第四讲数学

第四讲四年级数学简便算法4―1、四年级加减混合运算（一）、加法运算定律①、加法交换律。

它是指两个数相加，交换加数的位置，其和不变。

现用字母a 和b分别表示两个加数，可以写成下面的形式：a +b = b + a②、加法结合律。

它是指三个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。

现用a、b、c分别表示三个加数，可以写成下面的形式：a +b +c = a +（b + c）（二）、加减法运算性质①、减法性质是指一个数分别减去两个数，等于从这个数里减去这两个数的和。

现用a、b、c表示被减数和减数，可以写成：a–b–c = a–（b + c）②、a + b–c = a – c + b③、a（b–c）= a + b–c④、a–b–c = a–c–b⑤、a–（b–c）= a–b + c = a + c–b这些运算定律和性质，可以看成是一些数学公式，则可从左到右顺着用，也可从右到左逆着用。

切注意：此时要求被减数不小于减数。

（三）、加减混合运算例题例4-1-1、计算下列各题：（a）572 + 159 + 28 （b）348–69 + 652（c）348 + 69 - 48 （d）827–129 - 271［思路分析］：上面各题是加减法混合运算，应根据数字的特点，综合运用加减法混合运算中可交换和结合的性质，先把一些数凑成整百、整千，从而使计算更加简便。

（a）、572 + 159 + 28= 572 + 28 + 159= 600 + 159= 759（b）、348–69 + 652= 348 + 652 - 69= 1000 - 69= 931（c）、348 + 69 -48= 348–48 + 69= 300 + 69= 369（d）、827 -129 -271= 827 -（129 +271）= 827 + 400= 427例4-1-2、计算下列各题：（a）627 -（186 + 327）（b）546 -（289 - 154）（c）281 +（719 - 588）［思路分析］：上面各题仍运用加减法混合运算的定律和性质，先把括号去掉，再把能凑成整百、整千的数交换结合到一起算，从而达到巧算的目的。

适用标准文档初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识构造代数式分式整式整数分式的分式分式因式整式的运整式的指数运算的基的意分解算〔加、相关概幂的〔加、天性义减、乘、念运算减、乘、质除、乘方〕除〕说明：在本局部，代数式分为整式和分式议论。

在实数范围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。

二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

用数值取代代数式里的字母，依据代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所构成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包含符号〕；一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式：由几个单项式的和构成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

4.整式：单项式、多项式统称为整式。

5.分式：两个整式 A、B 相除，即 A÷ B 时，能够表示为A. 假如 B 中含有字母，B那么A叫做分式， A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。

B6.同类项：所含的字母同样，且同样的字母的指数也同样的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项归并成一项，叫做归并同类项；一个多项式归并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

归并同类项的法那么：把同类项的系数相加的结果作为归并后的系数，字母和字母的指数不变〔归并同类项，法那么不可以忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。

7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法那么和归并同类项来达成整式的加减运算。

去括号法那么：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。

〔括号前面是“+〞号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。

第四讲盈亏问题（一）把一定数量的物品平均分给若干对象，如果每个对象少分，则表示物品有剩余；如果每个对象多分，则表示物品不够分。

分物时会出现盈（有余）、亏（不足）或尽（恰好分完）三种情况，这类问题称为盈亏问题。

常用的几个公式：一盈一亏类：（盈数+亏数）÷两次分配数量差=分配对象的个数；×一盈一尽类：例1.6本。

例2.4粒，例3.7支。

例4.例5.2组。

例6.例7.4台；例8.20元。

这两种鱼每条的价格相差2元1角。

问：这两种鱼的单价各是多少？巩固提高1.将一批糖果分给幼儿园大班小朋友，如果没人分3粒，就剩余17粒；如果没人分5粒，就缺少13粒。

问：幼儿园大班小朋友有多少人？这批糖果一共有多少粒？2.学习分发学习工具，每班发10盒还剩14盒，每班发12盒还剩2盒。

学校把学习工具发给几个班级？一共有多少盒学习工具？3.小玲买7千克苹果，还差18元；如果买5千克苹果，还差2元。

问每千克苹果多少元？小玲带了多少元？4.某校学生参加劳动，先分成若干组，每组8人，后来把每组改成12人，因此少了2组。

问：参加劳动的学生共有多少人？5.用一根绳子绕树5圈正好，如果绕树4圈还多4尺。

问：树的周长是几尺？6.五（一）班同学去划船，若每条船坐6人，则少4个空位；若每条船坐5人，则有4人没有座位。

那么，一共租了几条船？五（一）班一共去了多少人？7.学生搬砖，如果每人搬4块，其中5人要搬2次；如果每人搬5块，就有2人没有砖可搬。

那么，搬砖的学生有多少人？一共有多少块转？8.每千克面粉比每千克大米贵8元，一顾客若买40千克大米还缺40元；若不买大米而买30千克面粉则还缺20元。

这位顾客带了多少元钱？9.某小学学生剩车去春游，如果每车坐65人，就有15人没有座位；如果每车多坐5人，恰好多余1辆车。

问：一共有几辆车？有多少学生去春游？10.学校新建了一栋宿舍楼，如果每间寝室住8人，则有22人没有床位；如果每间寝室住10人，又恰好空出3间寝室。

华罗庚数学第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。

4.1.2 特征值与特征向量的的计算§1.矩阵的特征值和特征向量 一、矩阵的特征值的定义定义1：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如果存在非零n 维向量α，使得：λαα=A ，则称λ是矩阵A 的一个特征值,非零向量α为矩阵A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。

下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。

设A 是n 阶矩阵，如果0λ是A 的特征值，α是A 的属于0λ的特征向量，则00()0(0)A A E A αλαλααλαα=⇒-=⇒-=≠因为α是非零向量，这说明α是齐次线性方程组0)(0=-X A I λ的非零解,而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵0E A λ-的行列式等于零，即0E Aλ-＝0而属于0λ的特征向量就是齐次线性方程组0()0E A x λ-=的非零解。

定理1：设A 是n 阶矩阵，则0λ是A 的特征值,α是A 的属于0λ的特征向量的充分必要条件是0λ是0E Aλ-＝0的根，α是齐次线性方程组0()0E A X λ-=的非零解。

定义2:称矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵，它的行列式E Aλ-称为A的特征多项式，E Aλ-＝0称为A 的特征方程,其根为矩阵A 的特征值。

由定理1可归纳出求矩阵A 的特征值及特征向量的步骤:（1)计算E Aλ-；(2)求E Aλ-＝0的全部根,它们就是A 的全部特征值;（3）对于矩阵A 的每一个特征值0λ，求出齐次线性方程组0()0E A X λ-=的一个基础解系:r n -ηηη,,,21,其中r 为矩阵0E A λ-的秩;则矩阵A 的属于0λ的全部特征向量为：r n r n K K K --+++ηηη 2211其中r n K KK -,,,21为不全为零的常数。

例1 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=011101110A 的特征值及对应的特征向量。

解：E A λ-＝λλλλλλλλλλλ1111111)2(1212112111111+=+++=＝2)1)(2(11111)2(-+=--+λλλλλ令E Aλ-＝0得：2,1321-===λλλ当121==λλ时，解齐次线性方程组()0E A X -=即：111111111000111000E A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()1r E A -=，取32,x x为自由未知量,对应的方程为0321=++x x x求得一个基础解系为()T0,1,11-=α，()T1,0,12-=α,所以A 的属于特征值1的全部特征向量为2211ααK K +,其中21,K K 为不全为零的常数。