北师大版数学选修1-1：第三章§1 变化的快慢与变化率

§1 变化的快慢与变化率学习目标：1.理解函数平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求给定函数在某个区间的平均变化率．(重点)3.会求函数在某点的瞬时变化率，并能根据瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢．(重点、难点)1．平均变化率对一般的函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.我们用它来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．思考：函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？[提示] (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．2．瞬时变化率对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．思考：物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示]不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则(1)Δx可正，可负，可为零；()(2)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1＝f(x1＋Δx)－f(x1)Δx；()(3)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x1)－f(x2)x1－x2＝f(x2－Δx)－f(x2)－Δx；()(4)当Δx趋于0时，ΔyΔx就趋于x1处的瞬时变化率．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数f(x)＝2x2－1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx等于()A．4B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C[Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx.∴ΔyΔx＝2(Δx)2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.]3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率为__________．[解析]ΔyΔx＝(1＋Δx)2－12Δx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝Δx＋2，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于2.[答案] 2求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx.Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.∴ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3.即函数y＝3x2＋2在[2,2.1]上的平均变化率为12.3.求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)计算Δx，求出Δx＝x2－x1；(2)计算Δy，求出Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)计算变化率，求出ΔyΔx的值.1．已知函数f(x)＝x2＋x，计算f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数f(x)＝x2＋x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝(x0＋Δx)2＋x0＋Δx－(x20＋x0)Δx＝(2x0＋1)·Δx＋(Δx)2Δx＝2x0＋1＋Δx，当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝x2＋x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.求瞬时速度【例2】 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t s 时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．思路探究：本题可先求物体在t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度，然后求当Δt 趋于0时的瞬时速度．[解] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度v ＝ΔsΔt ；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝3时的瞬时速度．[解] 令Δt 为增量．则s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝－3Δt －(Δt )2Δt ＝－3－Δt .当Δt 趋于0时，s (3＋Δt )－s (3)Δt趋于－3.所以此物体在t ＝3时的瞬时速度为－3.求瞬时变化率[探究问题]1．已知s (t )＝5t 2，请求出t 从3秒到3.1秒的平均速度． [提示] 当3≤t ≤3.1时， Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3) ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． 2．在上述问题中，请求出t ＝3秒时的瞬时速度． [提示] 在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3秒时的瞬时速度为30 m/s . 【例3】 已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数y ＝f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求函数y ＝f (x )在x ＝2处的瞬时变化率．思路探究：函数y ＝f (x )＝2x 2＋1→函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)→函数的平均变化率Δy Δx →Δx 趋于0→ΔyΔx 趋于常数．[解] (1)由已知，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx ＝4x 0＋2Δx .(2)由(1)可知，ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴ΔyΔx＝2Δx＋8，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于8，即函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8.1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44B [Δy ＝f (2＋0.1)2－f (2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.]2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上平均变化率为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．[解析] Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)2.1－2＝4.1.[答案] 4.14．某物体作匀速运动，其运动方程为s ＝v (t )＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系为________．[解析] 平均速度v ＝v (t ＋Δt )＋b －[vt ＋b ]Δt ＝v ΔtΔt ＝v .故任一时刻的瞬时速度也是v .[答案] 相等5．一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移(单位：m)，t 表示时间(单位：s)．(1)求该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度．[解] (1)该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt＝(－6－3Δt )(m/s)．(2)由(1)知，当Δt 趋近于0 s 时，ΔsΔt 趋近于－6 m /s ，所以该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为－6 m /s .。

第三章DISANZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于( )A.12B.24C.2D.-12-f(1)=33-3=24,∴ΔyΔx =243-1=12.故选A.2.已知函数y=2x,当x由2变为1.5时,函数的增量为( )A.1B.2C.13D.32Δy=21.5−22=13.3.某物体的运动规律符合s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是( )A.v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)ΔtB.v=s(Δt)ΔtC.v=s(t)tD.v=s(t+Δt)-s(Δt)Δt,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)Δt,故选A.4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析所求平均变化率等于ΔyΔx =1-33-1=-1.5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则ΔyΔx等于( )A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx,故选A.6.函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.7.质点A做直线运动,已知其位移与时间的关系是s(t)=3t2,则在t0=2时的瞬时速度为.解析因为ΔsΔt =s(2+Δt)-s(2)Δt=12+3Δt,所以质点A在t0=2时的瞬时速度为12.8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为.v3>v2>v19.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为f(3)-f(1)3-1=32+3-(12+1)2=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为f(2)-f(1)2-1=22+2-(12+1)1=4.10.一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5 s到6 s间的平均速度和在5 s到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.v1=s(6)-s(5)6-5=36-25=11(m/s),v2=s(5.1)-s(5)5.1-5=5.12-520.1=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=12at2=t2,∴a=2(m/s2),5s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5s到5.1s间的平均速度更接近5s时的瞬时速度.。