6.4.2 第二课时 余弦定理、正弦定理(原卷版)高一数学同步备课系列(人教A版2019第二册)

§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时）一、内容和内容解析内容：正弦定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形.《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系.在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够.它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具.因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通.二、目标和目标解析目标：（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养．（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．目标解析：（1）用向量的方法证明正弦定理，或者其他方法证明，在证明中培养学生的逻辑思维能力，特别是外接圆法和分类讨论的方法，推导出比值为外接圆直径和三角形的面积公式．（2）结合正弦定理的结构特点可以发现正弦定理的变形形式比较多，拆分式、连比式、分体式，每种形式都有着广泛的应用，这也为学生选择合适的形式解决问题增加了难度．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在正弦定理的教学中，从特殊的三角形的边角特点即勾股定理归纳概括一般三角形的特点是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：怎样证明正弦定理是本节课的第一个教学问题．是本节课的重点．解决方案：利用向量法证明，体现向量的工具作用，关键在于阐明“过点A作与AC垂直的单位向量j”的思维过程．2．教学问题二：利用正弦定理解决解三角形的问题是本节的第二个教学问题．．解决方案：类比全等三角形的证明条件，说明方程解得个数，根据大边对大角或内角和为π进行解得个数的取舍，从而解决问题．基于上述情况，本节课的教学难点定为：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到正弦定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过学生分组探究，合作交流的教学方式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视正弦定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？通过实际问题，激发学生的研究兴趣探索交流获得结论[问题1]如图，在Rt△ABC中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？[问题2]对于一般的三角形，CcBbAasinsinsin==仍然成立吗？教师1：提出问题1．学生1：asin A＝bsin B＝csin C＝c．教师2：提出问题2．学生2：分锐角三角形、钝角三角形证明.（1）在锐角三角形ABC∆中.过点A 作单位向量j垂直于AC.由ABCBAC=+，两边同乘以单位向量j得，通过探究，由直角三角形得一结论，提高学生的解决问题、分析问题的能力.通过思考，分析在锐角三[问题3]这个比值是多少？如何求解？ABjCBACj⋅=+⋅)(，则ABjCBjACj⋅=⋅+⋅，所以||||cos90||||cos(90)j AC j CB C︒︒+-||||cos(90)j AB A︒=-整理得CcAaAcaisnCsinsinsin=∴=同理，过点C作与CB垂直的单位向量j，可得CcBbsinsin=所以CcBbAasinsinsin==.（2）在钝角三角形ABC∆中，不妨设A为钝角，如图.过点A作与AC垂直的单位向量j.同理可得CcBbAasinsinsin==.教师3：总结正弦定理．(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，（2）符号语言：asin A＝bsin B＝csin C.教师4：提出问题3.学生3：该比值为该三角形外接圆的直径.作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,2CD R=（R为⊿ABC的角形、钝角三角形该式子成立，得正弦定理.提高学生分析问题、概括能力.[问题4]利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？[问题5]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？外接圆半径）．所以sin sin2CB aA DCD R===，所以2sinaRA=．同理2,sinbRB=2sincRC=．因此2sin sin sina b cRA B C===．师生共同总结：正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.教师5：提出问题4．学生4：正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.教师6：提出问题5．学生5：不对.根据正弦定理，a＝2R sin A，b＝2R sinB，c＝2R sin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.通过思考，进一步理解正弦定理的运用，提高学生分析问题的能力.1.已知两角及一边解三角形例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 教师7：完成例1.学生6：根据正弦定理，得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝c sin Bsin C＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).通过例题的讲解，让典例分析巩固落实2.已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c.3.判断三角形形状例3.已知在△ABC中，b sin B＝c sin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．[课堂练习]1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解此三角形.2. (1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是________三角形；(2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是________三角形.教师8：完成例2．学生7：由正弦定理asin A＝bsin B，知sin A＝a sin Bb＝32，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 15°sin 45°＝6－22.故当A＝60°时，C＝75°，c＝6＋22；当A＝120°时，C＝15°，c＝6－22.教师9：完成例3．学生8：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.∵b sin B＝c sin C，∴b·b2R＝c·c2R，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．教师10：布置课堂练习1、2．学生9：完成课堂练习，并核对答案．学生进一步理解正弦定理，提高学生解决与分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59 C.53 D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A.43B.2 3C. 3D.323.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.在△ABC中，a＝5，b＝53，A＝30°，则B＝________.教师11：提出问题6．学生10：学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．1.B；2.B；3. A ；4.60°或120°.师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

正弦定理、余弦定理1、三角形中的边角关系 在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则有（1）角与角之间的关系：A ＋B ＋C ＝180°；（2）边与角之间的关系：2.正弦定理：正弦定理的另三种表示形式：3.余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA b 2＝c 2＋a 2－2accosB c 2＝a 2＋b 2－2abcosC余弦定理的另一种表示形式：222cos 2b c abc +-A =，222cos 2a c bac +-B =，222cos 2a b cC ab +-=射影定理：a ＝bcosC ＋ccosB b ＝ccosA ＋acosC c ＝acosB ＋bcosA4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形； （2）已知两边和一边的对角解三角形．5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形； （2）已知两边和夹角解三角形．6、三角形面积公式：三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图）（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2、利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D．则在Rt△ADB中，∴ AD＝AB·sinB＝csinB3、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．。

高一数学正弦定理、余弦定理教案第二课时（第二课时）一、教学目标1．掌握正弦定理在求解三角形中的应用；2．能够判定利用正弦定理求三角形解情况，灵活运用正弦定理解决实际问题．二、教学重点利用正弦定理求解三角形已知两角和一边以及已知两边和其中一边的对角的两种情况．教学难点利用正弦定理求解三角形时解的个数的判定．三、教学具准备投影仪四、教学过程1．设置情境师：请同学们回想正弦定理的形式，并用文字叙述.师：三角形的基本性质是什么？生：三角形的三内角和为180°；三角形中大角对大边.2．探索研究及例题分析师：利用正弦定理求角时为什么会出现一解、两解、无解的情况呢？下面我们看例题.例1 在中，已知，求B（精确到1°）和c边（保留两个有效数字）师：本题给出的条件是两边和其一边的对角，你能确定解题顺序吗？生：先由正弦定理求出，再由正弦定理求出c边.解：师：一定是锐角吗？生：不一定，因为，所以在中，可能是锐角也可能是钝角.师：本题中因为或都合题意∴有两解或我们在解题之前可以先根据大角对大边的性质对已知条件进行分析，判断解的个数，从而优化解题过程.练习：（投影）你能根据各已知条件，判定的解的个数吗？（1），求B；（2），求B；（3），求B；（4），求B.（参考答案：（1），B只能是锐角，仅有一解：（2），B只能是锐角，仅有一解；（3），只有一解；（4）有两解.）例2 在中，已知，求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）.解：已知，所以也是锐角.3．演练反馈（投影）在中，已知，解这个三角形.（角度精确到1°，边长保留两位有效数字.）略解：（计算器程序见附1）∴当时，∴（附2）当时，∴ .注：在复杂计算中可以使用计算器，本题附1、附2程序如下.附1附24．总结提炼（1）中，因，故由的值，一般可有两个角、一个角之分，即解不一定惟一.（2）已知a、b及A作三角形，其解的情况如下：①A为锐角时若，则可用一个三角形如图（1）若，则可作一解，如图（2）.若，则可作两解，如图（3）.②若A为直角或钝角时若，则可作一解，如图（4）③解三角时可使用计算器.五、板书设计课题1．复习2．例题分析例1例2例3 演练反馈总结提炼。

第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理教学设计一、 教学目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法，达到数学抽象和逻辑推理核心素养水平一的要求.2.会运用正弦定理和三角形内角和定理解三角形的两类基本问题，达到数学运算与逻辑推理核心素养水平一的要求.二、教学重难点1.教学重点正弦定理的内容及其基本应用.2.教学难点正弦定理的探索及证明.三、教学过程（一）情境导入教师：展示黄山，泰山，淮河等图片，引导学生发现问题：如何能实现不登山而知山高，不过河而知河宽?教师：创设情境提出问题，某人站在河岸边B 位置，发现对岸处有一个宣传板A ，如何能求出A,B 两点间的距离?（备用工具：测角仪和皮尺）.学生：思考问题如何进行解答.教师：引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法.（二）探索新知探究：正弦定理的推导教师：回顾直角三角形中边角关系，如图:在Rt ABC ∆中，90C ∠=，则sin ,sin ,sin 1a b c A B C c c c====则sin sin sin a b c A B C==.学生:思考，寻求联系，发现规律，深化对直角三角形边角关系的理解.利用边相同寻求形式的和谐统一.即：在Rt ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C==. 教师：在斜三角形中，上述关系式是否成立?学生：思考讨论.教师：在锐角三角形中，如上图，在锐角三角形ABC 中，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，则j 与AB 的夹角为2C π-，因为AC CB AB +=，所以，()j AC CB j AB ⋅+=⋅.由分配律得j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅，即||cos ||||cos 22||||cos ,2j AC j CB C j AB A πππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 也即sin sin a C c A =，所以sin sin a c A C =，同理，过点C 作与CB 垂直的单位向量m , 可得sin sin b c B C =，因此，sin sin sin a b c A B C==. 教师：引导学生自主探究对于一般的三角形，sin sin sin a b c A B C ==是否依然成立. 学生：讨论证明.教师：正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.（三）课堂练习1.在ABC △中, 60A =︒,a =,b =,则B =( )A. 45︒B. 135︒C. 45︒或135︒D.以上答案都不对答案：A解析：在ABC △中,由正弦定理,得sin sin a b A B =,=,解得sin B =. ∵b a <以及大边对大角,∴60B A <=︒,∴45B =︒.故选A.2.若ABC △的三角::1:2:3A B C =，则A 、B 、C 分别所对边::a b c = ( )A ．1:2:3B ．C ．2D ．1:2答案：C解析：由::1:2:3A B C =及πA B C ++=得30,60,90A B C ︒︒===︒，再由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得::2a b c =.故选C. （四）小结作业小结：本节课学习了正弦定理及其推论。