高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案

高等数学第7版教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质首先，我们来讨论极限的概念与性质。

在数学中，极限是描述函数在某个点附近的特性的概念。

假设有一个函数f(x)，如果当自变量x趋近于某一特定值a时，函数的取值也趋近于一个常数L，那么我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗。

为了便于我们计算和研究数学问题，极限具有一些重要的性质。

这些性质包括极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。

通过利用这些性质，我们可以更方便地求解极限的问题。

2. 函数的连续性接下来，我们将探讨函数的连续性。

在数学中，函数的连续性是指函数在其定义域上没有间断点的性质。

具体而言，如果一个函数f(x)在某一点a的极限存在且等于该点的函数值f(a)，那么我们说函数f(x)在点a处连续。

函数的连续性有许多重要的定理，如介值定理、零点定理和洛必达法则等。

这些定理在实际问题的分析和求解中起着重要的作用。

第二章：导数与微分1. 导数的概念和性质在这一章中，我们将学习导数的概念和性质。

导数是描述函数变化速率的概念，表示函数在某一点的斜率或变化率。

假设有一个函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)或df/dx。

导数的定义是极限的一种形式，即f'(x)=lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗。

导数具有一些重要的性质，如导数与函数的连续性、导数的四则运算法则和复合函数的导数等。

这些性质为我们研究函数的变化提供了便捷的工具。

2. 微分与微分中值定理微分是导数的应用之一，它用于描述函数在某一点附近的局部线性近似。

微分可以表示为dy=f'(x)dx，其中dy表示函数值的微小变化，dx表示自变量的微小变化。

微分在实际问题中的应用非常广泛，如线性近似、最优化和曲线的切线问题等。

微分中值定理是导数理论中的一个重要定理，它表明在某个区间内，存在一个点使得函数在这一点的导数等于函数在该区间两个端点的斜率之差的平均值。

高等数学同济第七版上册课后习题答案高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的数学素养和后续专业课程的学习都具有至关重要的作用。

而同济大学出版的《高等数学》第七版上册更是被广泛采用的教材之一。

课后习题是巩固知识、检验学习效果的重要手段，因此，准确的课后习题答案对于学生的学习帮助极大。

在这本教材的上册中，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用等重要章节。

每一章的课后习题都经过精心设计，旨在帮助学生深入理解和掌握所学的知识点。

对于函数与极限这一章节，课后习题主要围绕函数的概念、性质、极限的定义、计算方法等展开。

例如，求某些复杂函数的极限可能需要运用到极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等方法。

在解答这些习题时，需要学生对这些方法有清晰的理解和熟练的运用。

答案中应该详细说明每一步的计算过程和依据，让学生能够明白解题的思路。

导数与微分这部分的习题则侧重于导数的定义、求导法则以及微分的计算。

像复合函数求导、隐函数求导等都是常见的题型。

在给出答案时，要着重解释求导的步骤和关键要点，帮助学生掌握求导的技巧。

微分中值定理与导数的应用这一章节的习题相对较难，需要学生能够灵活运用中值定理解决问题，并且能够运用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性等。

答案中应该清晰地展示如何运用定理进行推理和计算，以及如何根据导数的性质得出函数的相关性质。

不定积分的习题主要考查积分公式的运用和积分方法的选择，如换元积分法、分部积分法等。

答案中要详细说明积分的思路和方法，帮助学生理解不同积分方法的适用情况。

定积分及其应用部分的习题涉及定积分的计算、定积分的几何应用和物理应用等。

在答案中，不仅要给出定积分的计算过程，还要清晰地展示如何将定积分应用于求解面积、体积、做功等实际问题。

在提供课后习题答案时，要注重答案的规范性和准确性。

每一道题的答案都应该有清晰的步骤和逻辑，避免跳跃性的思维和不严谨的表述。

同济版高数第七版上册课后答案合集高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科的学生来说尤为重要。

而同济版高数第七版上册是高等数学课程中的经典教材之一，其课后习题是检验学生对知识掌握程度的重要方式。

为了帮助学生更好地掌握课程内容，我们整理了《同济版高数第七版上册课后答案合集》，希望能对广大学生有所帮助。

第一章函数与极限。

1.1 函数的概念与性质。

1.2 三角函数。

1.3 常用初等函数的性质。

1.4 极限的概念。

1.5 极限的性质。

1.6 无穷小与无穷大。

1.7 极限运算法则。

第二章导数与微分。

2.1 导数的概念。

2.2 导数的运算法则。

2.3 高阶导数。

2.4 隐函数与参数方程的导数。

2.5 微分的概念。

2.6 微分中值定理。

2.7 几何应用。

第三章微分中值定理与导数的应用。

3.1 函数的单调性与曲线的凹凸性。

3.2 渐近线与曲线的渐近性。

3.3 函数的极值与最值。

3.4 弧微分。

3.5 函数的单调性与曲线的凹凸性。

3.6 渐近线与曲线的渐近性。

3.7 函数的极值与最值。

3.8 弧微分。

第四章不定积分。

4.1 不定积分的概念与性质。

4.2 不定积分的基本公式。

4.3 牲积分的运算法则。

4.4 有理函数的积分。

4.5 三角函数的积分。

4.6 有理函数的积分。

4.7 三角函数的积分。

第五章定积分。

5.1 定积分的概念与性质。

5.2 定积分的基本公式。

5.3 定积分的换元积分法。

5.4 定积分的分部积分法。

5.5 定积分的换限积分法。

5.6 定积分的应用。

第六章定积分的应用。

6.1 曲线长度。

6.2 曲边梯形的面积。

6.3 旋转体的体积。

6.4 平面图形的面积。

6.5 牲积分的应用。

第七章微分方程。

7.1 微分方程的基本概念。

7.2 可分离变量的微分方程。

7.3 齐次微分方程。

7.4 一阶线性微分方程。

7.5 可降阶的高阶微分方程。

7.6 可降阶的高阶微分方程。

以上是《同济版高数第七版上册》的主要内容，每一章节都包含了丰富的知识点和大量的习题。

习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

高数第七版习题答案高等数学第七版的习题答案涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个数学领域，下面是一些常见习题的解答示例，以供参考：# 第一章：极限与连续性习题1：求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的左极限和右极限。

解答：左极限 \( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 0 \)右极限 \( \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0 \)由于左极限和右极限相等，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限存在，且等于0。

# 第二章：导数与微分习题3：求函数 \( g(x) = \sin(x) + x^3 \) 的导数。

解答：\( g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + x^3) = \cos(x) + 3x^2 \)# 第三章：积分学习题5：计算定积分 \( \int_{0}^{1} 2x \, dx \)。

解答：\( \int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 -0^2 = 1 \)# 第四章：级数习题7：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：该级数是交错级数，可以使用比较判别法。

由于 \( \frac{1}{n^2} \) 随着 \( n \) 的增大而减小，且 \( \frac{1}{n^2} \leq\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \)，而\( \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \) 是收敛的，因此原级数也收敛。

# 第五章：多元函数微分学习题9：求函数 \( h(x, y) = xy^2 + \ln(x) \) 的偏导数。

第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。

高等数学同济第七版上册课后习题答案高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的逻辑思维和解决问题的能力培养起着关键作用。

而同济大学出版的《高等数学》第七版上册更是被广泛采用的教材之一。

课后习题作为巩固知识、加深理解的重要环节，其答案的准确性和详细程度对于学生的学习效果有着直接的影响。

在学习高等数学的过程中，很多同学都会遇到各种各样的难题。

有些概念看似简单，但在实际应用中却容易出错；有些题目需要灵活运用多种方法才能求解。

这时候，课后习题答案就成为了同学们的重要参考。

对于函数与极限这一章节，课后习题涵盖了函数的基本概念、性质，以及极限的计算方法。

比如，求函数的定义域、判断函数的奇偶性等问题，答案需要清晰地给出解题思路和步骤。

在计算极限时，可能会用到极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换等方法。

答案应该详细说明每一步的依据和计算过程，让同学们能够理解为什么这样做。

导数与微分这部分的习题答案则要注重对导数定义、求导法则的应用。

比如，复合函数求导、隐函数求导等问题，答案要指出关键的步骤和易错点。

同时，对于微分的概念和应用，也要给出清晰的解释和示例。

中值定理与导数的应用这一章节的习题答案相对较难。

对于罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用，答案要引导同学们如何构造合适的辅助函数，如何利用定理的条件进行推理。

在处理函数的单调性、极值和凹凸性问题时，答案要结合图形进行分析，让同学们能够直观地理解函数的变化趋势。

不定积分和定积分是高等数学中的重要内容。

在不定积分的习题答案中，要展示各种积分方法的运用，如换元积分法、分部积分法等。

对于定积分的习题，答案不仅要给出计算结果，还要解释定积分的几何意义和物理意义，以及在实际问题中的应用。

空间解析几何与向量代数这部分的习题答案，要帮助同学们理解向量的运算、空间直线和平面的方程。

通过具体的例子，让同学们掌握如何用向量方法解决几何问题。

总的来说，高等数学同济第七版上册课后习题答案应该具有以下特点：一是准确性。