高中数学 1.1.2 余弦定理第二课时优化训练 新人教B版必修5

1.1.2 余弦定理(二)明目标、知重点 1.娴熟把握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.探究点一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形思考1 已知三角形的两边及其中一边的对角，解三角形的一般思路是什么？答 先利用正弦定理求出另一边所对的角，然后利用三角形内角和定理求出第三个角，最终再由正弦定理求出第三个边．思考2 对于思考1中的这一类问题能否直接利用余弦定理来解三角形？答 设三角形的第三边为x ，通过余弦定理得到三边及已知角的余弦值之间的关系式，利用方程的思想，通过解方程即可得到x 的值．例1 已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c . 解 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得72＝82＋c 2－2×8×c cos 60°，整理得c 2－8c ＋15＝0，解得c ＝3或c ＝5.反思与感悟 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，已知一边和两角用正弦定理解，已知三边用余弦定理解，已知两边和夹角及已知两边和其中一边的对角解三角形时，正、余弦定理可能都要用到． 跟踪训练1 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D.3答案 B解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴12＝1＋c 2－32×1×c，∴c 2－2＝c ，∴c ＝2或c ＝－1(舍)． 探究点二 利用正、余弦定理推断三角形外形例2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试推断△ABC 的外形． 解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.又sin A ＝2sin B cos C .∴由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来推断． 跟踪训练2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试推断△ABC 的外形． 解 方法一 依据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 依据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴cos B ＝－12，∵0°<B <180°，∴B ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的外形确定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∵0<B <π，∴B ＝π6.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°， 即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形； 当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个． [呈重点、现规律]1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般状况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要留意进行争辩．假如接受余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，接受余弦定理较简洁．2．依据所给条件确定三角形的外形，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时简洁毁灭增解，缘由是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特殊留意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础过关1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．1 D.13答案 C解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a ＝14，得a ＝1.3．假如将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的外形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2 ＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B ．－23C.14 D ．－14答案 A解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝13.5．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ，依据正弦定理，得c ＝23b ， 把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8. 又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8. 7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明 由于右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .二、力气提升8．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定 答案 A解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c242bc>0，∴0°<A <90°.9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( ) A ．120° B ．90° C ．150° D ．60° 答案 A解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.故选A.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝ .答案 4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，即4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝4＋7(c －b )4c ＝－14，∴8c －7b ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝78c －7b ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3∴b ＝4.11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64.故a ＝b sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.三、探究与拓展13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的外形． 解 (1)由已知及正弦定理，有 sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B . ∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B .∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1， 即cos B ＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)由题设，b 2＝ac .由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.由(1)知B＝60°，∴A＝B＝C＝60°.∴△ABC为正三角形．。

1.1.2 余弦定理(二)自主学习知识梳理1．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝________，A ＋B 2＝____________. (2)sin(A ＋B)＝__________，cos(A ＋B)＝__________，tan(A ＋B)＝________.(3)sin A ＋B 2＝________，cos A ＋B 2＝________. 2．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝________. (2)a ＝____________，b ＝____________，c ＝____________.(3)sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________.(4)sin A∶sin B∶sin C＝____________.3．余弦定理及其推论(1)a 2＝____________.(2)cos A ＝____________.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为______；c 2>a 2＋b 2⇔C 为______；c 2<a 2＋b 2⇔C 为______．自主探究在△ABC 中，已知两边及其中一边的对角，解三角形．一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形，请结合下面的例子加以探究．例：在△ABC 中，若∠B＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？对点讲练知识点一 利用正、余弦定理证明三角恒等式例1 在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.总结 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．变式训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．求证：cos B cos C ＝c －bcos A b －ccos A.知识点二利用正、余弦定理判断三角形形状例2在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．总结题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．变式训练2 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．知识点三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝35，且AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.总结 这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．变式训练3 △ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 2．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°3．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定二、填空题6．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．7．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 为__________三角形．8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．三、解答题9．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝－sin C.1．1.2 余弦定理(二)知识梳理1．(1)ππ2－C 2(2)sin C －cos C －tan C (3)cos C 2 sin C 22．(1)2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3)a 2R b 2R c 2R(4)a∶b∶c 3．(1)b 2＋c 2－2bccos A (2)b 2＋c 2－a 22bc(3)直角 钝角 锐角 自主探究解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，∴22＝a 2＋(23)2－2a×23cos 30°，即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4.讨论a 值：当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形；当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形．∴满足条件的三角形有两个．对点讲练例1 证明 方法一 左边＝sin A cos A sin B cos B＝sin Acos B sin Bcos A＝a b ·a 2＋c 2－b22ac b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2＝右边，所以tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2. 方法二 右边＝a 2＋c 2－b 22ac ·2ac b 2＋c 2－a 22bc ·2bc ＝a 2＋c 2－b 22ac ·a b 2＋c 2－a 22bc ·b ＝cos B cos A ·sin A sin B ＝sin A cos A ·cos B sin B ＝tan A tan B＝左边， 所以tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2. 变式训练1 证明 方法一 左边＝a 2＋c 2－b22ac a ＋b －c 2ab ＝2＋c 2－b2＋b －c右边＝c －b·b 2＋c 2－a 22bc b －c·b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋c 2－b 22＋b 2－c 2∴等式成立． 方法二 右边＝2Rsin C －2Rsin B·cos A 2Rsin B －2Rsin C·cos A＝＋－sin Bcos A ＋－sin Ccos A ＝sin Acos B sin Acos C＝左边 ∴等式成立．例2 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B.∵B＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2accos 60°，整理得(a －c)2＝0， ∴a＝c.∴△ABC 是正三角形．方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C.又∵B＝60°，∴A＋C ＝120°.∴C＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A＝60°，C ＝60°.又∵2b＝a ＋c ，∴b＝a.∴△ABC 是正三角形．变式训练2 解 由(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A＝π3. 又sin A ＝2sin Bcos C.∴a＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．例3 解 (1)∵AB →·BC →＝－21，∴BA →·BC →＝21.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B＝accos B ＝21.∴ac＝35，∵cos B＝35，∴sin B＝45. ∴S △ABC ＝12acsin B ＝12×35×45＝14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝32，∴b＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B . ∴sin C＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c<b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C＝45°.变式训练3 解 (1)由cos B ＝34， 得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin Asin C. 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin Ccos A ＋cos Csin A sin Asin C ＝＋sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca·cos B＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B，得a 2＋c 2＝b 2＋2a c·cos B＝5，∴(a＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a＋c ＝3.课时作业1．C2．C3．D [∵2b＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c)2，即(a －c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a ＋c ＝2a.∴b＝a ，即a ＝b ＝c.]4．A [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c 22＋3c 242bc>0，∴0°<A<90°.] 5．A [设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b)x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c)x ＋x 2>0，∴c＋x 所对的最大角变为锐角．]6．12解析 S △ABC ＝12AB·ACsin A＝12AB·AC·sin 60°＝23，∴AB·AC＝8， BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos A＝AB 2＋AC 2－AB·AC＝(AB ＋AC)2－3AB·AC.∴(AB ＋AC)2＝BC 2＋3AB·AC＝49，∴AB＋AC ＝7，周长为12.7．直角解析 ∵lg a－lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，∴a c ＝sin A ＝22，∵A 为锐角，∴A＝45°， ∵sin C＝c a sin A ＝2×sin 45°＝1，∴C＝90°. 8．(2,8)解析 ∵2a－1>0，∴a>12，最大边为2a ＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2化简得：0<a<8.又∵a＋2a －1>2a ＋1，∴a>2，∴2<a<8.9．证明 右边＝sin Acos B －cos Asin B sin C＝sin A sin C ·cos B－sin B sin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝－sin C.。

1.1.2 余弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=()B.2C.4D.6,得a2=b2+c2-2bc cos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.(2017·江西临川二中期中考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为()A. B. C. D.,得cos C=.因为C∈(0,π),所以C=,sin C=.故选C.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是()A.a=b cos C+c cos BB.a=b cos C-c cos BC. a=b sin C+c sin BD.a=b sin C-c sin Bcos C+c cos B=b·+c·=a.4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形D.由增加的长度确定a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cosθ=.因为m2>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为()A. B. C. D.3△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=.故选B.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cos A=.B=C,得b=c= a.由余弦定理,得cos A=.7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2-c2=2b,且sin B=6cos A sin C,则b的值为.,得sin B=6cos A sin C可化为b=6··c,化简得b2=3(b2+c2-a2).∵a22=2b,且b≠0,∴b=3.8.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD 的长为.sin∠BAC=,且AD⊥AC,所以sin,所以cos∠BAD=.在△BAD中,由余弦定理,得BD==.9.导学号04994004在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B, 求角C的大小.,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即,所以cos C=,所以C=60°.10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.,得=2cos A=2×,∵a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得,解得b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.B组1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin B sin C=0,则tan A的值是()A.B.-C.D.-,得b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A==-.因为0<A<π,所以A=,tan A=tan=-,故选D.2.在△ABC中,已知sin A=2cos B sin C,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形D.不确定方法一)由正弦定理,得a=2c cos B.由余弦定理,得a=2c·,化简得b=c.则△ABC是等腰三角形.(方法二)sin A=2cos B sin C⇒sin(B+C)=2cos B sin C⇒sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C⇒sin cos B sin C=0⇒sin(B-C)=0.∵-π<B-C<π,∴B-C=0,∴B=C.故△ABC为等腰三角形.ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为.,得c>b>a,则角C最大.∵cos C==-,且0<C<π,∴C=.ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为.a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为.,得2ac cos B·tan B=ac,整理,得sin B=,所以B=60°或120°.或120°6.(2017·河北冀州中学)在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=.BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,所以sin∠ABD=.7.导学号04994005若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cosθ=<0,解得<a<8.综上可知实数a的取值范围是(2,8).。

1.1.2 余弦定理课后训练1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶1cos C 的值为( )．A ．23B ．23-C ．12D ．12- 2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝2，∠B ＝60°，则AB BC ⋅的值为( )．A ．B ．5C ．-．－54．在△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则边AC 上的高是( )．AC ．32D ．5．(重庆高考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为( )．A ．43B ．8-C ．1D ．23 6．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是__________三角形．7．已知一锐角三角形的三边长为2,3，x ，则x 的取值范围是________．8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝，则sin A ＝________.9．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＝2b cos A ．(1)求证：∠A ＝∠B ；(2)若△ABC 的面积152S =，4cos 5C =，求c 的值．参考答案1. 答案：D2. 答案：C 由2cos B sin A ＝sin C ，得222a c b a c ac +-⋅=，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．3. 答案：D4. 答案：B 由余弦定理，得222916131cos 22342AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯. ∴3sin A =. ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝1334332⨯⨯⨯=. 设边AC 上的高为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ＝14332h ⨯⨯=. ∴332h =. 5. 答案：A ∵(a ＋b )2－c 2＝4，∴a 2＋b 2－c 2＝4－2ab . 又∵∠C ＝60°，由余弦定理，得222cos 602a b c ab+-︒=， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .∴4－2ab ＝ab ，则43ab =. 6. 答案：等边 因为∠B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .又∠B ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．7. 答案：(5，13) 由三角形的三边间的关系，得2＋3＞x ，,2＋x ＞3，即1＜x ＜5，要使三角形为锐角三角形，只需最大边3或x 所对的角是锐角，即其余弦值为正即可，故有4＋x 2－9＞0或4＋9－x 2＞0513x <<8. 答案：139. 答案：解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得222100361961cos 221062AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯， ∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得sin sin AB AD ADB B=∠， ∴sin 10sin60sin sin45AD ADB AB B ⋅∠︒==︒10⨯=10.答案：解：(1)证明：因为c＝2b cos A，由正弦定理，得sin C＝2sin B·cos A，所以sin (A＋B)＝2sin B·cos A，所以sin (A－B)＝0，在△ABC中，因为0＜∠A＜π，0＜∠B＜π，所以－π＜∠A－∠B＜π，所以∠A＝∠B.(2)由(1)知a＝b.因为4cos5C=，又0＜∠C＜π，所以3sin5C=.又因为△ABC的面积152S=，所以115sin22S ab C==，可得a＝b＝5.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝10.所以c=。

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－193．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，π6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________ 7．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长.参考答案1．【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab<0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A6．【解析】 由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，又cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0， 解得b ＝3或b ＝－13(舍去)． 【答案】 37．【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．【解析】 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14. 【答案】 －149．【解】 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径． 又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B .又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3.又因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋4a 2－2a 2＝9，解得a ＝3，故c ＝2 3.10．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.。

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C 等于( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．45°或135°3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－196．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________. 7．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________. 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3. (1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b .参考答案1．【解析】由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 【答案】B2．【解析】由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 【答案】A3．【解析】由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°. 【答案】D4．【解析】由b 2＝ac 及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 【答案】B5．【解析】由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】D6．【解析】由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 【答案】237．【解析】c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17.【答案】－178．【解析】由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.【答案】5π69．【解析】由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3.【答案】2π310．解：由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．解：(1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3. 12．解：(1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)，n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12，∴cos C ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。

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课时提升作业(二)余弦定理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，b=3，c=5，A=120°，则a=( )A.7B.C.49D.19【解析】选A.a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5cos 120°=49，所以a=7.2.在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么角B等于( )A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.cosB===，所以B=60°.3.(2015·吉林高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则A=( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.由余弦定理得：cosA=，由题知b2-a2=-bc，c2=2bc，则cosA=，又0°<A<180°，所以A=30°.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.由题意知<0，即cosC<0.因为0°<C<180°，所以90°<C<180°.所以△ABC为钝角三角形.【补偿训练】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选C.由正弦定理，得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7.设a=3k，b=5k，c=7k(k>0)，由于c>b>a，故角C是△ABC中最大的角，因为cosC===-<0，所以C>90°，即△ABC为钝角三角形5.在△ABC中，已知AB=7，BC=5，AC=6，则·等于( )A.19B.-14C.-18D.-19【解析】选D.设△ABC三边分别为a，b，c，则a=5，b=6，c=7，cosB==，所以·=7×5×=-19.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在△ABC中，若(a-c)(a+c)=b(b+c)，则A=__________.【解析】因为(a-c)(a+c)=b(b+c)，所以a2-c2=b2+bc，即b2+c2-a2=-bc.所以cosA===-.因为0°<A<180°，所以A=120°.答案：120°7.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC=3，BD=5，sin∠ABC=，则CD的长度等于__________.【解析】由题意可得sin∠ABC==sin=cos∠CBD，再根据余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=27+25-2×3×5×=16，可得CD=4.答案：48.(2015·北京高考)在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=__________.【解题指南】利用二倍公式展开sin 2A，再利用正余弦定理角化边.【解析】=====1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·济宁高二检测)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a=2bsinA.(1)求B的大小.(2)若a=3，c=5，求b.【解析】(1)由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=，由于△ABC是锐角三角形，所以B=.(2)根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=27+25-45=7，所以b=.10.(2015·天津高一检测)如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【解析】在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC===-，即∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=10，B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得=，于是AB====5.【举一反三】将本题条件中图形不变，已知数据改为AB=，点D在BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，cosC=，求AC的长.【解析】因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos∠DAC=，cosC=，所以sin∠DAC=，sinC=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos，即2=4x2+2x2-2×2x×x·=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·DCcos=2+1-2××1×=5，即AC=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·泉州高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( )A. B. C. D.-【解析】选C.由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，又c2=(a2+b2)，得2abcosC=(a2+b2)，即cosC=≥=.2.(2015·深圳高一检测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b+c=2a，且3sinA=5sinB，则角C= ( )A. B. C. D.【解析】选B.由题设条件可得⇒由余弦定理得cosC===-，所以C=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°.若AC=AB，则BD=__________. 【解析】如图，设BD=x，在△ABD中，根据余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD×BD×cos 135°=x2+2x+2.因为∠ADC=45°，DC=2x，所以在△ADC中，根据余弦定理，得AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos 45°，AC2=4x2-4x+2，又AC=AB，所以AC2=2AB2，即x2-4x-1=0，解得x=2±.因为x>0，所以x=2+，即BD=2+.答案：2+4.(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=-，3sinA=2sinB，则c=__________.【解题指南】首先根据正弦定理求出b的大小，再利用余弦定理求出c的值.【解析】在△ABC中，因为3sinA=2sinB，由正弦定理可知3a=2b，a=2，所以b=3.由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×=16.所以c=4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)5.在△ABC中，已知lga-lgc=lgsinB=-lg，且B为锐角，试判断△ABC的形状.【解析】由lg sinB=-lg=lg，可得sinB=.又B为锐角，所以B=45°.由lga-lgc=-lg，得=，所以c= a.又因为b2=a2+c2-2accosB，所以b2=a2+2a2-2a2×=a2.所以a=b，即A=B.又B=45°，所以△ABC为等腰直角三角形.【拓展延伸】判断三角形的形状时经常用到的结论(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.(4)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R)，且ac=b2.(1)当p=，b=1时，求a，c的值.(2)若角B为锐角，求p的取值范围.【解析】(1)由题设并利用正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=p2b2-b2-b2cosB，即p2=+cosB.因为0<cosB<1，得p2∈，由题设知p>0，所以<p<.关闭Word文档返回原板块。

1.1.2余弦定理 测试题一、选择题1. 在ABC ∆中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA,则这个三角形是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形2.设a ，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a 的取值范围是（ ）A. 4<a<6B. 3<a<4C. 1<a<3D. 0<a<33. 在ΔABC 中，已知 222c bc b a ++=，则角A 为（ ） A 3π B 6π C 32π D 3π或32π 4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3,b=1，则c= (A)1 (B)2 () 3－1 (D) 3二、填空题7.已知ABC ∆的三边别离为a ，b ，c ，且ABC S ∆＝2224a b c +-，那么角C ＝ . 8.在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________三、解答题9。

已知ΔABC 的极点为A （2，3），B （3，-2）和C （0，0）。

求（1）∠ACB ；（2）AB ；（3）∠CAB ；（4）∠ABC 。

10． 在ABC ∆中，已知a b a +＝sin sin sin B B A-,且cos(A －B)＋cosC ＝1－cos2C. 试确信ABC ∆的形状11．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且A=2C ，a+c=2b ，求此三角形的三边之比。

余弦定理(二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形a b c(1)sin A＝sin B＝sin C＝ ______.(2)a＝ ________， b＝ ________，c＝ ________.(3)sin A ＝ ______， sin B ＝ ______， sin C＝ ____________________________________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ ________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ________________.(2)cos A ＝ ________________.(3)在△ ABC 中， c2＝ a2＋ b2? C 为 ________； c2>a2＋ b2? C 为 ________； c2<a2＋ b2? C 为 ________．3．在△ ABC 中，边 a、b、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C，则有：(1)A ＋B ＋ C＝ ____，A＋B＝ __________. 2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A ＋ B＝ ________， cos A＋B＝ __________.22一、选择题1．已知 a、b、 c 为△ ABC 的三边长，若知足(a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则∠ C 的大小为()A． 60°B．90°C． 120 °D．150°2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C，则△ ABC 的形状必定是 ()A．等腰直角三角形 B ．直角三角形C．等腰三角形 D ．等边三角形3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为() A． 30°B．60°C． 90°D． 120 °4．△ ABC 的三边分别为a， b，c 且知足 b2＝ ac,2b＝ a＋ c，则此三角形是 ()A．等腰三角形 B ．直角三角形C．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在△ ABC中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a，b，c，若C＝ 120 °，c＝2a，则 () A． a>bB． a<bC． a＝ bD． a 与b 的大小关系不可以确立6．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．由增添的长度确立二、填空题7．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程x2－ 5x＋2＝ 0 的两个根， C＝ 60°，则边 c＝________. 8．设2a＋ 1， a,2a－ 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是________．ABC的周长是________．9．已知△ABC的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是 ________．三、解答题22－a－ b.11．在△ ABC 中，求证： 2 ＝sin Cc3→ →12.在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A ，B ， C 的对边的长， cos B=,且 AB ·BC＝－ 21.5(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ()πB ． 0<C<πA． 0<C≤2 6π ππ πC.6<C< 2D.6<C≤314．△ ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .4 11(1)求tan A＋tan C的值；→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：应用已知条件一般解法定理一边和两角( 如 a， B ，C)两边和夹角( 如 a， b， C)正弦由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在有解定理时只有一解 .余弦由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再定理由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理三边余弦由余弦定理求出角 A 、B ；再利用 A ＋ B＋ C＝180°，求出角(a，b， c)定理 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角 B；由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求出角 C；再利两边和此中一边的对c.可有两解、一解或无解 .余弦用正弦定理或余弦定理求角如 (a， b， A)定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．1．1.2 余弦定理 (二 )答案知识梳理ab c 1． (1)2R(2)2Rsin A 2Rsin B2Rsin C (3) 2R 2R2R2 2(2)b 2＋ c 2－ a 2 (4)a ∶ b ∶ c 2.(1)b ＋ c －2bccos A 2bc(3)直角钝角 锐角 π CC C3.(1) π－(2)sin C － cos C － tan C (3)cossin2 222作业设计1． C [ ∵ (a ＋ b －c)(a ＋ b ＋c)＝ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ 1， 2ab 2∴ cos C ＝－ 1，∴∠ C ＝120°.] 22． C [ ∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋ B) ，∴ sin Acos B － cos Asin B ＝ 0，即 sin(A －B) ＝ 0，∴ A ＝B.]3.B [∵ a ∶ b ∶c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 3∶5∶ 7，不如设 a ＝ 3， b ＝ 5， c ＝ 7， C 为最大内角，2 2 － 72 1则 cos C ＝ 3 ＋ 5 ＝－ .2×3×5 2∴ C ＝ 120°.∴最小外角为60°.]4．D[ ∵ 2b ＝a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，即 (a － c)2＝0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋c ＝ 2a.∴ b ＝a ，即 a ＝ b ＝ c.]5．A[ 在△ ABC 中，由余弦定理得，c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab.∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab.∴ a 2－ b 2＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴ a>b.]6．A [ 设直角三角形三边长为 222a ，b ，c ，且 a ＋b ＝ c ，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝a2＋ b2＋ 2x2＋ 2(a＋ b)x － c2－ 2cx －x2＝2(a＋ b－ c)x ＋ x2>0，∴ c＋x 所对的最大角变成锐角．]7. 19分析由题意： a＋ b＝ 5， ab＝ 2.由余弦定理得：c2＝ a2＋b2－ 2abcos C＝ a2＋ b2－ ab＝ (a＋ b)2－ 3ab＝ 52－ 3×2＝19，∴c＝ 19.8． 2<a<8分析∵ 2a－ 1>0，∴ a>1，最大边为2a＋ 1.2222∵三角形为钝角三角形，∴ a ＋ (2a－ 1) <(2a＋ 1) ，∴a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析S△ABC＝1AB·AC·sin A ＝1A B·AC·sin 60 ＝°23，22∴AB·AC ＝8， BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB·AC·cos A＝AB 2＋ AC2－AB·AC ＝(AB ＋ AC) 2－3AB·AC ，∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋ 3AB·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S△ABC＝1bcsin A ＝3c＝3，24∴ c＝ 4，由余弦定理：a2＝ b2＋ c2－2bccos A＝ 12＋42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a＝13.a13239∴ 2R＝sin A＝3＝3，2∴ R＝39外接圆2＝13π3.∴ S＝πR 3.sin Acos B － cos Asin B ＝sin A sin B11．证明右侧＝sin C sin C·cos B－sin C·cos A a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2a2－ b2＝a·2ac －b·2bc＝2c2－2c2＝c2 ＝左侧．c c因此a2－b2－.2＝sin Cc12.解→ → → →＝ 21.（ 1）∵ AB ·BC ＝－ 21， BA ·BC → → → → BA ·BC ＝ |BA | |BC ·| cos · B ＝ accos B ＝21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝ 3，∴ sin B ＝ 4.5 5 1 1 4∴ S △ ABC ＝ acsin B ＝ ×35× ＝ 14.2 2 5(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 54 ＝ 2∴ sin C ＝ 4 × 2.b 2 5 ∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角．∴ C ＝ 45°.13．A[方法一 (应用正弦定理 )∵ sin AB C ＝ sin BC A ，∴ sin 1 C ＝ sin 2 A1∴ sin C ＝ 2sin A ，∵ 0<sin A ≤1，1∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴0<C ≤6.方法二(应用数形联合 )如下图，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点 C 向圆B 作切线，设切点为 A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴π，C ＝ 6π∴ 0<C ≤ .]63，得 sin B ＝1－32＝ 714．解 (1)由 cos B ＝444.由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C.11 cos A cos C sin Ccos A ＋ cos Csin A 于是 tan A ＋ tan C ＝ sin A ＋ sin C ＝sin Asin C ＝ ＝ sin B ＝ 1 ＝ 4 7 2 7 .sin B sin B→ → 3 3(2)由 BA ·BC ＝ 得 ca ·cos B ＝ ，2 2由 cos B ＝ 34，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2.由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝ 9，∴ a ＋ c ＝ 3.＋sin 2 B。