四年级数学奥数培优第四讲：图形(一)

组合图形的面积教学目标：①知识与技能目标:采用辅助线等方法正确求出组合图形面积②过程与方法目标:采用割、补、分解、代换等方法，将复杂问题简单化③情感态度与价值观目标:让学生经历实际生活中就会遇到的问题，激发他们的兴趣教学重点：采用辅助线等方法正确求出组合图形面积教学难点：采用割、补、分解、代换等方法，将复杂问题简单化[知识引领与方法]1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间概念;2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的;3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题;4.采用割、补、分解、代换等方法,将复杂问题简单化。

组合图形面积(一)[例题精选及训练]【例1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？练习：1.求四边形ABCD的面积。

(单位：厘米)2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。

3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底是7厘米，如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。

求原来梯形的面积。

【例2】右下图所示的正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形四个角的顶点把四个角的顶点把正方形的四边各分成两段，其中长的一段是短的一段的2倍。

求中间长方形的面积。

练习：1.如下图所示，已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。

2.下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点。

求三角形AEF的面积。

3.求下图长方形ABCD的面积。

(单位：厘米)【例3】图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。

(单位：厘米)练习：1.计算下面图形的面积。

(单位：厘米)2.求图中阴影部分的面积。

(单位：厘米)【例4】右下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？练习：1.如图所示，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米。

求阴影部分的面积。

2.如下图所示，在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形面积是多少？(提示：连接DB)(单位：厘米)3.如图所示，BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。

数一数，下面图形中一共有几条线段？几个三角形？（奥林匹克训练指导P109）FEDCBA知识点：图形计数解析：数线段时应把它分成三类：第一类是基本线段有4条的线段（如BC），这样的线段共有3条；第二类是基本线段有3条的线段（如AB），这样的线段共有4条；第三类是基本线段是2条的线段，这样的线段有1条，即AC。

数的时候，应先分类数，然后再相加，就求得图中线段的总条数。

数三角形时应把它分成两类：第一类是三角形ADE、三角形AFC和三角形ABC，这三个三角形中，底边DE、FC和BC的基本线段都是4条；第二类是三角形FBC。

数的时候，应先分类数，然后再相加，就求得图形中三角形的总个数。

步骤：（1）（1+2+3+4）×3=30（条）（1+2+3）×4=24（条）1+2=3（条）这样，线段总条数是：30+24+3=57（条）（2）三角形ADE、三角形AFC和三角形ABC中三角形的个数：（1+2+3+4）×3=30（个）这样，三角形的总个数是：30+4=34（个）难度系数：B数一数，下面图形中一共有几个三角形？（奥林匹克训练指导）知识点：图形计数解析：图中三角形都是正三角形，大三角形的每条边有6条基本线段，数三角形时应把它分成六类，即以一条基本线段为边长的三角形，以两条基本线段为边长的三角形，……以六条基本线段为边长的三角形。

每一类又可分为底边在下和底边在上的两种。

数的时候，应先按顺序分类数，然后再一起相加，就求得了图形中三角形的个数。

步骤：（1）以一条基本线段为边长的三角形。

底边在下：1+2+3+4+5+6=21（个）底边在上：1+2+3+4+5=15（个）（2）以两条基本线段为边长的三角形。

底边在下：1+2+3+4+5=15（个）底边在上：1+2+3=6（个）（3）以三条基本线段为边长的三角形。

底边在下：1+2+3+4=10（个）底边在上：1个（4）以四条基本线段为边长的三角形。

第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。

二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。

【例题1】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】 数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点， 因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得： 1+2+3+4=10（个）.
【例题2】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】 图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边பைடு நூலகம்的
第12讲 数数图形
小学奥数 四年级
同学们对于图形肯定不陌生，但数学中经常会出现这样的题目： （1）下图中共有几条线段？ （2）下图中共有几个长方形？
要正确解答这类问题，就要做到数图形时不重复、不遗漏。这就需要 我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数。数 图形的方法一般有两种：按顺序数和分类数。今天就让我们用数学的方法 巧妙地数图形吧！
实践与应用
【练习5】 P94 数一数，下图中共有多少个长方形？
同学们，图形世界是不是非赏精彩呢？数学的魅力就在于千变万化的图形和数字。通过 这一进，我们对图形有了更深的认识，遇到数图形的问题也能有序、严密地思索，关于数 图形，我们来总结一些最基本的方法吧。
（1）数线段。假设端点有n个（n是整数），那么线段的总条数就是从比n小1的数开始， 一直加到1。
每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18个长方形。 数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个 长度单位的正方形）
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有 2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份， 宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.

第五讲：图形(二)爱学教育蔡老师奥数2015·四年级·竞赛集训·秋★例题剖析★1、下图中的四边形均为正方形，按图中所标数据（单位：cm），求阴影部分的面积？2、如图所示，一个大长方形被分成四个小长方形，其中三个小长方形的面积分别为48、24和30平方分米。

求阴影长方形的面积是多少平方分米？3、如下图所示，在直角梯形ABCD中，AB=15CM，AD=12CM,阴影部分的面积为15平方厘米，求OE的长？4、如图，平行四边形ABCD中，BC=10CM,直角三角形ECB的边EC=8CM,已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积？5、如图，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求△BCO与△EFO的面积之差？6、按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分另为3cm和6cm，求阴影部分的面积？7、如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。

已知甲、乙、丙、丁四个长方形的面积和是32平方厘米，四边形ABCD的面积是20平方厘米。

（1）求正方形EFGH的面积；（2）求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？●家庭作业●1、如下图，正方表ABCD的边长是10CM，BO长80CM，求AE的长。

2、有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积。

3、如图长方形被分成两部分，已知阴影部分面积比空白部分面积大34平方厘米，求阴影部分的面积。

4、如图所示，把一个长方形菜地分成三块，已知第二块比第一块宽10米，第二块面积是1000平方米；第三块比第一块窄4米，第三块面积是650平方米，那么第一块地的面积是多少平方米？5、一块长方形草坪（见图中阴影部分），长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路。

知识点拨本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．边顶点（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．直角锐角钝角（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例1】请看下图，共有个圆圈。

181+，宽是：
8+5=13分米。
所以，原来正方形的边长是：
221÷13=17分米。
四年级奥数图形问题
练习五 1、一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10 分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方 形的面积少260平方米，求原来正方形的边长。
2、一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2 分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下 的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。
分析与解答：用操场现在的面积减去操场原来的面积， 就得到增加的面积。操场现在的面积是： （90+10）×（45+5）=5000平方米， 操场原来的面积是： 90×45=4050平方米。 所以，现在的面积比原来增加; 5000－4050=950平方米。
四年级奥数图形问题
练习一 1、有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如 果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少 多少平方分米？
四年级奥数图形问题
例3、下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围 成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
分析 ：根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长 加一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是: （16－4）÷2=6米， 占地面积是: 6×4=24平方米。
四年级奥数图形问题
练习三 1、右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成 的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
2、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其 中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
四年级奥数图形问题
练习三
3，用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草 的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边 的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？

四年级数学奥数培优讲义-专题10平面图形的切割与拼接（含解析）专题10平面图形的切割与拼接图形的拼切就是把一个图形分成若干块，然后再讲成一个规则的图形。

拼切前后的图形面积大小不变。

利用图形的对称性进行拼切是一种常用的方法，还要学会选择分割的方法和技巧。

1．用一张长方形纸剪同样的三角形（如下图），最多能剪多少个这样的三角形？2．一个三角形的底是12分米，高是8分米，用两个这样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少平方分米？3．一块装饰玻璃形状如下图所示，这块玻璃的面积是多少平方分米？4．王村有一个宽20米的长方形鱼塘。

因修路，鱼塘的宽减少了6米，这样鱼塘的面积就减少了180平方米。

现在鱼塘的面积是多少平方米？（先画出减少的部分，再解答）5．长方形纸长24厘米、宽14厘米，先剪下一个最大的正方形，再从剩下的长方形中剪下一个最大的正方形。

最后剩下的小长方形的面积是多少？6．欣欣和乐乐想用一张长8分米、宽5.5分米的长方形纸剪边长是2分米的正方形。

乐乐说：“我最多能剪出11个正方形”，欣欣说：“不可能，你吹牛”。

你认为乐乐是在吹牛吗？请你用画示意图的方式说明你的想法。

7．在一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸的一端剪掉一个最大的正方形，在剩下的长方形纸的一端再剪掉一个最大的正方形．最后剩下部分是什么图形？它的面积是多少平方厘米？8．一块正方形的玻璃边长8分米，在它一角切下一个长4分米、宽3分米的长方形，这块玻璃剩下部分的周长多少分米？（先画图，再计算）9．李阿姨在一块长为80分米，宽为50分米的长方形花布上剪下一块最大的正方形花布，这块正方形花布的周长是多少分米？剩下的花布的周长是多少分米？10．一张长方形桌布长120厘米、宽90厘米。

这张桌布有了一个洞，为了不浪费，小明想剪下一块最大的正方形桌布。

剪下的这块正方形桌布的面积是多少平方厘米？11．在下图的长方形中，截取一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是多少厘米？12．一块长方形花圃，如果把它的长减少4米，面积就减少64平方米；如果把它的宽增加4米，面积就增加80平方米。

找规律是解决数学问题的图形找规律一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题：⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化；⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.板块一数量规律【例 1】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△.(方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是三角形△.【例 2】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.【解析】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【例 3】观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。

【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即：【例 4】观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【解析】第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：板块二旋转、轮换型规律【例 5】相传古时候一位老人留在人间很多宝盒，里面装着世界上最宝贵的财富，但是并不是拥有宝盒都可以得到这笔财富，在宝盒的上面设置了密码，只有写出密码的人才会真正拥有这笔财富，聪明的你你能找出密码吗？○□☆△○□☆△△○□☆△○□☆☆△○□☆△○□（）（）（）（）（）（）（）（）【解析】有几种方法可以找出密码：（方法一）后面一排和前面一排比，上排的第一个图形移到最后，其他每个图形都向前移动了一格，变成了下一排.（方法二）斜着看，每一斜列的图形是一样的.所以密码就是：□☆△○□☆△○【例 6】观察下图的变化规律，画出丙图.【总结】旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果.【例 7】下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你能找到它们排列的规律吗？根据规律把最后一个画出来.【例 8】观察图中所给出图形的变化规律，然后在空白处填画上所缺的图形.【例 9】琪琪特别喜欢蝴蝶，她用直尺和圆规在纸上画了9幅蝴蝶图，并用剪刀将它们一一剪下来.她将这9只纸蝴蝶摆在桌上，见下图1，她发现这些纸蝴蝶排列挺有规律，突然一阵风来，吹走了3只纸蝴蝶，见下图2.你能找出蝴蝶的排列规律，将图2的3只蝴蝶放入图1的空缺处吗？【解析】从已摆好的第一行和第一列来看，无论横看或竖看，同一行中3只蝴蝶的翅膀形状各不相同，翅膀上的斑点的形状也各不相同.根据这个规律，剩下的3只蝴蝶图案的排列应该是：6号位置放图案C；8号位置放图案B；9号位置放图案A.【例 10】观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.（1）【解析】（1）这四个图形的变化规律是：每一个图形都是由其前一个图形顺时针旋转90°而得到的.见下面左图；（2）甲乙丙丁四个图形变化规律也类似，注意因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点.丁图处的图形应是下面右图：【例 11】请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。

第4讲 等积变形（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。

2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。

3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。

4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。

1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1:如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？A B EC答案：三角形BDE的面积是4 D解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型因为AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面积：三角形BCE面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE的面积为2，又因为BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE的面积=1：1，所以三角形CDE的面积是2，所以三角形BDE的面积是4.例2：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？GFHEC答案：50平方厘米解析:连接CF.则C F∥BD。

则三角形BCD与三角形BDF就是这两条平行线之间的等积模型。

因为他们有一条公共的底边BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。

所以面积相等，而三角形BDC的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。

例3：图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。

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四边形中的 基本图形
四年级 第9课
知识链接
正方形 正方形面积＝边长×边长
长方形 长方形面积＝长×宽
平行四边形 平行四边形面积＝底×高
知识链接
三角形 三角形面积＝底×高÷2
梯形 梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2
知识链接
三角形面积＝底×高÷2 平行四边形面积＝底×高 梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2
知识链接
⑴等腰直角三角形——两边相等，两角 45°
正方形——四边相等 长方形
平行四边形
对边相等
例题一（★★）
如图，用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其 中小正方形纸片面积是 49 平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为 28 平方 厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米？
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梯形面积： 20×20÷=200（平方厘米）
例题（五）（★ ★ ★ ）

【小学四年级奥数讲义】数数图形一、知要点我已了段、角、三角形、方形等基本形，当些形重重叠叠地交在一起就构成了复的几何形。

要想准确地数形中所包含的某一种基本形的个数，就需要仔地察，灵活地运用有关的知和思考方法，掌握数形的律，才能得正确的果。

要准确、迅速地数形必注意以下几点：1.段上有 n 个端点，那么段的条数 n+(n-1)+(n-2)+ ⋯+3+2+12.从一个点引 n 条射，那么角的个数 n+(n-1)+(n-2)+ ⋯+3+2+13.由相同的 n×n 个小方格成的几行几列的正方形其中所含的正方形数：1×1＋2×2＋⋯＋ n×n。

4.如果一个方形的被分成 m等份，被分成 n 等份（和的每一份都是相等的）那么正方形的数：mn+(m－1)(n －1) ＋(m－2)(n －2)＋⋯＋ (m－n＋1)n.二、精精【例 1】数出下面中有多少条段。

1：数出下列中有多少条段。

（2）【例题 2】数一数下图中有多少个锐角。

练习 2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题 3】数一数下图中共有多少个三角形。

练习 3：：数一数下面图中各有多少个三角形。

【例题 4】数一数下图中共有多少个三角形。

练习 4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。

【例题 5】数一数下图中有多少个长方形。

练习 5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。

【例题 6】数一数下图中有多少个长方形？练习 6：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题 7】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为 1 的正方形）练习 7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题 8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单位的正方形）练习 8：数一数下列各图中分别有多少个正方形。

【例题 9】从广州到北京的某次快车中途要停靠 8 个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习 9：1.从上海到武汉的航运线上，有 9 个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2. 从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠 6 个大站，这次列车有几种不同票价？3. 从成都到南京的快车，中途要停靠9 个站，有几种不同的票价？【例 10】求下列中段度的和。

（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）夹在一组平行线之间的等底的三角形面积相等。

（3）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看做特殊的平行四边形）（4）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形的一半。

（5）两个三角形高相等，面积比等于它们底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比。

两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积。

将所求的平面图形转化为已经学过的基本图形，这就是等积变形的基本方法。

然而只有仔细观察、综合分析，不断提高识图能力，才能逐步形成在解题过程中进行等积变形的技能技巧。

在梯形中阴影部分面积是150平方厘米，求梯形面积。

2515解析：已知梯形上下底长为15、25.令梯形高为h。

则由已知三角形面积为150平方厘米，有150=15×h÷2求得h=20（厘米）所以梯形面积S=（15+25）×20÷2=400（平方厘米）知识点：图形面积出处：五年级奥数教程难度系数：A如图，已知平行四边形面积是48平方厘米，求阴影部分面积。

65解析：已知梯形的高为6，面积是48平方厘米，可求得平行四边形的底为48÷6=8（厘米）所以阴影部分的底为8－5=3（厘米），即阴影部分的面积S=6×3÷2=9（平方厘米）知识点：图形面积出处：五年级奥数教程难度系数：A如图是两个完全相同的等腰直角三角形叠在一起，求阴影面积。

（单位：分米）338GFED C B A解析：如图所示，由于a+b 的面积和b+c 的面积相等，我们可以得出：a 与c 的面积相等，题目要求c 的面积，其实只要求出a 的面积就可以了。

则EF=8－3=5（分米）S=（5+8）×3÷2=19.5（平方分米）知识点：图形面积 出处：五年级奥数教程 难度系数：A如图是由两个完全相同的梯形重叠在一起而组成，求图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）2510解析：如图所示，a 的面积等于c 的面积，要求阴影部分c 的面积只要求出a 的面积就可以了。

2+1=3（条）
长方形的个数=长边上的线段条数×宽边上的线段条数
数一数，图中有多少个长方形？
A C
10
10
10
C D
总共(4+3+2+1)×3=30 个
数长方形
长边上有几条线段：5+4+3+2+1=15（条） 宽边上有几条线段：3+2+1=6（条） 有几个长方形： 15×6=90（个）
拓展1 数一数，图中有多少个长方形？
数长方形
那么用数线段的方法数长 方形，共有几个长方形呢？
5+4+3+2+1=15（个）
A B C D E F
长方形的个数=长边上线段的条数
例1：数长方形
A
B
C
D
E
F
一层有多少个长方形
长边上有几条线段 5+4+3+2+1=15（条）
有几层长方形 有几个长方形
宽边上有几条线段 15 ×3=45（个）
6+2+7+2=17个
4+1+4+1=10个
拓展4. 数一数，图中有多少个正方形？
15+6+1= 22个
9+2=
11
个
拓展5. 数一数，图中有多少三角方形？
20 16
8
20+16+8+4= 48 个
拓展6. 数一数，图中有多少个正方形？
5
1
5+4+1=
10
个
谢谢同学们！
例5：一年级有六个班,每两个班之间要 进行一场比赛,一共需要几场比赛?

高斯求和（一）约翰·卡尔·弗里德里希·高斯德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。

是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。

高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。

一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。

一、例题精讲例1.观察下面三组数据，你发现了什么？（1）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10（2）2、 4、 6、 8、 10、 12、14、 16（3）101、 98、 95、 92、 89、 86、 83（4）6、 6、 6、 6、 6、 6、 6例2.等差数列的初步认识我们把第一个数称为（首项），最后一项称为（末项）相邻两个数的差相等，所以这个差叫（公差）。

数列（1）的公差是（），数列（2）的公差是（），数列（3）的公差是（），数列（4）的公差是（），因为相邻两数的差都（），这样的数列就是等差数列。

数列中数的个数称为（项数），数列（3）的项数是（）个。

例3.下列数列不是等差数列的是（）。

A. 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7B. 0、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35C. 50、 48、 46、 44、 42、 40、 38例4.花园里的玫瑰花如下图排列，请你快速算出花的数量？例5.通过例4的学习，我们小结等差数列求和的公式是：请你利用公式计算：（1）2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝（2）25＋21＋17＋13＋9＋5＋1＝例6.在下图中，每个小等边三角形的边长是1根火柴棒，面积是15平方厘米。

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴摆成？二、课堂小测7. 5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33＋378. 5＋9＋13＋17＋21＋29＋33＋379. 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋22＋20＋18＋16＋14＋12＋10＋810. 将正方形叠成山形（如图），叠1层一共用1个正方形，叠2层一共用4个正方形。