数学：余弦定理教案苏教版必修

§1.2 余弦定理（1）一、学习目标：1.理解用向量的数量积证明余弦定理的方法；2.掌握并熟记余弦定理；3.能运用余弦定理及其推论解三角形。

二、学法指导1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。

2.余弦定理适用的题型：（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理必有一解3.余弦定理适用于判断三角形的形状。

三、课前预习（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于 的积的两倍，即222____________________________________________________________________________________a b c ===（2）余弦定理的推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===（3）用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题①已知三角形的三边，求② 已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。

四、课堂探究余弦定理的证明及理解：想一想：(1)余弦定理与勾股定理有什么关系？(2)直接应用余弦定理可解决什么样的问题？五、数学应用题型1已知三角形的三边解三角形【例1】 已知△ABC 中，（1）6,5,4===c b a ，求A ；（2）边长为875，，的三角形中，求最大角与最小角的和 （3）a ：b ：c ＝2：6：(3＋1)，求△ABC 各角的度数．规律归纳此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)．题型2已知三角形的两边及夹角解三角形【例2】 在△ABC 中，（1）已知060,1,3===A c b ，求a ；（2）已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A.规律归纳已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)方法一：①利用余弦定理求出第三边；②利用正弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．方法二：①利用余弦定理求出第三边；②利用余弦定理求出一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．此时方法一中②通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形．题型3已知三角形的两边及一边对角解三角形【例3】 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求边a.规律归纳用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的根的个数即是三角形解的个数．特别地，已知三角形一角，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二．六、巩固训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.下列等式不成立的是( )A ．2a ＝2b ＋2c －2bccosAB ．2b ＝2c ＋2a －2accosBC ．cosA ＝bc a c b 2222-+D ．cosC ＝aba cb 2222++2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cosB 等于( )A.58B.6524C.1920 D ．－7203．在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，B ＝60°，则AC ＝________.4．在△ABC 中，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝6，则边BC 上的中线AD 的长为________．5．在△ABC 中，(1)若b ＝3，c ＝1，A ＝60°，试求a ；(2)若a ＝3，b ＝1，c ＝2，试求A.6.用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222a b c +>；当C ∠为钝角时，222a b c +<七、反思总结1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。

“余弦定理〞教学设计方案镇江市实验高级中学杨勇一、课题：余弦定理〔苏教版必修5第一章第2节〕二、教学内容分析余弦定理是“纵横〞知识网络上的一个重要结点，纵向开展的知识：勾股定理——余弦定理——秦九韶公式——海伦公式；横向联结的知识：和角公式、正弦定理及三角形面积公式．余弦定理承前的根底知识有勾股定理、向量根底知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理及三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储藏，后续的知识有正余弦定理的应用及其拓展内容秦九韶公式与海伦公式．同时，余弦定理可推导证明和角公式、正弦定理等，使三角内容紧密联结成一个完整的知识体系．余弦定理是三角函数模块和平面向量模块在三角形中的具体运用，是解决生产、生活实际问题及可转化为三角形计算问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值．本节课是“解斜三角形〞教学的第二课时，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课〞．三、教学目标1知识与技能〔1〕通过两颗星之间的距离，感受余弦定理来自于现实世界、从实际生活中提炼出数学的过程，以此培养学生的数学应用意识；〔2〕通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析几何和三角方法等多种途径证明余弦定理；2过程与方法〔1〕理解余弦定理的两种表示形式，初步了解余弦定理的两种形式之间的关系；〔2〕通过学生动手操作、提出问题、解决问题的过程，提高学生运用余弦定理解决问题的能力；3情感态度价值观体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，让学生获得发现的成就感，在质疑、交流、合作中形成良好的数学思维品质．三、教学重点与难点对于三角形边角关系的探索过程，是学生在问题引导下，尝试问题解决，提升自信的心理历程，本节课的终结点是余弦定理纳入学生的知识结构之中，培养学生的数学应用意识，因此课堂教学的重点确立为：余弦定理的发现与证明．要获取余弦定理的关键是引入向量或建立适当的直角坐标系，这从学生的认知能力来讲，是一个较难的问题，因而，本堂课的难点确立为：余弦定理的建立．在突破难点上，采用探究式提问策略，通过解直角三角形、向量及建立直角坐标系的根底知识〔注：建立直角坐标系的方法根据学生的接受能力而定〕，使难点在学生递进式的解答过程中，层层突破，并领悟数学知识的内在联系．四、教学过程：〔一〕创设情境1 牵牛星A和织女星B分别距离地球C约17光年和26光年，从地球上观测这两颗星的张角为340，求牵牛星和织女星之间的距离〔精确到光年,其中COS340=〕设计意图：通过问题情境的创设，激发学生的兴趣，在学生发现AB无法具体测量后，转而想到正弦定理，进而发现该问题不符合正弦定理能解决的两种类型，一时激起强烈的认知冲突。

苏教版高中高三数学必修5《余弦定理》教案及教学反思一、教案1. 教学目标通过本节课的学习，让学生掌握余弦定理的含义和使用方法；培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

2. 教学重点掌握余弦定理的内容和应用场景。

3. 教学难点理解余弦定理的原理和证明方法。

4. 教学方法讲解、练习、归纳、探究。

5. 教学准备黑板、白板、彩色粉笔、板书设计、课件。

6. 教学过程6.1 引入老师出示三角形图形，并让学生用勾股定理求出斜边长度。

然后老师问学生怎么求另外两条边长度，学生可用勾股定理计算得出。

接下来老师提出问题：“如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以用什么公式求出第三边的长度呢？”6.2 讲解老师介绍余弦定理的概念、公式及证明方法。

展示余弦定理的公式$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$$让学生理解其中的符号含义。

6.3 练习1.请通过余弦定理计算以下三角形的斜边长度：–边长分别为12cm, 16cm，夹角为$120^{\\circ}$ 的三角形–边长分别为5cm, 7cm，夹角为$60^{\\circ}$ 的三角形2.如果知道三角形的三边长度，如何判断它们是否能构成三角形？6.4 探究让学生互相交换刚才的练习结果，并相互核对。

然后，由学生自己设计一个类似的问题，并分组讨论如何使用余弦定理解决该问题。

6.5 总结老师归纳余弦定理的公式及应用场景，并让学生总结本节课的内容。

二、教学反思1. 教学过程本节课的教学过程分为引入、讲解、练习、探究和总结五个部分，目标明确，内容详实，这样设计是比较合理的。

2. 教学方法在教学方法方面，本节课采用了讲解、练习、归纳和探究等多种方法，正确引导学生思考，从而使学生更加深入理解和掌握知识点。

3. 教学效果本节课的教学效果比较显著，学生对余弦定理的公式、应用场景等方面有了更全面的认识，掌握了正确的求解方法，另外学生们的讨论也很活跃，互相学习存才，教学效果比较好。

1.2 余弦定理（2）教学目标：1. 掌握余弦定理．2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想．教学重点：余弦定理的应用；教学难点：运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．教学过程：一、复习回顾余弦定理的两种形式（一）A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=． （二）bca cb A 2cos 222-+=， cab ac B 2cos 222-+=， abc b a C 2cos 222-+=． 二、学生活动探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．三、数学应用1．例题．例1 A ，B 两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C ，测得182,126,63m m CA CB ACB ==∠=︒，求A ，B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解 由余弦定理，得18.2817863cos 1261822126182cos 2222≈︒⨯⨯-︒+︒=⋅-+=C CB CA CB CA AB A BC所以，)(168m AB ≈．答：A ，B 两地之间的距离约为168m ．例2 在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在h 1.0后到达江北岸B 码头．设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东︒15，并与A 码头相距km 2.1．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到︒1.0，速度精确到0.1/km h ）？解 如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中)(5.01.05),(2.1km AC km AB =⨯==．在ABC ∆中，由余弦定理，得所以)(17.1km BC AD ≈=．因此，船的航行速度为)/(7.111.017.1h km =÷．在ABC ∆中，由正弦定理，得 sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠︒∠==≈， 所以 ︒≈∠4.24ABC所以 ︒≈︒-∠=∠-∠=∠4.915ABC NAB DAB DAN ．答：渡船应按北偏西︒4.9的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例3 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断该三角形的形状．解 由正弦定理及余弦定理，得b a B A =sin sin ，abc b a C 2cos 222-+=，所以 abc b a b a 22222-+⨯=， 整理，得 22c b =因为0,0>>c b ，所以c b =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例4 在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos =+，试判断ABC ∆的形状． 解 由C c B b A a cos cos cos =+及余弦定理，得abc b a c ca b a c b bc a c b a 222222222222-+⨯=-+⨯+-+⨯， 整理，得2224)(b a c -=，即 222c b a =-或222c b a -=-，所以 222c b a +=或222b c a =+，所以 ABC ∆为直角三角形．例5 如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证： 222)(221BC AC AB AM -+=． 证明：设,α=∠AMB 则α-︒=∠180AMC ，在ABC ∆中，由余弦定理，得αcos 2222BM AM BM AM AB ⋅-+=．在ACM ∆中，由余弦定理，得 )180cos(2222α-︒⋅-+=MC AM MC AM AC ．因为ααcos )180cos(-=-︒，BC MC BM 21==, 所以2222212BC AM AC AB +=+, 因此，222)(221BC AC AB AM -+=． 2. 练习． （1）在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于（ ）A ．32B ．32-C ．31-D ．41- （2）如图，长7m 的梯子BC 靠在斜壁上，梯脚与壁基相距1.5m ，梯顶在沿着壁向上6m 的地方，求壁面和地面所成的角α(精确到︒1.0)．（3）在ABC ∆中，已知︒===60,3,2C b a ，试判断此三角形的形状．（4）在ABC ∆中，设CB ＝a ，AC ＝ｂ， AB C α αM CB A且|a|＝2，|ｂ|，a·，求AB的长（精确到0.01）．练习答案：126（3）锐角三角形（4）1.88（1）D （2） 7.四、要点归纳与方法小结这节课，我们进一步学习了余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，对于三角形中边角关系，我们有了进一步地了解，在后面的学习中，我们将继续研究．。

江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。

2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。

二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。

2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。

2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。

2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。

3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。

4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。

2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。

3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。

4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。

5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。

6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。

7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。

8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。

2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。

听课随笔1.2 余弦定理 第1课时知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；3． 能初步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，______________________，______________________.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）_______________________________． 【精典范例】 【例1】在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ；（2）已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）． 【解】点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 【解】【例3】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<． 【证】点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广． 追踪训练一 １．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７， 求a ；（２）已知a ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．听课随笔２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（ ） Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形 Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知222c ab b a =++，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？【选修延伸】【例4】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。

余弦定理教案教学目的1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．2．使学生初步掌握余弦定理的应用．教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理．教学过程设计一、复习师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：(1)角的关系A+B+C=180°．A+B=90°．(2)边的关系c2=a2+b2．二、引入师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．下面请同学们自己动手推导结论．如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．△ACB是两个直角三角形之差．在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)=b2+2abcos(π－C)+a2．因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足c2=a2+b2－2abcosC．这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到a2=b2+c2－2bccosA．b2=c2+a2－2accosB．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．请同学们分析B点坐标是怎样得来的．生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a2=b2+c2－2bccosA．c2=a2+b2－2abcosC．b2=a2+c2－2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．解由余弦定理可知Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA所以BC=7．以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．六、应用举例例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．师：请同学们先做几分钟．生甲：如图6，作CD⊥AB于D．在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB．师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．请大家借用余弦定理证明．生：因为acosB+bcosA所以c=acosB+bcosA．师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．解因为a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．请同学们先设计解题方案．生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．解设D为AB中点，连CD．在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．(学生开始议论．)生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC ∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos ∠CBE．师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．解延长CD至E，使DE=CD．因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在△CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)范围内余弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A 为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．八、作业5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．课堂教学设计说明1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性．。

B1.2 余弦定理（2）【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知1．余弦定理的向量证明：方法1：如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵−→−AC +=−→−AB −→−BC ， ∴⋅−→−AC −→−AC +=−→−AB (⋅−→−)BC +−→−AB ()−→−BC −→−=AB2⋅+−→−AB 2+−→−BC −→−BC2−→−=AB2⋅+−→−||2AB )180cos(||0B BC -−→−+−→−BC222cos 2a B ac c +-= 即 B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-，同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注意：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理教案余弦定理教案范文（通用5篇）余弦定理教案1一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

余弦定理江苏省奔牛高级中学蒋亦【教学目标】知识与技能〔1〕掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕理解余弦定理可解的三角形类型.过程与方法（1）通过复习引出问题，经历特殊到一般的过程探究余弦定理；（2）通过对余弦定理结构特征的观察，多角度证明余弦定理；（3）通过数学应用总结出余弦定理可解的三角形类型.情感、态度与价值观经历提出问题、探究问题、解决问题的过程发现余弦定理，在应用余弦定理过程中总结规律.以问题驱动课堂，激发学生学习热情，在探究中培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，激发学生数学兴趣.教学重点：发现、证明和应用余弦定理教学难点：证明余弦定理【教学过程】复习引入前面学习了正弦定理，用正弦定理可以解两类三角形（1）两角一边 AAS,ASA〔唯一〕（2）两边及其一边对角 SSA〔不确定〕根据初中三角形全等的知识，还有那些类型的三角形也是确定的？〔SAA,SSS〕追问：能用正弦定理解吗？仅以SAS为例，比方，用正弦定理无法求解三角形.问题情境（1）在中,求;（2）在中,求.生：〔化归为直角三角形求解…〕追问：一般的，在中,如何表示生：〔化归为直角三角形求解…〕〔师板书〕余弦定理符号：追问1：你能否用文字语言表达上面表达式？文字：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们夹角余弦积的两倍.追问2：仔细观察余弦定理的结构特征，怎样才能既迅速又准确的记住？生：…〔师小结〕等式左边是一边的平方，右边类似另两边差的完全平方展开式，但是乘积项多了这夹角的余弦值.追问3：两边及其夹角余弦的乘积，让你想起了哪个知识？〔数量积〕是哪两个向量的数量积？〔〕如何构造问题2.试用向量数量积知识证明：生：…（3）师：请用余弦定理求解问题情境〔2〕在中,求.〔小结〕余弦定理也可以写成如下形式：小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？生：〔1〕三边，求三个角；〔2〕两边及夹角，求第三边和其他两个角；〔3〕两边及其一边对角.追问：结合上节内容“正弦定理〞常见可解三角形类型及其方法？例1.两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离.练习3.〔1〕在中，，求角〔2〕在中，，求角例2.用余弦定理证明：当是锐角时，；当是钝角时，〔小结〕设是最长的边，那么在中，为直角，是直角三角形；为锐角，是锐角三角形；为钝角，是钝角三角形.课堂小结：这节课学了哪些数学知识和思想方法？1.一个定理，两种证法；一个推论，两种应用〔SAS,SSS〕；2.常见解三角形类型及其解法SSS——余弦定理 SAS——余弦定理 AAS,ASA——正弦定理 SSA——正弦〔或余弦〕定理可解三角形——三要素〔至少一边长〕；3.解三角形方法的本质是方程思想.。