北师大版数学高二- 选修2试题 2.1 变化的快慢与变化率

1第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率课后训练案巩固提升1.若函数f (x )=2x 2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx ,1+Δy ),则Δy Δx等于( )A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx )2解析:∵Δy=f (1+Δx )-f (1)=2(1+Δx )2-1-2+1=4Δx+2(Δx )2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx )2Δx=4+2Δx. 答案:C2.一个物体的运动方程为s=t 2-t+1,其中s 的单位是米,t 的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒D.4米/秒解析:∵ΔsΔt =(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt =5+Δt ,∴当Δt →0时,ΔsΔt →5.答案:C3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR ,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πR ΔRB.8πR ΔR+4π(ΔR )2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)2解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.答案:B4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是()A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.答案:C5.导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为()A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定解析:设点M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx=2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δx,由题意知4t0=-4,即t0=-1.2故点M的坐标为(-1,3).答案:C6.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为.解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=ln e=1,∴ΔyΔx =1e2-e.答案:1e2-e7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,ΔsΔt =3Δt-(Δt)2Δt=3-Δt趋于3.答案:38.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是.①前3个月内增长越来越快.②前3个月内增长越来越慢.③产品数量一直增加.④第3个月到第8个月内停产.解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.答案:②④349.已知函数f (x )=2x 在区间[1,t ]上的平均变化率为-23,则t= .解析:∵反比例函数y=k x (k ≠0)在区间[m ,n ]上的平均变化率为-k mn ,∴-21×t =-23,解得t=3.答案:310.设某产品的总成本函数为C (x )=1 100+x 21 200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .解析:ΔCΔx =C (1 000)-C (900)1 000-900 =1 100+1 00021 200-(1 100+90021 200)100=1912.答案:191211.已知函数y=f (x )=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.解函数y=f (x )=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx ]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx. 当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s 时的高度h (t )=5t 3+30t 2+45t+4,其中h 的单位为m,t 的单位为s .(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1 s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2 s 后的高度.(2)航天飞机升空后前2 s内的平均速度为v=ℎ(2)-ℎ(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2 s内的平均速度为125 m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2 s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.∴航天飞机升空第2 s末的瞬时速度为225 m/s.13.导学号88184018柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x2+20,0≤x≤1,-2049(x2-2x-244),1<x≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率;(2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.解(1)因为0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,5615分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx ,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x ≤8时 ,f (x )=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx =-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx ),当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-12049.。

1 变化的快慢与变化率[A 组 基础巩固]1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx >0 B ．Δx <0 C ．Δx ≠0 D．Δx ＝0解析：由平均变化率的定义可知，Δx ＝x 2－x 1.由于x 2，x 1的大小不确定，故Δx 的取值情况不确定．又∵Δx 在分母位置，∴Δx ≠0. 答案：C2．已知函数f (x )，区间[x 0，x 1]，当自变量由x 0变到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量的比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上结论都不对解析：根据平均变化率的定义可知，函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率为f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.答案：A3．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的体积增加量Δy 约为( ) A.4π3R 3ΔR B ．4πR 2ΔR C ．4πR 2D ．4πR ΔR解析：Δy ＝4π3(R ＋ΔR )3－4π3R 3＝4π3[3R 2ΔR ＋3R (ΔR )2＋(ΔR )3] ≈4π3·3R 2ΔR ＝4πR 2·ΔR . 答案：B4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.答案：C5．函数f (x )＝(x ＋1)2在x ＝2处的瞬时变化率为______． 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(3＋Δx )2－32＝(Δx )2＋6Δx ， ∴Δy Δx ＝Δx ＋6，Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于6. 答案：66．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝(－2＋Δx )2－2(－2＋Δx )＋1－(4＋4＋1)Δx ＝Δx －6.答案：Δx －67．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为__________．解析：因为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝1(2＋Δt )2－14Δt ＝－4＋Δt4(2＋Δt )2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－148．若一物体运动方程如下：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋1，0≤t <3，2＋3(t －3)2，t ≥3，则此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度分别为________、________.解析：∵t ＝1时，0≤t <3，∴s ＝3t 2＋1. Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ＝6Δt ＋3(Δt )2Δt＝6＋3Δt . 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于6，故物体在t ＝1时的瞬时速度为6.∵t ＝3时，t ≥3，∴s ＝2＋3(t －3)2， ＝Δs Δt ＝2＋3(3＋Δt －3)2－2－3(3－3)2Δt＝3Δt .当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于0，故物体在t ＝3时的瞬时速度为0.答案：6 09．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a . 解析：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2. ∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt ＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt →4a .依据题意有4a ＝12，∴a ＝3.10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解析：根据导数的定义，当x ＝2时，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝Δx －3，当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－3，所以原油在第2 h 的瞬时变化率为－3.同理可得，原油在第6 h 的瞬时变化率为5.即在第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．[B 组 能力提升]1．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s解析：Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt＝－4.8－2Δt .当Δt →0时，ΔsΔt →－4.8.答案：A2．曲线y ＝1x 2上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )，当Δx ＝12时，直线PQ 的斜率为( )A ．－53B ．－109C.53D.56解析：∵Δx ＝12，x ＝1，∴Δy ＝f (1＋12)－f (1)＝49－1＝－59.∴Δy Δx ＝－5912＝－109. 答案：B3．已知函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：因为Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ，所以Δy Δx ＝t 2－t1－t＝－t .又因为ΔyΔx ＝2，所以t ＝－2.答案：－24．如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t ＝127分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1)解析：由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t 分钟后水面高度为h ，则水面的半径为33h ，t 分钟时，容器内水的体积为9.3t ， 因为9.3t ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2·h ，所以h 3＝27t ，所以h ＝33t . 因为ΔhΔt ＝33127＋Δt －33127Δt＝3ΔtΔt [3(127＋Δt )2＋133127＋Δt ＋19]，＝33(127＋Δt )2＋133127＋Δt ＋19，所以当Δt 趋于0时，Δh Δt 趋于9，即h (t )在t ＝127处的瞬时变化率为9.答案：95．某物体的运动方程如下：s ＝s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋1(0≤t <3)，28＋3(t －3)2(t ≥3).(1)求此物体在t 0＝1到t 1＝1＋Δt (0<Δt <2)这段时间内的平均速率v －； (2)求此物体在t 0＝1时刻的瞬时速度．解析：(1)当0<Δt <2,1<t 1＝1＋Δt <3时，s ＝3t 2＋1，所以Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝3(1＋Δt )2＋1－(3＋1)＝3(Δt )2＋6Δt ，所以v －＝Δs Δt＝3Δt ＋6.(2)当Δt →0时，v －近似地趋于t 0＝1时刻的瞬时速度，即在t 0＝1时刻的瞬时速度为6. 6．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2. 求：(1)气球表面积S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时的平均膨胀率． 解析：由S (r )＝4πr 2，r >0，把r 表示成表面积S 的函数：r (S )＝12ππS . (1)当S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝12π(20π－10π)≈0.37(cm)． 所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.3710＝0.037.(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.23910＝0.023 9.。

本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率;二是导数的概念及其几何意义;三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则。

教材通过实例分析,让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f（dx＋b））的导数．本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算;学习的难点是对导数定义的理解.Q错误!错误!你登过泰山吗？登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小"的豪迈．当爬到“十八盘”时,你感觉怎样？是平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？X错误!错误!1．平均速度平均速度的定义:物体从某一时刻开始运动，设s(t)表示此物体经过时间t走过的路程，当时间从t变为t1时，物体所走的路程从s（t0)变为s(t1），这段时间内物体的平均速度是：平均速度＝错误!.2．平均变化率(1)定义:对于函数y＝f（x)，我们把式子f x2－f x1x2－x1称为函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1.可把Δx看作相对于x1的一个“增量”；类似的，Δy＝f （x2）－f（x1）．于是平均变化率可以表示为错误!＝错误!.(2）函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率就是过(x1,f（x1））、（x2，f(x2））两点的直线的斜率．3．瞬时变化率定义：一般地，对于一个函数y＝f(x)，在自变量x从x0到x0＋Δx的变化过程中，平均变化率为错误!＝f x＋Δx－f x0Δx.当Δx趋于0时，平均变化率错误!＝错误!趋近的值称为函数y＝f(x)在x＝x0点的瞬时变化率．Y错误!错误!1．质点运动规律为s（t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为（ A ）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt［解析］平均速度错误!＝错误!＝3＋Δt2＋3－32－3Δt＝错误!＝6＋Δt。

第二章 变化率与导数2.1 变化的快慢与变化率一、选择题1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt2．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则当Δx 趋近于0时，Δy Δx趋近于( ) A ．aB ．bC ．a ＋bD ．无法确定3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s5．已知某一运动物体满足s (t )＝5t 2，则它在t ＝3秒时的瞬时速度为(s ：单位为米，t ：单位为秒)( )A ．5米/秒B ．25米/秒C ．30米/秒D ．15米/秒6．一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末二、填空题7．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 8．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝________. 9．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是____________．10．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．如果它的加速度是a ＝5×105 m /s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.三、解答题11．甲城市2009年财政收入为15亿元人民币，2015年的财政收入为45亿元人民币；乙城市2009年财政收入为20亿元人民币，2015年财政收入为45亿元人民币，据上述数据，试比较甲、乙两城市的财政收入，哪个发展趋势较好？12.路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从灯在地面上的射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．π13．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝2附近的平均变化率哪一个大．答案精析1．A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D7.13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.94解析 Δy ＝f (a )－f (2)＝a 2－2a ＋3－(4－4＋3)＝a 2－2a ，又Δx ＝a －2，∴平均变化率Δy Δx ＝a 2－2a a －2＝a ＝94. 9．[x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2， f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图像可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．10．800解析 运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴当Δt →0时，Δs Δt→at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s)．11．解 据题意得甲城市的财政收入年平均变化率为：45－152015－2009＝306＝5(亿元/年)． 乙城市的财政收入年平均变化率为：45－202015－2009＝256(亿元/年)． 故甲城市的财政收入比乙城市变化得快．甲城市的发展趋势较好．12．解 (1)如图所示，设人从C 点运动到B 点的路程为x m ，AB 为人影，AB 的长度为y ，因为DC ∥EB ，所以AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)84 m /min ＝1.4 m/s ，故第一个10 s 内自变量的增量Δx ＝1.4×10－1.4×0＝14.又因为Δy ＝14×14－14×0＝72， 所以Δy Δx ＝7214＝14. 即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14. 13．解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin Δx Δx. 当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为 k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx＝cos Δx －1Δx. 由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负． 当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx＝2sin (Δx －π4)＋1Δx. ∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4， ∴sin(Δx －π4)＜－22， 从而有2sin(Δx －π4)＜－1， 2sin(Δx －π4)＋1＜0， ∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率．。

第二章DIERZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.k1与k2的大小关系不确定k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx =(x0+Δx)2-x02Δx=2x0+Δx,k2=f(x0)-f(x0-Δx)Δx =x02-(x0-Δx)2Δx=2x0-Δx,则k1-k2=4Δx.因为Δx>0,所以k1>k2.故选A.2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒解析∵Δs Δt=(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,Δs Δt→5.3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πRΔRB.8πRΔR+4π(ΔR)2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)22-4πR 2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.4.物体甲,乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.5.已知曲线y=2的坐标为( )A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx =2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δ的坐标为(-1,3).6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t= .Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,所以ΔyΔx =t2-t1-t=-t.又因为ΔyΔx=2,所以t=-2.7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt -(Δt)2,∴当Δt 趋于0时,Δs Δt=3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt 趋于3.8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y 与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 . ①前3个月内增长越来越快. ②前3个月内增长越来越慢. ③产品数量一直增加. ④第3个月到第8个月内停产.3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t= .y=k x(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x 21200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .=C (1000)-C (900)1000-900=1100+100021200-(1100+90021200)100=1912.11.已知函数y=f(x)=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.y=f(x)=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx.当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s后的高度.(2)航天飞机升空后前2s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2s内的平均速度为125m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2s末的瞬时速度为225m/s. ∴航天飞机升空第2s末的瞬时速度为225m/s.13.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率; (2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.因为0≤x≤1时,f(x)=80x 2+20,15分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)Δx=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x≤8时, f(x)=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx=-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx),当Δx趋于0时,ΔyΔx 趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-120 49.。

一、选择题1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为() A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44【解析】Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝0.41.【答案】 B2．函数y＝f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A．12 B．24C．2 D．－12【解析】Δy＝f(3)－f(1)＝33－31＝24，则Δy Δx ＝243－1＝12.故选A.【答案】 A3．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加()A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2【解析】Δs＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2.【答案】 B4．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是()A．2 B．3C．4 D．5【解析】Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则ΔyΔx＝3ΔxΔx＝3，∴当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于3.故选B.【答案】 B5．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒【解析】 Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋9)Δt＝(Δt )2＋5Δt Δt＝Δt ＋5. Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于5.即瞬时速度为5 米/秒．【答案】 C二、填空题6．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(单位：s (米)，t (秒))，则在t ＝1秒时的瞬时速度估计是________米/秒．【解析】 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴Δs Δt ＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于2.【答案】 27．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a＝______.【解析】 Δy Δx ＝f (a )－f (2)a －2a 2－2a ＋3－(22－2×2＋3)a －2＝a 2－2a a －2＝a ＝94. 【答案】 948．若f (x )＝x 3－2x ＋5从1到x 1的平均变化率为－1，则x 1的值为________．【解析】由－1＝f(x1)－f(1)x1－1＝x31－2x1＋5－4x1－1，解得x1＝0或x1＝－1.【答案】0，－1三、解答题9．已知函数y＝x2，求自变量x在以下的变化过程中，函数值的平均变化率：(1)自变量x从1变到1.1；(2)自变量x从1变到1.01；(3)自变量x从1变到1.001.估计当x＝1时，函数值的瞬时变化率是多少？【解】(1)Δx＝0.1，Δy＝1.12－12＝0.21，∴Δy Δx ＝0.210.1＝2.1.(2)Δx＝0.01，Δy＝1.012－12＝0.020 1，∴Δy Δx ＝0.020 10.01＝2.01.(3)Δx＝0.001，Δy＝1.0012－12＝0.002 001，∴Δy Δx ＝0.002 0010.001＝2.001.估计当x＝1时，函数值的瞬时变化率为2.10．若质点M按照规律s(t)＝30t－t2做直线运动(位移s：m，时间t：s)，试求：(1)此质点在[2,4]内的平均速度；(2)此质点在[2,2＋Δt]内的平均速度；(3)此质点在t＝2处的瞬时速度．【解】(1)Δs＝s(4)－s(2)＝(30×4－42)－(30×2－22)＝48，所以，此质点在[2,4]内的平均速度为ΔsΔt ＝484－2＝24 m/s.(2)Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[30·(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(30×2－22)＝26Δt－(Δt)2，所以，此质点在[2,2＋Δt]内的平均速度为ΔsΔt＝26－Δt.(3)当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于26，故此质点在t＝2时的瞬时速度为26 m/s.11．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影长度的平均变化率．【解】(1)如图所示，设人从C点运动到B点的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，则yy＋x＝1.68.所以y＝f(x)＝14x.(2)84 m/min＝1.4 m/s，在[0,10]内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝14×14－14×0＝72.所以f(x2)－f(x1)x2－x1＝7214＝14.即人离开路灯的第一个10 s内身影长度的平均变化率为14.。

【步步高 学案导学设计】 高中数学 2.1 变化的快慢与变化率课时作业 北师大版选修2-2 课时目标 1.理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求函数的变化率，并能判断函数变化的快慢.3.理解瞬时速度的概念．1．一般地，对函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为：______________，记作Δy Δx . 2．瞬时变化率 当__________时，函数的平均变化率Δy Δx 就趋于函数在x 0点的瞬时变化率；瞬时变化率刻画的是________________________________．一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．物体的运动规律s ＝s (t )，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t ΔtB.v ＝s Δt ΔtC.v ＝s t tD.Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t Δt当Δt 趋近于0时的值 5．一质点按规律s ＝2t 3运动，则其在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．486．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0B．－at0C.12at0D．2at0二、填空题7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11.一辆汽车按规律s＝3t2＋1作直线运动，通过平均变化率，估计汽车在t＝3 s时的瞬时速度(时间单位：秒，位移单位：米)．能力提升12．已知成本y与产量x的函数关系式为y＝42x2＋2，则x＝1时的边际成本是多少？13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．函数变化率刻画函数值变化的快慢．2．求瞬时变化率的步骤：①求Δy ；②求Δy Δx ；③当Δx 趋于0时，求Δy Δx 的值．答 案知识梳理1.f x 2－f x 1x 2－x 12．Δx 趋于0 函数在某一点处变化的快慢作业设计1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1.] 4．A5．C [Δs ＝2×(2＋Δt )3－2×23＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3，∴Δs Δt＝24＋12Δt ＋2(Δt )2. Δt 趋于0时，Δs Δt→24.] 6．A [∵Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0， ∴Δt 趋于0时，Δs Δt→at 0.] 7．0.418．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v 1＋Δt －v 1Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是Δt 趋于0时，Δv Δt→4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f －1－f －3－1－－3＝[－12－2×－1]－[－32－2×－3]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f 4－f 24－2＝42－2×4－22－2×22＝4. 11．解 汽车在[3,3＋Δt ]内的平均速度为Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3Δt＝33＋Δt 2＋1－3×32－1Δt ＝18＋3Δt . 当Δt 趋于0时，Δs Δt →18. ∴汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.12．解 Δy ＝42(1＋Δx )2＋2－42×12－2＝42(Δx )2＋84Δx .则Δy Δx ＝42Δx 2＋84Δx Δx＝42Δx ＋84， 当Δx 趋于0时，Δy Δx的值逼近84. 所以x ＝1时的边际成本为84.13．解 运动方程为s ＝12at 2. 因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， 所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以Δt 趋于0时，Δs Δt＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

选修2-2 第二章 §1 课时作业7一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( ) A ．v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB ．v ＝s (Δt )ΔtC ．v ＝s (t )tD ．v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ，故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2＋3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx 等于( )A ．4＋2ΔxB ．4＋(2Δx )2C ．4xD ．4解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋3－(2×12＋3)＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx ，故选A. 答案：A4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0，所以k 1与k 2大小不确定．故选D.答案：D 二、填空题5．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝30＋5Δt .答案：30＋5Δt6．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如右图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为______．解析：由平均速度的定义结合图像知v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________．解析：ΔV ＝a 3－1，∴ΔV Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.∴a 2＋a －20＝0. ∴a ＝4或a ＝－5(舍)． 答案：4 三、解答题8．已知f (x )＝x 2－3x ＋5，求函数f (x )从1到2的平均变化率． 解：Δx ＝2－1＝1， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (2)－f (1)， ＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0. ∴Δy Δx＝0. ∴函数f (x )从1到2的平均变化率为0.9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月的时间变化量Δt ＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW ＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率ΔW Δt ＝33＝1.从第6个月到第12个月的时间变化量Δt ＝12－6＝6， 从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW ＝11－8.6＝2.4， 则从第6个月到第12个月的体重平均变化率 ΔW Δt ＝2.46＝0.4.。