人教B版高中数学精编必修一学案：3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数

3.2.1对数及其运算（第一课时）一、教学目标：二、教学重点：1重点是对数定义的理解2在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。

鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。

引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性三、教学方法：1充分利用信息技术和网络资源来学习知识2学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的3 教学方法与学习指导策略建议对学生的学法指导：联想类比。

数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。

鼓励学生自主学习和协作学习。

学生是在特定的学习环境进行学习。

“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。

鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息。

对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备。

四、教学过程：引入新课[仿照初中如何引入根式定义的方式来导入]资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（Joh n Na ei p r，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jo b st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价3.2.1对数及其运算（二）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解对数的运算性质，掌握对数的运算法则（2）掌握对数的加、减、乘、除运算法则（3）知道对数运算性质的实质：把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2、过程与方法（1）通过学习对数运算性质和法则，再次强调真数大于零（2）学会借助实例分析、探究数学问题3、情感、态度与价值观通过对数运算性质的研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。

教师锦囊教学建议1.教学时应该注意讲清对数运算法则的推导过程及其应用.可以从以下几个方面认识法则:(1)了解法则的由来.这里运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式;(2)掌握法则的内容.会用符号语言和文字语言准确叙述法则;(3)法则使用的条件.在运用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围:M>0,N>0,a>0,a≠1.要注意只有等式两边的对数都存在时,等式才能成立.例如,log 2(-2)(-3)是存在的,但log 2(-2),log 2(-3)都不存在,因此,不能得出log 2(-2)(-3)=log 2(-2)+log 2(-3).又如log 2(-2)2是存在的,但2log 2(-2)是不存在的,因此,不能得出log 2(-2)2=2log 2(-2);(4)法则的功能.要求能正反使用.利用对数的运算法则可以将乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算.反之也可将对数的加、减、乘、除运算转化为乘、除、乘方、开方的运算.这充分显示了对数运算的优越性.2.对数运算是指数运算的逆运算,结合对数运算培养学生的逆向思维能力.备用习题1.lg8+3lg5的值为( )A.-3B.-1C.1D.3解析：lg8+3lg5=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3lg10=3.故选D.答案：D2.设函数f(x)=f(x1)lgx+1,则f(10)的值为…( ) A.1 B.-1 C.10 D.101 解析：以x 1代x,得f(x 1)=-f(x)lgx+1,再结合已知可得f(x)=x x 2lg 1lg 1++,所以(10)=112+=1.故选A.答案：A3.若lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则y x =_______. 解析：由题设有(x-y)(x+2y)=2xy,∴x 2-xy-2y 2=0.∴(y x )2-yx -2=0. ∴y x =2(y x =-1舍去). 答案：24.若lga,lgb 是方程2x 2-4x+1=0的两实根,求lg(ab)·(lg ba )2的值.解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=•=+.21lg lg ,2lg lg b a b a 则lg(ab)·(lg b a )2=(lga+lgb)(lga-lgb)2=(lga+lgb)［(lga+lgb)2-4lgalgb ］=2(22-4×21)=4.。

第2课时　积、商、幂的对数与换底公式目标导航课标要求1.理解并掌握对数的运算法则.2.理解并掌握换底公式.3.能运用对数的运算法则及换底公式进行计算或证明.素养达成通过对数运算法则及换底公式的学习,培养较好的数学运算能力及逻辑推理能力.课堂探究新知探求·素养养成知识探究loga M+logaN logaM-logaNnloga M1n log a M2.以e为底的对数叫做 .loge N通常记作 .自然对数ln N3.对数换底公式是:logaN= (a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0),特别地,换成以10为底时,loga N= ,换成以e为底时,logaN= .loglogbbNalglgNalnlnNa【拓展延伸】1.指数与对数的对比自我检测CA 解析:由对数运算性质知4个式子都不正确.A 解析:log38-2log36=log323-2(log32+log33)=3log32-2log32-2=a-2.答案:0课堂探究·素养提升类型一 对数运算性质的应用解:(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.方法技巧 利用对数的运算法则解答问题一般有两种思路:(1)正用公式:将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商,然后化简求值.(2)逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32=2log32-5log32+log39+3log32=2.类型二换底公式思路点拨:由于所给对数的底数不同,无法直接进行计算,可利用换底公式计算.【例2】 计算:(log 2125+log 425+log 85)·(log 52+log 254+log 1258).方法技巧(2)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数,然后查表求值,解决一般对数求值的问题.(3)换底公式的本质是化同底,这是解决对数问题的基本方法.。

课堂导学三点剖析一、利用对数运算法则的计算问题【例1】计算:(1)lg12.5-lg 85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数的运算法则,要会正用法则,也要会逆用法则,更要会变形用法则.解：(1)lg12.5-lg85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题的具体需要正用及逆用法则,灵活地运用法则.二、对数式的条件求值问题【例2】已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法则变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3的式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值的式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法则的综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分”的方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ =3lg )34(3lg )21109541(--++=511. 解法二:采用“合”的方法.原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯=3lg 3lg 511=511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x-2y),∴lgxy=lg(x-2y)2.∴xy=(x-2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4. ∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4.温馨提示对数式化简的两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成若干个对数的代数和,最后进行化简;二是把同底的对数之和合并成一个对数,对真数进行化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题的重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲的方法.各个击破类题演练1计算:(1)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++; (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++ =2lg 6.0lg 13lg 4lg +++ =)26.010lg(2lg ⨯⨯=12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3.(2)8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ =8.1lg )10lg 9lg 2(lg 21-+ =8.1lg 21018lg =21. 类题演练2已知lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2的值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2. 变式提升2已知3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法则,把log 2487,log 212,log 242拆成若干个对数的代数和,然后再化简.原式=21log 24237⨯+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数的底数相同,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 24248127⨯⨯=log 221=21-. 变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5 =(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。

第2课时.积、商、幂的对数和换底公式与自然对数[学习目标].1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.[知识链接]在指数的运算性质中：a m ·a n ＝a m ＋n ；a ma n ＝a m －n ；(a m )n ＝a mn . [预习导引]1.对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).2.换底公式 log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1). 3.自然对数以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，叫做自然对数，log e N 通常记作ln N .温馨提示.常用结论(1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n mlog a b ； (3)log a b ·log b a ＝1；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .要点一.对数运算性质的应用例1.计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解.(1)方法一.原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 232＋lg(49×5)21＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 ＝12. 方法二.原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.规律方法.1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪演练1.计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27解.(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12 lg 34lg 3－3lg 3 ＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115. 要点二.换底公式的应用例2.已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.解.方法一.由18b ＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 方法二.设log 3645＝x ，则36x ＝45，即62x ＝5×9，从而有182x ＝5×9x ＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数， 得2x ＝log 185＋(x ＋1)log 189，又18b ＝5，所以b ＝log 185.所以2x ＝b ＋(x ＋1)a ，解得x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b 2－a. 规律方法.1.利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2.题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化、统一成一种形式. 跟踪演练2.(1)(log 29)·(log 34)等于(..)A.14B.12C.2D.4(2)log 2125·log 318·log 519＝________. 答案.(1)D.(2)－12解析.(1)(log 29)·log 34＝(log 232)·(log 322)＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4.(2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3)lg 2lg 3lg 5＝－12. 要点三.对数的实际应用例3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解.设最初的质量是1，经过x 年，剩余量是y ，则：经过1年，剩余量是y ＝0.75；经过2年，剩余量是y ＝0.752；……经过x 年，剩余量是y ＝0.75x ；由题意得0.75x ＝13， ∴x ＝log 0.7513＝lg 13lg 34＝－lg 3lg 3－lg 4≈4. ∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13. 规律方法.解决对数应用题的一般步骤跟踪演练3.里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.答案.6.10 000解析.由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)(..)A.log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )B.(log a x )n ＝n log a xC.log a x n＝log a n x D.log a x log a y＝log a x －log a y 答案.C解析.根据对数的运算性质知，C 正确.2.lg 8＋3lg 5的值为(..)A.－3B.－1C.1D.3答案.D解析.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3. 3.lg 5＋lg 20的值是________.答案.1解析.lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1.4.log 29log 23＝________. 答案.2解析.log 29log 23＝log 39＝log 332＝2. 5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________. 答案.1解析.因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105 ＝lg10＝1.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中要注意以下三组中的区别：①log a N n ≠(log a N )n ，②log a (MN )≠log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ≠log a (M ±N ).。

3.2.1对数及其运算（一）
教学目标：理解对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用
教学重点：理解对数的概念、常用对数的概念.
教学过程：
1、对数的概念：
复习已经学习过的运算
指出：加法、减法，乘法、除法均为互逆运算，指数运算与对数运算也为互逆运算： 若 ，则 叫做以 为底 的对数。

记作：b
N a =log （1,0≠>a a ）
2、对数的性质
零和负数没有对数，即 中N 必须大于零；
（1） 1的对数为0，即01log =
（2） 底数的对数为1，即1log =a a
3、对数恒等式：N a N a =log
4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：N N lg log 10=
5、例子：
（1） 将下列指数式写成对数式
62554=
641
26=-
373=a
73.5)31
(=m
（2） 将下列对数式写成指数式
416log 2
1-=
7128log 2=
a =27log 3
201.0lg -=
用计算器求值
2004
lg
lg
0168
.0
370
lg
.
125
lg
732
.1
课堂练习：教材第104页练习A、B
小结：本节课学习了对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用
P习题3—2A,1
课后作业：
114。

课题 §3.2.1 对数及其运算（一） （一）学习目标知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。

过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。

情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。

（二）重点难点 重点：对数的定义难点：对数的概念、对数的符号表示（三）教学内容安排1．复习引入细胞分裂x 次后，细胞个数为2x y =；给定分裂次数x ，可求出细胞分裂后的个数y ，实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数y ，计算分裂的次数x ，又如指数式9x y =中，已知底数9和幂y 的值，求指数x ，怎样求呢？2．新授内容在指数函数x y a =()0,1a a >≠中，对实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一的值y 和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一的值x 和它对应；我们把幂指数x 叫做以a 为底 y 的对数。

定义：一般地，对于指数式 N a b = ()0,1a a >≠，我们把数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 log a b N =，读作“数 b 等于以a 为底 N 的对数”，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

学生举例例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4=; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ⑷底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围范围),0(+∞。

3.2.1 对数及其运算（3）教学目标：知识与技能：通过具体实例，了解对数换底公式所刻画的量关系。

熟练对数换底公式的正、逆用。

过程与方法：体验由特殊到一般的推导换底公式的方法，借助化异为同的方法解决简单问题。

情感态度与价值观：通过学会换底公式的运用，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：换底公式的证明和应用教学难点：换底公式的发现过程及其应用教学过程：一、复习引入师：在上节课我们学习了积商幂的对数，其推导过程都是借助对数指数化的方法。

下面请同学们回想一下它们的运算法则：)(log MN a =______________；NM alog =______________；αM a log =________ 生：回答 师：利用法则迅速计算：8log 2，2log 4与8log 4的值，并探讨它们之间的关系 生：38log 2=，2log 4=2，238log 4=；观察发现4log 8log 8log 224= 师：那大家思考a 4a log 8log 8=log 4与4lg8log 8=lg 4是否成立？ 生：相等 师：如果把上述的两个式子定义成公式，你想怎样表述？生：（自由猜想）师：这几个对数都是比较特殊的，我们能够直接运算，若遇到对数值不是特殊的又该怎么计算呢？比如：已知lg50.6990,lg30.4771==，求3log 5（不通过计算器）。

（有的同学会说3lg 5log 5=lg 3，对，但是没有依据依据就是今天我们所要研究的内容——换底公式）设计意图：通过具体的例子，引出本节课重点内容——换底公式，是学生易于接受。

二、讲授新知1、请同学们再次看引例：已知lg50.6990,lg30.4771==，求3log 5（不通过计算器）我们要怎么求解3log 5的值呢？由前面所学已经知道对数式是由指数式互化得来的，故可由这一点入手：设3log 5=x 写成指数形式，得：35x =，两边取常用对数，得：lg3lg5x =，即lg3lg5x = 解得lg50.6990 1.465lg30.4771x ===，即3lg5log 5 1.465lg3== 大家猜想N b log 可以等于什么吗？ 学生猜到：lg log =lg b b N N 教师提示更一般的a a log log =log bb N N ，大家思考如何证明呢？（仿照引例证明，教师指导。

3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 称为对数的底，N 称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log 10N 记作lgN ；(3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log e N 记作lnN.2.对数的性质(1）真数N 为正数（负数和零无对数）.(2）log a 1=0.(3）log a a=1.(4）对数恒等式：a N a log =N.(5)运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则①log a (MN)=log a M+log a N;②log aN M =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n ∈R ).3.对数的换底公式一般地,我们有log a N=aN m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）log a b·log b a=1；(2）log n a b m =mn log a b. 高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N. 名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a≠1，N ＞0呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。