工程力学第九章梁的应力及强度计算
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课时授课计划
掌握弯曲应力基本概念;
掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算;掌握弯曲正应力的强度计算;
掌握弯曲剪应力强度校核。
(1)平面假设:梁变形后,横截面仍保持为平面,只是绕某一轴旋转了一个角度,且仍与变形后的梁轴曲线垂直。
中性层:梁纯弯曲变形后,在凸边的纤维伸长,凹边的纤维缩短,纤维层中必有一层既不伸长也不缩短,这一纤维层称为中性层。
中性轴:中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。
注意:中性层是对整个梁而言的;
中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心,是截面的形心主惯性轴。
(2)纵向纤维假设:梁是由许多纵向纤维组成的,且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力,不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩,于是在正应力不超过比例极限时,由胡克定律可知
ρ
εσy
E
E =⋅=
通过上式可知横截面上正应力的分布规律,即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比,也就是正应力沿截面高度呈线性分布,而中性轴上各点的正应力为零。
三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
梁在纯弯曲时的正应力公式:
Z
I My
=
σ 式中:σ——梁横截面上任一点的正应力;
M ——该点所在横截面的弯矩;
Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩;矩形Z I =123
bh ;圆形Z I =64
4D π
y ——所求正应力点到中性轴的距离。
正应力的单位为:Pa 或MPa ,工程上常用MPa 。
公式表明:梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比,而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。
123bh I C
z =12
3hb I C
y =64
4
D I I C C y z π=
=
2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时,总要寻找最大正应力。有公式可知,当y=ymax
时,即截面上离中性轴最远的各点处,弯曲正应力最大。
max
max max y I M
I y M Z Z =
⋅=σmax
y I W Z
Z =
令:Z
W M =
max σ则有:
矩形截面抗弯截面系数:圆形截面抗弯截面系数:43
max /64/232
Z Z I d d W y d ππ===
32
max /12/26Z Z I bh bh W y h ===
空心圆截面抗弯截面系数:
D
d
d W z =
-=
ααπ),1(32
43
64
)
( 4 4 d D I I C C y
z
工字型的抗弯截面系数
5mm
3
若已知梁的材料及截面尺寸(即已知[σ]和W Z ),则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。
z W M ⋅≤][][σ
根据[M],用平衡条件确定许用外载荷。
在进行上列各类计算时,为了保证既安全可靠又节约材料的原则,设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ],但以不超过[σ]的5%为限。即
%5%100][]
[max <⨯-σσσ
3、进行强度计算时应遵循的步骤
(1)分析梁的受力,依据平衡条件确定约束力,分析梁的内力(画出弯矩图)。 (2)依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况,确定可能的危险截面:对等截面梁,弯矩最大截面即为危险截面。 (3)确定危险点
(4)依据强度条件,进行强度计算。
第三节 梁的剪应力强度条件
一、概念
梁在横弯曲作用下,其横截面上不仅有正应力,还有剪应力。
对剪应力的分布作如下假设: (1)横截面上各点处剪应力
均与剪力Q 同向且平行;
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设,可推导出剪应力计算公式:
b I QS z z *=
τ
式中:τ—横截面上距中性轴z 距离为y 处各点的剪应力;
Q —该截面上的剪力;
b —需求剪应力作用点处的截面宽度; Iz —横截面对其中性轴的惯性矩;
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上)的截面积A*对中性轴的面积矩。
剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。
二、矩形截面横梁截面上的剪应力
如图所示高度h 大于宽度b 的矩形截面梁。横截面上的剪力Q 沿y 轴方向作用。
)
4(2)]2(21[)2(22
*
y h b y h y y h b S z -=-+⋅-=
将上式带入剪应力公式得:
)
4(222
y h I Q z -=τ
上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力,沿截面高度呈抛物线规律变化。
在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0;在中性轴上,y=0,剪应力值最大,其值为
A Q bh Q bh Qh I Qh y h I Q z z 5.1231288)4(23
2
222max
==⨯==-=τ
即
A Q
5
.1max
=τ
上市说明:矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A 的倍。
综上所述:剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同,正应力最大的在截面的上下边缘各点,剪应力为零;剪应力最大的在中性轴上各点,正应力为零。
三、工字形横截面的剪应力
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
K d
z
K
h 1
y
上翼缘
下翼缘
腹板
δA
a
a
δz
τmax
ττmin
1)腹板上的剪应力:腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力,剪应力沿腹板高度按抛物线规律分布,故中性轴处有最大剪应力;在腹板与翼板的交界处,