高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修2-2

其中自变量的变化
x2－x1
称作自变量的改变量，记
作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量， 记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改 fx2－fx1 Δy 变量与自变量的改变量之比，即 ＝ x2－x1 . Δx (2)作用：刻画 函数值 在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)
Δx＝2.01－2＝0.01， Δy 0.080 2 ∴ ＝ ＝8.02. Δx 0.01 (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
2 ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1
＝2Δx(2x0＋Δx)， Δy 2Δx2x0＋Δx ∴ ＝ ＝4x0＋2Δx. Δx Δx
s3－s2.5 2－1.25 (2)t∈[2.5,3]时， v ＝ ＝ ＝1.5. 0.5 3－2.5 s3＋Δt－s3 t∈[3,3＋Δt]时， v ＝ Δt Δt2＋2Δt ＝ ＝Δt＋2. Δt 当Δt趋于0时， v 趋于2，即为t＝3时的瞬时速度．
4．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时 的瞬时速度为12，求a.
答案：B
2．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3]，[1,2]，
[1,1.1]，[1,1.001]上的平均变化率．
f3－f1 解：函数f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为 ＝4. 3－1 f2－f1 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝3. 2－1 函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f1.1－f1 ＝2.1.函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 1.1－1 f1.001－f1 ＝2.001. 1.001－1

第二章 变化率与导数
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程 , 显然 s是时间 t的函数 , 表示为 s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是: y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量 从x1变为x2时,函数值从 ( x1 ) y x f 变为f ( x2 ), 它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
当时间x从0 min 到20 min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间 x从20 min 到30 min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了0.5c;
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s). 2 1

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D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
解 :(1)∵Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-(43+3)=(Δt)3+12(Δt)2+48Δt,
������
∴ Δ������ = 48 + 12Δ������ + (Δ������)2.
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0). 而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率,
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.
(2)结合(1)知,当t趋于2时,平均速度趋于14.所以估计当t=2时,该
质点的瞬时速度为14.
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1)
=2x0-2+Δx.
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题型一 题型二
题型二
瞬时变化率
【例2】 如果一个质点从定点A开始运动,在时间t的位移函数为

应用：在物理学、化学、生物学等领域，变化率被广泛用于描述各种物理、化学、生物现象的变化速度
变化率：描述变 化速度的量，通 常用单位时间内 的变化量来表示
变化的快慢：描 述变化速度的直 观感受，通常用 变化量与变化时 间的比值来表示
关系：变化率是 变化的快慢的量 化表示，两者成 正比关系
应用：在物理、 化学、生物等领 域，变化率是描 述变化快慢的重 要参数，可以帮 助我们更好地理 解和分析问题
影响：变化的快慢与变化率对未来科技、经济、社会等领域的发展具有重要影响 意义：理解变化的快慢与变化率有助于我们更好地适应未来社会的变化，提高应对能力 挑战：未来发展的不确定性和复杂性将带来新的挑战，需要我们不断学习和适应 机遇：未来发展的变化将为我们带来新的机遇，需要我们积极把握和利用
气候变化：通过变化率预测 气候变化趋势
股票市场：通过变化率判断 股票价格走势
经济增长：通过变化率评估 经济增长速度
疾病传播：通过变化率预测 疾病传播速度
变化率：描述变化快慢的量，通常 用导数或微分表示
数学建模：将实际问题转化为数学 模型，通过求解模型得到问题的解
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变化快慢：描述变化率的大小，通 常用积分或极限表示
初始状态：初始状态越接近目 标状态，变化越快
变化速度：变化速度越快，变 化越快
变化方向：变化方向与目标状 态一致，变化越快
干扰因素：干扰因素越小，变 化越快
变化率：描述 事物变化快慢
的量
意义：帮助理 解事物变化的
速度
应用：广泛应 用于物理、化 学、生物等领
域
计算方法：通 过比较两个时 间点的数据变 化来计算变化
率

可以发现，随着气球内空气体积的增加，气球的半径增加得越
来越慢．从数学的角度，我们如何描述这种现象呢？
[解析]
气球的体积V与半径r之间的函数关系是V(r)＝
4 3
3 πr3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝
3V 4π.
当空气体积V从0增加到1时，气球半径增加了r(1)－
r(0)≈0.62，气球的平均膨胀率为r11－－0r0≈0.62；
1 2
t2，则t＝2时，
此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C．12
1 D.4
• [答案] A
[解析] ∵ΔΔst＝122＋ΔtΔ2t－12×22＝12Δt＋2，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(12Δt＋2)＝2，故选A.
探索延拓创新
• 割线的斜率
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy) 作曲线的割线，求当Δx＝0.1时割线的斜率．
第二章 变化率与导数
第二章 §1 变化的快慢与变化率
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．了解函数平均变化率的概念 • 2．掌握函数平均变化率的求法 • 3．理解瞬时变化率 • 本节重点：函数的平均变化率、瞬时变化率、
0.02×902＝262；生产90个到100个单位该产品时，成本的平
均变化率为c110000－－9c090＝3.8.
易错辨误警示
下列说法：①函数y＝4x＋1在x从1变到3时的平 均变化率ΔΔyx＝ΔΔxxxy＝yx；②函数y＝x2＋x在x从0变到2时，Δx＝2 －0＝2，Δy＝f(2)－f(0)＝6；③函数y＝ x 在x从4变到9时，Δy ＝f(9－4)＝f(5)＝ 5.其中正确的有________．

2 [Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2， ∴ΔΔst＝2Δt＋ΔtΔt2＝2＋Δt，当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 2．]
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3．一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ________．
a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固 定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变 化率都等于常数 a.]
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合作探究 提素养
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求函数的平均变化率 【例 1】 (1)已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，
Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
(2)已知函数 f(x)＝x＋1x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和
从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
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1．函数 y＝x2＋1 在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
C [∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔyx＝2Δx＋ΔxΔx2＝2＋Δx，故选 C.]
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平均变化率的实际应用
【例 2】 甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如 图所示，试比较两人的速度哪个快？
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自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f55－ －f33＝5＋15－23＋31＝1154. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值 变化得较快．

∴ ������1 = = =4(m/s). Δ������ 1 ∵ Δt=2-0=2,Δs=f(2)-f(0)=14, ∴ ������2 = = Δ������
������ 14 =7(m/s). 2
������ ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0) .而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化 Δ������
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
探究一
探究二
探究一平均变化率
变化率就是
������(������2 )-������(������1 ) 的比值,物理上称为平均速度,数学上称为平均变 ������2 -������1
化率,在气球的变化过程中称为膨胀率,其名称虽有差别,但求法一样. 在求平均变化率时,一定要将 Δs=f(t2)-f(t1)与 Δt=t2-t1 对应好.
-6-
Δ������ Δ������ =-4.8-2Δt,当 Δt→0 时, →-4.8,即 t=1.2 Δ������ Δ������
s 时的瞬时速度为
§1
变化的快慢与变化率
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Δ
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
12Δ +3(Δ)2
=
=12+3Δx.
Δ
Δ
y=3x2+2
=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
第三步,求平均变化率Δ =
(2 )-(1 )
易错分析在函数的平均变化率的求法公式中,Δy必须对应Δx,即若
Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2).
解:∵x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14,
∴Δx=x2-x1=2-1=1,Δy=y2-y1=-14-0=-14.
Δ
∴Δ =
-14
Δ
1
Δ
=3g+2gΔt,∴当 Δt 趋于 0 时,Δ 趋于 3g=30.
Δ
∴当 t=3 s 时的瞬时速度为 30 m/s.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤
(1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t);
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
A.6
B.18 C.54 D.81
解析:由瞬时速度的定义可知Δs=2(t+Δt)3-2t3=2(3+Δt)32×33=54Δt+18(Δt)2+2(Δt)3,
54Δ+18(Δ)2 +2(Δ)3
2.
=
=54+18Δt+2(Δt)

x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0,2] 上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0 解析
答案
类型二 求瞬时速度 例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)
题型探究
类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率 Δy； Δx
解答
Δy ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率 . Δx
解
当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
y(℃)
39
38.7 38.5
38
37.6 37.3 36.9
思考1
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？
答案 不相同．
答案
思考2
哪段时间体温变化较快？ 答案 从20分钟到30分钟变化最快．
答案
思考3
如何刻画体温变化的快慢？ 答案 用体温的平均变化率．
答案
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δs ∴当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
解答
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
Δs st0＋Δt－st0 又 ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. Δt Δt
的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．

解(： 1)y
1
x3,y
l
i
my
l
i
1(xx)3 m3
1 3
x3
3
x0 x x0
1 3x2x3x(x)2 (x)3
x
y y
1
x3
4
3
lim
3x0
x
3
P
1 l i m[3x2 3xx(x)2] x2.
2
3x0
1 x
y|x2224. 即点P处的切线的斜率等于4.
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。
割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.
曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 线 f'(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
y
P
M
x
1j
x
的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
-1 O 1
10
11
练习:如图已知曲线
y1x3上 3
一P(点 2,83),求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.