中级奥数教程20

学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义年级：三年级辅导科目：奥数课时数：3学科教师：授课主题授课类型T同步课堂第20讲-错中求解P实战演练S归纳总结教学目标授课日期及时段①学习了解加、减、乘、除式中常见错中求解问题；②利用倒推法来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。

T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、错中求解在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉数字。

计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。

我们要学会怎么从错误中找出正确的答案。

二、解题策略解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。

典例分析考点一：简单的加减乘除问题例1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241。

正确的和是多少？【解析】把一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加数个位上的4看作1，少了3个1，这样和就少了3。

小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的和是241＋33=274。

例2、小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2看作了4，另一个加数个位上的7看作9，结果计算的和为215。

正确的和为多少？【解析】把一个加数的个位数上的2看成了4,则结果增加了2;另一个加数个位上的7看成了9,则结果又增加了2,所以现在结果一共增加了4.那么正确的和是215-4=211。

例3、小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？【解析】十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十，把十位上的2看作5，就是把20看作50，减数从20变为50，增加了30，所得的差减少了30，应在342中增加30，才是正确的差。

第一章 实数及代数式的运算和求值求解有关实数及代数式运算和求最值问题的基本方法1.整体代换方法 例1. 当219941+=x 时，多项式()20013199419974--x x 的值为 。

例2. 已知代数式19975213=++by ax ，当2=x 时，4-=y ；当4-=x ，21-=y 时，求代数式49862433+-by ax 的值。

例3. 已知1313+-=a ，则=+-+-4565234a a a a 。

例4. 若实数z y x ,,满足2005104,173=++=++z y x z y x 则分式zy x yx 2004200420043+++的值为 。

例5. 设0199719961995333>==xyz z y x ，，且,1997199619951997199619953333222++=++z y x 则=++zy x 111 。

2. 利用公式化简计算 例6. 计算下列分式的值：()()()()()()()()()()21996199321072852632412199719942118296274252+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯例7. 乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2231-121-1…⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2220001-119991-1等于 3. 换元法例8.=+++++++aa a a a a a a a a 9898939392929... ，其中a >0.例9. 计算2-316-2-324++。

例10. 已知k a a a a a a a a a a a a a a a a =++=++=++=++4321342124311432，求k 的值。

求和方法1.逆序相加法例11.计算=++++++++50009900-9999...5000300-335000200-225000100-1122222222 2.裂项抵消求和方法例12. 计算=+⨯+++⨯++⨯++⨯8102961 (882187118601)例13. 计算：（1）1×2+2×3+3×4+…+n(n+1);（2）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2) 注：用类似方法可证明：()()()()()()()()()121111212154314321321⨯⨯⋅⋅⋅⨯-+⨯+⋅+=-+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⨯+⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯++⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯+⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯k n k n k k n n n n k k k k k k ;2. 公式法 例14. 计算（1）; (3212)222n ++++（2）....3213333n ++++4.典型例题解题思维策略分析例15. 设215-=a 则，=-+---+a a a a a a 3234522a 例16. 已知333124++=a ，那么=++32133a a a 例17. 数10021,...,,x x x 满足下列条件：对于k x k ,100,...,2,1=比其余99个数之和小k ，则25x 的值为例18. 若0≠=++abc c b a 计算()()()()()()abb a ca ac bc c b 22222211111-1--+--+-的值例19. 设10098981001...10881018668164461++++++++=S 则S =课后练习1. 已知实数y x ,满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为2. 已知132=+-a a 则，2219294a a a ++--的值为 3. 已知zy x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 4. 计算：()()()()()()()()()()=++++++++++6435642764196411643643964316423641564744444444445. 已知d c b a ,,,是四个不同的有理数，且()()1a c a d ++=，()(),1=++d b c b 则()()=++c b c a6. 已知,0142=++a a 且32212324=+++-ama a ma a ，求m 的值。

奥数基础入门教程这里是奥数基础入门教程，为方便学习，我们将奥数分为三个部分，包括：1.初级奥数：主要涉及到四则运算、小数与分数的相互转换、整除、余数等基础概念，以及简单的变量代换和方程式的求解等。

2.中级奥数：主要涉及到一些较难的数学知识点，如质数分解、最大公约数和最小公倍数、分式运算、二次方程的求解、代数式的简化等。

3.高级奥数：主要涉及到一些高阶数学知识，如数列与数学归纳法、排列组合、三角函数和三角恒等式、平面几何和立体几何等。

下面我们将针对这三个部分进行详细的讲解。

1.初级奥数初级奥数主要是指初中阶段的数学知识，包括四则运算、小数与分数的相互转换、整除、余数等基础知识。

下面我们将逐一讲解。

1.1 四则运算四则运算就是加减乘除四种基本运算。

在进行四则运算时，我们需要注意以下几点：（1）先做括号里的运算（2）先乘除后加减（3）同级运算从左往右进行1.2 小数与分数的相互转换小数和分数常常需要相互转换，下面我们将分别介绍小数转分数和分数转小数的方法。

（1）小数转分数将小数分母乘以10的n次方，分子不变，即可将小数转换为分数。

例如，将0.375转换为分数，可以将分母变为1000，分子不变，即可得到分数3/8。

（2）分数转小数将分子除以分母，即可得到分数的小数形式。

例如，将3/8转换为小数，可以将3除以8，得到小数0.375。

1.3 整除与余数整除是指能够整除某个数，即余数为零。

例如，12可以被3整除。

余数是指在除法运算中未被整除的部分。

例如，12除以5，商为2余2，余数为2。

2.中级奥数中级奥数是指在初中数学的基础上，进一步学习一些较难的数学知识点。

下面我们将分别介绍质数分解、最大公约数和最小公倍数、分式运算、二次方程的求解、代数式的简化等。

2.1 质数分解质数分解是将一个正整数分解为几个质数的积的过程。

例如，将24分解为质数可以得到24=2×2×2×3。

2.2 最大公约数和最小公倍数最大公约数是指几个数最大的公约数。

奥数之解线性方程组解奥数线性方程组奥数是小学生学习的一门课程，其中包括解线性方程组。

线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。

解决线性方程组的问题是找到一个或一组变量的值来使得方程组成立。

解决线性方程组的方法有很多，其中包括矩阵法、高斯消元法、克莱姆法等多种方法。

矩阵法矩阵法是解决线性方程组的一种方法。

矩阵法是将所有方程的系数和常数写成一个矩阵，然后通过对矩阵进行一些变换，最终得到方程组的解。

当方程的个数和未知数的个数相等时，利用矩阵法解决线性方程组是最常用的方法。

例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29将系数和常数写成矩阵的形式，得到：| 2 -3 | |x| |-5|| 4 1 | x |y| = |29|通过高斯消元法或其他方法对矩阵进行变换后，得到解x=7，y=3。

高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的另一种方法。

高斯消元法先将线性方程组进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，然后再通过回代，求出方程组的解。

例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29通过初等变换，将方程组转化为上三角矩阵的形式：| 2 -3 | |x| |-5|| 0 13 | x |y| = |39|通过回代，求出解x=7，y=3。

克莱姆法克莱姆法是解决线性方程组的一种方法。

克莱姆法利用向量的概念，通过求出方程组系数矩阵的行列式和各个未知数的系数矩阵的行列式，最终求出方程组的解。

例如，有线性方程组：2x - 3y = -54x + y = 29通过克莱姆法，求出方程组的解：x = | -5 -3 | | 29 -3 || 29 1 | / | 2 4 | = 7y = | 2 -5 | | 2 29 || 4 1 | / | -5 1 | = 3需要注意的是，克莱姆法只适用于未知数个数等于方程个数的线性方程组。

综上所述，解决线性方程组的方法有很多种，包括矩阵法、高斯消元法、克莱姆法等。

竞赛讲座20-容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合A的元素个数)。

原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。

原理二：给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：第一步求|A|+|B|+|C|；第二步减去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|；第三步加上|A∩B∩C|。

例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。

问两科都在90分以上的有多少人？例3 某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。

参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。

同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。

问参加棋类比赛的共有多少人？例4边长分别为6，5，2的三个正方形，如图8—5所示放在桌面上。

问它们盖住的面积是多大？例5求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？练习题1. 某班共有48名学生，都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学兴趣小组的有28人，问同时参加语文、数学兴趣小组的人数是多少．2.纸片面积为7，一张边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8，问两张纸片重合部分的面积是多少？3. 不超过110且与110互质的自然数有几个？4.求在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个。

中级奥数教程同余解题【知识点与基本方法】讲同余之前，我们来思考这样一个问题：2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。

7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。

生活中我会经常遇到与余数有关的问题，再比如：某年级有将近400名学生。

有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。

因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。

1、同余的定义:两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（modm）研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题，下面给出同余一般理论。

2、同余的重要性质:〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，......（奇数）；0，2，4，6，8，......（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，......（被3除余数是0）1，4，7，10，13，......（被3除余数是1）2，5，8，11，14，......（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，......1（mod6）：1，7，13，19，25，......2（mod6）：2，8，14，20，26，......3（mod6）：3，9，15，21，27，......4（mod6）：4，10，16，22，29，......5（mod6）：5，11，17，23，29，......我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．【例题精选】例1：求437×309×1993被7除的余数。

奥数题20道【题-001】抽屉原理有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

【题-002】牛吃草：（中等难度）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【题-003】奇偶性应用：（中等难度）桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

【题-004】整除问题：（中等难度）用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？【题-005】填数字：（中等难度）请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．【题-006】灌水问题：（中等难度）公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【题-007】浓度问题：（中等难度）瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？【题-008】水和牛奶：（中等难度）一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？【题-009】巧算：（中等难度）计算：【题-010】队形：（中等难度）做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？【题-011】计算：（中等难度）一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如1001，因为1+0=0+1，所以它是11的倍数；又如1234，因为4+2-（3＋1）=2不是11的倍数，所以1234不是11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？【题-012】分数：（中等难度）某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分.第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数.问：至少有几个学生的得分不低于60分？【题-013】四位数：（中等难度）某个四位数有如下特点：①这个数加1之后是15的倍数；②这个数减去3是38的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数.【题-014】行程：（中等难度）王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？【题-015】跑步：（中等难度）狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。

中级奥数教程分式（整式）计算难点方法大全计算是最能体现你细心程度，灵活运用运算技巧的能力。

在这之前同学们都多多少少学过计算方面的方法技巧，我们根据计算题的特点，分了若干小类，把最近、最流行的较难赛题编入讲义中，以培养学生对计算方面的应变能力。

一、.作差法：在下列数中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1/1000 ？1/3 ，3/5 ，5/7 ，7/9 ，9/11 ，11/13 ………解答：1001/1003>999/1000>999/1001，所以从1001/1003开始，1与每个数之差都小于1/1000二、运用倒数转化。

巧算（35×46×57）÷（24×35×46＋35×46×57＋46×57×68）= 。

解答：除数除以被除数三、变换找规律，注意相同数字的个数。

设N=66…6×9×77…7，则N 的各位数字之和为= 。

四、分组裂项 化简131⨯+241⨯+351⨯+461⨯+…+199719991⨯+199820001⨯= 。

五、按特点与要求分拆=++++++++883842977537241633756293678371 六、活用法则定律化简繁分数 化简=+-12345678911123456789011234567891123456789012345678901234567891 。

七、整体考虑换元法=+⨯+++-++⨯++)975753357579()531135975753357579135531()531135975753357579()975753357579135531( 八、逆向思维与相关联想2003×□□□□=□99999□（□内只填一个数字），则四位数□□□□= 。

同类练习：1.计算 3001×2999的值． 2.计算 103×97×10 009的值．九、等比数列扩倍与错位相减 巧算=-----100541254254541 。

第一章 代数式基础知识第一节 用字母表示数1、什么是代数式？用运算符号将数或者表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。

单独一个数或字母也叫代数式。

代数式总能表达一个意思。

2、什么是单项式？任意个字母和数字的积的形式的代数式。

一个单独的数或字母也叫单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

任何一个非零数的零次方等于“1”。

单项式分母中不含字母(单项式是整式，而不是分式）。

3、什么是多项式？若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。

多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

不含字母的项叫做常数项。

4、循环小数化为分数纯循环小数：小数中除了循环节外没有其它小数。

如3.0 、82.0 、283.0 等。

混循环小数：小数中除了循环节外还有其它小数。

如1032.0 、1032.5 等。

例、纯循环小数化为分数。

（1）3.0（2）82.0 （3）283.0 解：3.33.010 =⨯（1） 82.2882.0100 =⨯ 283.382283.01000 =⨯ 3.03.0 = （2） 82.082.0 =283.0283.0 = （1）－（2）得：（1）－（2）得：（1）－（2）得：33.0)110(=⨯- 2882.0)1100(=⨯- 382283.0)11000(=⨯- 9311033.0=-=∴992811002882.0=-=999382283.0= 例、混循环小数化为分数。

将（1）1032.0 、（2）1032.5 化为分数。

解：（1）设x =1032.0 ， 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x 。

∴ 999022991032.0=解：（2）设x =1032.0 ，则1032.5 ＝5＋x +=51032.0 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x∴ 9990229951032.5= 。