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2.5.2 圆与圆的位置关系【学习目标】1.能描述圆与圆的位置关系.2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系.◆ 知识点 圆与圆的位置关系1.两圆的位置关系主要包括:外离、 、 、 和内含.2.两圆的位置关系的判断:(1)代数法:已知圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0(D 12+E 12-4F 1>0),圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0(D 22+E 22-4F 2>0),由{x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下表中判断标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r 1,r 2,计算两圆的圆心距d ,按下表中判断标准进行判断. (3)判断标准:位置关系 外离外切相交内切内含图示公共点个数 0 121 0 Δ的值 Δ<0Δ=0Δ<0 d 与r 1,r 2 的关系d= r 1+r 2d< |r 1-r 2|【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( )(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( )(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. ( ) (4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离.( )◆ 探究点一 两圆位置关系的判断及应用例1 (1)已知圆C 1:x 2+y 2-2x+4y+4=0和圆C 2:4x 2+4y 2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为( )A .1或3B .4C .0D .2(2)已知圆O1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆O2:(x-3)2+(y+2)2=r2(r>0)相内切,则r= ( )A.4B.5C.6D.√13变式 (1)若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2mx+m2-m=0外切,则实数m的值为( )A.-1B.1C.1或4D.4(2)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线,则实数m的取值范围是.◆探究点二两圆公共弦问题例2 (1)已知圆C1:x2+(y-2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=( )A.√3B.2√3C.√23D.2√23(2)已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得的公共弦的长为√2,则圆O2的半径r=( )A.1B.√3C.√5或1D.√5变式已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程;(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.[素养小结]解决两圆公共弦问题的方法如下:(1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长;(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程.◆探究点三圆与圆的位置关系的综合问题例3 (1)(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的值可能是( )A.-1B.0C.1+2√2D.-2(2)已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1均外切,求圆C的圆心的轨迹方程.变式已知线段AB的端点B的坐标是(6,5),端点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动.(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程;(2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M,N,求线段MN的长.[素养小结]1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量.2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点的轨迹方程,从而得到动点的轨迹,通过研究它的轨迹方程与圆的方程的关系,判断所得的轨迹与圆的位置关系.。
圆与圆的位置关系（探究）一．教学目标知识与能力目标：1、通过探究，了解圆与圆有哪些位置关系；2、通过探究，得到判断圆与圆的位置关系的方法；3、通过探究，得到求出相交圆公共弦所在直线的方法；过程与方法目标：在探究的过程中，渗透数形结合思想；形成严谨的数学逻辑思维；学会发现问题，解决问题.情感态度与价值观：在探究过程中感受数学的魅力，提高数学学习兴趣.二．课程内容探究一：圆与圆有哪些位置关系？1、请根据上面5组圆的方程，完成表1第一列 圆心与半径 位置关系 圆心距dr r '+（1）C 1（， ），r 1=________；（2）C 2（ ， ），r 2=________ （3）C 3（ ， ），r 3=________；（4）C 4（ ， ），r 4=________ （5）C 5（ ， ），r 5=________；（6）C 6（ ， ），r 6=________ （7）C 7（ ， ），r 7=________；（8）C 8（ ， ），r 8=________ （9）C 9（ ， ），r 9=________；（10）C 10（ ， ），r 10=________2、请在下面5个坐标系中分别画出以上5组圆（每个坐标系中画出两个圆） （请按比例尺取长度 ）（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+-1)2()2(:4)2()1(:1222221y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2)2-()2(:2:2224223y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=+=++9)1-(:1)1(:4228227y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=+9)1()1-(:1:52210229y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=++4)1-(2:11:3226225y x C y x C ）（）（）（1表2（3） （4）（请完成表1第二列）（5）3、小结：圆与圆的位置关系有5种。
分别是外离、外切、相交、内切、内含探究二、如何使用代数法判断圆与圆的位置关系？1、如何判断一元二次方程解的个数？2、实例探究练习：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系. 方法分析：联立方程，作差，消元3、 方法小结：①联立方程、消元得到一元二次方程②利用△判断解的个数局限性：无法区分内切与外切，内含与外离探究三、如何从几何的角度判断圆的位置关系？1、 完成表1 后3列；有什么猜想?2、 根据猜想，完成表2. 验证猜想位置关系 数量关系位置关系 数量关系外离 内切 外切 内含 相交3、使用几何法判断两个圆位置关系的步骤：（1）将两圆的方程化为标准方程；（2）求两圆的圆心坐标和半径R 、r ； （3）求两圆的圆心距d 及|R-r|，R ＋r ； （4）比较d 与|R-r|，R ＋r 的大小关系：4、练习：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.2表探究四、两圆相交时，如何求出公共弦所在直线方程？1、 练习探究：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，两圆相交于A 、B 两点，求出A 、B两点所在直线方程。
圆和圆的位置关系保定市第二中学时磊教学背景：高一学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的问题，学生往往感到乏味而难以准确的理解。
而多媒体具有形象、直观的特点，利用它为学生构建思维想象的平台，营造良好的学习气氛，充分调动学生学习的自觉性，引导学生积极地开展思维活动，主动地获取知识。
符合学生认知规律。
从具体事物到抽象理论。
通过学生的直接感知去理解知识，用以到达以快乐的形式去追求知识的目的。
设计理念：学生的开展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生的开展为主体，转变学生的学习方式。
“圆与圆的位置关系〞这一课题，以全新的自主的学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研气氛，让学生感受“两圆位置关系〞的探究发现过程，体验成功的快乐，为终身学习与开展打下根底。
教学目标：1、掌握通过圆心距d和两圆半径R、r的关系来确定两圆的位置关系，2、解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。
能力目标：1、通过本节课的学习，可培养学生空间想象能力，观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，并以以上能力为载体培养学生思维能力及创新能力。
2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的能力。
情感目标：1、通过合作交流、自主评价，改良学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。
2、让学生在猜测与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。
教学重点：1、圆与圆位置关系的发现及确定方法。
2、解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。
教学难点:圆与圆位置关系的数量关系的发现及应用。
教学过程：一新课导入1．展示“日食〞的图片。
2．提问这种现象是怎样产生的。
让学生们讨论在变化过程中有哪些几何变化，并画下来。
三探索新知1、如果把月亮与太阳看成在同一平面内的两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们答复。
听课随笔第二章平面解析几何初步第二节圆与方程第14课时圆与圆的位置关系2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．自学评价1．圆与圆之间有，，，，五种位置关系．,r r，圆心距为d，2.设两圆的半径分别为12当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：2222++-=-+-=与x y x y(1)(2)(2)1(2)(5)162222（）与x y x x y y++-=++-=26706270【解】例2：求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程．【解】追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与；2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3．2. 若圆22x y m +=与圆2268x y x y ++- 110-=相交，求实数m 的取值范围．【选修延伸】例3: 已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解】例5：求过两圆22640x y x ++-=和 226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程．【解】思维点拔：解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．追踪训练二1．一个圆经过圆221:890C x y x +--=和圆222:8150C x y y +-+=的两个交点，且圆心在直线210x y --=上，求该圆的方程．听课随笔2．已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．。
0∆>
11
r
-= 2;
教师提问:观察五种位置关系,可以看到两圆内切或外切时产生了一个公共点,这个公共点与两圆心 有何位置关系？
设计意图：为例2做铺垫一方面,引入时有图形关系在前，趁热打铁，学生思维清晰,很容易观察到两圆相习切时的性质;另一方面,讲解例2时再使用该性质学生不会有突兀之感
教师总结：我们把这种通过比较圆心距与半径和、差之间来判断圆与圆位置关系的方法叫做几何方法。
Ste3 典例剖析，理解新知
例1、判断下列两圆的位置关系
（1）16)5()2(1)2()2(2222=-+-=-++y x y x 与 （2）02760762
2
2
2
=-++=-++y y x x y x 与 教师提问：如何判断两圆的位置关系？ 学生口述，教师板演
共同师生归纳出判断两圆位置关系的一般步骤： 写圆心、半径—求出圆心距—比较圆心距与两圆半径的和与差—得出位置关系
设计意图：考察两圆位置关系的判定方法
教师提问：你还有别的方法判断圆与圆的位置关系吗？
3 无公共点时,由d>r1r2,
得5>2a1,则0<a<2
B 层学生：能够说出圆心应在已知圆的圆心与原点的连线y x =上．
B 层学生：能够说出所求圆经过原点和
(0,6)A ，用待定系数法求解．
B 层学生：能够说出圆心还在线段OA 的中垂线3y =上
C 层学生：能够说出圆心与O 点之间的距离。
直线与圆、圆与圆的位置关系导学案
一、知识梳理1．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系：设圆1：(－1)＋(－1)＝1(1>0)，圆2：(－2)＋(－2)2＝r22(r2>0)．
3.辨明两个易误点
(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[熟记常用结论]
1．圆系方程：(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．。
圆与圆的位置关系
阜宁县第一高级中学张文
学习目标：1了解圆与圆的位置关系。
2了解判断圆与圆的位置关系的方法。
3掌握圆与圆位置关系的应用。
教学重点：圆与圆位置关系的判断方法。
教学过程：
一，回顾
1.求圆224
+=的过点（1，3）的切线方程。
x y
2.求过原点且与圆22
(1)(2)1
-+-=相切的直线方程。
x y
注意：切线斜率不存在的情况
上节课我们学习的直线与圆的位置关系，那么圆与圆又有哪些位置关系呢？
二．新课探究
判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系
两圆的位置关系：
外离外切相交内切内含
d＞Rr d=Rr|R-r|＜d＜Rr d=|R-r|d＜|R-r|
（1）＋22＋－22＝1与－22＋－52＝16；
（2）2＋2＋6－7＝0与2＋2＋6－27＝0．
1分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系
（1）2222(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与
2若圆 22x y m += 与圆 2268110x y x y ++--= 相交，求实数m 的取值范围。
3已知圆 与圆 没有公共点，求正数a 的取值范围
4．两圆2＋2＋4－4＋7＝0和2＋2－4－10＋13＝0的公切线的条数为 ．
三．小结
（1）两圆的位置关系
（2）已知位置关系求参数范围
（3）注意其中措辞：“相切”，“没有公共点” 22()1x a y -+=2225x y +=。
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。
情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
