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第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。
四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。
五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。
六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。
1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。
变化的快慢与变化率学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时变化率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可以用式子 表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x的。
习惯用 来表示，即： 。
（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0）[问题2] 我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t sv x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 。
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。
附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；②定义的变化形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000；()x f'=00)()(lim)(lim00x x x f x f x yx x x x --=∆∆→→；()x f'=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim000； 0x x x ∆=-，当0x ∆→时，x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
[问题4]求函数()f x 在0x处导数三步法：①求函数的增量： 。
②求平均变化率： 。
2019-2020年高中数学第二章变化率与导数及导数的应用变化的快慢与变
化率教案2北师大版选修1-1
1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念及其几何意义有着重要作用.是导数概念产生的基础.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与内涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.
2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.
3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.
4、教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序.由此学生类比建构出变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结合的数学能力和以直代曲的转化能力.
[教学目标]
基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：
（1）知识与技能目标:
通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
（2）过程与方法目标:
体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.
（3）情感态度与价值观:
经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.
[教学过程]
⒈情境创设，激发热情
导言:
1.讲解青蛙扔过一锅热水和放进一锅冷水后然后再慢慢加热得到两个不同结果.与学生一起分析实验告诉我们:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊呀!
2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序)
⒉过程感知，意义建构 实例分析1
银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米. 实便分析2
物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.
实便分析3
这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图
（以3月18日为第一天,曲线图）． ⒊归纳概括，建立概念
1.如果将上述气温曲线看成是函数的图像，则函数在区间［1,34］上的平均变化率是多少？
2.在区间上的平均变化率为多少？
3.在区间上的平均变化率为多少？
4.你能否归纳出“函数在区间上的平均变化率”的一般性定义吗？
平均变化率的定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为
通常把自变量的变化称作自变量的改变量，记作，函数值的变化称作函数值的改变量，记作．这样，函数的平均变化率就可以表示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即
(d )
o
它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭”程度，具体地说：曲线越“陡峭”，说明变量变化越快；曲线越“平缓”，说明变量变化越慢．
⒋例题讲解，尝试应用
1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
该婴儿体重的平均变化率的实际意义？
2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x从0min到20min 和从20min到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？
这里出现了“负号”，你怎样理解“—”号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min到30min这段时间下降得比从0min到20min这段时间要快. 5.变式练习，巩固提炼
1.若函数f(x)=2x+1,试求函数f(x)在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率函数f(x)在这两个区间上的平均变化率都是
2.
2.变式一：求f(x)=2x+1,试求函数f(x)在区间[m,n](m<n)上的平均变化率
还是2，丨
3.变式二：求f(x)=kx+b,试求函数f(x)在区间[m,n](m<n)上的平均变化率是k.
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k）在任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
4.变式三：求在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0.
提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?
5.变式四：求在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]，[1，1.001]上的
平均变化率：函数在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001.
从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.
6.回顾反思，设问结课
1.平均变化率的定义
2.平均变化率的几何意义
3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？。
