1.1.2 余弦定理第二课时课件
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高中数学人教B版必修五1.1.2《余弦定理》ppt课件
【 自 主 解 答 】 (1) 法 一 cos 15°＝ cos(45°－ 30°) ＝
6＋ 4
2，sin 15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2 .
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2 2×( 6
＋ 2)＝8－4 3，
∴c＝ 6－ 2.又 b>a，∴∠B>∠A，∴角 A 为锐角．
在△ABC 中，若 acos A＋bcos B＝ccos C．试判断△ABC 的形状．
【解】 由余弦定理可得 a·b2＋2cb2c－a2＋b·a2＋2ca2c－b2＝c·a2＋2ba2b－c2， 等式两边同乘以 2abc，得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)， 整理化简得 a4＋b4－2a2b2＝c4， ∴(a2－b2)2＝c4.
1．1.2 余弦定理
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理， 能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．
2．过程与方法 通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦
定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生 活问题的能力．
3．情感、态度与价值观 探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的 思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活 问题中的意义．
由余弦定理推论得： cos C＝a2＋2ba2b－c2＝9k2＋22·35kk·25－k 49k2＝－12， ∴∠C＝120°， 即最大内角为 120°.
1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的 关键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角， 再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角 和定理求第三角．
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)
2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境 兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在 山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
06:37:52
动脑思考 探索新知
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教 授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累 复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结 理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好； 减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析 这是已知三角形 ∠A=44°25′， 的三边，求其它元 素的问题，可以直 ∠B=101°32′， 接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22． 查表或计算器可得
1.1.2 余弦定理.ppt
在△ABC中，由余弦定理得
cos A AB2 AC2 BC2 2AB AC
2 0.1047 365
因此∠A≈84.0°.
例4. 求证： 在△ABC中，
证明：由余弦定理，得
bcosC
ccos
B
b
a2
b2 2ab
c2
c
a2
c2 b2 2ac
a2
b2
c2 a 2a
=a2+b2－2abcosC. 同理可得
b2 =a2+c2－2accosB. a2 =b2+c2－2bccosA.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍。即
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
即 13k2 16k 3 0
从而
k 3 13
或k=1.
又因为 k 3 时，b<0，故舍去。
13
所以k=1，a= 13 ，b= 5 13 ，c=4.
2
（2）已知两式中消去2b，得
c a2 3 4
代入(1)式a2－a－2b－2c=0，得
b 1 (a2 2a 3) 1 (a 3)(a 1)
4
cos C
a2
b2
c2
a2
(a 3)(a2 4
a)
2ab
2a 1 (a 3)(a 1)
4
4a2 (a 3)(a 1) a 2a(a 3)(a 1)
高中数学人教A版必修5《1.1.2余弦定理》课件
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
1.1.2余弦定理-(优秀课件)
C b a
A c ab 1 a 2 c 2 b 2 ab cosC C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： cosC 2ab
B
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解：由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 42 52 62 1 (1) cos C 0 2ab 2 45 8 C是锐角
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式
a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
复习回顾
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
2R
变型： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
可以解决两类有关三角形的问题?
解法一： 由正弦定理 （化边为角） 得： a2 R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C, cos B sin B cos B b 代入 , cos C 2 sin A sin C 2a c 得： cos C
即2 sin A cos B sin C cos B cos C sin B 0 2 sin A cos B sin(B C ) 0,
1.1.2余弦定理-(优秀课件)
C
提炼：设a是最长的边，则
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
b
a
Ac
B
△ABC是直角三角形 △ABC是锐角三角形
△ABC是钝角三角形
第11页，共13页。
三、判断三角形的形状
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ） A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
第12页，共13页。
2.在三角形ABC中，a2 c2 b2 ab,则角C的大小为__A______
A.60 B.45或135
C.120
D30
C
b
a
解析：cos C a2 b2 c2
2ab
Ac
B
a2 c2 b2 abcosC ab 1 C 60
2ab 2
第10页，共13页。
思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
b
a
c2 a2 b2 2ab cosC
利用余弦定理，可以解决： A c
B
（1）已知三边，求三个利角用；余弦定理 （2）已知两边及夹角，求可类第以型三解的边决三和什角其么形他两个角。 （3）判断三角形的形状。 问题？
第5页，共13页。
思考1：
余弦定理
已知三边,怎样求三个角呢？
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
第13页，共13页。
复习回顾
正弦定理：
abc sin A sin B sin C
2R
提炼：设a是最长的边，则
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
b
a
Ac
B
△ABC是直角三角形 △ABC是锐角三角形
△ABC是钝角三角形
第11页，共13页。
三、判断三角形的形状
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ） A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
第12页，共13页。
2.在三角形ABC中，a2 c2 b2 ab,则角C的大小为__A______
A.60 B.45或135
C.120
D30
C
b
a
解析：cos C a2 b2 c2
2ab
Ac
B
a2 c2 b2 abcosC ab 1 C 60
2ab 2
第10页，共13页。
思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
b
a
c2 a2 b2 2ab cosC
利用余弦定理，可以解决： A c
B
（1）已知三边，求三个利角用；余弦定理 （2）已知两边及夹角，求可类第以型三解的边决三和什角其么形他两个角。 （3）判断三角形的形状。 问题？
第5页，共13页。
思考1：
余弦定理
已知三边,怎样求三个角呢？
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
第13页，共13页。
复习回顾
正弦定理：
abc sin A sin B sin C
2R
1.1.2余弦定理 (优秀课件)
（2）已知两边及夹角么，类求型第的三三边角和其他两个角。 形问题？
（3）判断三角形的形状。
思考1：
余弦定理
已知三边,怎样求三个角呢？ C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
2020/6/17
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
CB
ba,求, CA边
c. b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2b22aabbcos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A
复习回顾
正弦定理：
abc sin A sin B sin C
2R
变型： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
CB
b,求边
a,CA
c. b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c2 c c (a b)(a b)
﹚
aa2abb
2
b22aabbcos
C
向量法
（3）判断三角形的形状。
思考1：
余弦定理
已知三边,怎样求三个角呢？ C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
2020/6/17
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
CB
ba,求, CA边
c. b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2b22aabbcos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A
复习回顾
正弦定理：
abc sin A sin B sin C
2R
变型： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
CB
b,求边
a,CA
c. b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c2 c c (a b)(a b)
﹚
aa2abb
2
b22aabbcos
C
向量法
1.1.2余弦定理(第二课时)
A＝30 度， A＝30 度， A＝30 度， 120度 A＝120度， A＝120度， 120度
10， a＝10， 10， a＝10， 10， a＝10， 10， a＝10， a＝10， 10，
（ 20； 一解) b＝20； 一解) 一解） b＝6； （一解） 15； 二解) b＝15；(二解) 一解) b＝5； (一解) 无解） b＝15. （无解）
即 b 2 • 2 s in A • c o s B = a 2 • 2 s in B • c o s A , b 2 s in A c o s B 即 2 • • =1 . a s in B c o s A
b sin B 因为Q = ;代入 a sin A
s in 2 B s in A c o s B s in B • c o s B =1 ⇒ =1 • • 2 s in A s in B c o s A s in A • c o s A
的值， 在△ABC中，已知 ，b，A的值，三角形 中 已知a， ， 的值 的解的情况如上表， 的解的情况如上表，同学们可以在做题时认 真体会，以防出现错误. 真体会，以防出现错误
课堂练习： 课堂练习： 1.在 根据下列条件解三角形， 1.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个 解的是 （D ）
即 ， 对 三 角 形
b + c = a ⇔ A为 角 直 ；
2 2 2
b + c > a ⇔ A为 角 锐 ； b2 + c2 < a2 ⇔ A为 角 钝
2 2 2
新课： 新课：正、余弦定理的综合运用
已知下列条件解三角形. 例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形. 1.在
(1) (2) (3) (4) (5)
【人教版数学】1.1.2余弦定理ppt课件
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那 a2 b2 c2 呢?
12
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2 △ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2 求B，并判断 △ABC的形状。
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
16
•作 业
• 1.在△ABC中: (1)已知c=8,b=3,A=60°求a; (2)已知a=20,b=29,c=21，求B; (3)已知a=3 3 ,c=2, B=150°,求b; (4)已知a=2,b= 2 ，c= 3 +1,求A.
17
答案
• 解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得 a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A=7.
• (2)由,得.∴B=90°. • (3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-
2×33×2cos150°=49.∴b=7. • (4)由,得.∴A=45°.
18
•作 业
• 1.在△ABC中: (1)已知c=8,b=3,A=60°求a; (2)已知a=20,b=29,c=21，求B; (3)已知a=3 3 ,c=2, B=150°,求b; (4)已知a=2,b= 2 ，c= 3 +1,求A.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
3
研究：在三角形ABC中，已知AB＝c，AC=b, 以及AB与AC的夹角为角A，求 BC=？
uur 分析：求BC的长度可以转化为求 BC
∵ BC AC AB
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2ac
a2 b2 Leabharlann c2cos C=2ab
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41°，解这个三角形（角度精确到1°，边长精 确到1cm）.
分析：已知三角形两边及其夹角，可以直接用 余弦定理求解.
解：根据余弦定理，可得
a²=b²+c²－2bccos A
=60²+34²－2×60×34×cos 41°≈1676.82，
思考2： 正弦定理：已已知知三三角角形形两两角边一和边一边对角 余弦定理：已已知知三三角角形形两三边边及其夹角
如果三角形的边都不确定，这个三角形 就不能确定下来.
已知两边和其中一边的对角，不能惟一确定三
角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解或 无解的情况，这时应结合“三角形中，大边对大 角”的定理及几何作图帮助理解．
2ca
2 134.6 161.7
0.8398，
B≈32°53 ′ ；
C= 180°－（A+B）≈ 180°－（ 56°20′＋ 32°53′ ）＝90°47′.
思考1： 在解三角形的过程中，求某一个角有时既
可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方 法有什么利弊呢？
思考2： 我们讨论的解三角形的问题可以分为几种
在△ABC中，已知a，b，A的值，三角形 的解的情况如上表，同学们可以在做题时认真 体会，以防出现错误.
例2 在△ABC中，已知a=134.6，b=87.8， c=161.7，解这个三角形（角度精确到1′）.
解：由余弦定理的推论得：
b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62
cos A
2bc
2 87.8 161.7
0.5543，
A≈56°20′；
cos B c2 a2 b2 134.62 161.72 87.82
所以a≈41(cm).
由正弦定理得
sin C csin A 34sin 41 34 0.656 0.5440.
a
41
41
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角， 利用计算器可得
C≈33°，
B=180°－（A+C）=180°－（41°＋33°） ＝106°.
课堂练习： 教材第8页练习1，2.
1.1.2余弦定理
（第2课时）
余弦定理：三角形 a2=b2+c2－2bccos A
中任何一边的平方等 于其他两边的平方的
b2= a2+c2－2accos B
和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两
c2 =a2+b2－2abcos C
倍.
b2 c2 a2
cos A=
2bc
a2 c2 b2
余弦定理的推论： cos B=
类型？分别怎样求解的？解三角形，是否必须 已知三角形一边的长呢？
思考1：
利用正弦定理可以用来解决“已知两边与其 中一边的对角”的斜三角形问题．往往在这种情 况下，要对三角形解的情况进行分类讨论，有时 有两解，有时有一解，有时无解．但若利用余弦 定理来解决这类问题，就根本不要对其加以讨论， 只要求解一元二次方程，利用一元二次方程的解 的情况加以求解，思路清晰，解法巧妙．