【附加15套高考模拟】2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题含答案

2019-2020学年度江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调查英语试题英语试题第一卷(选择题共85分)第一部分听力(共两节,满分20分)做题时,先将答案标在试卷上。

录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1分,满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the woman think of gardening?A.TiringB. Boring. C Enjoyable2. Why does the man call Johnson's office?A. To ask for sick leaveB. To have his car repaired.C. To put off the appointment.3. What does the woman mean?A. She won't sit next to John. B She doesn't like the movie. C She enjoys talking to John4. Where is the man probably now?A. At homeB. In the officeC. In a restaurant5. How much does the woman pay for her tickets?A. $8.8B.$10.C.$11.2第二节(共15小题;每小题1分,满分15分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题将给出5秒钟的作答时间。

2019~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题2020.3参考公式：样本数据：12,,,n x x x 的方差：()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．球的体积343V r π=，其中r 表示球的半径．柱体的体积V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知i 为虚数单位，复数iz +=11，则=||z ___________.2.已知集合}10|{≤≤=x x A ，}31|{≤≤-=x a x B ，若B A 中有且只有一个元素，则实数a 的值为__________.3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_________.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线方程为x y 32=，则=a _____.5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是_________.6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_________.7.“直线01:1=++y ax l 与直线034:2=++ay x l 平行”是“2=a ”的_________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”)8.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91=a ，45959-=-S S ，则=n a _________.9.已知点M 是曲线x x x y 3ln 22-+=上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_________________.10.已知)4sin(42cos 3απα-=，),4(ππα∈，则=α2sin _________.11.如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1=AB ，2=BC ．分别以D A ,为圆心，为半径作圆弧 EB ， E C ．将两圆弧 EB ， E C 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为_________.12.在ABC ∆中，)1()(>⊥-λλBC AC AB ，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是______________.13.若函数x a x f =)((0>a 且1≠a )在定义域],[n m 上的值域是)1](,[22n m n m <<，则a 的取值范围是_________.14.如图，在ABC ∆中，4=AB ，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，EC AE 2=，CD 与BE 交于点O .若OC OB 2=，则ABC ∆面积的最大值是_________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足0sin 3cos =-B a A b ．（1）求A ；（2）已知32=a ，3π=B ，求ABC ∆的面积．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为平行四边形，DC BD ⊥，PCD ∆为正三角形，平面⊥PCD 平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：//AP 平面EBD ；（2）证明：PC BE ⊥.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道1l 和2l 通过一段抛物线形状的栈道AB 连通(道路不计宽度)，1l 和2l 所在直线的距离为5.0(百米)，对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距5.1(百米)(其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l 且交3l 于M )，在堤岸线3l 上的F E ,两处建造建筑物，其中F E ,到M 的距离均为1(百米)，且F 恰在B 的正对岸(即3l BF ⊥)．(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；(2)游客(视为点P )在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(EPF ∠)最大?请在(1)的坐标系中，写出观测点P 的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21，且经过点)23 ,1(，B A ,分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于E D ,两点(其中D 在x 轴上方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若AEF ∆与BDF ∆的面积之比为7:1，来直线l 的方程．已知函数)( 32)(223R m x m mx x x f ∈+-=的导函数为)('x f .（1）若函数)(')()(x f x f x g -=存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数)(ln ')(')(x f e f x h x+=（其中e 为自然对数的底数），对任意R m ∈，若关于x 的不等式22)(k m x h +≥在),0(+∞上恒成立，求正整数k 的取值集合.已知数列}{},{n n b a ，数列}{n c 满足*∈⎩⎨⎧=N n n b n a c n n n , , ,为偶数为奇数.（1）若n a n =，nn b 2=，求数列}{n c 的前n 2项和n T 2；（2）若数列}{n a 为等差数列，且对任意*∈N n ，n n c c >+1恒成立．①当数列}{n b 为等差数列时，求证：数列}{},{n n b a 的公差相等；②数列}{n b 能否为等比数列?若能，请写出所有满足条件的数列}{n b ；若不能，请说明理由．2019~-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)A ．选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵1321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，2311-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 且二阶矩阵M 满足=AM B ．求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．B ．选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为22cos ,323cos 2x y αα=+⎧⎪⎨+⎪⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．(1)求曲线C 的普通方程；(2)求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．C ．选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知正数,,x y z 满足x y z t ++=(t 为常数)，且22249y x z ++的最小值为87．求实数t 的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推)．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大(如1，2，5)，则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5，3，1)，则获得三等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．(1)某人抽奖一次，求其获奖金额X 的概率分布和数学期望；(2)赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．23．(本小题满分10分)已知抛物线2:4k k≠C x p y=(p为大于2的质数)的焦点为F，过点F且斜率为()0的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B 处的切线相交于点G．记四边形A E B G的面积为S．（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数?若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．。

苏锡常镇四市2020届高三英语教学情况调研（一）含答案（苏锡常镇二模）2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)英语2020年4月注意:本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。

两部分答案都做在答题卡上。

总分为120分。

考试时间120分钟。

第一卷(选择题共85分)第一部分听力(共两节,满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡.上。

第一节(共5小题;每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What does the woman think of gardening?A.Tiring.B.Boring.C.Enjoyable.2.Why does the man call Johnson's office?A.To ask for sick leave.B.To have his car repaired.C.To put off the appointment.3.What does the woman mean?A.She won't sit next to John.B.She doesn't like the movie.C.She enjoys talking to John.4.Where is the man probably now?A.At home.B.In the office.C.In a restaurant.5.How much does the woman pay for her tickets?A.$8.8.B.$10.C.$11.2.第二节(共15小题;每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题江苏镇江韩雨一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1. 已知i 为虚数单位，复数11z i=+，则z # 2. 已知集合{}{}01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为 #3. 已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4，则该组数据的方差是 #4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线 方程为23y x =，则a # 5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13， 则乙不输的概率是 #6. 右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 #7. “直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =” 的 # 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a # 9. 已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 #10. 已知3cos 24sin(),(,)44ππαααπ=-∈，则sin 2α= # 11. 如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ,EC ，将两圆弧EB ,EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 #12.在ABC ∆中，()(1)AB AC BC λλ-⊥>u u u r u u u r u u u r ,若角A 的最大值为π，则实数λ的值是 #13. 若函数()(01)xf x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是 22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是 #14. 如图，在ABC ∆中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若2,OB OC =则ABC ∆面积的最大值为 #二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）语文2020.03注意：本试卷共8页，21小题，满分160分。

考试时间150分钟。

请按照题号将答案填涂或书写在答题卡相对应的答题区域内，将答案直接书写在本试卷上无效。

一、语言文字运用(12分)1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是（3分）古人论诗、论词或论文，往往只是写出自己凭直觉领悟到的东西，虽能以寥寥数语▲，但难免缺乏思辨性和系统性，给后人留下▲、语焉不详的遗憾。

今天，我们需要用新的文艺观，重新审视和整理这些古文论宝藏，以期古为今用，▲。

A．切中肯綮一鳞半爪推陈出新B．高屋建瓴雪泥鸿爪推陈出新C．高屋建瓴一鳞半爪革故鼎新D．切中肯綮雪泥鸿爪革故鼎新2．在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是（3分）小说家作为时代的喉舌，担负着反映时代精神和民族灵魂的使命。

▲，▲，▲。

▲，▲，▲。

而优秀的作品正是在给人以美的享受、真的启示、善的教育的同时，也把对社会生活的深刻认识熔铸于其中。

①他们通过理性的思考形成整体的理性认识②他们站在时代的前沿，敏感地关注人类命运③以独特的视角去反映客观事物④因而思想比普通人更敏锐、超前、博大、深邃⑤思考人类的发展和探索宇宙万物的规律⑥综合地、整体地揭示社会生活的本质规律A．①③⑤②⑥④B．①⑥③②⑤④C．②③⑤①④⑥D．②⑤④①③⑥3．下列诗句描写的民间风俗，不是．．迎接新春的一项是（3分）A．扫除茅舍涤尘嚣，一炷清香拜九霄B．彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬟C．生盆火烈轰鸣竹，守岁筵开听颂椒D．半盏屠苏犹未举，灯前小草写桃符4．对下面一段文字中“一座粲然”原因的理解，最准确的一项是（3分）祇园上人招余辈小聚，或问座中何人最惧内，众未及答。

祇园曰：“惟老僧最惧内。

”众讶之，笑曰：“惟惧内，故不敢娶耳。

”一座粲然。

A．感谢上人替他们掩饰，保住他们的颜面。

B．明白上人在开玩笑，因为僧人不能娶妻。

C．发现上人和他们一样因惧内而不敢娶妻。

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围； （3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)．（1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0． 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =+的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e -){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin cos sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan 3θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +，得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin ii a =>-∑．解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+ (1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯，∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。

2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i 为虚数单位，复数11i z =+，则z ＝_______．2.已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A I B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为_______．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______． 5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_____． 6.下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_______．7.“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝_______． 9.已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．10.已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝_______．11.如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12.在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 13.若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______．14.如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA 3＝0．（1）求A ；（2）已知a ＝3B ＝3π，求△ABC 的面积． 16.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE ⊥PC ．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．19.已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．20.已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线l的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 公共点的极坐标.选修4—5：不等式选讲23.已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，.线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S（2）当点G由.的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理。

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知i 为虚数单位，复数11z i =+，则z =2.已知集合{}{}01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为#3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a =5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为7.“直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a =9.已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos 24sin(),(,)44ππαααπ=-∈，则sin 2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ,EC ，将两圆弧EB ,EC 及边B C 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在ABC ∆中，()(1)AB AC BC λλ-⊥> ,若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是.#.#.#.#.#.#.#.#.#.#.#.13.若函数()(01)xf x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是14.如图，在ABC ∆中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC上，2,AE E C C D =与BE 交于点O ，若2,O B OC =则ABC ∆面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)地理参考答案及评分标准一、选择题(本大题分单选(1-18题,每小题2分)和双选（19-26题,每小题3分),共计60分)二、综合题（本大题分必做（27-29题）,选做（30题）,共计60分)27.(12分)(1)东西火山(或地震、滑坡、泥石流)(答对1点得1分)(2)东北5:423)A 东北水平气压梯度力(4)先昼变长夜变短:后昼变短夜变长哈尔滨正值阴雨天或受冷空气影响哈尔滨纬度高,白昼时间长;哈尔滨正午太阳高度角较大28.(14分)（1）滇(云)山谷相间分布（2）纬度较低；背风坡,气流下沉(焚风效应) 针叶林带水分和热量及其组合的垂直交化（3）气候干热;水源充足;栽培技术先进;政策的支持（4）生物多样性减少(植被破坏);生态退化(耕地质量下降)；旱涝多发(答对2点得2分)优化农业结构；完普交通等基础设施;加强葡萄的深加工,延长产业链,提高附加值;加大技术投入,提高品质;加大宣传力度,创设自主品牌(答对2点得2分)。

29.(14分)(1)雨水(大气降水)沿河分布;沿海分布(2)2013 1吨皮卡皮卡车用途多样,适应性强(3)市场交通日本中国技术含量高；具有价格优势;距离近,运输成本较低(答对2点得2分)(4)加大技术投入,提升高端工业制造能力;发展环保电动汽车:创新自主品牌(答对2点得2分)30A.【海洋地理】(10分)(1)岩浆活动地壳(下降) 运动外力作用(堆积)(2)飓风频繁;土层浅薄;水源不足(答对2点得2分)降水丰沛缺少大片用于晒盐的浅海海滩(3)植被茂盛;河流稀少;泻湖相对封闭(答对2点得2分)潜水:冲浪;海滨浴场(答对1点得1分)。

30B.【旅游地理】(10分)(1)中东部多西部少南多北少(2)自然旅游人文旅游促进经济发展;促进文化繁荣;促进社会进步(答对2点得2分)(3)旅游资源丰富独特,具有很强的吸引力;周边地区旅游资源配套良好,具有协调发展优势;临近经济发达地区,客源市场广阔(答对2点得2分)。

江苏省2019~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试题含附加题(解析版)(总23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位，复数11iz =+，则z ＝ ． 2．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．3．已知一组数据，，2，，，则该组数据的方差是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝ ． 5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ．6．右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．7．“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝ ．9．已知点M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ． 10．已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝ ．11．如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2．分别以A ，D为圆心，1为半经作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 12．在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 ．13．若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是 ．14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝，则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足cosA sin B 0b =．（1）求A ；（2）已知a ＝B ＝3π，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE⊥PC．17．（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19．（本小题满分16分）已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R)的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x '=-存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ''=+（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知i 为虚数单位，复数11z i =+，则z =▲.2．已知集合{}{}01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为▲.3．已知一组数据1.61.822.22.4，，，，，则该组数据的方差是▲.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a =▲.5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是▲.6．右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为▲.7．“直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”的▲条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a =▲.9．已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为▲.10．已知3cos 24sin(),(,)44ππαααπ=-∈，则sin 2α=▲.11．如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为▲.12．在ABC △中，()(1)AB AC BC λλ-⊥> ，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是▲.13．若函数()(01)x f x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是▲.14.如图，在ABC △中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC 上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若,OB =则ABC △面积的最大值为▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，且满足cos sin 0b A B =．（1）求A ；（2）已知3a B π==，求ABC △的面积．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，,BD DC PCD ⊥△为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE PC ⊥．17．（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道1l 和2l 通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），1l 和2l 所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l ，且交3l 于M ），在堤岸线3l 上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1（百米），且F 恰在B 的正对岸（即3l BF ⊥）.（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角（EPF ∠）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21．且经过点（1，23），A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若AEF △与BDF △的面积之比为1:7．求直线l的方程.19．（本小题满分16分）已知函数x m mx x x f 22332)(+-=（R ∈m ）的导函数为)(x f '．（1）若函数)()()(x f x f x g '-=存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数)(ln )e ()(x f f x h x'+'=（其中e 为自然对数的底数），对任意R ∈m ，若关于x 的不等式22)(k m x h +≥在（0，∞+）上恒成立，求正整数k 的取值集合．20．（本小满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足*N ∈⎩⎨⎧=nn b n a c nn n 为偶数，为奇数，,,.（1）若n a n =，n n b 2=，求数列{}n c 的前n 2项和n T 2；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意*N ∈n ，n n c c >+1恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A ⎢⎣⎡=21⎥⎦⎤13，B ⎢⎣⎡-=12⎥⎦⎤13，且二阶矩阵M 满足AM =B .求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为为参数）ααα(2cos 323cos 22⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x .以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知正数x ，y ，z 满足t z y x =++（t 为常数），且22294z y x ++的最小值为78，求实数t 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1,2,5），则获得一等奖，奖金40元；若摸出的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X 的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.23.（本小题满分10分）已知抛物线C ：py x 42=（p 为大于2的质数）的焦点为F ，过点F 且斜率为k （k 0≠）的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点A ，B 处的切线相交于点G .记四边形AEBG 的面积为S .（1）求点G 的轨迹方程；（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.。

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式21b c ax xa b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e-){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()23B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=时取“＝”，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n nS S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立，令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min所以P 到直线l ． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑． 解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。