第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
1.填空题:
（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.
（2
）函数21
()1f x x =+-的定义域为__________________________；
（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .
（4）设b ax x f +=)(，则=-+=h x f h x f x )
()()(ϕ a .
（5）若,11
)(x x f -=则=)]([x f f x x 1
- ，=)]}([{x f f f x .
（6）函数2x
x e e y --=的反函数为 。
（7
）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1
2. 选择题:
（1）下列正确的是：(B ，C )
A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数.
B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.
C.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0
,10,00
,1sgn x x x
x y 是x 的奇函数.
D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .
（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).
A.有界函数；
B. 周期函数；
C. 奇函数；
D. 偶函数.
（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).
A.1；
B.–1；
C.2；
D.–2.
（4）函数2
1arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；
(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂（5）函数
⎩⎨⎧≤<+≤≤--=3
0,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）
(A)04≤≤-x ； (B)30≤(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .
（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）
(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.
（7）函数
x
x f 2cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）
(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)2
1 .
（8）函数2
1)(x x
x f +=在定义域为（ ）
(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；
(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且
2
122≤+≤-x x .
（9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）
(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .
3．设132)1(2--=-x x x g
（1） 试确定c b a ,,的值使
c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；
（2） 求)1(+x g 的表达式
解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a
4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.
解：⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=-1
,)1(0
,01
,1)(1x x x x x x f
5．设249)3lg(1
)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。
6．已知2sin )(,cos 1))((x
x x x f =+=ϕϕ，求)(x f .
解：)1(22x -；
7．设()f x 的定义域是[]0,1，求下列函数的定义域：
（1） ()x f e
解：由010()x x e x f e ≤≤⇒≤⇒的定义域为(,0]-∞.
（2） (ln())f x
解：由0ln 11(ln )x x e f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[1,]e .
（3） (arctan )f x
解：由0arctan 10tan1(arctan )x x f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[0,tan1].
（4） (cos )f x 解：由0cos 122,0,1,2,,(cos )22x n x n n f x ππππ≤≤⇒-≤≤+=±±⇒ 的定义域为[2,2],22n n n Z π
π
ππ-+∈.
8．设 -0,0(),0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，20,0(),0
x g x x x ≤⎧=⎨->⎩，
求[()],[()],[()],[()].f f x g g x f g x g f x
解：0,()00,
0[()](),()0,0
f x x f f x f x f x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>>⎩⎩.
20,()0
[()](),()0g x g g x g x g x ≤⎧=⎨->⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0g g x =.
0,()0[()](),()0
g x f g x g x g x ≤⎧=⎨>⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0f g x =.
220,()00,0
[()]().(),()0,0f x x g f x g x f x f x x x ≤≤⎧⎧===⎨⎨->->⎩⎩.
