中级奥数教程14

中国剩余定理
【例 1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。

【巩固】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【例 2】一个大于100的自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？
【巩固】一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为。

【例 3】在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，如图。

小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。

他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。

他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。

最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
例3图【巩固】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？
〖答案〗
【例 1】1102
【巩固】258，259，260
【例 2】1303
【巩固】323
【例 3】91
【巩固】140。

小朋友们,你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗？他写得一手好字。

有一次过年,一个人请祝枝山写了一张条幅：“今年正好晦气全无财帛进门。

”主人一看：“今年正好晦气,全无财帛进门。

”差一点气昏过去,大骂祝枝山是个“大混蛋”。

祝枝山不慌不忙,笑嘻嘻地说：“你听我念：‘今年正好,晦气全无,财帛进门。

’这是多么好的好彩。

”主人一听,马上转怒为喜。

古人的断句,体现了标点符号的作用。

数学中的运算符号也能发挥类似的作用。

例【1】 在下面4个4中间,添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ）,组成3个不同的算式,使得数都是2。

4 4 4 4 ＝ 24 4 4 4 ＝ 24 4 4 4 ＝ 2分析 由题意,可以在4之间添加运算符号和括号,而题中没有一个运算符号,而只能采用逐一试验的方法,找到正确答案。

解 如果在第1个4后面添＋号,后3个4不能得到2；如果第1个4后面是一号,4－2＝2,很容易想到：（4＋4）÷4＝2。

所以4－（4＋4）÷4＝2。

如果第1个4后面是×号,4×4＝16,由于16÷8＝2。

容易想到：4×4÷（4＋4）＝2。

如果第1个4后面是÷号,4÷4＝1,由于1＋1＝2,容易得到：4÷4＋4÷4＝2。

例【2】在批改作业时,张老师发现小明抄题时丢了括号,但结果是正确的。

请你给小明的算式添上括号：4＋28÷4－2×3－1＝4分析根据题意,错误的算式是丢了括号。

只能按先乘除,再加减的运算顺序来计算。

因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的,所添的括号要能够改变运算顺序。

所以,括号应添在含有加减运算的两边。

解从左往右看,在4＋28两侧试添括号,计算得32,再除以4得8。

小明的算式就变为8－2×3－1＝4。

如果把括号加在8－2的两侧,计算结果大于4,只能把括号加在3－1的两侧。

对于含有 字母系数的二元 一次方程组， 总可以化 为 ⎨ 1 的形式，方 程组的解由⎩a x + b y = c⎧ A ． -1⎧ x y z ⎧专题 14 一次方程组阅读与思考一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程解，常用的消元方法有代入法和加减法．解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等） 需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧．方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法．⎧ a x + b y = c1 12 22a ,b ,c , a , b , c 的取值范围确定，当 a , b , c , a , b , c 的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本思1 11222111222路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．例题与求解【例 1】 若 m 使方程组 ⎨ x - y = 2 ⎩ x + 2 y = m的解，y 的和为 6，则 m ＝______________．(湖北黄冈市竞赛试题)解题思路：用含 m 的式子分别表示，y ，利用＋y ＝6 的关系式，求解 m ．【例 2】 若 4－3y －6＝0，＋2y －7＝0（ xyz ≠ 0 ）．则代数式 5x 2 + 2 y 2 - z 2 2 x 2 - 3 y 2 -10z 2的值等于 ( )19B ． -C ．－15D ．－1322(全国初中数学竞赛试题)解题思路：把当作常数，解关于，y 的方程组．【例 3】 解下列方程组．⎪ = =（1） ⎨ 4 5 6⎪⎩2 x + 3 y - 4 z = -3（“缙云杯”邀请赛试题）（2） ⎨1995x + 1997 y = 5989⎩1997 x + 1995 y = 7987（3）⎨⎧x+x=x+x=x+x=Λ=x⎧【例5】已知正数a，b，c，d，e，f满足bcdef（北京市竞赛试题）1223341997⎩x1+x2+Λ+x1998+x1999=1999+x1998=x1998+x1999=1（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加．【例4】已知关于，y的方程组⎨ax+2y=1+a⎩2x+2(a-1)y=3分别求出a为何值，方程组的解为：（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．acdef abdef abcef1=4，=9，=16，=，a b c d4 abcdf1abcde1=，=．求(a+b+e)-(b+d+f)的值．e9f16（“CADIO”武汉市竞赛试题）解题思路：利用叠乘法求出abcdef的值．【例6】已知关于，y的二元一次方程（a－3）＋（2a－5）y＋6－＝0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．（1）求出这个公共解．（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a－3）＋（2a－5）y＋6－＝0的解．（2013年“实中杯”数学竞赛试题）解题思路：分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解．17 x + 23 y =57方程组 ⎨23x + 17 y = 63已知方程组 ⎨ ⎩3x - 2 y = 2能力训练A 级1．若 3x 3m +5n +9 + 4 y 4m -2n -1 = 2 是关于，y 的二元一次方程，则mn2．⎧，的解为____________. ⎩的值等于______.（“希望杯”邀请赛试题）（辽宁省中考试题）3．⎧ax + 5 y = 15⎩4x - by = -2①②由于甲看错了方程①中的 a 得到方程组的解为＝－3，y ＝－1；乙看错了方程②中的 b 得到方程组的解为＝5，y ＝4．若按正确的 a ，b 计算，则原方程组的解为___________.（四川省联赛试题）4． 已知关于 x 的方程 a( x - 3) + b (3x + 1) = 5( x + 1) 有无穷多个解，则 a ＝，b ＝________.（“希望杯”邀请赛试题）5．已知 ( x + 3 y x y- 4) 2 + ( - + 2) 2 = 0 ，则有( )．2 3 2A. ＝2，y ＝3B. ＝－6，y ＝3C. ＝3，y ＝6D. ＝－3，y ＝6⎧3x + 2 y = 66．如果方程组 ⎨的解也是方程 4＋y ＋2a ＝0 的解，那么 a 的值是 ( )．A. - 91 91B. -C. －2D. 23 6⎧ a + 2b + 3c = 0 ab + bc + ca7．设非零实数 a ，b ，c 满足 ⎨ ，则⎩ 2a + 3b + 4c = 0a 2 +b 2 +c 2的值为( )．A. - 1 1B.0C.D. 12 2（2013 年全国初中数学竞赛试题）⎩b=1.2⎩3(x+2)+5(y-1)=30.9⎧⎩y=2.2⎩y=2.2⎩y=0.2⎧⎧⎩463x+361y=102⎧12⎪⎪x-16y-3（2）⎨⎩⎩2x-3y=-1⎪⎪118．若方程组⎨2a-3b=13⎩3a+5b=30.9⎧a=8.3⎧2(x+2)-3(y-1)=13的解为⎨则方程组⎨的解为()．A.⎨x=8.3⎩y=1.2⎧x=10.3⎧x=6.3⎧x=10.3B.⎨C.⎨D．⎨（山东省枣庄市中考试题）9．已知关于，y的方程组⎨2x+3y=2k+1⎩3x-2y=4k+3的解，y的值的和为6，求的值．（上海市竞赛试题）10．解方程组．⎧361x+463y=-102（1）⎨（云南省昆明市竞赛试题）+=111⎪+=1⎪2x-22y-1（浙江省竞赛试题）⎧x+y=7（3）⎨11．若x~x满足下列方程组15⎧2x+x+x+x+x=6⎪x+2x2+x3+x4+x5=122345⎨x1+x2+2x3+x4+x5=24，求3x4+2x5的值．⎪x+x+x+2x+x=48⎪12345⎪⎩x1+x2+x3+x4+2x5=96⎧3．若关于，y的方程组⎨有自然数解，则整数m可能的值是．3x-y=0⎧A.1B.1（美国数学邀请赛试题）B级1．已知对任意有理数a，b，关于，y的二元一次方程(a-b)x-(a+b)y=a+b有一组公共解，则公共解为______.（江苏省竞赛试题）2．设⎨2x+y+3z=23⎩x+4y+5z=36，则3－2y＋＝．（2013年全国初中数学竞赛试题）⎧6x+my=18⎩（2013年浙江省湖州市竞赛试题）4．已知方程组⎨(a-1)x+y=5⎩x+y=b，当a，b时，方程组有唯一一组解；当a，b时，方程组无解；当a，b时，方程组有无数组解．（“汉江杯”竞赛试题）5．“△”表示一种运算符号，其意义是△a b＝2a－b，如果△（1△3）＝2，则＝()．3C.D．222（江苏省竞赛试题）6．已知135x-2y==，则的值为()．x y+z z+x2y+zA.1B.3231C.-D．24（重庆市竞赛试题）⎩b=2⎩b=3⎩b=-3⎩b=-2⎩x+2y=310．已知ab⎧ax-2by=2⎧3ax-5by=97．已知关于，y的两个方程组⎨和⎨具有相同的解，那么a，b的值是⎩2x-y=7⎩3x-y=11()．⎧a=3⎧a=2⎧a=-2⎧a=-3A.⎨B.⎨C.⎨D．⎨8．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值是()．A.－1B.－5C.0D．1（全国初中数学联赛试题）9．解方程组⎧x+y=1（1）⎨（江苏省竞赛试题）⎧a b=1⎪bc=2⎪⎪（2）⎨cd=3⎪de=4⎪⎪⎩ea=6（上海市竞赛试题）1bc1ca1abc=，=，=，求的值．a+b15b+c17c+a16ab+bc+ca（山西省太原市数学竞赛试题）12．已知是满足1910 < k < 2010 的整数，并且使二元一次方程组 ⎨有整数解，问：这样 4 x + 5 y = k11．已知 x ， x ， x ，…，x 中每一个数值只能取－2，0，1 中的一个，且满足求的值x ＋ x ＋ x123n123＋…＋ x ＝－17， x 2 ＋ x 2 ＋ x 2 ＋…＋ x 2 ＝37．求 x 3 ＋ x 3 ＋…＋ x 3 的值．n 123n12n（“华罗庚金杯”邀请赛试题）⎧5x - 4 y = 7⎩的整数有多少个？（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。

第十四讲几何图形的认识1．根据图14-1中的几个图形的变化规律,在横线上画出适当的图形：2．如图14-2,数一数,图中共有多少个角？3．如图14-3,将一个边长为4厘米的正方形对折,再沿折线剪开,得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？4．用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形,这个长方形的周长最短是多少？5．用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形．请问：这个三角形的三条边长分别是多少？6．有两个相同的直角三角形纸片,三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米,不许折叠,用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？7．图14-4中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？8．图14-5的金字塔和图14-6的正八面体各有几条棱,几个面？9．一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母．请你根据图14-7的三种摆放情况,判断每个字母的对面是什么？10.如图14-8,在一个正方体的表面上写着l至6这6个自然数,并且1对着4,2对着5,3对着6．现在将正方体的一些棱剪开,使它的表面展开图如图14-9所示．如果只知道1和2所在的面,那么6应该在哪个面上〔写出字母代号〕?1．如图14-10,数一数,图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？2．如图14-11,数一数,图中共有多少个正方形？3．用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片,可以拼成多少种不同的<1>等腰三角形？<2>平行四边形？4．如图14-12,有一张长方形纸片,长为2,宽为l,A点是长边上的中点,沿着图中虚线将这张纸片剪成两块,再将这两块重新组合〔不能重叠〕,可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来．5．如图14-13,将正方形纸片沿对角线对折一次,得到一个等腰直角三角形；再对折一次,得到一个较小的三角形；最后,再对折一次,然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪开．那么展开后,原来的正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？6．如图14-14,用四个完全相同的边长分别为5、12、13的直角三角形拼成了一个"风车",求这个风车的周长．7．一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4,那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是4和9,这个三角形的周长可能是多少？8．周长是12,各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？9．图14-15中的四个正方体标字母的方式是完全相同的,请你利用图中已知的信息,判断A、B、C的对面分别标的是哪个字母？10.如图14-16,第1个方格内放着一个正方体木块,木块六个面上分别写着ABC- DEF六个字母,其中A与D相对,B与E相对,C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上,标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内,然后让木块按照箭头指向,沿着图中方格滚动,当木块滚到21格时,木块向上的面上写的是哪个字母？11.图14-17是一个立体图形的展开图,请问：原来立体图形的棱和面各有多少？12.一个棱长为4厘米的正方体,将其6个面都涂满红漆,然后把它锯成棱长为1厘米的小正方体．请问,在这些小正方体中：<1>3面涂上红色的有多少块？<2>只有2面涂上红色的有多少块？<3>只有1面涂上红色的有多少块？<4>没有涂色的有多少块？<5>至少有1面涂上红色的有多少块？1．图14-18是一个任意形状的三角形ABC,可以把它折叠成如图所示的长方形,使得 A、B、C都重合在BC上P这一点,请在三角形ABC中标出P点的位置,并画出折痕．2．请尝试：<1>把一个正方形折叠一次后变成一个三角形；<2>把一个正方形折叠一次后变成一个长方形；<3>把一个正方形折叠一次后变成一个梯形．3．如图14-19,有五个完全相同的骰子摆成一排,五个骰子底面的点数之和是多少？4．如图14-20,在正方体的6个表面上写有计算机字体的1、2、3、4、5、6〔虚线表示通过透视所能看到的情况〕．现在将这个正方体剪开,如图14-21所示,请你在剩下的5个方格中标出数字1、2、3、4、5,请注意这些数字的方向要和原来的正方体保持一致．5．如图14-22,一个正方体的8个顶点被截去后,得到一个新的几何体．这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？6．有一个3×4×5的长方体,先把其中相邻的两个面染红,再把它切成60个l×l×l的小正方体,请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一面被染红的？7．将一个正方体纸盒的某些棱剪开后,可以将其平铺成一个"平面展开图",也就是由6个正方形连接起来的一整张纸片,那么正方体的平面展开图一共有多少种？请全部画出来．〔注意：如果经过旋转或者翻转后,两个展开图可以完全重合,那么只能算作一种平面图形〕8．图14-23是一个边长为3厘米的大正方体,它是由边长为1厘米的小正方体组成的．已知A、B、c、D、E、F、G、日是正方体的八个顶点,P是ABCD面上的中心．请回答下列问题：<1>如图14-24所示,用一个通过P、E、F三点的平面将大正方体切开,这时切开的面是什么形状？此时一共还剩下多少个完整的小正方体〔边长为1厘米〕?<2>如图14-25所示,用一个通过P、A、C、F四点的平面将大正方体切开,这时切开的面是什么形状？此时一共还剩下多少个完整的小正方体？。

第14讲列简易方程解应用教学目标1、会解一元一次方程2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程知识点拨一、等式的基本性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式.二、解一元一次方程的基本步骤1、去括号；2、移项；3、未知数系数化为1，即求解。

三、列方程解应用题（一）、列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．例题精讲板块一、直接设未知数例题55例题44例题33例题22例题11长方形周长是66厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？ 用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？ (2003年全国小学数学奥林匹克)某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七位数abcdefg 应是 ． 有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数. 兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？【巩固】 （2006迎春杯集训题）水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？例题99例题88例题77例题66(清华附中培训试题)某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？ (小学生数学报数学邀请赛)寒暑表上通常有两个刻度，摄氏度(记为℃)和华氏度(记为F 。

中国剩余定理
【例 1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。

【巩固】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【例 2】一个大于100的自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？
【巩固】一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为。

【例 3】在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，如图。

小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。

他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。

他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。

最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
1
2
【巩固】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？
〖答案〗
【例 1】 1102
【巩固】 258，259，260
【例 2】 1303
【巩固】 323
【例 3】 91
【巩固】 140 例3图
3。

人教版五年级奥数精讲精练（十四）奇数与偶数姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、解答题1 . 甲袋中放着1997个白球和1000个黑球，乙袋中放着2000个黑球。

小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面。

如果摸出的两个球颜色相同，小强就从乙袋里取出一个黑球放到甲袋；如果摸出的两个球颜色不同，小强就将白球放回甲袋。

小强就这样从甲袋中摸了2995次后甲袋中还剩几个球？它们各是什么颜色？2 . 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。

问：原来写的三个整数能否是1，3，5？3 . 学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。

”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？4 . 一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。

5 . 某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位。

把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。

问：让这25个同学都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？6 . 现有1，1，2，2，3，3，…，10，10共20个数。

请问能否将这些数排成一行并且满足：两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，…，两个10之间有十个数？试证明你的结论。

7 . 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？8 . 新星小学五（2）班有43名同学，现在派他们到4个社区参加劳动，每个社区只能派奇数名同学，你能完成分配任务吗？为什么？9 . 桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。

如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？10 . （北京）由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有几个？11 . 能否用1个“田”字形纸片和15个“T”字形纸片（图6），恰拼成一个8×8的正方形的棋盘？12 . 如图，在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子?使得棋盘上每行、每列及每条斜线 (斜线指对角线以及与对角线平行的线) 上都有偶数枚棋子? 每个方格若放棋子，只能放一枚．参考答案一、解答题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、。

第十四讲图表信息问题21世纪是一个信息化的社会，从纷纷的信息中，捕获采集、办理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的基本要求．图表信息问题是最近几年中考浮现的新问题，即运用图象、表格及必定的文字说明供给问题情境的一类试题．图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特点表现出来，解题时要经过对图象的解读、剖析和判断，确立图象对应的函数分析式中字母系数符号特点和隐含的数目关系，而后运用数形联合、待定系数法等方法解决问题．表格信息题是运用二维表格供给数据关系信息，解题中需经过对表中的数据信息的剖析、比较、判断和概括，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，而后运用所学的方程 (组 )、不等式 (组 )及函数知识等解决问题．【例题求解】【例 1】一慢车和一快车沿同样的路线从 A 到 B 地，所行的行程与时间的函数图象如图所示，试依据图象，回答以下问题：(1) 慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车早小时抵达 6 地；(2) 快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时；(3)A 、 B 两地间的行程是．思路点拨对于 (2) ，设快车追上慢车需t 小时，利用快车、慢车所走的行程相等，成立t 的方程．注：股市行情走势图、期货市场趋向图、工厂产值收益表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们宽泛出此刻电视、报刊、广告中，浸透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会采集、整理与获取．【例 2】已知二次函数y ax2bx c 的图象如图，并设M=a b c a b c 2a b2a b ，则()A ．M>0B．M＝0C． M<0D．不可以确立 M 为正、为负或为0思路点拨由抛物线的地点判断 a 、b、 c 的符号，并由x 1 ，推出相应y 值的正负性．注：函数图象选择题是宽泛见于各地中考试卷中的一种常有问题，解此类问题的基本思路是：由图象大概地点确立分析式中系数符号特点，从而再判断其余图象的大概地点，在解题中常常要运用直接判断、清除挑选、分类议论、参数符合等方法．【例 3】某人租用一辆汽车由 A 城前去 B 城，沿途可能经过的城市以及经过两城市之间所1需的时间 (单位：小时 )以下图．若汽车行驶的均匀速度为 80 千米／时，而汽车每行驶千米所需要的均匀花费为 1．2 元．试指出这人从 A 城出发到 B 城的最短路线．(2003年全国初中数学比赛题)思路点拨从 A 城出发到 B 城的路线分红以下两类：(1)从 A城出发抵达 B 城，经过O 城，(2)从 A 城出发抵达 B 城，不经过 O 城．【例 4】我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日均匀风速不小于 3 米／秒的时间共约 160 天，此中日均匀风速不小于 6 米／秒的时间约占60 天．为了充足利用“风能”这类“绿色能源” ，该地拟建一个小型风力发电厂，决定采用 A 、 B 两种型号的风力发电机．根据产品说日均匀风速 v／ ( 米／秒 )v<33≤ v<6v≥ 6明，这两种风力发电机在各样日发电量 A 型发电机0≥ 36≥ 150风速下的日发电量( 即一天的( 千瓦·时 ) B 型发电机0≥ 24≥ 90发电量 )如下表：依据上边的数据回答：(1) 若这个发电厂购x 台A型风力发电机，则估计这些 A 型风力发电机一年的发电总量起码为千瓦·时；(2) 已知 A 型风力发电机每台0． 3 万元， B 型风力发电机每台0． 2 万元．该发电厂拟购买风力发电机共10 台，希望购机的花费不超出2．6 万元，而建成的风力发电厂每年的发电总量许多于102000 千瓦·时，请你供给切合条件的购机方案．思路点拨对于 (1) ，注意“均匀风速不小于 3 米／秒”的时间划分；对于(2) ，利用购买花费和发电总量分别列出不等式．【例 5】一蔬菜基地栽种的某种绿色蔬菜，依据今年的市场行情，估计从 5 月 1 日起的 50天内，它的市场售价y1与上市时间x 的关系可用图 1 的一条线段表示；它的栽种成本y2与上市时间x 的关系可用图 2 抛物线的一部分来表示，假定市场售价减去栽种成本为纯收益，问哪天上市的这类绿色蔬菜既不亏本也不赚钱?思路点拨由图象供给的信息，求出直线、抛物线的分析式，利用市场售价与成本价相等建即刻间 x 的方程．注：本例综合运用一次函数和二次函数的相关知识，波及信息量大，题中体现信息的方式不单是文字和符号，还包含表格．解图象信息问题的重点是化“图象信息”为“数学信息”，详细包含：(1)读图找点；(2)看图确立系数符号特点；(3)见形 (图象形态 ) 想式 (分析式 )，建模求解．学历训练1．如图，是某出租车单程收费y (元 )与行驶行程x (千米)之间的函数关系的图象，请依据图象回答以下问题：(1) 当行驶 8 千米时，收费应为；(2)从图象上你能获取哪些正确的信息(请写出 2 条 )①；②(3) 收费 y (元 )与行驶x (千米 )(x ≥3)之间的函数关系式为．．2．甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从 A 城出发到 B 地旅游，如图表示甲、乙两人离开 A 城的行程与时间之间的函数图象。

四年级奥数讲座（二）目录第一讲乘法原理第二讲加法原理第三讲排列第四讲组合第五讲排列组合第六讲排列组合的综合应用第七讲行程问题第八讲数学游戏第九讲有趣的数阵图（一）第十讲有趣的数阵图（二）第十一讲简单的幻方及其他数阵图第十二讲数字综合题选讲第十三讲三角形的等积变形第十四讲简单的统筹规化问题第一讲乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到 3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．例1某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）．其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法．故可以由乘法原理解决．解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法．补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？分析甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即由A到C，再由C到B．而由A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论．解：这只甲虫从A到B共有3×3=9种不同的走法．例3书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析要做的事情是从外语、语文书中各取一本．完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）．(或先取语文书，再取外语书．）所以，用乘法原理解决．解：从架上各取一本共有6×4=24种不同的取法．例4王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？分析三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名．所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名．首先，王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法．其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法．同样，李刚也有4种不同的报名方法．满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决．解：由乘法原理，报名的结果共有4×4×4=64种不同的情形．例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4=48个不相等的三位数．②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2=18个没有重复数字的三位数．解：由乘法原理①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数；②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数．例6由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．解：由1、2、3、4、5、6共可组成3×4×5×3=180个没有重复数字的四位奇数．例7右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．例8现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取，共9种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．由乘法原理，共有9×4=36种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉．解：取出的总钱数是9×4-1=35种不同的情形．习题一1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？习题一解答1．3×2×4=24（种）．2．1×4×3=12（个）．3．90×9=810（个）．4．4×4×3×2×1=96（种）．5．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；⑤1×3×6=18（个）．6．9×10×10×10×10×10=900000（部）．第二讲加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．例1学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析在这个问题中，小明选一本书有三类方法．即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说．所以，是应用加法原理的问题．解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法．例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析①中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．②中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题．解：①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法．②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法．补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以由乘法原理，这时共有4×2=8种不同的走法．第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有3种不同的走法．解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11（种）不同的走法．例4如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．例5有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．最后再由加法原理即可求解．解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有3×3=9（种）不同的情形．所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形．例6从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3×9×9=243个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3×9×9+1=244个．解：在1～500中，不含4的一位数有8个；不含4的两位数有8×9=72个；不含4的三位数有3×9×9+1=244个，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（个）不含4的自然数．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7如下页左图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．第一类，经过C的路线，分为两步，从A到C再从C到B，从A到C有2条路可走，从C到B也有两条路可走，由乘法原理，从A经C到B共有2×2=4条不同的路线．第二类，经过D点的路线，分为两步，从A到D有4条路，从D到B有4条路，由乘法原理，从A经D到B共有4×4=16种不同的走法．第三类，经过E点的路线，分为两步，从A到E再从E到B，观察发现．各有一条路．所以，从A经E到B共有1种走法．第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法．最后由加法原理即可求解．解：如上右图，从A到B共有下面的走法：从A经C到B共有2×2=4种走法；从A经D到B共有4×4=16种走法；从A经E到B共有1种走法；从A经F到B共有1种走法．所以，从A到B共有：4+16+1+1=22种不同的走法．习题二1．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？4．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？习题二解答1．3×3+2×4=17（种）．2．6+7+15+21+6×7=91（种）．提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．3．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．4．9+180+3=192（个）．5．8+8×8+3×8×8=264（个）．6．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．第三讲排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．例如某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式：如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列．首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法．其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法．由乘法原理，共需准备：3×2=6种不同的船票．为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≢n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≢n）元素的所有排列的个数，叫做从上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是一般地，从n个不同元素中取出m个元素（m≢n）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；…第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法．由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）…（n-m+1）种不同的排法，即：这里，m≢n；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．例1解：由排列数公式知：例2有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分析这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3．解：由排列数公式知，共可组成种不同的信号．补充说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．例3用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？分析这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，且知n=8，m=5．解：由排列数公式，共可组成：例4幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？分析在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．解：由排列数公式，共有：种不同的坐法．例5幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？分析与例4不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．解：由排列公式，共有：种不同的坐法．例6有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）分析由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．解：由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．例7 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？分析 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时n=4，m=4．解：由排列数公式知，共有。