或a < min (x )即可，利用导数知识结合单调性求出 max (x )或 min (x )即得解. 20．（1）见解析;（2）t =4;（3）当a 1=2k ,k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m .【解析】试题分析：（1）将4(n +1)a n 2−na n +12=0经过移项、两边同时除以n n +1 可得a n +12n +1=4a n 2n ，故可得结论{n n}为等比数列；（2）由（1）得a n =a 12n −1 n ，代入得b n =a 124n −1n t n，由数列{b n }是等差数列易知2b 2=b 1+b 3，代入可解得t 1=4，t 2=12，将其进行检验得结果；（3）由（2）得b n =a 12n4，利用等差数列前n 项和公式代入8a 12S n −a 14n2=16b m ，解出m =na 124，经讨论当a 1=2k 时符合题意，当a 1=2k −1时不符合题意.试题解析：（1）由题意得4(n +1)a n 2=na n +12，因为数列{a n }各项均正，得a n+12n +1=4a n 2n ，所以a n +1 n+1=2a nn， 因此a n +1 n +1a n n=2，所以{ann}是以a 1为首项公比为2的等比数列. （2）由（1）得nn=a 1⋅2n −1，a n =a 12n −1 n ，b n =a n 2t n =a 124n −1n t n， 如果数列{b n }是等差数列，则2b 2=b 1+b 3， 得：2a 122⋅42−1t 2=a 1240t+a 123⋅43−1t 3，即16t 2=1t +48t 3，则t 2−16t +48=0，解得 t 1=4，t 2=12. 当t 1=4时，b n =a 12n 4，b n +1−b n =a 12(n +1)4−a 12n 4=a 124，数列{b n }是等差数列，符合题意；当t 2=12时，b n =a 12n4⋅3n，b 2+b 4=2a 124⋅3+4a 124⋅3=22a 124⋅3=11162a 12，2b 3=2⋅a 1234⋅3=a 1218，b 2+b 4≠2b 3，数列{b n }不是等差数列，t 2=12不符合题意；综上，如果数列{b n }是等差数列，t =4.（3）由（2）得b n =a 12n 4，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m， 则8a 144⋅n (n +1)2−a 14n2=16a 12m 4，所以m =na 124.当a 1=2k ，k ∈N *，此时m =4k 2n 4=k 2n ，对任意的n ∈N *，符合题意；当a 1=2k −1，k ∈N *，当n =1时，m =4k 2−4k +14=k 2+k +14. 不合题意.综上，当a 1=2k ,k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m. 21．(1)M =[6244].（2）矩阵M 的另一个特征值为2.【解析】试题分析：（1）先设矩阵M =[a bc d]，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 及矩阵M 对应的变换将点(−1,2)换成(−2,4)，得到关于a ，b ，c ，d 的方程组，即可求得矩阵M ；（2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)=(λ−6)(λ−4)−8，从而求得另一个特征值为2. 试题解析：设M =[a b c d ]，M [11]=8[11]=[a +b c +d ]，M [−12]=[−24]=[−a +2b −c +2d ]，{a +b =8 ，c +d =8 ，−a +2b =−2 ，−c +2d =4 ，解得{a =6 ，b =2 ，c =4 ，d =4 ，即M =[6244].（2）则令特征多项式f (λ)=|λ−6−2−4λ−4|=(λ−6)(λ−4)−8=0， 解得λ1=8 ，λ2=2.矩阵M 的另一个特征值为2. 22．（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x 2+y 2=4；因为ρ2−2 2ρcos (θ−π4)=2， 所以ρ2−2 2ρ(cos θcos π4+sin θsin π4)=2，所以x 2+y 2−2x −2y −2=0---5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x +y =1．化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1，即ρsin (θ+π4)= 22． ---10分【解析】略 23．（1）π6.; （2）5 3333.【解析】试题分析：（1）设A C ，B D 交于点O ，以O 为坐标原点，D A ，A B 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −x y z ，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示. 试题解析：（1）设A C ，B D 交于点O ，在正四棱锥P −A B C D 中，O P ⊥平面A B C D . 又P A =A B =2，所以O P = 2. 以O 为坐标原点，D A ，A B 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −x y z ，如图：则A (1,−1,0)，B (1,1,0)，C (−1,1,0)，D (−1,−1,0)，P (0,0, 2).故O M =O A +A M =O A +23A P =(13,−13,2 23)，O N =13O B =(13,13,0)， 所以M N =(0,23,−2 23)，P C =(−1,1,− 2)，cos <M N ,P C >=M N ⋅P C|M N | |P C |= 32，所以M N 与P C 所成角的大小为π6.（2）P C =(−1,1,− 2)，C B =(2,0,0) ，N C =(−43,23,0).设m =(x ,y ,z )是平面P C B 的一个法向量，则m ⋅P C =0,m ⋅C B =0， 可得{−x +y − 2z =0,x =0,令x =0，y = 2，z =1，即m =(0, 2,1)，设n =(x 1,y 1,z 1)是平面P C N 的一个法向量，则n ⋅P C =0，n ⋅CN =0，可得{−x 1+y 1− 2z 1=0,−2x 1+y 1=0, 令x 1=2，y 1=4，z 1= 2，即n =(2,4, 2)，cos <m ,n >=m ⋅n|m ||n |= 2 3×22=5 3333， 则二面角N −P C −B 的余弦值为5 3333.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为(0,π2]来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围. 24．（1）当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当n 为偶数时，易得sinn π2=0，当n 为奇数，即n =2k −1时，分为k =2m和k =2m −1两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明. 试题解析：（1）因为a n =sinn π2tan n θ.当n 为偶数时，设n =2k ，a n =a 2k =sin 2k π2tan 2k θ=sin k π⋅tan 2k θ=0，a n =0.当n 为奇数时，设n =2k −1，a n =a 2k −1=sin(2k −1)π2tan n θ=sin (k π−π2)⋅tan n θ.当k =2m 时，a n =a 2k −1=sin (2m π−π2)⋅tan n θ=sin (−π2)⋅tan n θ=−tan n θ， 此时n −12=2m −1 ，a n =a 2k −1=−tan n θ=(−1)2m −1tan n θ=(−1)n −12tan n θ.当k =2m −1时，a n =a 2k −1=sin (2m π−3π2)⋅tan n θ=sin (−3π2)⋅tan n θ=tan n θ， 此时n −12=2m −2， a n =a 2k −1=tan n θ=(−1)2m −2tan n θ=(−1)n −12tan n θ.综上，当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ.（2）当n =1时，由（1）得： S 2=a 1+a 2=tan θ，12sin 2θ[1+(−1)n +1tan 2n θ]=12sin 2θ(1+tan 2θ)=sin θ⋅cos θ⋅1cos 2θ=tan θ.故n =1时，命题成立假设n =k 时命题成立，即S 2k =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ].当n =k +1时，由（1）得：S 2(k +1)=S 2k +a 2k +1+a 2k +2=S 2k +a 2k +1 =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ]+(−1)k tan 2k +1θ =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ+(−1)k ⋅2sin 2θtan 2k +1θ]=1 2sin2θ⋅[1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ(−1tanθ+2sin2θtanθ)]=12sin2θ⋅[1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ(−cos2θsin+1sin)]=12sin2θ⋅(1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ)即当n=k+1时命题成立.综上所述，对正整数n命题成立.点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数n的等式中应用的基本步骤.。

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数 学 Ⅰ 试 题 2017.3一、填空题1、已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2650,Z M x x x x =-+∈≤，U C M = ．2、若复数z 满足2iz i i++=（i 为虚数单位），则z = ． 3、函数1()ln(43)f x x =-的定义域为 ．4、下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ．（第4题图）5、某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的 样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为 ．6、已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ． 7、从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 ．8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的右 焦点，则双曲线的离心率为 ．9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的 值为 ．10、在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ．11、在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=，若点P 满足AP AB AC λ=+，且1BP CP ⋅=，则实数λ的值为 ．12、已知sin 3sin()6παα=+，则tan()12πα+= ．13、若函数211,12()ln ,1xx f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，则函数1()8y f x =-的零点的个数为 ．14、若正数,x y 满足1522x y -=，则3322x y x y +--的最小值为 ．二、解答题15、在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．若cos 3,cos 1a B b A ==，且6A B π-=．（1）求边c 的长；（2）求角B 的大小．16、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1AC 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面11BCC B ． （1）求证：E 是AB 中点；（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．17、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）．设计要求彩门的面积为S （单位：2m ），高为h （单位：m ）（,S h 为常数）．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢 支架的长度和记为l ．（1）请将l 表示成关于α的函数()l f α=； （2）问当α为何值l 最小，并求最小值．18、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.19、已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.20、已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >，2214(1)0n n n a na ++-=，设数列{}n b 满足 2nn n a b t=.（1）求证：数列为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的N n *∈，均存在N m *∈，使得24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案2017.3一、填空题．1．{}6,7 23．()3,1 1.4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．245．3006．437．138．29．2 10．1y x =- 11．1或14-12．4 13．414．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）（法一）在△ABC 中，由余弦定理，cos 3a B =，则22232a c b a ac +-=，得2226a c b c +-=；① ……2分cos 1b A =，则22212b c a b bc+-=，得2222b c a c +-=，② ……4分①+②得：228c c =，4c =. ……7分 （法二）因为在△ABC 中，πA B C ++=，则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C +=+=-， ……2分 由sin sin sin a b c A B C ==得：sin sin a C A c =，sin sin b CB c=，代入上式得： ……4分 cos cos 314c a B b A =+=+=. ……7分（2）由正弦定理得cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B Ab A B A B===， ……10分又2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --===++，……12分解得tan B =π)(0,B ∈，π6B =. ……14分16．（1）连接1BC ，因为OE ∥平面11BCC B ，OE ⊂平面1ABC ，平面11BCC B I 平面11ABC BC =，所以OE ∥1BC . ……4分因为侧面11AA C C 是菱形，11AC AC O = ，所以O 是1AC 中点， ……5分 所以11AE AOEB OC ==，E 是AB 中点. ……7分 （2）因为侧面11AA C C 是菱形，所以1AC 1AC ⊥， ……9分又11AC A B ⊥，111AC A B A = ，11,AC A B ⊂面1A BC ，所以1AC ⊥面1A BC ，…12分 因为BC ⊂平面1A BC ，所以1AC BC ⊥． ……14分17．解：（1）过D 作DH BC ⊥于点H ，则DC B α∠=（π02α<<）， DH h =， 设AD x =， 则sin h DC α=，tan h CH α=，2tan h BC x α=+， ……3分 因为S=12()2tan h x x h α++⋅，则 tan S hx h α=-； ……5分则21()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=+- (π02α<<)； ……7分 （2）2222cos 112cos ()()sin sin sin f h h αααααα---'=⋅-=⋅， ……8分 令212cos ()0-'=⋅=f h αα，得π=α. ……9分所以， min π()3Sl f h ==+. ……12分答：（1）l 表示成关于α的函数为21()()sin tan S l f h h ααα==+- (π02α<<)； CBDA（第17题图）H……11分1（第16题图）（2）当π3α=时，lSh+. ……14分18．解：（1）由题1c =，c e a ==所以a =1b =. ……2分 所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=……4分（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意； ……5分当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ的方程为(y k x ，……6分 代入2222x y +=，得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=， ……8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则：4(81)0k ∆=-+>，18k <-，1,2x =， ……9分所以12x x +=212248212k k x x k ++⋅=+，……11分又AP AQ k k +==422k k ==-所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. ……16分19．解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1a x x+…恒成立. 令1()ln +1g x x=+，则21()x g x -'=， ……2分 因此，min ()(1)2g x g ==，即02a <….……6分……４分（2）当02a <…时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分 故不等式(1)()0x f x -…恒成立． ……10分 若2a >，ln (1)1()x x a x f x x+-+'=，设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分 当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<，则()()0p x f x x'=<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分 则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<<，矛盾. ……15分 因此，02a <….……16分20．解：（1）由题意得2214(1)n n n a na ++=，因为数列{}n a 各项均正，得22141n n a a n n +=+2=， ……2分2=，所以是以1a 为首项公比为2的等比数列.……4分（2）由（1112n a -=⋅，12n n a a -=22114n n n n na a nb t t -==， ……5分 如果数列{}n b 是等差数列，则2132b b b =+，……6分得：2212023111123244423a a a t t t--⋅⋅=+，即2316148t t t =+，则216480t t -+=， 解得 14t =，212t =. ……7分当14t =时，214n a nb =，2221111(1)444n n a n a n a b b ++-=-=，数列{}n b 是等差数列，符合题意；……8分当2t =12时，2143n na nb =⋅，2222111241244242211434343162a a ab b a +=+==⋅⋅⋅，2132133428231b a a ==⋅⋅，2432b b b +≠，数列{}n b 不是等差数列，2t =12不符合题意；……9分 综上，如果数列{}n b 是等差数列，4t =.……10分（3）由（2）得214n a nb =，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=，则4242111(1)816424a n n a m a n +⋅-=，所以214na m =. ……12分当12a k =，k ∈N *，此时2244k nm k n ==，对任意的n ∈N *，符合题意； ……14分当121a k =-，k ∈N *，当1n =时，22441144k k m k k -+==++. 不合题意. …15分综上，当12,a k k =∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=.……16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）. 解：连结OC ，由于l 是圆的切线，故OC l ⊥，因为AD l ⊥，所以AD ∥OC ， ……2分 因为AB 是圆O 的直径，6AB =，3BC =， 所以60∠=∠=︒ABC BCO ,则DAC ∠=906030ACO ∠=︒-︒=︒. ……4分23cos30AC =⋅︒=sin 30DC AC =︒=，9cos302DA AC =︒=. ……7分 由切割线定理知，2DC DA DE =⋅， ……9分所以32DE =，则3AE =. ……10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，M 11811a b c d +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，M 122242a b c d ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……3分 ABC D O（第21—A 题图）E882224a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，，，，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，即M =6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……5分（2）则令特征多项式62()(6)(4)8044f λλλλλ--==---=--， ……8分解得1282λλ==，.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：（1）圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，①……3分由2πcos()24ρθ--=，得22(cos sin )2-+=ρρθθ，……4分222()2x y x y +-+=，故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，② ……6分 （2）②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=， ……8分该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分D ．（选修4—5：不等式选讲）解：因为：2(111)(313131)a b c +++++++…, ……7分由于3a b c ++=6，当且仅当1a b c ===时6. ……10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22．解：（1）设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P ABCD -中，OP ⊥平面ABCD . 又2PA AB ==，所以OP =以O 为坐标原点，DA ，AB方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图： ……1分 则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,1,0)D --，P故211(,,3333OM OA AM OA AP =+=+=- ，111(,,0)333ON OB == ， ……3分所以2(0,,33MN =-，(1,1,PC =- ，cos ,2MN PC MN PC MN PC⋅<>==所以MN 与PC 所成角的大小为π6. ……5分（2）(1,1,PC =- ，(2,0,0)CB = ，42(,,0)33NC =- . 设(,,)x y z =m 是平面PCB 的一个法向量，则0PC ⋅= m ,0CB ⋅=m ，可得0,0,x y x ⎧-+-=⎨=⎩ 令0x =，y =1z =，即=m ， ……7分设111(,,)x y z =n 是平面PCN 的一个法向量，则0PC ⋅= n ，0CN ⋅=n ，可得111110,20,x y x y ⎧-+-=⎨-+=⎩ 令12x =，14y =，1z ==n ， …9分cos ,33⋅<>===m nm n m n ，则二面角N PC B --的余弦值为33……10分23．证明：（1）因为πsintan 2nn n a θ=. 当n 为偶数时，设2n k =，2222πsintan sin πtan 02kk n k k a a k θθ===⋅=，0n a =.…1分 当n 为奇数时，设21n k =-，21(21)ππsintan sin(π)tan 22n n n k k a a k θθ--===-⋅. 当2k m =时，21ππsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=-，此时1212n m -=- ，121221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---==-=-=-.……2分 当21k m =-时，213π3πsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=，C y z此时1222n m -=-， 122221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---===-=-. 综上，当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-. ……3分（2）当1n =时，由（1）得：212tan S a a θ=+=，121sin21(1)tan 2n n θθ+⎡⎤+-⎣⎦=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ+=⋅⋅=. 故1n =时，命题成立……5分假设n k =时命题成立，即1221sin21(1)tan 2k kk S θθ+⎡⎤=⋅+-⎣⎦. 当1n k =+时，由（1）得：2(1)22122221k k k k k k S S a a S a ++++=++=+=12211sin21(1)tan (1)tan 2k k k k θθθ++⎡⎤⋅+-+-⎣⎦ ……6分=122112sin 21(1)tan (1)tan 2sin 2k k k k θθθθ++⎡⎤⋅+-+-⋅⎢⎥⎣⎦ =2222112sin 21(1)tan ()2tan sin 2tan k k θθθθθ++⎡⎤⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 2222221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++⎡⎤=⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ =()2221sin21(1)tan 2k k θθ++⋅+-⋅ 即当1n k =+时命题成立. ……9分 综上所述，对正整数n 命题成立. ……10分。