中级奥数教程21

五年级奥数第21课教案授课时间：2016 年4 月2日时段10:00 －12:00 第（21）次课授课地点：任课教师上课学生课程名称长方体和正方体（一）教学目的学习长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。

教学重点长方体、正方体与奇数、偶数、质数、合数综合运用教学难点长方体、正方体的切割分离教学过程解答长方体、正方体问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、作图能力和空间想象能力，还要能掌握一此致解题的思路的技巧。

通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。

例题与方法例1．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。

这个长方体的体积和表面积各是多少？例2．在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？例3．一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。

第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。

已知每次从容器中溢出的水量的情况：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。

问：大球的体积是小球的多少倍？例4．一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块。

这时容器里的水深0.5米。

如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？练习与思考1．一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

2．用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。

已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。

这个长方体的长和宽各是多少厘米？3．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。

现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？4．把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。

第1讲加减法的巧算在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。

加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。

这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。

先讲加法的巧算。

加法具有以下两个运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

即a+b=b+a，其中a，b各表示任意一数。

例如，5+6=6+5。

一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。

例如，a+b+c+d=d+b+a+c=…》其中a，b，c，d各表示任意一数。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。

即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，其中a，b，c各表示任意一数。

例如，4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。

一般地，多个数(三个以上)相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。

把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。

1.凑整法。

先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。

例1计算：(1)23＋54＋18＋47＋82；(2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。

解：(1)23＋54＋18＋47＋82＝(23＋47)＋(18＋82)＋54＝70＋100＋54＝224；(2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)＝1350＋49＋68＋51＋32+1650》＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)＝3000＋100＋100＝3200。

2.借数凑整法有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。

例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。

例2计算：(1)57＋64＋238＋46；(2)4993＋3996＋5997＋848。

中级奥数教程同余解题【知识点与基本方法】讲同余之前，我们来思考这样一个问题：2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。

7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是1043周以后的那4天，因为经过1043周以后那天的是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。

生活中我会经常遇到与余数有关的问题，再比如：某年级有将近400名学生。

有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；同学们你们知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。

因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。

1、同余的定义:两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（modm）研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题，下面给出同余一般理论。

2、同余的重要性质:〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，......（奇数）；0，2，4，6，8，......（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，......（被3除余数是0）1，4，7，10，13，......（被3除余数是1）2，5，8，11，14，......（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，......1（mod6）：1，7，13，19，25，......2（mod6）：2，8，14，20，26，......3（mod6）：3，9，15，21，27，......4（mod6）：4，10，16，22，29，......5（mod6）：5，11，17，23，29，......我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．【例题精选】例1：求437×309×1993被7除的余数。

中级奥数教程分式（整式）计算难点方法大全计算是最能体现你细心程度，灵活运用运算技巧的能力。

在这之前同学们都多多少少学过计算方面的方法技巧，我们根据计算题的特点，分了若干小类，把最近、最流行的较难赛题编入讲义中，以培养学生对计算方面的应变能力。

一、.作差法：在下列数中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1/1000 ？1/3 ，3/5 ，5/7 ，7/9 ，9/11 ，11/13 ………解答：1001/1003>999/1000>999/1001，所以从1001/1003开始，1与每个数之差都小于1/1000二、运用倒数转化。

巧算（35×46×57）÷（24×35×46＋35×46×57＋46×57×68）= 。

解答：除数除以被除数三、变换找规律，注意相同数字的个数。

设N=66…6×9×77…7，则N 的各位数字之和为= 。

四、分组裂项 化简131⨯+241⨯+351⨯+461⨯+…+199719991⨯+199820001⨯= 。

五、按特点与要求分拆=++++++++883842977537241633756293678371 六、活用法则定律化简繁分数 化简=+-12345678911123456789011234567891123456789012345678901234567891 。

七、整体考虑换元法=+⨯+++-++⨯++)975753357579()531135975753357579135531()531135975753357579()975753357579135531( 八、逆向思维与相关联想2003×□□□□=□99999□（□内只填一个数字），则四位数□□□□= 。

同类练习：1.计算 3001×2999的值． 2.计算 103×97×10 009的值．九、等比数列扩倍与错位相减 巧算=-----100541254254541 。

2013年中级奥数教程9：分解质因数一、解答题（共32小题，满分0分）1．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？2．求100以内有6个约数的数有那些？3．下面的算式中，不同字母代表不同的数字，求算式×d=1995．4．将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？5．A=61×62×63×…×86×87×88．问A能否被6188整除？6．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？7．有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？8．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少各两位数的约数（1）146；（2）255；（3）360；（4）400．9．已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？10．165有多少个约数？这些约数的和是的多少？11．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？12．三个连续自然数的乘积是120，这三个数是_________．13．小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”．你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？14．学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少？15．在算式AB×CD=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和．16．自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值．17．如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数．18．一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？19．五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄．20．求1155的两位约数中最大的一个是多少？21．三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？22．将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数．23．将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自乘积相等．2、5、14、24、27、55、56、99．24．若一个自然数N分解质因数得N=2r×3p×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数？25．自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）26．四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是_________．27．a、b、c三个数都是两位整数，且a＜b＜c，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则a，b，c三个数分别为_________．28．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？29．555555的约数中，最大的三位数是_________．30．设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求的最小值．31．求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）32．已知（++++）+=1，且a，b，c，d正好是四个连续的自然数，则b+d等于多少？2013年中级奥数教程9：分解质因数参考答案与试题解析一、解答题（共32小题，满分0分）1．有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？2．求100以内有6个约数的数有那些？3．下面的算式中，不同字母代表不同的数字，求算式×d=1995．4．将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？5．A=61×62×63×…×86×87×88．问A能否被6188整除？6．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？7．有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？8．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少各两位数的约数（1）146；（2）255；（3）360；（4）400．9．已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？10．165有多少个约数？这些约数的和是的多少？11．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？12．三个连续自然数的乘积是120，这三个数是4、5、6．13．小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”．你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？14．学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的15．在算式AB×CD=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和．16．自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值．17．如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数．18．一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？19．五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄．20．求1155的两位约数中最大的一个是多少？21．三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？22．将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数．23．将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自乘积相等．2、5、14、24、27、55、56、99．24．若一个自然数N分解质因数得N=2r×3p×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数？25．自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）26．四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是5．27．a、b、c三个数都是两位整数，且a＜b＜c，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则a，b，c三个数分别为10，18，22或者11，15，24．28．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？、、、．29．555555的约数中，最大的三位数是777．30．设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求的最小值．=43231．求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）32．已知（++++）+=1，且a，b，c，d正好是四个连续的自然数，则b+d等于多少？则++=1﹣=，因为+++ ++，也就是++=1﹣=，++＜++=，4。

中级奥数教程：圆的周长和面积1．上海外滩海关大钟钟面的直径是米，钟面的面积是多少平方米？时针长米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是多少米？（得数保留一位小数）2．如图是个半圆（单位厘米），其阴影部分的周长是多少？3．如图所示是三个同心圆，圆心为P，且PQ=QR=RS，S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的圆环面积．求．4．如图中，ABCD是边长为A的正方形，分别以AB、BC、CD、DA为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．S2S15．如图是对称图形，红色部分的面积大还是阴影部分的面积大？6．如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积．（π取）一、填空题：7．一个直径6厘米的圆，它的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米．8．半径为厘米的圆周长是（）厘米，面积（）平方厘米。

9．周长为毫米的圆的半径（）毫米，面积（）。

10．一张三角形铁片与一张半径是50毫米的圆形铁片的面积相等，已知三角形铁片的底边长250毫米，则这个三角形在这条底边上的高是（）毫米．11．如图，大小两个圆重叠部分的面积是20平方厘米，是大圆面积的18，是小圆面积的16，则大圆面积比小圆面积多（）平方厘米。

二、选择题：12．如果圆的周长等于正方形的周长，那么圆的面积（）正方形的面积．A．大于B．等于C．小于13．直径是4的半圆面的周长与面积分别是（）A．，B．，C．，D．，14．一张长方形纸片长8厘米，宽6厘米，在这张长方形纸片中剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米．A．B．C．D．15．一个圆的半径扩大3倍，周长与面积分别扩大到（）A．3倍与3倍B．3倍与6倍C．6倍与3倍D．3倍与9倍16．将一根长10厘米的绳子绕一根细管10圈，还余下厘米，这根细管的外直径是（）毫米．A．3 B．6 C．D．四、解答题（共6小题，满分0分）17．如图，图中大圆面积为7平方厘米，小圆面积为4平方厘米，阴影部分为两圆相互重叠部分，那么两圆空白部分的面积差是多少平方厘米？18．如图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6厘米，角BOA为直角，阴影部分的面积是平方厘米．19．如图，在半径为1的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形，求菱形的边长．20．如图，图中有半径分别为5厘米，4厘米，3厘米，的三个圆，两小圆重叠部A的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？21．如图，试求图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比．22．如图，图中圆的半径是4厘米，求阴影部分的面积之和．九、填空题：23．等腰梯形的面积是54平方厘米，上底是5厘米，下底是13厘米．若要在这个等腰梯形内剪下一个面积最大的圆．这个梯形剩下的面积多大？24．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方米，小圆面积是（）平方米．25．在边长是20厘米的正方形铅板上，剪出一个最大的圆，剪去的面积是（）平方厘米．26．如图，大小两圆相交，重叠部分的面积占小圆面积的512，占大圆面积的18，小圆的面积是大圆面积的（）十、选择题：27．有相同周长的长方形、正方形和圆，它们的面积大小关系是（）A．S正方形＞S长方形＞S圆B．S长方形＞S正方形＞S圆C．S圆＞S长方形＞S正方形D．S圆＞S正方形＞S长方形28．半径是1的半圆面积的周长与面积分别是（）A．和B．和C．和D．和29．一张长方形纸片长5厘米，宽4厘米，在这张长方形纸片中剪一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米．A．B．C．D．30．一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小（）A．2倍与4倍B．2倍与2倍C．4倍与4倍D．4倍与2倍31．将一根长100米的绳子绕一棵大树20圈少48cm，这棵大树的横截面面积是（）cm2．A．B．C．20096 D．19625七、解答题（共20小题，满分0分）32．如图中，一个半圆的周长是厘米，它的直径是多少厘米？33．有八个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形（如图）．图中黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π=，那么花瓣图形的面积平方厘米．34．在如图所示的长方形ABCO 中，三角形ABD 的面积比三角形BCD 的面积大10平方厘米，求阴影部分的面积．35．如图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积．36．如图，长方形的宽正好是大扇形的半径一半，求阴影部分的面积．（单位：厘米）37．如图，A 、B 是两个圆（只画出圆 ）的圆心，那么，两个阴影部分的面积差是多少？（π）1438．如图，圆的周长是厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是多少厘米？39．如图，阴影部分的面积是10平方分米，则以OA为直径的半圆的面积是平方分米．40．如图中的曲线是用半径长度的比为4：3：1的7条半圆曲线连成的．涂有阴影的部分与未涂阴影部分的面积比是多少？41．如图，三角形OAC的面积为5平方厘米，求阴影部分的面积．42．有一个边长1厘米的正方形．如图所示，在它外面画一个圆（外接圆），然后在这个圆外面再画一个正方形（外切正方形），这算一次操作．要使最后画出的正方形的面积超过1平方公里，至少要连续进行多少次操作？43．如图所示，扇形ABD的半径是4厘米，阴影部分②比阴影部分①大平方厘米．求直角梯形ABCD的面积．44．某开发区的大标语牌上要画出如图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号，已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r，若均匀用料，则谁的油漆用得多．45．如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积．46．如图，在4×7的方格纸上画有如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧，则阴影面积占纸板面积的1928．47．如图，线段AB的长相等，问：哪个图中阴影部分的面积大？48．如图，在半径为4厘米的圆中有两条互相垂直的线段，把圆分成A、B、C、D四块．圆心O落在C 中，O到M点的距离为1厘米，M点到N点的距离为2厘米，那么A+C与B+D相比较，哪个面积大，大多少平方厘米？49．已知图中正方形的面积是12平方厘米，求图中里外两个圆的面积．50．有七根直径是10毫米的塑料管，（如图），用一根橡皮筋把它们勒成一捆，此时橡皮筋的长度是多少毫米？51．如图，三个圆的半径是5厘米，这三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积之和．。

目录第一讲奇妙的幻方 (3)练习卷 (9)第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10)练习卷 (12)第三讲图形的面积（一） (13)第四讲认识分数 (17)练习卷 (21)第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22)练习卷 (26)第六讲公因数与公倍数 (27)综合演练 (31)第一讲幻方（第一课时）【知识概述】在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。

幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。

（n 是几就表示为几阶幻方）。

本讲，我们将来学习这方面的知识。

例题讲学例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。

可以怎样填？【和为15】【思路分析】这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀：二、四为肩，六、八为足，左七右三，戴九履一，五为中央。

【注：戴指头，履指脚。

】试试填一填吧！幻方 （第二课时）知识概述：上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。

例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。

先试试看！看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的 不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。

你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！幻方（第三课时）根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。

【思路点拨】再来重温一下口诀吧！一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。

小学奥数最常见的21个模块知识详解，附公式及例题！题型一：归一问题【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

【数量关系】总量÷份数=单一量单一量×所占份数=所求几份的数量或总量A÷（总量B÷份数B）=份数A【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12（元）再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92（元）综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）题型二：归总问题【含义】解题时先找出“总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。

所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。

【数量关系】1份数量×份数=总量总量÷一份数量=份数【解题思路】先求出总数量，再解决问题。

【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。

问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2（米）再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）题型三：和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。

【数量关系】大数=（和+差）÷2小数=（和－差）÷2【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例】甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：直接套用公式——甲班人数=（98+6）÷2=52（人）乙班人数=（98-6）÷2=46（人）【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。

高思导引第21讲今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”．请问：小王今年多大？（1）（2）小王在2000年以后出生，设为200x2+0+0+x=2008-200x X=3 小王：2008-2003=5岁小王在2000年以后出生，设为19AB1+9+A+B=2008-19AB 11A+2B=98 A=8 B=5 小王：2008-1985=23岁在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数．A0B=9AB 4A=5B A=5 B=44 5把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方．请问：这个和是多少？+ = ( )2AB BA11A+11B ( )2=11(A+B) = ( )2A+B=11 11×11=121有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111．请问：原来的三位数是多少？A B C + C B A 1 1 1 1A+C=1011B=02 4 6 89 7 5 3704在下面这个等式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？⨯=⨯学习好勤动脑勤动脑学习好58设学习好=X,勤动脑=Y(1000X+Y)×5=(1000Y+X) ×8128X=205Y X=410 Y=256410256在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？A B C A X B C× 9 C=0 , 5C=0 B=5 A=1 , 2， 3 , 4150 250 350 450 C=5 B=2 B=7 A=1 ,2 A=1 , 2, 3，4，5，6125 225 175 275 375 475 575 675用5，7，2，0，8这5个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是66663，这两个数中较大的一个可能是多少？— 6 6 6 6 3820 7 7 0 5 8 2 5 7 0 或者87520有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的 ，求所有这样的三位数． 13进一位数字和少9最多进两位数字和少9或者18原来的数字和为3A+3 新数字和为A3A+3-A=18 2A+3=9 A=3原来的三位数数字和为9 117 108 207有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为7的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？一定有进位设较小的数数字和为X，较大的数数字和为X+1-9K9K-1为7的倍数，K最小为4最小为69999记号表示前n 个自然数相乘，并且规定 ，例如： ．每一个三位数 都有一个“对应数”： ，例如：254的对应数是 ．请问：对应数与自身相同的三位数是什么？!n 0!1=4!1234=⨯⨯⨯!!!a b c ++2!5!4!146++=0！=1 ， 1！=1 ， 2！=2 ， 3！=6 ， 4！=24 ， 5！=120 ， 6！=720 ，7！=504024×3=722个5，百位为2，但是255不满足条件只有一个5，百位为1,145满足条件如果修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，那么修改后的这个数是多少？ 3 1 7 4 3 8 2 3 3 2 4 6 9 7 0 5 36 5 8 44 6 9 8 减469+823K 加354+823K 改动千位或者万位数字 8 2 3 7 4 31 823 24 3 3 93 3如果是1998的倍数，那么n最小是多少？222n个222222……2222=1998×K111……1111=999×K 三位截断求和111×9=99927个1,27个21至9这9个数字，按图5-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到的两个数是193426857和758624391）．如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？1 9 3 4 26 857图5-1 396=4×11×9 1+2+……+9=45 必是9的倍数 奇偶位相同，必是11的倍数 末两位相减是4的倍数1×9=9， 3×9=27， 4×2=8， 2×6=12， 6×8=48， 7×5=35各位数字互不相同的八位数中，能被72整除的数最小是多少？最大是多少？0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 和为45只能去掉0 9 18 273 64 5 前四位最小1023 后四位7896最小10237896前四位最大9876 后四位3120最大98763120下节课见！。

2013年中级奥数教程7：最大公约数与最小公倍数一、解答题（共28小题，满分0分）1．（1）求28和70的最大公约数；（2）求12和18的最小公倍数．2．求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数．3．求36，108，126的最大公约数和最小公倍数．4．从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上剪裁下尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再裁下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米．5．用辗转相除法求1170、2574、3003的最大公约数．6．现有4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大可能是多少？7．下面两个算式中，得数较大的是哪一个？（1）（+）×30；（2）（+）×40分析如果算出得数，计算量很大，比较量很大．比较一下两个式子．括号内都是两个分子为1的分数相加，如果能使括号外部分相同，那么只需要括号内部分就可以了．8．如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧要等距离地安装路灯，要求在A，B，C G处各庄一盏路灯，问：这条街道最少要安装多少盏路灯？9．已知两个自然数的差为2，他们的最小公倍数与最大公约数之差为142．求这两个自然数．10．已知两个自然数的和是60，他们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？11．求35，98，112的最大公约数与最小公倍数．12．求403，527，713的最大公约数与最小公倍数．13．老师将301个笔记本、215支铅笔和86块橡分给班里的同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？14．两个合数的积是5766，他们的最大公约数是31，求这两个数．15．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？16．某校全体学生列队，不论他们人数相等的分成2队，3队，4队，5对，6对，7对，8对或9队，都会多出1人，那么该校至少有多少名学生？17．已知a=440，b=126，c=825，求（a，b，c）和[a，b，c]．18．写出三个小于10的自然数，使他们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1．19．甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，则乙数为_________．20．设A，B两个数都只含有质因数3和5，他们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？21．已知两个自然数的差为3，他们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数．22．写出小于20的三个自然数，使他们的最大公约数是1，但其中任两数都不互质．23．所有形如abcabc 的六位数中（其中a，b，c均为丛0到9的整数，a≠0）它们的最大公约数是_________．24．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是_________．25．设a与b为两个不相等的自然数，如果他们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有_________种不同的值．26．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）27．甲、乙两数的最小公倍数是90；乙、丙两数的最小公倍数是105；甲、丙两数的最小公倍数是126，求甲数．28．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请找出这个数．2013年中级奥数教程7：最大公约数与最小公倍数参考答案与试题解析一、解答题（共28小题，满分0分）1．（1）求28和70的最大公约数；（2）求12和18的最小公倍数．2．求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数．3．求36，108，126的最大公约数和最小公倍数．4．从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上剪裁下尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再裁下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米．5．用辗转相除法求1170、2574、3003的最大公约数．6．现有4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大可能是多少？7．下面两个算式中，得数较大的是哪一个？（1）（+）×30；（2）（+）×40分析如果算出得数，计算量很大，比较量很大．比较一下两个式子．括号内都是两个分子为1的分数相加，如果能使括号外部分相同，那么只需要括号内部分就可以了．，则（+）+++++大于，大于，所以（8．如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧要等距离地安装路灯，要求在A，B，C G处各庄一盏路灯，问：这条街道最少要安装多少盏路灯？9．已知两个自然数的差为2，他们的最小公倍数与最大公约数之差为142．求这两个自然数．10．已知两个自然数的和是60，他们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？根据题意有时，方程组变为，或11．求35，98，112的最大公约数与最小公倍数．12．求403，527，713的最大公约数与最小公倍数．13．老师将301个笔记本、215支铅笔和86块橡分给班里的同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？14．两个合数的积是5766，他们的最大公约数是31，求这两个数．15．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？16．某校全体学生列队，不论他们人数相等的分成2队，3队，4队，5对，6对，7对，8对或9队，都会多出1人，那么该校至少有多少名学生？17．已知a=440，b=126，c=825，求（a，b，c）和[a，b，c]．18．写出三个小于10的自然数，使他们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1．19．甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，则乙数为28．20．设A，B两个数都只含有质因数3和5，他们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？21．已知两个自然数的差为3，他们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数．22．写出小于20的三个自然数，使他们的最大公约数是1，但其中任两数都不互质．23．所有形如abcabc 的六位数中（其中a，b，c均为丛0到9的整数，a≠0）它们的最大公约数是1001．24．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是40或20．25．设a与b为两个不相等的自然数，如果他们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有17种不同的值．26．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）27．甲、乙两数的最小公倍数是90；乙、丙两数的最小公倍数是105；甲、丙两数的最小公倍数是126，求甲数．28．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请找出这个数．。