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2009年考研数学内部讲义概率论与数理统计编讲 汪宏喜安徽农业大学2008年5月第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．• 考试内容解析 •一、随机事件与样本空间1．随机试验E ：⎪⎩⎪⎨⎧)()3()()2()(,)1(随机性知每次试验的结果事先未多样性先已知试验所有的可能结果事统计性可重复进行试验在相同的条件下２．样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间．记为Ω={ω}．Ω中的元素ω称为样本点，也即E 的基本事件．３．随机事件：试验E 的结果称为E 的随机事件．记为A 、B 、C 等．(1)基本事件：E 的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件;(2)必然事件与不可能事件：每次试验E 中必然发生的事件为必然事件，记为Ω; 每次试验E 中一定不发生的事件称不可能事件，记为∅．4．事件间的关系和运算事件的关系有：包含、相等、不相容、对立；事件间的运算有：并(和)、差、交等． (1)包含：如果事件A 发生必然导致B 发生,则称事件B 包含事件A ,记作A ⊂B 或B ⊃A ． (2)相等：如果A ⊂B 且B ⊂A ,则称事件A 与B 相等．记作A =B ．(3)不相容：如果事件A 与事件B 不可能同时发生, 即∅=B A I ，则称事件A 与事件B是互不相容(或互斥)．(4)对立：如果事件A 与事件B 满足：Ω=∅=B A B A U I ②;①．即事件A 与事件B 必发生其一，但不能同时发生．则称事件A 与事件B 是互逆事件，或者说A 与B 为对立事件，记为B A =(或A B =)．注：两个互相对立的事件A 与一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件．(5)并(和)：如果事件A 与事件B 至少有一个发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的并(或和), 记作A ∪B 或A +B ．(6)差：如果事件A 发生而事件B 不发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的差, 记作A -B 或A \B ．(7)交：如果事件A 与事件B 同时发生,则称这样的事件为事件A 与事件B 的交,记作A ∩B 或AB ．(8)完全事件组：如果事件A 1，A 2，…，A n ，…两两互不相容，且每次试验中必出现一个且只出现一个,则称A 1，A 2，…，A n ，…构成完备事件组．完全事件组可以是有限的,也可以是无限的．完全事件组也称为样本空间Ω的一个划分．4．事件运算的性质对于任意事件A ，B ，C ， A 1，A 2，…，A n ，…，有 (1)交换律：A +B =B +A ；AB =BA ．(2)结合律：A +B +C = (A +B )+C =A +(B +C )；ABC =(AB )C =A (BC )．(3)分配律：A (B +C )=AB +AC ；A (B -C )=AB -AC ；i ii iAA A A U U =)(．(4)对偶律：i ii ii ii iA A A A ，AB ，B A U I I U ==+==+,．5．事件与集合由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出来，如图1．1二、事件的概率概率是事件出现可能性大小的度量,用P (A )表示事件A 的概率．如用{…}表示事件,其中大括号内用文字或式子描述事件的内容,则以P {…}表示其概率．1．概率的概念在一个随机试验中,对于每一个事件A ,都有唯一的实数P (A )和它对应,且P (A )是满足下列条件的事件A 的函数：(1)非负性：P (A )≥0；(2)规范性：对于必然事件，有P (Ω)=1；(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A 1，A 2，…,A n ，…,有∑=ii i iA P A P )()(U ．∅=B A I 图1.1AB A −ΩB A ⊂BAB A U B A I2．概率的基本性质 (1)P (∅)=0;(2)有限可加性：设事件A 1，A 2，…,A n 两两互不相容,则∑===ni i i ni A P A P 11)()(U ;(3)对于两个事件A 与B ,如果B A ⊂,则P (A -B )=P (A )-P (B )． 特别地,由于P (Ω)=1,故而有()1()P A A =−．3．古典型概率如果一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型概率．对于此类试验中的事件A ,其概率可以如下计算：nn A A P A=Ω=中所含样本点的个数中所含样本点的个数)(． 4．几何型概率如果随机试验的样本空间Ω是一个区域,并且任一点落在任意两个长度(面积、体积)相同的子区域内是等可能的，则事件A 的概率为)()()(或面积或体积长度的或面积或体积长度的Ω=A A P ．5．条件概率对于任意两个事件A 和B ,其中P (A )>0,则事件B 在事件A 发生的条件下的条件概率定义为：)()()|(A P AB P A B P =注：可以验证,对于给定的事件A ,条件概率)|(A B P 具有概率的一切性质． 6．计算概率的几个公式(1)加法公式：对于任意事件A ，B ，C ，有P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )．P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC )．上式可以推广至多个事件的情形,即为一般的加法公式． (2)减法公式：对于任意两个事件A ，B ，有P (A -B )=P (A )-P (AB )．(3)乘法公式：对于任意两个事件A ，B ，则有()()(|)(()0)P AB P A P B A P A =>或()()(|)(()0)P AB P B P A B P B =>一般地，对任意三事件A 、B 、C ,则()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =．对于n 个事件A 1，A 2，…,A n ，若P (A 1A 2…A n -1)>0,则P (A 1A 2…A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)…P (A n | A 1A 2…A n -1)(4)全概率公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B ,有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()((5)贝叶斯公式：设A 1，A 2，…,A n ，…,是一个完全事件组，且P (A i )>0,则对任意B (P (B )>0),有),,2,1()|()()|()()()()|(1n i A B P A P A B P A P B P B A P B A P nj jji i i i L ===∑=三、事件的独立性与独立重复试验1．独立事件(1)两个事件独立：对于两个事件A 与B ，如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与B 独立． 如果事件A 与B 独立,则事件B A B A B A 与与与,,也独立．(2)多个事件的的相互独立：对于任意n 个事件A 1，A 2，…,A n ，如果其中任意两个事件均相互独立,即对任意n j i ≤<≤1,有)()()(j i j i A P A P A A P =,则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 两两独立;如果其中任何k n k ≤≤2()个事件：),1(,,,2121n i i i A A A k i i i k ≤<<<≤L L 均有),()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P L L =则称A 1，A 2，…,A n 相互独立． 2．独立试验(1)独立试验：两个或两个以上试验为相互独立的,如果与各试验相联系的事件之间相互独立．(2)独立重复试验：在两个或多个独立试验中,如果同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们是独立重复试验．(3)伯努利试验：如果试验结果只有A 与A 两个结果,则称之为伯努利试验．将一伯努利试验独立重复进行n 次,则称为n 重伯努利试验．设在每次试验中P (A )=p (0<p <1),则在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次的概率为kn k p p k n p n k b −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1(),;( 此公式称为二项概率公式．• 例题讲解 •例1．已知A 、B 、C 为任意三个随机事件,则P [(A +B )(A -C )]等于( ))()()()()()()()()()()()()()()()()(AC P A P D ABC P AC P A P C ABC P AB P AC P A P B ABC P AB P AC P A P A −+−−−+−+−解:例2．设三个非空事件A ,B ,C 是完备事件组,则不能得出结论的是( )∅=∅=D C C B A B C A C B B A A )()()(,)(,,)(U 为对立事件两两互斥解:例3．设随机事件A 与B 互不相容,则下列选项中不正确．．．的是( ) ()()()()()])([()()()()()(1)()()()(B A P A P B A P D A P B A B A P C B P A P B A P B B A P A P B A P A U U U −=−=−−=−−+=−解:例4．)(),|()|(,1)(0,,则若有为两事件设B A P B A P B P B A =<<B A D B P A P AB PC B A B AB A ⊃==∅=)()()()()()()(解:例5．)()|(,1)(,0)(,,,=≠>C AB P C P ABC P C B A 与为三个随机事件已知)|()()()()()()()()|()|()()|()|()()|()|(C B P AC P ABC P D B P A P AB P C AC B P C B P B BC A P C A P A C B P C A P ====不等价的是 解:例6．)(,32)(,41)|()|(则设===A P A B P B A P)|()|(,)(127)(,)()()(,)(125)(,)(B A P B A P B A D B A P B A C B P A P B A B B A P B A A ====且不独立与且不独立与且独立与且独立与U U解:例7．设有两个事件A , B , 0<P (A )<1, 0<P (B )<1, 则( )一定相容则不独立若一定互斥则不独立若一定相容则独立若不相容一定互斥则独立若B A B A D B A B A C B A B A B B A B A A ,,,)(,,,)(,,,)()(,,,)(解:例8．商店销售10台电视机,其中有7台一级品,3台二级品,已买出一台,在其余的9台中 任取2台发现均为一级品,则买出的那一台也是一级品的概率为( )107)(105)(87)(85)(D C B A 解:例9．.____)|(,2.0)(,6.0)(,3.0)(,,====B A P AB P B P A P B A 则是两个随机事件设 解:例10．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .解: 从P (AB )=0，可知P (ABC )=083)(1)()(8501611*********)()()()()()()()(=−===+−−−++=+−−−++=C B A P C B A P C B A P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U U U U U 则图1.2例11．袋中有五张卡片，每张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从中无放回地随机抽取三张卡片，则取到的三卡片中最大的数与最小的数之差等于3的概率是 .解:例12．在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于21的概率为 . 解: 这是一个几何概型,设x ,y 为所取的两个数,则样本空间为1{(,)|0,1},{(,)|(,),||}.2334(),,.14A A x y x y A x y x y x y S P A S S A S ΩΩΩ=<<=∈Ω−<===Ω记故其中分别表示和的面积 例13.(练习)设甲,乙两约好8:00—9:00在某地方会面,约定先到者等候20分钟,过了时间就离开,则两人能够会面的概率 .(95)例14．从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则P {Y =2}= .解:由于事件{X =1}，{X =2}，{X =3}，{X =4}是一个完备事件组，且1{},1,2,3,44P X i i ===. 1{2|1}0,{2|},2,3,4P Y X P Y X i i i=======,根据全概率公式41{2}{}{2|}i P Y P X i P Y X i ======∑111113(0).423448=+++=例15．(练习)设袋中装有m 枚正品硬币,n 枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚硬币投掷r 次,已知每次都是国徽,则这枚硬币是正品的概率为r n m m2⋅+.例16．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为 .解:这是一个4重伯努利试验概型，设试验的成功率即射手的命中率为p ，则进行四次独立地射击，事件“四次均不中”的概率为4(1)p −，它是“至少命中一次”的对立事件. 依题意48012(1)11.8133p p p −=−⇒−=⇒= 例17．(练习)现进行一系列独立重复试验，成功两次之前失败两次的概率为163，则成功三次之前失败三次的概率 . (325) 注：（07，4 分）某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为p （0<p <1）,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）3p (1-p )2 （B ）6p (1-p )2. （C ）3p 2 (1-p )2 （D ）3p 2 (1-p )2.解:第4次射击恰好第二命中表示4次射击中第4次命中目标，前三次射击有1次命中目标.由独立重复性知所求的概率为: 2213)1(p p C − 应选（C ）.例18．(摸球问题)袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其它方面没有区别.现将球随机地一只只摸出来，求第k 次摸出的球是黑球的概率(b a k +≤≤1).解法1 把a 只黑球b 只白球视为不同的(如设想把它们编号)，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b 个位置上，则基本事件总数就是a+b 个相异元素的全排列 (a+b )!.若记k A 为“第k 次摸出黑球”，这相当于在第k 个位置上放一黑球，在其余的(a+b -1)个位置上放另外的(a+b -1)个球.所以，k A 包含的基本事件个数为)!1(−+⋅b a a .故所求概率为ba ab a b a a A P k +=+−+⋅=)!()!1()(.解法2 还是将球视作各不相同的，只考虑前k 次摸球.此时样本空间包含的基本事件总数为kb a A +.而k A 这个事件相当于在第k 个位置上放一只黑球(有a C a =1种放法)，在其余k -1个位置上摆放从余下的a+b -1只球中任意取出的k -1只球(有11−−+k b a A 种放法)，总共有11−−+⋅k b a A a 种.故所求概率为b a a A A a A P kba kb a k +=⋅=+−−+11)(. 这个结果与k 无关.也就是说，不管先后次序，不管是放回还是不放回抽样，抽取到黑球的概率都是ba a+，这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中的抽签，摸彩票等等，机会均等且与先后次序无关.例19．(分房问题) 有n 个人每个人都以同样的概率N1被分在)(N n N ≤间房中的每一间中(每间容量不限).试求下列各事件的概率：(1)A ：某指定n 间房中各有一人； (2)B ：恰有n 间房，其中各有一人；(3)C ：某指定房间中恰有)(n m m ≤人.解 由于每一个人可被分配到N 间房中任意一间，所以基本事件总数相当于从N 个元素中选取n 个重复排列数，即为nN ，事件C B A ,,包含的基本事件数分别为m n mn C nN B A N C m n C m n m −−=⋅==)1(,!,!.于是(1)n Nn A P !)(=；(2)n nN N n C B P !)(⋅=；(3)m n mm n nm n mn N N C NN C C P −−−=−=)11()1()1()(.注：某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率(生日相同指几月几日出生相同)。
