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第十一章 应力状态和强度理论

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应力状态与强度理论

应力状态与强度理论

理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时的断裂破坏。
3、最大剪应力理论（第三强度理论）：
理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要 因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质 有关的某一极限值，材料就发生屈服。
单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的
τmax= s/2时
任意应力状态下
莫尔强度条件为：
1
Байду номын сангаас
t c
3
t
对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、 岩石和土体等，在以压为主的应力状态下， 该理论与试验结果符合的较好。
综合以上强度理论所建立的强度条件， 可以写出统一的形式： σr≤[σ]
σr称为相当应力
r1 1
r2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。
2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)：
理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
拉断时伸长线应变的极限值为
断裂准则为：
1
1 E
1
2
11
b
E
3
1 2 3 b
第二强度理论的强度条件：
1 2 3
max
1 3
2
屈服准则： 1 3 s
2
2
1 3 s
第三强度理论建立的强度条件为：
1 3
在机械和钢结构设计中常用此理论。
4、形状改变比能理论(第四强度理论)：
第四强度理论认为： 形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。
单向拉伸时，
1
3E
s
2的形状改变比能。

工程力学第十一章-测控

工程力学第十一章-测控
材料在单向拉伸屈服时（σ1＝σs，σ2＝σ3＝０） 的形状改变比能 为
（２）第四强度理论 这一理论认为，形状改变比能是引起 材料发生屈服破坏的原因。也就是说：不论材料处于何种应力 状态，只要形状改变比能Ｕ达到材料在单向拉伸屈服时的形状 改变比能Ｕxs，材料就会发生屈服破坏。由此得材料的屈服条 件为
据实验和观察，尽管材料的破坏从表面看是十分复杂的 现象，但总不外乎是脆性断裂或塑性屈服两种现象或发生显 著的塑性变形，致使构件不能正常工作。同一类型的破坏可 以认为是由某一个特定的因素所致，找出这个因素，即可通 过简单的拉、压实验结果来推测材料在复杂应力状态下的破 坏，从而建立相应的强度条件。
所谓强度理论，也就是关于材料的某一类破坏是由什么 因素引起的假说。
３最大切应力理论（第三强度理论）
这一理论认为，最大切应力是材料产生塑性屈服破坏的原 因。也就是说：不论材料处于何种应力状态；只要最大切应力 τmax达到材料在单向拉伸下发生屈服破坏的最大切应力值τs， 材料就会发生屈服破坏。因此，材料发生塑性屈服破坏的条件 为
强度条件
式中，σxd3是按第三强度理论计算的相当应力。 实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的 现象。但是，由于它没有考虑σ２的影响，故按这一理论设计 构件偏于安全。
例 11-1 40MPa，
一 单 元 体 应 力 状 态 如 图 a 所 示 。 已 知 σx ＝ τx＝20MPa， τy＝-20MPa。用应力圆求1）
-α2＝0M30P。a ，斜截σy ＝面
上的应力；2）主应力与主平面的位置；３）最大切应力。
D1(σx、x) D2(σy、-y)
例11-2 根据应力状态理论，分析塑性材料和脆性材料圆杆扭 转破坏现象。
线应变称为主应变。

应力状态和强度理论

应力状态和强度理论

7.10 强度理论概述 低碳钢在拉伸、压缩和扭转时 低碳钢在拉伸、压缩和扭转时, 当试件的应力达 到屈服点后, 就会发生明显的塑性变形, 到屈服点后 就会发生明显的塑性变形 使其失 去正常的工作能力, 去正常的工作能力 这是材料破坏的一种基本形 塑性屈服。 叫做塑性屈服 式, 叫做塑性屈服。 铸铁拉伸或扭转时, 铸铁拉伸或扭转时 在未产生明显的塑性变形的 情况下就突然断裂, 材料的这种破坏形式, 情况下就突然断裂 材料的这种破坏形式 叫做 脆性断裂。 脆性断裂 。 石料压缩时的破坏也是这种破坏形 式。
混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定
端面未润滑时的破 端面润滑时的 坏形式 破坏形式
（三）最大剪应力（第三强度）理论 最大剪应力（第三强度） 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最 最大剪应力引起的 大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时， 大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时， 构件就破坏了。 构件就破坏了。 σ1 −σ3 σ s = =τs τ max = τ s τ max =
[
]
1+µ 2 = τ E
E ∴G= 2(1+µ )
7.10 强度理论概述
1．材料破坏的基本形式
在前面的实验中, 在前面的实验中 曾接触过一些材料的 破坏现象, 破坏现象 如果以低碳钢和铸铁两种材料 为例, 它们在拉伸(压缩 压缩)和扭转试验时的破 为例 它们在拉伸 压缩 和扭转试验时的破 坏现象虽然各有不同, 坏现象虽然各有不同 但都可把它归纳为 两类基本形式, 塑性屈服和脆性断裂。 两类基本形式 即塑性屈服和脆性断裂。
第一类强度理论-----脆性断裂的理论 脆性断裂的理论 第一类强度理论
第一强度理论---第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论---第二强度理论 最大伸长线应变理论

工程力学第11章 应力状态和强度理论

工程力学第11章 应力状态和强度理论

而最大正应力的方位角α0则可由下式确定
式中, 负号表示由x面到最大正应力作用面沿顺时针方向旋转。 因为 tan2α0=tan(180°+2α), 所以式(11-4) 给出两个相差90°的 α0 角, 即α0和 α0'=90°+α0(或α'0=α0-90°), 即这两个面互相垂直。 考虑到图11-8a中A、 B两点位于应力圆上同一直径两端, 即最大正应力所在截面和最小正应力所在截 面互相垂直 , 所以式 (11-4) 所求两个 α0 值即是 A 、B 两点所代表截面的方向。 它们之间的对应关系可以利用下述规则来确定 : 在 α0 和 α0+90°两个方向中 , σmax的方向总是在τx所指向的那一侧。 所以, 最大和最小正应力所在截面的方 位如图11-8b所示。 从图11-8a中还可以看出, 应力圆上存在K、M两个极值点, 由此得单元体在平 行于z轴的截面中最大和最小切应力分别为
11.2.2 平面应力状态分析的图解法
由式(11-1)和(11-2)可知, 任一斜截面α上的正应力σα和切应力τα均随参量α变 化。 所以σα和τα间必有确定的函数关系。 为建立它们间直接关系式, 先将式 (11-1)和式(11-2)改写为
式(c)、式(d)两边平方相加, 即有
从式(e)可以看出, 在以τ、σ为纵横坐标轴的平面内, 式(e)所对应的曲线为圆 (图11-5), 其圆心C的坐标为 , 半径为 , 而圆上任何一点的 纵、横坐标分别代表了单元体上某斜截面上的切应力和正应力。 此圆称为应力 圆。 并按以下步骤绘制应力圆。
的构件, 则必须研究危险点处的应力状态。 所谓一点的应力状态, 就是通过受 力构件内某一点的各个截面上应力情况。 由于构件内的应力分布一般是不均匀的, 所以在分析各个不同方向截面上的应 力时, 不宜截取构件的整个截面来研究, 而是围绕构件中的危险点截取一单元体 来分析, 以此来反映一点的应力状态。 例如, 螺旋桨轴工作时既受拉、又受扭 (图11-1a),若围绕轴表面上一点用纵、横截面截取单元体, 其应力情况如图 11-1b所示, 即处于正应力和切应力的共同作用下; 又如, 在导轨和车轮的接触 处(图11-2a), 单元体A除在垂直方向直接受压外, 由于其横向变形受到周围材 料的阻碍, 因而侧向也受到压力作用, 即单元体A处于三向受压状态。 显然, 要解决这类构件的强度问题, 除应全面研究危险点处各截面的应力外, 还 应研究材料在复杂应力作用下的破坏规律。 前者为应力状态理论的任务, 后者 则为强度理论所要研究的问题。

材料力学应力状态分析强度理论

材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。

应力状态和强度理论

应力状态和强度理论

第十一章应力状态和强度理论【学时】6（其中习题课2）内容：应力状态的概念，单元体，主应力和主平面；应力状态的分类。

二向应力状态下的应力分析——解析法，斜截面上的应力，主应力和主平面的确定。

三向应力状态的举例与（简单）分析，最大正应力。

广义虎克定律；比能，体积改变比能和形状改变比能。

强度理论的概念；最大拉应力理论；最大伸长线应变理论；最大剪应力理论；形状改变比能理论；相当应力；各种强度理论的使用范围。

【基本要求】1．理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念[2]。

2．了解应力状态的分类[3]。

3．掌握二向应力状态下应力分析的解析法[1]。

4．掌握斜截面上的应力，主应力和主平面的确定[1]。

5．掌握广义虎克定律[1]。

6．了解体积改变比能和形状改变比能[3]。

7．理解强度理论的概念[2]。

8．掌握四个常用强度理论[1]。

9．了解各种强度理论的使用范围[3]。

【重点】平面应力状态的解析法，广义虎克定律，四个常用强度理论【难点】应力状态的概念，强度理论的概念。

§11–1 概述 【问题的提出】拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件[][]ττσσ≤≤max max对于更复杂的受力状态， 如图中A 截面上的a 点? ①全面研究一点处各截面的应力——应力状态理论的任务。

②材料在复杂应力状态下的破坏规律——强度理论的任务。

§11–2 平面应力状态的应力分析 【问题的提出】铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？低碳钢PP 铸铁拉伸铸铁压缩 铸铁一、应力状态的概念1．一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况集合。

2．研究方法：取单元体为研究对象①单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点②单元体的性质——a、同一面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。

例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

zBCx 3．平面应力状态：只在四个侧面上作用由应力。

x二、斜截面上的应力【分析方法】：利用 α 斜截面截取的微元局部的平衡。

应力状态分析和强度理论


03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。

应力分析和强度理论


要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。

应力状态理论


'y
y
'x
x
z
z
y yx 'z xy x
x
'y
单元体应力状态如图
这时，独立的应力分量为 x ， y ， z 和 xy
与XY平面垂直的平面上的应力没有Z方向的分量，并且由
y
y
n
x ，y 及 xy 决定。 ——平面应力状态
'x z
yx xy x
x
已知 x ，y 及 xy ， 求任意斜截面n上的 应力——平面应力 状态分析。
解出 x,y,xy 有
0 x
45
x
y 2
xy 2
90 y
x 0 xy 0 90 245
y 90
于是
主应变：
x 2y
(xy)2x2y
2
4
1 2 [0 (9)0 (04)2 5 (09 0 2 4)2 5 ]
主方向： ta2n0x xyy245 0 09 090
Ax(3.6 4,2)2
特殊应力状态单元体
2
2
2
( , ) 22
Ay (0，0)
2
2
2
( , )
22
“单向拉伸”应力状态单元体与应力圆
1;2 0 ;3 0
0 0
Ax(，0)
0
Ay(0,)
20
Ax(0,-)
“纯剪切”应力状态单元体与应力圆
1;2 0 ;3
0 45
3
1
Ay (0，)
3 0
0 1
3 0
0 1
已知一点A的应力状态如图，求：A点的主应力和主平面。 （应力单位为 MPa）
25
26

应力状态及强度理论


应力张量是一个二阶对称张量， 包含六个独立的分量，可以用 来描述物体的应力状态。
主应力和应力张量可以通过计 算得到，它们是描述物体应力 状态的重要参数。
02
强度理论
第一强度理论
总结词
最大拉应力准则
详细描述
该理论认为材料达到破坏是由于最大拉应力达到极限值，不考虑剪切应力和压 力的影响。
第二强度理论
05
实际应用
航空航天领域
飞机结构强度分析
利用应力状态及强度理论，对飞 机各部件的受力状态进行详细分 析，确保飞机在各种工况下的结 构安全。
航天器材料选择
根据材料的应力-应变关系，选择 适合航天器发射和运行阶段的材 料，确保航天器的可靠性和寿命。
航空材料疲劳寿命
评估
通过应力状态及强度理论，评估 航空材料的疲劳寿命，预防因疲 劳引起的结构失效。
03
材料失效分析
弹性失效
总结词
材料在弹性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其弹性极限时 ，会发生弹性失效。这种失效通常表 现为突然断裂或大幅度变形，且材料 不具有恢复原状的能力。
塑性失效
总结词
材料在塑性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其屈服点后，会发生塑性失效。这种 失效表现为材料发生较大的塑性变形，无法保持其原始形状 和尺寸。
土木工程领域
桥梁承载能力分析
通过对桥梁的应力分布和承载能力的分析，确保桥梁在设计寿命 内的安全性和稳定性。
建筑结构抗震设计
利用强度理论，对建筑结构进行抗震设计，提高建筑物的抗震能 力，减少地震灾害的影响。
岩土工程稳定性分析
通过对岩土工程的应力状态和强度理论的分析，评估岩土工程的 稳定性和安全性。
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y
d A sin cos y d A sin sin 0
F 0， d A
t
y d A sin sin y d A sin cos 0
x
d A cos cos x d A cos sin
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
F A F/A
F
Me
B
Me
A
B
t=M/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面
b) 横截面，周向面，直径面各一对
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
分析B点的受力情况可知，该
单元体只有左右两个面上有正应
力σ，且σ＝MB／WZ可用图c所示 平面单元表示。用同样的方法在 梁的上边缘A点，中性层处的C 点及任意D、E处截取单元体， 分别得到这些点的应力状态如图 d、e、f、g所示。这些单元体均 称为原始单元体。
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
一、点的应力状态
受力构件内一点在各个不同方位的截面上应力的变化情 况叫做一点的应力状态。
二、点的应力状态的研究方法
单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。
F
F
应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行 面上的应力相等。相邻垂直面上的剪应力根 据剪应力互等定理确定。代表该点三个相互 垂直方向上的应力情况
1 2 3
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
四、应力状态的分类
1. 单向应力状态：只有一个主应力不等于零 2. 二向应力状态 ：两个主应力不等于零 3.空间应力状态 ： 三个主应力均不等于零 通常将单向和二向应力状态称为平面应力状态， 将二向和三向应力状态称为复杂应力状态。
2
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
三、主平面和主应力
主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体
主平面：切应力为零的截面 主应力：主面上的正应力
一点处必定存在这样的一 个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的 主应力分别记为1 ,2 , 3 且规 定按代数值大小的顺序来排列, 即
O
2
2
1
2 0
x y 2 x 2
2
应力圆与单元体的对应关系： (1) 点与面对应。 (2) 倍角与角对应。

Y, Y
A2
X Y ,0 2
A1
2
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
2. 应力圆的作法
y

y x
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
b.证明 （1）该圆的圆心C点到 坐 标原点的 距离为

D
x y
2
（2）该圆半径为
o
y
B C D′ A

R (
x y
2
)
2
2 xy
x
x y 1 1 OC OB (OA OB ) (OA OB ) 2 2 2 x y 2 2 2 2 CD CA AD ( ) xy 2
yx
x xy y
x o

a.步骤
1）建 - 坐标系,选定比例尺
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
y
yx
D
x
x xy
x
B C A

y
D′
（2）量取 OA= x AD = xy 得D点 （3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
x
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
a
x
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
OF OC CF OC CE cos( 2 0 2 )
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2
x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
2 1 1 3 2
3
1
1
1
1 2
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
第二节
一、斜截面上的应力
平面应力状态的普遍形 式如图所示 .单元体上 有x ,x 和 y , y 符号规定：
z
平面应力状态分析
y
y y
x x
x
y
y x x
正应力仍规定拉应力为正
切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
3、应力圆的应用
( 1).求单元体上任一 截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.圆 周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.
y nBiblioteka E 2 20 De
yx x xy
f
x
o
x
B
CF
A

y
D′
图示单元体已知 x=100Mpa,y =30MPa,xy=-20MPa.试求e-f截
面上的正应力和切应力及主应力和主应力方向.
解: 一 解析法
e
y
40°
（1）求 e-f 截面上的应力
40

x y
40

2 2 100 30 100 30 cos80 (20)sin 80 2 2 90.77MPa x y sin 2 x cos 2 2 100 30 sin 80 ( 20) cos80 31MPa 2
由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
y 正 应 力
α角
由x轴逆时针转到截面外法线n 为正；反之为负。
拉应力为正 压应力为负
x
x
n x

x
y
切 应 力
单元体内任意一点取矩，顺 时针方向转动为正；反之为负。

工程力学
第11章 应力状态和强度理论
假想地沿斜截面 E-F 将单元体截开,留下左边部分

x y
x
cos 2 x sin 2
f
x
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
（2） 求主应力和主应力方向
tan 2 0
2 x 2 (20) 4 0.57 x y 100 30 7
0 14.9
x y 2 2 105.3MPa max x y ( ) x 2 2 24.7MPa min

E 2 20 D
FE CE sin(2 o 2 ) CD sin 2 0 cos 2 CD cos 2 0 sin 2
x y
2
sin 2 xy cos 2
o
y
B
CF
D′
A

x
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
说 明
（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应 于应力圆上某一点的坐标. （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
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第11章 应力状态和强度理论
（3）确定主应力及其方向 A1,A2 两点的横坐标分别代 表 两个主应力1 和2
1 OA1 105.3MPa 2OA224.7MPa
A1 点对应于单元体上
1所在的主平面

(30,20)
D′ O A2 C
1 105.3MPa 2 24.7MPa 3 0
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第11章 应力状态和强度理论
二、图解法
（1）画应力圆
量取OA= x= 100 , AD = x= - 20,定出 D点; OB =y= 30 和 BD = y= 20 , 定出 D′点. 以DD′为直径绘出应力圆.
(
x y
)
2
2 xy
max 1
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（2）主平面方位
由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1对应 o 的主平面的外法线
2
B1 B 20 D
C
A
y
D′
A1

2 xy DA tan( 2 0 ) CA x y 2 xy tan 2 0 x y
2
1
14.9°
（2）确定 = 40°斜截面上的应力 将半径 CD 逆时针转动 2 = 80° 到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 40°斜截面上的应力。
40°
(30,20)
40º= 90.77MPa 40°= 31MPa
O
D′ C
E 80°
40°
D
(100,-20)
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第11章 应力状态和强度理论
根据切应力互等定理有：
y x
利用三角关系：
1 cos (1 cos 2 ) 2
2
2 sin cos sin 2
σx σy 2 σx σy 2 σx σy 2
1 sin (1 cos 2 ) 2
2
化简以上两个平衡方程最后得
应力圆方程： 标准圆方程： 应力圆圆心： 半径：
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
2 ） x 2
x a 2 y b2 r 2
x y ,0 2