北师大版数学选修1-1作业：第3章 变化率与导数3.1

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3。

1 变化的快慢与变化率[基础达标]1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于（）A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π（ΔR)2C．4πRΔR＋4π（ΔR)2D．4π（ΔR）2解析：选B.ΔS＝4π（R＋ΔR）2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.2.某质点的运动规律为s＝t2＋3,则在时间段（3，3＋Δt）中的平均速度等于（）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt解析：选A.v＝错误!＝错误!＝错误!＝6＋Δt.3。

已知点P(2，8）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选D。

Δy＝2（2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2（Δx）2，错误!＝错误!＝8＋2Δx,当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于常数8.4.已知物体的运动方程为s＝t2＋错误!(t是时间,s是位移),则物体在时刻t＝2时的速度为（）A.194B.错误!C.错误!D。

错误!解析:选D.错误!＝错误!＝4＋Δt－错误!，当Δt无限趋近于0时,错误!无限趋近于错误!，∴选D.5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为( )A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt）2＋16(t＋Δt)－（－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4（Δt)2。

§1 变化的快慢与变化率1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.-12解析:Δy=f(3)-f(1)=33-3=24,∴=12.故选A.答案:A2.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为()A.1B.2C.D.解析:Δy=.答案:C3.某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是() A.B.C.D.解析:由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以,故选A.答案:A4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2解析:所求平均变化率等于=-1.答案:B5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则等于()A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx,故选A.答案:A6.导学号01844030函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx 到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定解析:由定义可知k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.答案:D7.质点运动规律为s=gt2,则在时间区间(3,3+Δt)内的平均速度等于(g=10m/s2).解析:Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,=30+5Δt.答案:30+5Δt8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为.解析:由平均速度的定义结合图像知.答案:9.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.解自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为=4.10.导学号01844031一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5到6 s间的平均速度和5到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.解=36-25=11(m/s),=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=at2=t2,∴a=2(m/s2),5 s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5到5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章 变化率与导数 同步练习一.选择题(每小题5分,共40分)1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则x y ∆∆为( )A ．Δx ＋x ∆1＋2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －x∆1 2．物体自由落体运动方程为s (t )＝21gt 2，g ＝9．8m/s 2， 若0lim →∆t ts t s ∆-∆+)1()1(＝g ＝9．8 m/s ，那么下面说法正确的是( ) A ．9．8 m/s 是0～1 s 这段时间内的平均速度B ．9．8 m/s 是从1 s 到1＋Δs 这段时间内的速度C ．9．8 m/s 是物体在t ＝1这一时刻的速度D ．9．8 m/s 是物体从1 s 到1＋Δs 这段时间内的平均速度3．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么ts t ∆∆→∆0lim 为( )A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率4．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)5．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000等于( ) A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x --6．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于( ) A ．32 B ．23 C ．3 D ．2 7．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为( )A ．4)(x x f =B ．2)(4-=x x fC ．1)(4+=x x fD ．2)(4+=x x f 二,填空题:(每小题5分,共20分)9．y ＝x 1x 2－2在点(1，－23)处的切线方程为________． 10．已知曲线y ＝x ＋x 1，则y ′|x ＝1＝________．11．曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线为2x ＋y ＋1＝0，则y ′|x ＝a 的符号为________．12．物体运动方程为s ＝4t －0．3t 2，则t ＝2时的速度为________．三,解答题:13．(本题10分)动点沿x 轴运动，运动规律由x ＝10t ＋5t 2给出，式中t 表示时间(单位s )，x 表示距离(单位m)，(1)当Δt ＝1，Δt ＝0．1，Δt ＝0．01时，分别求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度．(2)当t ＝20时，运动的瞬时速度等于多少？14．(本题10分)已知函数f (x )在x ＝a 处可导，且f ′(a )＝A ，求a x →lim ax x a f a x f ----)2()2(．15．(本题10分)在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角 为4π.16．(本题10分)求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程.参考答案:一,选择题: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B二,填空题: 9．2x －2y －5＝0 10．21 11．小于0 12．2．8 13．解：(1)tt t t x ∆+-∆++∆+=∆∆∙∙222052010[]])20(5)20(10[＝210＋5Δt Δt ＝1时，v ＝215(m/s)Δt ＝0．1时，v ＝210．5(m/s)Δt ＝0．01时，v ＝210．05( m/s)(2)0lim →∆t t x ∆∆＝ 0lim →∆t (210＋5Δt )＝210(m/s) 14．解：令x －a ＝Δx 则f ′(a )＝0lim →∆x xa f x a f ∆-∆+)()(＝A a x →lim a x x a f a x f ----)2()2(＝0lim →∆x xx a f a x f ∆∆--+∆)()2( ＝0lim →∆x xa f x a f a f a x f ∆-∆---+∆)]()([)]()2([ ＝20lim →∆x x a f a x f ∆-+∆2)()2(＋0lim →∆x xa f ax a f ∆---)()(＝2A ＋A ＝3A 15、由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P 点的坐标为),(00y x ，则该点处切线的斜率为02x k p =，根据夹角公式有13213200=⋅+-x x 解得10-=x 或410=x ，由10-=x ，得10=y ；由410=x ，得1610=y ； 则P （-1，1）或)161,41(P 。

第三章 3.1A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( D )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点(32，314)及邻近一点(32＋Δx ，314＋Δy )，则Δy Δx＝( D ) A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3[解析] ∵Δy ＝f (32＋Δx )－f (32)＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx .故选D ． 3．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( A )A ．12B ．24C ．2D ．－12[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A ． 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( B )A ．④B ．③C ．②D ．① [解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.5．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( C ) A ．1 B ．2C ．13D ．32[解析] Δy ＝21.5－22＝13. 6．(2019·杭州高二检测)设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[解析] ∵函数f (x )＝x 2－1的自变量x 由1变成1.1，所以Δx ＝1.1－1＝0.1，Δy ＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，∴Δy Δx ＝0.210.1＝2.1.故选A ． 二、填空题7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是__2＋Δx __.[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是__2.2__.[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2，故填2.2. 三、解答题9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s (t )＝t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．求小球在5到6秒间的平均速度和5到5.1秒间的平均速度，并与匀速直线运动速度公式求得的t ＝5时的瞬时速度进行比较．[解析] v －1＝s (6)－s (5)6－5＝36－25＝11(m/s)， v －2＝s (5.1)－s (5)5.1－5＝5.12－520.1＝10.1(m/s)． 由于小球做匀速直线运动，且初速度为0，故s ＝12at 2＝t 2，∴a ＝2，5秒时的速度v ＝at ＝2×5＝10(m/s)．∴5到5.1秒间的平均速度更接近5秒时的瞬时速度．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( A )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A ．2．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( D )A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－(Δx )2＋3Δx .∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3. 3．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8 m/s ，则9.8 m/s( C )A ．是物体从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B ．是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．二、填空题4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为28π3. [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 5．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为__30.5m/s__.(g 取10 m/s 2) [解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3＝30.5(m/s)． 三、解答题6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，Δs Δt＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.7．试计算余弦函数f (x )＝cos x 在自变量x 从0变到π3和从π3变到π2时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[解析] 自变量x 从0变到π3时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为：f (π3)－f (0)π3－0＝cos π3－cos0π3＝－32π. 自变量x 从π3变到π2时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π2)－f (π3)π2－π3＝cos π2－cos π3π6＝－3π. 因为|－32π|<|－3π|，所以函数f (x )＝cos x 在自变量x 从π3变到π2时函数值变化得较快．。