高中数学 3.1变化的快慢与变化率 北师大版选修1-1

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3。

1 变化的快慢与变化率[基础达标]1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于（）A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π（ΔR)2C．4πRΔR＋4π（ΔR)2D．4π（ΔR）2解析：选B.ΔS＝4π（R＋ΔR）2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.2.某质点的运动规律为s＝t2＋3,则在时间段（3，3＋Δt）中的平均速度等于（）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt解析：选A.v＝错误!＝错误!＝错误!＝6＋Δt.3。

已知点P(2，8）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选D。

Δy＝2（2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2（Δx）2，错误!＝错误!＝8＋2Δx,当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于常数8.4.已知物体的运动方程为s＝t2＋错误!(t是时间,s是位移),则物体在时刻t＝2时的速度为（）A.194B.错误!C.错误!D。

错误!解析:选D.错误!＝错误!＝4＋Δt－错误!，当Δt无限趋近于0时,错误!无限趋近于错误!，∴选D.5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为( )A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt）2＋16(t＋Δt)－（－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4（Δt)2。

第三章DISANZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于( )A.12B.24C.2D.-12-f(1)=33-3=24,∴ΔyΔx =243-1=12.故选A.2.已知函数y=2x,当x由2变为1.5时,函数的增量为( )A.1B.2C.13D.32Δy=21.5−22=13.3.某物体的运动规律符合s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是( )A.v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)ΔtB.v=s(Δt)ΔtC.v=s(t)tD.v=s(t+Δt)-s(Δt)Δt,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)Δt,故选A.4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析所求平均变化率等于ΔyΔx =1-33-1=-1.5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则ΔyΔx等于( )A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx,故选A.6.函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.7.质点A做直线运动,已知其位移与时间的关系是s(t)=3t2,则在t0=2时的瞬时速度为.解析因为ΔsΔt =s(2+Δt)-s(2)Δt=12+3Δt,所以质点A在t0=2时的瞬时速度为12.8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为.v3>v2>v19.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为f(3)-f(1)3-1=32+3-(12+1)2=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为f(2)-f(1)2-1=22+2-(12+1)1=4.10.一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5 s到6 s间的平均速度和在5 s到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.v1=s(6)-s(5)6-5=36-25=11(m/s),v2=s(5.1)-s(5)5.1-5=5.12-520.1=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=12at2=t2,∴a=2(m/s2),5s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5s到5.1s间的平均速度更接近5s时的瞬时速度.。

3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。