苏教版数学高二第一章1.2余弦定理(第二课时)课时活页训练

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第2课时余弦定理（2）1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状．2．熟练边角互化．（重点）［基础·初探］教材整理射影定理和平行四边形的性质定理阅读教材P16~P17，完成下列问题．1．射影定理在△ABC中，（1）b cos C＋c cos B＝a；(2)c cos A＋a cos C＝b；（3)a cos B＋b cos A＝c.2．平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．特别地，若AM是△ABC中BC边上的中线，则AM＝错误!错误!.1．在△ABC中,若BC＝3,则c cos B＋b cos C＝________.【解析】c cos B＋b cos C＝BC＝3。

【答案】32．若△ABC中，AB＝1，AC＝3,∠A＝60°，则BC边上的中线AD＝________.【解析】在△ABC中，由余弦定理可知BC＝7。

∴AD＝错误!错误!＝12错误!＝错误!。

【答案】错误!［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑:_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]利用正、余弦定理解决实际问题正沿南偏东75°的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船？错误!【精彩点拨】先画出示意图,再借助正、余弦定理求解．【自主解答】如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x h后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x)2＝92＋（10x）2－2×9×10x cos 120°，化简得32x2－30x－27＝0,即x＝错误!或x＝－错误!(舍去），∴巡逻艇需要1.5 h才追赶上该走私船．∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21。

[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.知识点一 正弦定理及其变形1.a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . 2.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .知识点二 余弦定理及其推论1.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2.cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角.知识点三 正弦、余弦定理的应用思考 以下问题不能用余弦定理求解的是 .(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角；(2)已知两角和一边，求其他角和边；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角；(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.答案 (2)题型一 利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，其中A.B.c ，分别是角A.B.C 的对边，则△ABC 的形状为 三角形.答案 直角解析 方法一 在△ABC 中，由已知得1＋cos B 2＝12＋a 2c， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b 22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形.方法二 原式化为cos B ＝a c ＝sin A sin C， ∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝90°，即△ABC 为直角三角形.反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形的形状是 三角形.答案 等边解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， 代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形.题型二 正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值；(2)cos(B －C )的值.解 (1)由BA →·BC →＝2得，ca cos B ＝2，又cos B ＝13.所以ca ＝6. 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，B ∈(0，π)，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝223. 由正弦定理得，sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－(429)2＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13×79＋223×429＝2327. 反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.跟踪训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . (1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0).则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得： sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ， 根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4. 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ，∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ，即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ，∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c. 由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin (A －B )sin C， 故等式成立.反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b 2，求证：a ＋c ＝2b . 解 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2，整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ，故等式成立.例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围. 错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0. ∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，①∵k 为三角形的一边长，∴k >0，②由①②知0<k <6.错因分析 忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2.正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0， ∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，①由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2，②由①②可知2<k <6.误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是 . 答案 (1，5)∪(13，5)解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x 22×2×3<0且2＋3>x ， 解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x<0且x ＋2>3， 解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5).1.在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 的形状为 三角形.答案 等腰解析 由题意知b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac， 整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .即△ABC 为等腰三角形.2.在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sin C sin B ，则A ＝ .答案 120°解析 由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为 . 答案 35解析 由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)， ∴AC ＝3或－8(舍).∴sin B sin C ＝AC AB ＝35. 4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的范围是 .答案 (22，10)解析 只需让3和a 所对的边均为锐角即可.故⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋32－a 22·1·3>0，12＋a 2－322·1·a >0，1＋3>a ，1＋a >3，解得22<a <10.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ . 答案 1解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍).6.已知△ABC 的三边长分别为2,3,4，则此三角形是 三角形.答案 钝角解析 4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0， 故该角为钝角，所以该三角形为钝角三角形.1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系.2.解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理.(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯.。

1.2 余弦定理 （2）学习目标】1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3．初步利用定理判断三角形的形状。

学习要求】请同学们预习课本第15页，完成下面的问题回答和练习1．余弦定理： (1)_______________________，_______________________，_______________________.(2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）_______________________________；（２）______________________________．【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？【解】【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．【解】【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：AM =．问题导练】1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝2∶ 3∶4，那么ｃｏｓＣ= ．2．在△ＡＢＣ中，设=CB a ，=AC b ，且｜a ｜＝２，｜b ｜＝3，a ·b ＝－3，求ＡＢ的长．3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝2，ｂ＝3，Ｃ＝60°，试证明此三角形为锐角三角形．4.在△ABC 中，设3332a b c c a b c +-=+-，且3sin sin 4A B =，请判断三角形的形状。

1.2 余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝______. (2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.(3)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________. 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝________________. (2)cos A ＝________________. (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为______；c 2>a 2＋b 2⇔C 为______；c 2<a 2＋b 2⇔C 为______． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝______，A ＋B2＝____________.(2)sin(A ＋B )＝________，cos(A ＋B )＝________，tan(A ＋B )＝________.(3)sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B2＝__________.一、填空题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为________．2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________．3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为________． 4．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形的形状是________． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是______．7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________． 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．二、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －Bsin C.12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cos B=35，且·AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是________．14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 余弦定理(二)答案知识梳理1．(1)2R (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C (3)a 2R b 2R c2R(4)a∶b∶c 2.(1)b 2＋c 2－2bc cos A (2)b 2＋c 2－a 22bc(3)直角 钝角 锐角3.(1)π π2－C 2 (2)sin C －cos C －tan C(3)cos C 2 sin C2作业设计 1．120°解析 ∵(a＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C＝120°.2．等腰三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin (A ＋B)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，∴A＝B. 3.60°解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C＝120°.∴最小外角为60°. 4.19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c＝19. 5．等边三角形解析 ∵2b＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c)2，又b 2＝ac ，即(a －c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a ＋c ＝2a.∴b＝a ，即a ＝b ＝c. 6．a>b解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab.∵c＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2－b 2＝ab>0，∴a 2>b 2，∴a>b. 7．锐角三角形解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b)x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c)x ＋x 2>0，∴c＋x 所对的最大角变为锐角． 8．2<a<8解析 ∵2a－1>0，∴a>12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2化简得：0<a<8.又∵a＋2a －1>2a ＋1， ∴a>2，∴2<a<8. 9．12解析 S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝12AB·AC·sin 60°＝23，∴AB·AC＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB·AC＝(AB ＋AC)2－3AB·AC，∴(AB＋AC)2＝BC 2＋3AB·A C ＝49，∴AB＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12. 10.13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a＝13.∴2R＝a sin A ＝1332＝2393，∴R＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 11．证明 右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C .12．∵AB →·BC →＝－21，·BA →·BC →＝21. ·BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B .∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c<b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C＝45°. 13．0<C≤π6解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A≤1，∴0<sin C≤12.∵AB<BC，∴C<A，∴C 为锐角，∴0<C≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC⊥AB，∴C＝π6，∴0<C≤π6.14．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C.于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac·cos B ＝5，∴(a＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a＋c ＝3.。

明目标、知重点 1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．1．三角形内角的三角函数关系在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有 (1)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C ，(2)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.2．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 3．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. (2)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．题型一 利用正、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值．解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，易知B ＝C ，故b ＝c .因为cos A ＝23，所以由余弦定理得3a 2＝2b 2，再由余弦定理得cos B ＝66，故sin B ＝306.反思与感悟 正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择． 跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .(1)求A 的大小；(2)求b sin B c 的值．解 (1)由题意知，b 2＝ac ⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab，∴b sin B c ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32.题型二 正、余弦定理与三角变换的综合应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2 B ＋C 2－cos 2A ＝72. (1)求A 的度数．(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．解 (1)由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝72，4(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5， 即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， ∴(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .∵cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ， 将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝65ac .求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B2＋sin 2B＝1＋cos B ＋2sin B cos B ＝1＋35＋2×45×35＝6425.题型三 正、余弦定理与平面向量的综合应用例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.(1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵AB →·BC →＝－21，∴BA →·BC →＝21. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)∵ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°.反思与感悟 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．跟踪训练3 已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________． 答案 150° 解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0， 由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )， 即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ， 再由余弦定理，得cos B ＝－32，∴B ＝150°.1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A ＝________.答案 π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状是______三角形． 答案 等腰解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →＝________.答案 －32解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA →·AC →＝－AB →·AC →＝－32.4．在△ABC 中，cos B ＝12，b 2－ac ＝0，则△ABC 的形状为________三角形．答案 等边解析 ∵cos B ＝12，∴B ＝60°.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴△ABC 为等边三角形． [呈重点、现规律]1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．一、基础过关1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是________． 答案5<c <3解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0得c 2>a 2＋b 2＝5.∴c >5，又c <a ＋b ，∴5<c <3.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 答案 30°解析 ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝30°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 直角解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是________．答案 －17解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状是________三角形．答案 直角解析 ∵cos 2B 2＝a ＋c2c，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．6．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是________． 答案 (5，13)解析x 满足：⎩⎨⎧1<x <522＋32－x 2>022＋x 2－32>0，解得5<x <13.7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．解 ∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ， 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ， 化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 二、能力提升8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B 的度数为______．答案 π6解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a >b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.9．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.答案 31010解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.10．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等腰直角解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2， ∴a c ＝sin A ＝22，∵A 为锐角，∴A ＝45°，∵sin C ＝ca sin A ＝2×sin 45°＝1，又∵0°<C <180°，∴C ＝90°.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解 (1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围． 解 (1)由题设并由正弦定理，得a ＋c ＝pb ，所以a ＋c ＝54.得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2， 由题设知p >0，所以62<p < 2. 三、探究与拓展13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。

明目标、知重点 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (2)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.探究点一 余弦定理在实际问题中的应用例1 在长江某渡口处，江水以5 km/h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1 h 后到达江北岸B 码头，设AN →为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东15°的方向上，并与A 码头相距1.2 km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少？(角度精确到0.1°，速度精确到0.1 km/h)解 如图，船按AD →方向开出，取AC →方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中AB ＝1.2(km)，AC ＝5×0.1＝0.5(km)，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5cos(90°－15°)≈1.38， 所以AD ＝BC ≈1.17(km)因此，船的航行速度为1.17÷0.1＝11.7(km/h)． 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝0.5sin 75°1.17≈0.412 8，所以∠ABC ≈24.4°.所以∠DAN ＝∠DAB －∠NAB ＝∠ABC －15°≈9.4°.答 渡船应按北偏西9.4°的方向，并以11.7 km/h 的速度航行．反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪训练1 某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解 如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9， ∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos 120°，化简得32x 2－30x －27＝0，即x ＝32或x ＝－916(舍去)，所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该走私船． 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314.∴∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′.答 巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船． 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，试判断该三角形的形状． 解 由正弦定理和余弦定理，得 sin A sin B ＝ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ， 所以a b ＝2·a 2＋b 2－c 22ab ，整理，得b 2＝c 2.因为b >0，c >0，所以b ＝c ， 因此△ABC 为等腰三角形．反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过三个角的关系式来确定的，因此利用正、余弦定理将角的关系转化为边的关系来判断．跟踪训练2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是________． 答案3和15解析 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________三角形． 答案 等腰解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ， ∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.∴B ＝π6.4.如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，DA ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积．解 连结AC ，在△ACD 中， 由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°， 可得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D＝62＋42－2×6×4cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28， 可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B <180°，故B ＝120°.所以四边形ABCD 的面积 S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12AD ·CD sin D ＋12AB ·BC sin B＝12×6×4sin 60°＋12×2×4sin 120° ＝8 3.[呈重点、现规律]1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础过关1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段能组成________三角形． 答案 锐角解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a ＝________.答案 1解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a＝14，得a ＝1.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形． 答案 锐角解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，增加的长度为x ， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2 ＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角为锐角．4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C ＝________.答案 13解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝13.5．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ， 根据正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边边长，那么a 的取值范围是________． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边长为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8. 又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.7.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解 依题意得，CD ＝30 km ， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km. 二、能力提升8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．答案66解析 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66.9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为________． 答案 120°解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝______.答案 4解析 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 整理得15b －60＝0.∴b ＝4.11.如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ， 即142＝102＋x 2－20x cos 60°， ∴x 2－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos C＝(2a－c)cos B.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．解(1)由已知及正弦定理，有sin B cos C＝(2sin A－sin C)cos B，即sin B cos C＋cos B sin C＝2sin A cos B.∴sin(B＋C)＝2sin A cos B.∵sin(B＋C)＝sin A≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝12，∴B＝60°.(2)由题设，b2＝ac.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.由(1)知B＝60°，∴A＝B＝C＝60°.∴△ABC为正三角形．三、探究与拓展13．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．。

课时训练2 余弦定理1.(2016课标全国高考乙卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()(导学号51830081)A. B. C.2 D.3a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得:b=3,故选D.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若<0,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.是锐角或直角三角形D.一定是钝角三角形C=<0,则<C<π,即△ABC一定是钝角三角形.3.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()A.8-4B.1C.D.C=60°,∴c2=a2+b2-2ab cos 60°,即c2=a2+b2-ab.①又∵(a+b)2-c2=4,∴c2=a2+b2+2ab-4.②由①②知-ab=2ab-4,∴ab=.4.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则角C=.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,∴可以令a=7k,b=8k,c=13k,∴cos C==-,∴C=120°.5.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为.19,得cos B==.∴=||·||·cos(π-B)=-7×5×=-19.6.在△ABC中,cos2,c=5,则△ABC的内切圆半径为.(导学号51830082)2,∴cos A=.由余弦定理得cos A=,整理得a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形,即C=90°.∵c=5,,∴b=4,a=3.∴用等面积法易求得△ABC的内切圆半径为1.7.在△ABC中,a cos A+b cos B=c cos C,试判断△ABC的形状.cos A=,cos B=,cos C=,代入已知条件得a·+b·-c·=0,去分母,得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理,得a4+b4-2a2b2=c4,即(a2-b2)2=c4,∴a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形.8.在△ABC中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,求这个三角形三边的长.ABC三边长分别为x-1,x,x+1.则最大角的余弦值为cos α==,∵最大角为钝角,∴cos α=<0.∴即1<x<4.∴x=2或3.当x=2时,三边长分别为1,2,3,不能构成三角形,故应舍去;当x=3时,三边长分别为2,3,4,满足条件.∴△ABC的三边长分别为2,3,4.9.在△ABC中,A=60°,B>C,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b,c是方程x2-2x+m=0的两个实数根,△ABC的面积为.(1)求m的值;(2)求△ABC的边长.S△ABC=bc sin A=bc sin 60°=bc.∵S△ABC=,b,c是方程x2-2x+m=0的两根,∴bc=m,b+c=2.∴m=,∴m=2.(2)∵B>C,∴b>c,由得b=+1,c=-1.∴a===.∴a=,b=+1,c=-1.10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.,得=2cos A,∴.又∵a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得,解得:b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,故b=5.11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cos A=c·cos A+a·cos C.(1)求角A的大小;(2)若a=,b+c=4,求bc的值.(导学号51830083)根据正弦定理,得2b·cos A=c·cos A+a·cos C可化为2cos A sin B=sin C cos A+sin A cos C=sin(A+C)=sin B.∵sin B≠0,∴cos A=.∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)由余弦定理,得7=a2=b2+c2-2bc·cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,把b+c=4代入上式得bc=3.。

第1章 解三角形 1.2 余弦定理A 级 基础巩固 一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．肯定是锐角三角形B ．肯定是直角三角形C ．肯定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形 解析：由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，所以△ABC 为钝角三角形． 答案：C2．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，所以B ＝60°. 答案：C3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，所以θ＝60°.所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135° 解析：由于a 2＝b 2－c 2＋2ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°. 答案：A5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 解析：由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案：D 二、填空题6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝_____________________________.解析：由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab ，从而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－13.答案：－137．(2022·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 解析：由余弦定理可知：cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝4＋AB 2－32×2AB ＝12，所以AB＝1.答案：18．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 解析：由题意知2a ＋1是三角形的最大边，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2a －1>2a ＋1，a 2＋（2a －1）2－（2a ＋1）22a （2a －1）<0，所以2<a <8. 答案：(2，8) 三、解答题9．在△ABC 中，B ＝120°，若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 所以ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.10．在△ABC 中，∠C ＝90°，现以a ＋m ，b ＋m ，c ＋m (m ＞0)为边长作一个△A ′B ′C ′，试推断△A ′B ′C ′的外形．解：最大边长c ＋m 所对角为C ′，则 cos C ′＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2－（c ＋m ）22（a ＋m ）（b ＋m ）＝（a 2＋b 2－c 2）＋2m （a ＋b －c ）＋m 22（a ＋m ）（b ＋m ）＝2m （a ＋b －c ）＋m 22（a ＋m ）（b ＋m ）＞0，所以C ′为锐角，而C ′为△A ′B ′C ′的最大角，故△A ′B ′C ′为锐角三角形．B 级 力量提升 一、选择题11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析：设夹角为α，所对的边长为m ，则由5x 2－7x －6＝0，得(5x ＋3)(x －2)＝0，故得x ＝－35或x ＝2，因此cos α＝－35，于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52，所以m ＝213.答案：B12．在不等边三角形中，a 为最大边，假如a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围是( ) A ．90°<A <180° B ．45°<A <90° C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析：由余弦定理可知，cos A >0，故知A 为锐角，又A 是不等边三角形的最大角，故A >60°，所以60°<A <90°.答案：C13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则B ＝( )A.π6 B.π3或2π3 C.π6或5π6D.π3解析：由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，再由余弦定理得：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3.答案：B 二、填空题14．(2022·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .代入b －c ＝14a ，整理得a ＝2c .故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ·c ＝－14.答案：－1415．已知△ABC 的三边a ，b ，c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则C ＝________．解析：由12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，再由余弦定理cos C＝a 2＋b 2－c 22ab得sin C ＝cos C ，所以C ＝π4.答案：π4三、解答题16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解：(1)由于c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，所以c ＝2.所以△ABC的周长为1＋2＋2＝5.(2)由于cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22＋22－122×2×2＝78.所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.。

B A WO- 高额考点题组化.名师一点就通[pio][1] p q p q p⑴P 6< 5 q 6 6 ⑵Py 2x x 2 xq2 x x 2<0⑶Py cos x q[]P q[](1)Pq⑵ PqP qPqP⑶ PqPq[ ]⑴Pq⑵P q⑶%1P⑴p 2 a 1 1 q 2 3(2)P 2 2 5 q 3 2⑶P 1 {1,2}q {1}? {1,2}(4)P ?? {0} q ? {0}y cos xq p qP q P qP qP P qPP q PP q P2•分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假：(1) 全等三角形周长相等或对应角相等；(2) 9的算术平方根不是一3;(3) 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧.解：(1)这个命题是p V q的形式，其中p：全等三角形周长相等，q：全等三角形对应角相等，因为p真q真，所以p V q为真.⑵这个命题是綈p的形式，其中p: 9的算术平方根是一3,因为p假，所以綈p为真.(3)这个命题是p A q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q :垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以p A q为真.［例2］已知p:函数y= x2+ mx+ 1在(-1,+^ )上单调递增，q：函数y= 4求+ 4(m —2)x+ 1大于零恒成立.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.［思路点拨］由p或q为真，p且q为假，可判断p和q —真一假，进而求m的范围.［精解详析］若函数y= x2+ mx + 1在(—1, +^ )上单调递增，则—mm <—1,解得m》2, 即p：m>2;若函数y= 4*+ 4(m—2)x+ 1恒大于零，贝U △= 16(m—2)2—16<0，解得1<m<3，即q：1<m<3.因为p或q为真，p且q为假，所以p、q 一真一假，m> 2,当p真q假时，由弋得m> 3,m> 3或m<1,m<2,当p假q真时，由得1<m<2.(1<m<3,综上可知，m的取值范围是{m|m> 3或1<m<2}.［一点通］1 •含有逻辑联结词的命题p A q、p V q的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p A q、p V q的真假也可以判断命题p、q的真假.2. 解答这类问题的一般步骤：(1)先求出构成命题p A q、p V q的命题p、q成立时参数需满足的条件；⑵其次根据命题p A q、p V q的真假判定命题p、q的真假；(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围.3. 命题p ：关于x 的不等式x + 2ax + 4>0对一切x € R 恒成立；命题q :函数f(x)= — (5 — 2a)x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.解：由△= 4a 2— 16<0，得一2<a<2, 故命题p : — 2<a<2. 由 5 — 2a>1，得 a<2, 故命题q : a<2.若p 或q 为真，p 且q 为假，则「一 2<a<2,①p 真，q 假.则由* 得a € ?.a > 2,--a< — 2.综上可知，符合条件的 a 的取值范围为(一^，― 2)4. 已知a > 0,且1，设p :函数y = log a (x + 1)在x € (0,+^ )内单调递减，q ：曲线 y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于不同的两点，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取 值范围.解：当0v a v 1时，函数y = log a (x + 1)在(0,+^ )内单调递减；当 a > 1时，函数y = log a (x + 1)在(0，+8 )内不是单调递减的.曲线y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于不同的两点等价于 (2a — 3)2— 4>0,即a v 1或a >5 ⑴若p 为真且q 为假，即函数y = log a (x + 1)在(0，+^ )内单调递减，曲线 y = x 2+ (2a一 1 5 "I—3)x + 1与x 轴不交于不同的两点，贝U a € (0,1) A ^，2，即 a € 2，1]⑵若p 为假且q 为真，即函数y = log a (x + 1)在(0，+^ )内不是单调递减的，曲线 y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于不同的两点，则 a € (1，+^ )A 0, 1 U 5，+^ ，即a € I'5 +J 2，+综上可知，a 的取值范围为 寸，1 U |,+8 .[方法・规律■小结〕1.含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“ p 或q ”为真，“p 或q ”为假，“p 且q ”为 真，“p 且q ”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成 p , q 的真假，p , q 的真假有 时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可.2.相关结论：使“ p 或q ”为真的参数范围为使命题 p , q 分别为真的参数范围的并集,②p 假，q 真.a w - 2或a 》2 a<2,p q p qi p p q p p qa x 1.121.21 log a x log 1」2>log 1.11.21 2 a x <log a xpq3 p ax b>0 ix | x> b"a. ’qx(x a)(xb)<0{x|a<x<b}p qpqppa<0 a 0qa bpp4pq()p q p qpqpq.pqp qp q2pa>1xa >log a xq ama n a p aq(m n p q* N ) (p) ( q)(p) (q) p ( q)p qa 1.1x 2{a n }m n p q a nama paqd 0ama naPa qpqp qp ( q)p) ( q) (p) (( q)5. （湖北高考改编）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次•设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为_____________ .①（綈p）V （綈q）;②p V （綈q）;③（綈p）A （綈q）;④p V q.解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为（綈p）V （綈q）.答案：①6•写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假.（1）p：.5是有理数，q：,5是整数；（2）p：不等式x2—2x—3>0 的解集是（一8, —1）,q：不等式x2—2x—3>0的解集是（3,+8 ）.解：（1）p或q：5是有理数或.5是整数；p且q：5是有理数且.5是整数；非p: 5不是有理数.因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真.（2）p或q：不等式x2—2x—3>0的解集是（―汽―1）或不等式x2—2x—3>0的解集是）；p且q：不等式x2—2x—3> 0的解集是（—8, —1）且不等式x2—2x—3> 0的解集是（3,+ 8 ）；非p:不等式x2—2x—3>0的解集不是（—8, —1）.因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真.X—1|< 2,2 27.命题p：实数x满足x —4ax+ 3a <0（a>0），命题q :实数x满足x+ 3> 0.x—⑴若a = 1，且p A q为真，求实数x的取值范围；⑵若q?綈p,求实数a的取值范围.解：⑴由于a= 1,贝U x2—4ax+ 3a2<0? x2—4x+ 3<0? 1<x<3.所以p：1<x<3.2lx—1|W 2,解不等式组丿x+ 3 得2<x w 3,》0所以q：2<x w 3.2p q p q1<x<3<2<x<32<x 3x (2,3)(2) p x2 4ax 3a20 a>02 2x 4ax 3a 0? (x a)(x 3a) 0? x a x 3ap x a x 3aA {x|x a x 3a}(1) q 2<x 3B {x|2<x 3}q? P(1)P qa i a (1) P1.2a(a 1)2 4a212.a| a I- 1 a 1-[a| 3 a 1q1.3 a 3a 2 0<a 23[3x2(a 1)x a20 q y (2a2 a)x。

1.2余弦定理（二）【学习目标】掌握余弦定理的内容及其等价形式；会运用余弦定理及有关知识解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题.【重点难点】学习重点：余弦定理的等价形式及其基本应用.学习难点：利用余弦定理等知识解决与测量和几何计算与证明有关的实际问题.【学习过程】一、自主学习与交流反馈：（1） 正弦定理：正弦定理的变形形式：（2） 余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===三角形面积公式： ______________________________________ABC S ===三角形面积公式其它形式：二、例题讲解例1 在长江某渡口处，江水以5km/h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头.设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东15°的方向上，并与A 码头相距1.2km ，该渡船应按什么方向航行？速度是多少？（角度精确到0.1°，速度精确到0.1km/h ）例2 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =,试判断该三角形的形状.例3 在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+=.C例4 在ABC ∆中, b a b AC a BC ,,,==是方程02322=+-x x 的两根，且1)cos(2=+B A ，求：（1）角C 的度数；（2）AB 的长度；（3）ΔABC 的面积.四、巩固练习1．在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____.2．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos .3．在ABC ∆中，已知,2,3a b == 60C =,试证明此三角形为锐角三角形.4．已知锐角三角形的边长分别是1、3、a ，则a 的取值范围是_ _____.。