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应用线性回归模型校准液压千斤顶【摘要】本文先介绍了最小二乘法的定义和最小二乘法在线性回归模型中的表示方法。
然后再介绍了最小二乘法的相关公式。
最后利用已经校准的液压千斤顶来检测井盖的破坏荷载是否满足规范要求。
一、最小二乘法与线性回归模型1、最小二乘法的定义在实际工作中，常常会遇到这样的问题：给出两个变量x，y的n组试验数据，怎么才能从中找出变量x、y的函数关系式呢？然后利用这个函数关系式对x与y之间的除了试验数据之外的其它对应情况作出某种判断。
这样的问题一般可以分为两类：一类是对x与y之间所存在的对应规律一无所知，这时要从试验数据中找出符合实际情况的函数关系式是很困难的，这类问题为黑箱问题；另一类是通过问题作出分析，然后再建立数学模型或者通过整理归纳试验数据，得出x与y之间符合某种类型的函数关系式，其中有m个待定参数，这些参数的值可以通过n组试验数据来确定，这类问题称为灰箱问题。
解决灰箱问题的方法通常会利用到“最小二乘法”。
2、最小二乘法在线性回归模型中的表示方法上面我们已经说明了最小二乘法的数据全部来自于试验取得。
在建立一元线性回归方程中，虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数，但是在回归分析中最常用的方法就是最小二乘法。
如果变量x与y有精确的线性关系比如说y=kx+b，那么观测值与回归值是相等的。
然而在实际工作中诸多变量的关系不一定都是如此，由于受到许多随机因素的干扰使得物与物之间没有那么明确的一一对应关系。
那么我们就需要通过数学的方法来来使之对应。
首先通过试验取得数据，其次把数据描绘出来。
然后拟合一条跟已知的函数图像最为接近的曲线，这样就可以相对地将他们之间的关系表示出来了。
在处理诸如此类的事件中常常应用到最小二乘法。
3、最小二乘法的适用范围（1）本文所讨论的最小二乘法仅且只适用于一元线性函数，比如y=bx+a。
（2）不适用于非线性函数和多元线性函数。
二、最小二乘法的公式为了定量地给出y=bx+a与实验数据之间线性关系的符合程度，可以用Pearson（皮尔逊）相关系数R来衡量。
．．．．．．．．．．．．．．．第五章千斤顶校验规程第一节 根本原理千斤顶，特别是大吨位千斤顶，常用于预应力砼施工中预应力钢绞线等的张拉。
由于千斤顶对外显示不是活塞上的力值而是液压油的压力值，这样在张拉钢绞线张拉时不便利。
钢 绞线的张拉是以力为掌握参数的，故校验的第一个任务就是建立千斤顶液压油压力值同千斤 顶向外供给的力值之间的关系；一般地，这种关系是线性关系。
另外，由于千斤顶活塞与活塞环之间存在摩擦阻力，单纯以液压油压力来计算千斤顶提 供的力值是不恰当的，同时，假设活塞与活塞环之间的摩擦阻力过大，也不能保证千斤顶的正确计量，这也是在千斤顶的校验要处理的问题，也就是要限制千斤顶的摩阻系数不大于1.05。
一般地，校验千斤顶前，应先校准油压表；只有经校准的油压表才能用在千斤顶上。
在千斤顶上的油压表一般是 1.5 级精度，这样，在最不利的状况下，互换油压表后的误差也不会超过 3.0%，这种精度是能满足施工要求的。
故在理论上用于千斤顶上的油压表可以互换使用，前提条件是油压表必需校准合格。
其次节校验荷载级数确定千斤顶在使用时，往往达不到其最大的吨位，因此在校验时，也不肯定要校验到最大吨位。
因此校验荷载级数可这样确定：依据使用要求，确定本次校验的最大压力Pa，则级间压力差为Pa/10，同时，再向最大压力之外加上两荷载级，即两个Pa/10，这样校验荷载级数共有12 级。
第三节校验过程1、千斤顶的预备在校验之前，应让千斤顶的活塞自由往复运动数次，一是查看千斤顶是否完好，二是确定千斤顶活塞与活塞环之间是否有异物，造成摩擦阻力过大。
如有故障，应先排解故障。
然后要查找千斤顶的铭牌或档案，查出它的公称活塞面积备用。
2、校验时，将千斤顶置于反力架上，测力计或传感器器置于千斤上方〔可选用三等精度的测力计或传感器〕，用垫块适当地垫高千斤顶或测力计，使用千斤顶活塞能顶上反力架，如图1 所示。
启动千斤顶油压泵，使压力表清零。
假设是小吨位、小行程的千斤顶，可以用试验室的压力机或万能材料试验机做反力架。
关于检校张拉千斤顶的回归方程式关于检校张拉千斤顶的回归方程式阐明由（一）式至（二）式的转换过程以及a 与b 的出处（一） Y = a + b X （试验室公式，旨在求得a 、b 。
） 试验室数据（“顶压机”法）油缸面积571.48cm 2=57148mm 20.4（1.0）级压力表读数MPa(Y) 千斤顶压 力值(KN) （理论计算）压力机读数KN(X)校正系数实测值理论值=K1.00≤K ≤1.051 2 3 均值 A B C D E F G i1 5 285.7 272.1 1.05 i2 10 571.5 544.3 1.05 i3 15 857.2 816.4 1.05 i4 20 1143.0 1088.6 1.05 i5 25 1428.7 1360.7 1.05 i6 30 1714.4 1632.8 1.05 i7 35 2000.2 1905.0 1.05 i8 40 2285.9 2177.0 1.05 i9 45 2571.7 2449.2 1.05 in …首先计算相关系数])([])([2222Y Y n X X n YX XY n ∑-∑*∑-∑∑*∑-∑=γ ≥0.9999计算公式：截距 222)(X n X X Y X XY a ∑-∑∑*∑-∑*∑=斜率 22)(Xn X XYn Y X b ∑-∑∑-∑*∑= 说明：①“Σ”读“西格玛”是“∑=ni 11”的简化。
表示与a 、b 相关的数据（即“回归因素”）Y 或X 由 i 1=5MPa(或272.1KN)……至i 9=45MPa(或2449.2KN)……i n =……之总和。
② n 表示数据量即因数发生的次数，此处n=9。
例如：22229124515105+++=∑= i y 。
()22914515105+++=⎪⎭⎫⎝⎛∑= i y 。
()2.2449454.816153.544101.2725991⨯+⨯+⨯+⨯=∑= i YX n 。
一千斤顶标定中的应用时榴，张定高（重庆桥梁工程总公司重庆400060）[摘要] 本文着重介绍了预应力千斤顶、油表配套标定后一元线性回归方程的建立、显著性检验、应用及注意事项。
[关键词] 预应力、回归方程、相关系数、显著性检验One yuan of linear recurrence equation is at prestressing force Application in the hoisting jack demarcationShi Liu,Zhang Ding Gao(Chongqing Bridge Engineering Company Chongqing 400060 , China )Abstract：In this article, authors is stressed and is introduced necessaryestablishment demarcating back one yuan of linear recurrence equation ofprestressing force hoisting jack and oil table, notable nature inspection,application and paying attention to the item.Key words：prestressing force, recurrence equation, correlation coefficient and notable nature inspection1、概述预应力混凝土经过近半世纪的发展，目前在我国已成为土建工程中一种十分重要的结构材料，应用范围日益扩大，由以往的单层及多层房屋、公路、铁路桥梁、水塔等。
在桥梁结构领域中，预应力技术既是一种结构手段又将与施工方法结合形成一套以节段式施工为主体的预应力施工方法。
主要有预应力悬臂分段施工技术，大节段预制吊装技术等。
线性回归技术在实验检测中的应用【摘要】本论文首先对线性回归的介绍进行了说明，然后分析了线性回归分析的基本步骤，最后论文详细阐述了每个环节出现的一些问题以及针对这些问题，制定有效的推进方法线性回归模型在土木工程试验检测中的应用。
【关键词】线性回归；实验检测；应用一、前言在实验检测中，一般少不了数据分析那么以达到变量关系为主的线性回归技术，对检测进行分析，这样才能使得线性回归技术在实验检测中得到了广泛的应用。
二、线性回归的介绍1、一元线性回归分析一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。
如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。
对两个现象X和Y进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn，假如要找出一个函数Y=f(X)，使它在X=X1，X2，…，Xn时的数值f(X1)，f(X2)，…，f(Xn)与观察值Y1，Y2，…，Yn趋于接近。
2、多元线性回归分析一元回归研究的是一个自变量和一个因变量的各种关系。
但是客观事物的变化往往受到多种因素的影响，即使其中有一个因素起着主导作用，但其它因素的作用也是不可忽视的。
因此，我们还需要研究多种变量的关系，这种多个变量之间的关系就叫做多元回归问题。
例如，水稻的产量不仅与生长期内的雨量有关，而且与温度也有关系。
所以寻求水稻的产量不仅与生长期内的雨量之间的相互关系，就是多元回归问题。
3、方差分析方差分析法是分析多组平均数之间差异显著性时常用的一种统计方法。
方差（或均方）是一个表示变异程度的量，它是离均差的平方和与自由度之商。
在一项实验或调查中往往存在着许多造成生物形状变异的因素，这些因素有比较重要的，也有较次要的。
分析时主要是把平方和与自由度按不同的变异起因分解为若干部分，从而构成来自不同起因的方差。
利用它来检验各组平均数之间差异的显著性。
在正态总体及方差相同的基本假定下，我们将利用方差比给出F分布的检验统计量。
第四节一元线性回归方程的应用回归方程最主的应用就是用它进行估计或预测。
只要r2≠1，估计误差就不可避免。
因而在应用回归方程时，需要对估计的误差以及与之相联系的一些问题有所了解。
一、回归方程的建立与预测（或估计）对于一组X、Y的数据，我们可以建立回归方程，有了y对X的回归方程，也就找到了X与y之间变化的数量关系，对于任意一个X值都可估计出与之对应的y值。
一）回归方程的建立例下面是20名工作人员的智商和某一次技术考试成绩，根据这个结果求出考试成绩对智商的回归方程。
如果另有一名工作人员智商为120，则估计一下若让他也参加技术考试，将会得多少分？解：经检验两者具有线性关系计算得：X与Y的均值：107 71标准差：13.69 11.63 r=0.86代入公式则回归方程为：NO 智商X成绩Y估计Y'NO智商X成绩Y估计Y'1 89 55 57.86 11 84 53 54.212 97 74 63.7 12 121 82 81.223 126 87 84.87 13 97 58 63.74 87 60 56.4 14 101 60 66.625 119 71 79.76 15 92 67 60.056 101 54 66.62 16 110 80 73.197 130 90 87.79 17 128 85 86.338 115 73 76.84 18 111 73 73.929 108 67 71.73 19 99 71 65.1610 105 70 69.54 20 120 90 80.49二）回归方程的检验1．方差分析法SSR＝1997.48 SST=2705.14 SSE=707.66F=MSR/MSE=(SSR/dfR)/(SSE/dfE)= 1997.48 /(707.66/18)=50.81查表F(1,18)=8.28(0.01) 或 4.41(0.05) 结果显著2．回归系数法SX=13.69 SY=11.63 b=0.73 r=0.86三）用回归方程进行预测若X=120，代入回归方程得＝80.5就是说，这位工作人员虽没参加技术考试，但根据他的智商，估计其技术考试的分数应该为80.5。
一元线性回归方程在千斤顶校验中的应用
一元线性回归方程可以用来校验千斤顶的精度。
千斤顶的精度可以用一元线性回归方程来表示，即：
Y = aX + b
其中，Y表示千斤顶的实际重量，X表示千斤顶的标定重量，a表示千斤顶的精度，b表示千斤顶的偏差。
在校验千斤顶的精度时，可以采用一元线性回归方程，将实际重量和标定重量作为自变量，求出a和b的值，从而判断千斤顶的精度。
如果a的值接近1，则表明千斤顶的精度较高；如果a的值接近0，则表明千斤顶的精度较低。
一千斤顶标定中的应用时榴，张定高（重庆桥梁工程总公司重庆400060）[摘要] 本文着重介绍了预应力千斤顶、油表配套标定后一元线性回归方程的建立、显著性检验、应用及注意事项。
[关键词] 预应力、回归方程、相关系数、显著性检验One yuan of linear recurrence equation is at prestressing force Application in the hoisting jack demarcationShi Liu,Zhang Ding Gao(Chongqing Bridge Engineering Company Chongqing 400060 , China )Abstract：In this article, authors is stressed and is introduced necessaryestablishment demarcating back one yuan of linear recurrence equation ofprestressing force hoisting jack and oil table, notable nature inspection,application and paying attention to the item.Key words：prestressing force, recurrence equation, correlation coefficient and notable nature inspection1、概述预应力混凝土经过近半世纪的发展，目前在我国已成为土建工程中一种十分重要的结构材料，应用范围日益扩大，由以往的单层及多层房屋、公路、铁路桥梁、水塔等。
在桥梁结构领域中，预应力技术既是一种结构手段又将与施工方法结合形成一套以节段式施工为主体的预应力施工方法。
主要有预应力悬臂分段施工技术，大节段预制吊装技术等。
这些施工技术与预应力技术是紧密相关的。
我们知道，预应力一般都是通过千斤顶与油表配套来施加，由于预应力应用广泛，力值变化多，如何通过力值确定油表读数？为了解决这类问题就需要研究两个变量间的关系，一元线性回归方程是处理两个变量相关关系的一种统计技术。
2、一元线性回归方程的建立在客观世界中，变量之间的关系大致可分为两种类型，函数关系和相关关系。
当两个变量存在相关关系时，常常希望在两者间建立定量关系，两个相关变量间的定量关系的表达就是一元线性回归方程。
假如，n 个点在一条直线附近波动，一元线性回归方程便是对这条直线的估计。
(1)设一元线性回归方程的表达式为Pˆ=b F +a (1-1) 对给定的n 对数据（i F ,i P ）,i =1,2,……,n（见表1），要我们根据这些数据去估计a 和b 。
如果a 和b 已经估计出来，那幺在给定的i F 值上，回归直线上对应点的纵坐标为：i P ˆ=b iF +a 称i P ˆ为回归值，由于实际的检测值iP 与i P ˆ之间存在偏差，我们希望求得的直线使这种偏差的平方和达到最小。
即要求∑(i P -i Pˆ)2达到最小，根据微分学的原理，a 和b 可以用下式求出：b =FP L /FFL (1-2)a =P -b F (1-3)这一组解称为最小二乘估计，其中b 是回归直线的斜称为回归系数；a 是回归直线的截距称为常数项。
(2)一元线性回归方程求解FP L =∑(i F -F )(i P -P )=∑i F i P -F T P T /n (1-4)FF L =∑(i F -F )2=∑i F 2-F T 2/n (1-5) PP L =∑(i P -P )2=∑i P 2-P T 2/n (1-6) F T =∑i F ，P T =∑i P例如：某千斤顶的力值与油表读数的数据如下： 表1回归方程求解如下：公式(1-4)：FP L =∑i F i P -F T P T /n=967500-27635×275/11=276625 公式(1-5)：FF L =∑i F 2-F T 2/n=97254127-276352/11=27827470 公式(1-6)：PP L =∑i P 2-P T 2/n=9625-2752/11=2750 公式(1-2)：b =FP L /FF L =276625/27827470=0.009941 公式(1-3)：a =P -b F =25-0.009941×2512.3=0.025497 所求线性回归方程为：公式(1-1)：Pˆ=0.009941F +0.025497 3、一元线性回归方程的显著性检验建立回归方程的目的是表达两个具有线性相关的变量间的定量关系，因此，只有当两个变量具有线性相关关系时所建立的回归方程才有意义。
检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题便是对回归方程的显著性检验。
通常有两种方法，相关系数检验和方差分析的方法。
(1)相关系数检验相关系数：是两随机变量间线性联系密切程度的度量，这个量称为相关系数r 。
随机变量之间的线性相关性就是：当一个变量增大时，另一变量有按线性关系增大或减小的趋势。
当| r |越接近1时，这种趋势就越明显。
当| r |=0时，两变量就不存在线性联系，即无线性相关性。
r =22)()())(P P F F P P F F i i i i -∑-∑--∑（=PPFF FP L L L (1-7)根据所求的两个变量的相关系数r ，对于给定的的显著水平α，相关系数r 显著性判定为：r >2/1α-r (n-2) (1-8)2/1α-r (n-2)是检验相关系数的临界值，通过查表求得（表2）。
如果相关系数r 满足(1-8)式，便认为两个变量间存在线性相关关系，所求回归方程是显著的，即回归方程有意义。
例如（表1）：根据公式(1-4)、(1-5)、(1-6)所求数据：r =PPFF FP L L L =275027827470276625⨯=0.99997显著性判断：根据(1-8)式查表2：假如显著水平α=5%，2/1α-r (n-2)=5.97r (9)=0.602假如显著水平α=1%，2/1α-r (n-2)=5.99r (9)=0.735 r=0.99997>2/1α-r (n-2)因此认为千斤顶的力值与油表读数存在线性相关关系，即回归方程有意义，可以用于实践。
检验相关系数的临界值表（部分摘录） 表2(2)方差分析方差分析是在相同方差假定下检验多个正态均值是否相等的一种统计分析方法。
根据方差分析的原理，引起数据差异的原因有两个： ① 取值不同，引起数据差异，在这里用回归平方和表示； ② 随机误差，用残差平方和表示。
求解步骤：① 总平方和： T S =∑(i P -P )2=PP L② 回归平方和：R S =∑(i P ˆ-P )2=FP bL ③ 残差平方和：E S =∑(i P -iP ˆ)2 ④ 平方和分解式：T S =R S +E S⑤ 自由度分别为：T f =n-1,R f =1,E f =T f -R f ⑥ 均方：R MS =R S /R f ,E MS =E S /E f ⑦ F 比：F=R MS /E MS⑧ 判断：当F>),1E R f f F （α-时，回归方程显著。
例如（表1）：① 总平方和： T S =PP L =2750② 回归平方和：R S =FP bL =0.009941×276625=2749.929 ③ 残差平方和：E S =T S -R S =0.071④ 自由度：T f =n-1=10,R f =1,E f =T f -R f =10-1=9⑤ 均方：R MS =R S /R f ,=2749.929，E MS =E S /E f =0.071/9=0.008 ⑥ F 比：F=R MS /E MS =343741⑦ 显著性判断： 查表3：当α=10%，),1E R f f F （α-=)9,190.0（F =3.36，当α=5%，),1E R f f F （α-=)9,195.0（F =5.12 当α=1%，),1E R f f F （α-=)9,199.0（F =10.56 显然F=343741>),1E R f f F （α-，回归方程显著。
F 分布的α分位数表（部分摘录）4、一元线性回归方程的应用当所求一元线性回归方程经检验为有意义的方程后，就可用于实践。
在预应力千斤顶使用中，当知道力值，即可求出油表读数，从而不必每次对千斤顶和油表进行标定。
例如：已知F=1150kN ，根据所求回归方程Pˆ=0.009941F +0.025497=11.46 MPa 5、应用中注意事项(1)油顶与油表必须是经标定，并且配套使用。
(2)尽量采用高精度耐震压力油表，以减小误差。
(3)一旦油表或者千斤顶损坏，经修理后，必须重新进行配套标定，建立方程，进行显著性检验，合格后方可使用。
参考文献：[1] JTJ041-2000,公路桥涵施工技术规范[2] 范金城，工程数学概率论与数理统计辽宁大学出版社1999.5[作者简介]张定高（1963—）男重庆市南岸区人重庆桥梁工程总公司工程质量检测所所长重庆市南岸区南城大道4# 400060 电话（023）86115617 时榴（1974—）男重庆市南岸区人重庆桥梁工程总公司工程质量检测所工程师重庆市南岸区南城大道4# 400060 电话（023）86115616。
