1.3.2极值点 教案 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2

1.3.2 极大值与极小值(二)学习目标 1.进一步理解极值的概念.2.会应用极值解决相关问题．1．极大值与导数之间的关系x x 1左侧 x 1 x 1右侧 f ′(x ) f ′(x )>0 f ′(x )＝0 f ′(x )<0 f (x )增↗极大值f (x 1)↘减2.极小值与导数之间的关系x x 2左侧 x 2 x 2右侧 f ′(x ) f ′(x )<0 f ′(x )＝0 f ′(x )>0 f (x )↘减极小值f (x 2)增↗类型一 求函数的极值例1 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3. 反思与感悟 (1)研究函数首先要研究其定义域． (2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值． (3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚． 跟踪训练1 设函数f (x )＝ax 3＋32(2a －1)x 2－6x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当a ＝13时，求f (x )的极大值和极小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋32x 2－6x ，f ′(x )＝3x 2＋3x －6，k ＝f ′(－1)＝3－3－6＝－6，f (－1)＝132，所以y －132＝－6(x ＋1)，即12x ＋2y －1＝0为所求切线的方程． (2)当a ＝13时，f (x )＝13x 3－12x 2－6x ，f ′(x )＝x 2－x －6.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：所以f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝223，f (x )的极小值为f (3)＝－272. 类型二 极值的综合应用例2 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点， ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23 (23，4) 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) ↗6827－m ↘－16－m↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由g (x )的图象与x 轴有三个不同交点， 得⎩⎪⎨⎪⎧g (23)＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.反思与感悟 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键． 跟踪训练2 已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ 解 (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．答案1解析由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，极小值为f(x2)．2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．答案③④解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)，极小值是f(2)．3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.答案－1ln 2解析 f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.5．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．(填序号)①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 答案 ④解析 不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f (－33)，∴排除①； 取函数f (x )＝－x (x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝x (x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点， ∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意 (1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法．课时作业一、填空题1．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1.若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 (32，4)2．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________． 答案 8解析 y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8.3．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.4．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，12)解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x －a )＝ln x ＋1－2ax (x >0)，令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2.易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 大致图象如下图．若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2－a ≤0，3＋2－a >0，∴1≤a <5.6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9.7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递减，同理f (x )在(2,4)内单调递减，在(－2,2)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递增，所以可排除①和②，可填③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均单调递增，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点的左、右两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左、右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零，所以才会有极大值和极小值． 由4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.9．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，由题意得f ′(1)＝0，即1＋2－a4＝0，解得a ＝3.10．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 答案 (22，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，a >0，解得a >22. 二、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围． 解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)． 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－13－13 ⎝⎛⎭⎫－13，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， ∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 由(1)知f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴(527＋a )(a －1)>0， ∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 13．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解 (1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16. (2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增， 且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0， 所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21，所以要使直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，当且仅当f (3)<b <f (1)．因此b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．三、探究与拓展14．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围；(2)求证：(x －1)f (x )≥0.(1)解 f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.x ＝1是g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明 由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即ln x －x ＋1≤0.当0＜x ＜1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1≥0.∴(x －1)f (x )≥0. 15．若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x (x ＋52)x ＋2(x >－2)． g (x )与g ′(x )在(－2，＋∞)的变化情况如下表：由上表可知函数在x ＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．。

1.3.2《函数的极大值与极小值》教案教学目的：1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤教学过程：一、复习引入：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

2.用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出函数的导函数；（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；（3）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间.二、讲解新课：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)，x0是极大值点.2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f (x0)，x0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.三、数学运用：例１ 求f（x ）＝x ２－x －2的极值. 解：1()21,()0,.f x x f x x ''=-==令解得列表()f x '-0 +()f x1()2f 极小值,,2x =因此当时()().24f x f =-有极小值例2 求y =31x 3－4x +31的极值. 解：y ′=(31x 3－4x +31)′=x 2－4=(x +2)(x －2) . 令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表:x (),2-∞-2 (-2,2) 2 ()2,+∞y '+0 －0 +y↗极大值(2)f -↘极小值(2)f↗∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=3. 当x =2时，y 有极小值且y 极小值=－5.f(x)=13x 3-4x+42-2xOy例3 下列函数中，x =0是极值点的函数是( B )A.y =－x 3B.y =x 2C.y =x 2－xD.y =1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了。

§1.3.2导数应用---极大值与极小值（1）（预学案）
1. 了解函数极值的概念
2．了解函数在某点取得极值的充要条件——导数在极值点两侧异号； 重难点：利用导数求函数的极值
（预习教材P30 ~ P31，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现 1.极大值与极小值的概念：
2．极大值与导数的关系：
3．极小值与导数的关系：
4
二、小试身手、轻松过关
1：利用图象判断下列几个函数是否有极大值、极小值. （1）y x = （2）2
y x = （3）sin y x =
2. P31----练习1
三、基础训练、锋芒初显 1．求下列函数的极值：
（1）23
43
141x x x y --= （2）422x x y -=
（3）ex e y x
-=
2.作出符合条件0)
(40,)(4,0)4(,3)4(<'>>'<='=x f x x f x f f 时时的函数的图像。

四、举一反三、能力拓展
1.函数3
y x =是否有极值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.
2．已知函数)(x f y =的图像如图所示，试作出函数)(x f y '=的草图。

《极大值和极小值》教学设计——张博赢一．教学目标1知识与技能（1）结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；（2）理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值（3）培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。

2，过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，由直观到抽象来探索函数的极值与导数的关系．3情感态度与价值观1通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；2通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识．培养学生的探索精神。

二．学情分析由于我授课的班级为本校普通班，学生基础普遍较弱，学习能力不强，推理能力和计算能力不是很好，所以授课过程中要求节奏较为缓慢，需要留出学生将知识内化的时间，尽量做到深入浅出，做到手不离笔边，边探究边总结边练习，从而形成自己的知识。

还有本班同学性格较为内向，所以尽量做到多引导，多沟通，尽量做到思维多元化，在学习的过程中也锻炼学生的品格。

三．教材分析1.本节的作用和地位所用教材为《高中课程标准试验教科书-数学（选修2-2）》（苏教版），第1章“导数在研究函数中的应用——极大值和极小值”，它是学生学习了导数在研究函数中的应用——单调性之后，继续学习的第二种应用，也是为第三种应用——最大值和最小值作知识铺垫和方法引导，具有承上启下、完善知识结构、拓展提升能力的作用。

2.本节主要内容本节主要内容是让学生透彻理解函数的极值和极值点的概念，并以图像形式逐步给出极值和导数的关系，从而用求导研究函数的相关极值问题，培养学生关注抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养水平的提升。

3重点难点分析教学重点：利用导数研究函数的极值。

教学难点：函数的极值正向或逆向问题的考察。

4课时要求：本节课共三课时，本节选取第一课时四．教学理念1关注学生的进步和发展。

首先，要求教师有“对象”意识。

不唱独角戏，离开“学”，就无所谓“教”，因此，教师必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想。

导数与函数的单调性、极值、最值复习课公正中学耿晓强错误!1．判断以下结论的正误．正确的打“√〞，错误的打“×〞1f′>0是f为增函数的充要条件．2函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓〞．3函数的极大值不一定比极小值大．4对可导函数f，f′0＝0是0点为极值点的充要条件．5函数的极大值一定是函数的最大值．6开区间上的单调连续函数无最值．2．如下图是函数f的导函数f′的图象，那么以下判断中正确的选项是________．填序号①函数f在区间－3,0上是减函数；②函数f在区间－3,2上是减函数；③函数f在区间0,2上是减函数；④函数f在区间－3,2上是单调函数．3．函数f＝e－的减区间为________．4．f＝3－a在[1，＋∞上是增函数，那么a的最大值是________．5．函数f＝错误!3－4＋4的极大值为________．6．函数＝23－22在区间[－1,2]上的最大值是________．[典题1]设函数f＝错误!3－错误!2＋b＋c，曲线＝f在点0，f0处的切线方程为＝11求b，c的值；2求函数f的单调区间；3设函数g＝f＋2，且g在区间－2，－1内为单调递减函数，求实数a的取值范围．[探究1]在本例3中，假设g的单调减区间为－2，－1，如何求解？[探究2]在本例3中，假设g在区间－2，－1内存在单调递减区间，如何求解？[探究3]在本例3中，假设g在区间－2，－1内不单调，如何求解？[探究4]在本例3中，假设函数g在R上为单调函数，如何求解？函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求函数的极值[典题2]2021·南京模拟节选函数f＝错误!≠0．求函数f的极值．角度二：极值求参数[典题3]12021·金华十校联考函数f＝n －a有两个极值点，那么实数a 的取值范围是________．22021·沈阳模拟设函数f＝n －错误!a2－b，假设＝1是f的极大值点，那么a的取值范围为________．[典题4]2021·新课标全国卷Ⅱ函数f＝n ＋a1－．1讨论f的单调性；2当f有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．变式训练：函数f＝－e1求f的单调区间；2求f在区间[0,1]上的最小值．。

1. 3.2极大值与极小值【学习目标】1•了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并 会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法 3掌握函数在某一点取得极值的条件.问题导学知识点一函数的极值点和极值思考1观察y = f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.思考2导数为0的点一定是极值点吗?1. 极小值点与极小值若函数y = f(x)在点x = a 的函数值f(a)比它在点x = a 附近其他点的函数值都小，f ' (a) = 而且在点x = a 附近的左侧 ______________________ ，右侧 _________ ，就把 _________ 叫做函数y = f(x)的极小 值点， _________ 叫做函数y = f(x)的极小值. 2. 极大值点与极大值若函数y = f(x)在点x = b 的函数值f(b)比它在点x = b 附近其他点的函数值都大，f ' (b) = 而且在点x = b 附近的左侧 ______________________ ，右侧 _________ ，就把 ______ 叫做函数y = f(x)的极大值 点， ______ 叫做函数y = f(x)的极大值.3. ________________________________ 极大值点、极小值点统称为 ____ ;极大值、极小值统称为 ___________________________________ . 知识点二函数的极值的求法 思考1极大值一定比极小值大吗？思考2函数的极值与单调性有什么联系?新知探究点点落实cje o s h i j x一般地，求函数y= f(x)的极值的方法是：解方程f (x) = 0,当f' (x o)= 0 时：(1)如果在X0附近的左侧________ ，右侧_______ ，那么f(X o)是 _________ .(2)如果在x o附近的左侧________ ，右侧________ ，那么f(X o)是 _________ .题型探究車点理点仆击破类型一求函数的极值点和极值例1求下列函数的极值，并画出函数的草图.In x(1) f(x) = (x2—1)3+ 1 ；(2)f(x)= ■—.回回誓录91淘i果网(www.91 taok&.com j.听窖师带讲谍程—函数的极值——函数极值的正求反思与感悟(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.⑵求可导函数f(x)的极值的步骤如下:①求导数f'(X);②求方程f' (x)= 0的根；③观察f' (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.注意：f' (x)无意义的点也要讨论，可先求出f' (x) = 0的根和f' (x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.跟踪训练1 (1)设三次函数f(x)的导函数为f' (x)，函数y= x f' (x)的图象的一部分如图所示，则(填写正确的序号).①f(x)极大值为f( ,3)，极小值为f( —3);②f(x)极大值为f( —3)，极小值为f( 3);③f(x)极大值为f( —3)，极小值为f(3);④f(x)极大值为f(3)，极小值为f(—3).⑵函数f(x)=我―4x + 4的极大值与极小值之和为_____________ .3类型二已知函数极值求参数例 2 (1)已知函数f(x) = x3+ 3ax2+ bx+ a2在x=—1 处有极值0，贝U a = __________ , b = ⑵若函数f(x) = fx3—x2+ ax—1有极值点，则a的取值范围为___________ .反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1) 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2) 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2 (1)函数f(x) = x3+ ax2+ bx+ c的图象如图所示，且与直线y= 0在原点处相切，函数的极小值为一4.①求a, b, c的值；②求函数的递减区间.1 + in x i⑵已知函数f(x)= ——，若函数在区间(a, a+ -)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值X 2范围.求实数a的取⑶已知函数f(x)= $ + 1(a—1)x2+ ax(a€ R)在区间(0,1)内有极大值和极小值,值范围.类型三函数极值的综合应用例3 (1)函数f(x) = 3x3—4x+ 4的图象与直线y= a恰有三个不同的交点，贝U实数a的取值范3围是________ .1⑵已知函数f(x)= x3—6x + 9x+ 3,若函数y= f(x)的图象与y = ~f z (x) + 5x+ m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.反思与感悟⑴解答本例⑴的关键是求出函数f(x)的极值，画出函数的图象，解答本例⑵的突破口是把两函数图象的交点问题转化为一个新函数的图象与⑵利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟踪训练3若2ln(x+ 2) —x2-x + b = 0在区间［—1,1］上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围.达标检测1•函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x).①无极大值点，有四个极小值点；②有三个极大值点，两个极小值点；③有两个极大值点，两个极小值点；x轴的交点问题.④有四个极大值点，无极小值点.2. 已知f(x) = x3+ ax2+ (a+ 6)x + 1有极大值和极小值，则a的取值范围为 ________ .3. _________________________________________________________________________ 设a € R，若函数y= e x+ ax, x€ R有大于零的极值点，则a的取值范围为 __________________ .4. 直线y= a与函数y= x3—3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_________ .( -------- ■■规律与方法.和------------ 11. 在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2. 函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x= x o处取得极值的充要条件是f (x o)=0且在x= x o两侧f' (x)符号相反.3. 禾U用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.提醒：完成作业 1.3.2答案精析问题导学知识点一思考1 极大值点为e, g, i,极大值为f(e), f(g), f(i),极小值点为d, f, h,极小值为f(d),f(f), f(h).思考2 不一定，如f(x)= x3，尽管f' (x) = 3x2= 0，得出x= 0,但f(x)在R上是递增的，不满足在x = 0的左、右两侧符号相反，故x= 0不是f(x)= x3的极值点.1. 0 f' (x)<0 f' (x)>0 点a f(a)2. 0 f' (x)>0 f' (x)<0 点b f(b)3. 极值点极值知识点二思考1极大值与极小值之间无确定的大小关系. 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如图所示.f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d).思考2 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性.(1) f' (x)>0 f' (x)<0 极大值(2) f' (x)<0 f' (x)>0 极小值题型探究例 1 解(1)y' = 6x(x2—1)2= 6x(x+ 1)2(x—1)2.令y' = 0,解得X1 = —1, X2= 0, X3= 1.当x变化时，y' , y的变化情况如下表：x(—m，—1)—1(—1,0)0(0,1)1(1, ) / y一0一0+ 0+ y无极值极小值0无极值•••当x= 0时，y有极小值且y极小值=0.函数的草图如图所示.令 f ' (x)= 0,解得 x = e.当x 变化时，f ' (x)与 f(x)的变化情况如下表:x(0, e) e (e , + s ) f ' (x) +0 一 f(x)单调递增1 e单调递减1因此，x = e 是函数的极大值点，极大值为 f(e) =-，没有极小值.函数的草图如图所示.跟踪训练1 (1)④(2)8 例 2 (1)29 (2)( —s, 1)跟踪训练2解(1)①•••函数图象过原点，••• c = 0, 即 f(x)= x 3 + ax 2 + bx , • f ' (x)= 3x 2 + 2ax + b.又•••函数f(x)的图象与直线y = 0在原点处相切,• f ' (0) = 0,解得 b = 0, • f ' (x)= 3x 2 + 2ax = x(3x + 2a).2a由 f ' (x)= 0 得 x = 0 或 x =——.由题意可知x =— 2a 时，函数取得极小值—4. • (— 3a)3 + a( — |a)2=— 4,⑵函数f(x)=In x T 的定义域为(°，解得a=- 3.••• a =—3, b = c= 0.②由①知f(x) = x3—3x2,且f' (x)= 3x(x—2),由f' (x)<0 得3x(x—2)<0 ,•0<x<2,•函数f(x)的递减区间是(0,2).1 + In x⑵•/ f(x) = —, x>0,则f' (x)=—乎，当0<x<1 时，f ‘ (x)>0 ;当x>1 时，f' (x)<0.•f(x)在(0,1)上单调递增，在(1 ,+s)上单调递减, •函数f(x)在x= 1处取得极大值.1•••函数f(x)在区间(a, a + 2)(其中a>0)上存在极值,a<1,解得c <a<i.a +1>1 , 22(3) f' (x) = x + (a—1)x+ a,•/f(x)在(0,1)内有极大值和极小值,• f' (x)= 0在(0,1)内有两不等实根,a —1•.•对称轴x=^ ——,a—10<—w，f' (0>0,L f' (1 >0,2-△= (a—1 j - 4a>0 , —1<a<1,即a>0,1+ a —1 + a>0 ,--0<a<3 —2、2.例3(1)( - 3，28)解析13••• f(x)= §x3- 4x+ 4,••• f' (x)= x2— 4 = (x+ 2)(x —2). 令f' (x)= 0,得x= 2 或x=— 2.zx(—m,—2)—2(—2,2)2(2, +8 )f' (x)+ 0—0+f(x)极大值极小值-3 3且f(x)在(—8,—2)上递增，在(—2,2)上递减，在(2,+^)上递增.根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知：—■<a<28.3 2(2)解由f(x)= x —6x + 9x + 3,可得f' (x) = 3x2—12x+ 9,1(3x2—12x+ 9) + 5x+ m= x2+ x+ 3 + m,则由题意可得x3—6x2+ 9x+ 3= x2+ x+ 3+ m有三个不相等的实根，即g(x) = x3—7/+ 8x —m的图象与x轴有三个不同的交点,(x) + 5x+ m=••• g ' (x)= 3x 2— 14x + 8 = (3x — 2)(x — 4),2•••令 g ' (x) = 0 得 x =-或 x = 4. 3则函数g(x)的极大值为g(-) = 27 — m ,极小值为g(4) =— 16— m.1•••由y = f(x)的图象与y = -f ' (x) + 5x + m 的图象有三个不同交点，(2 68得 g G 尸 27— m >°，g 4 =— 16— m<0 ,解得—16<m<27.跟踪训练3 解 令 g(x)= 2ln(x + 2) — x 2— x + b ,522x (x + 2) 贝y g ' (x) = — 2x — 1 = — (x> — 2).x +2 x +2结合图象(图略)可知，要使 f(x) + b = 0在区间［—1,1］上恰有两个不同的实数根，只需 T ：g — 1 三 0,g 0 >o ,『b w 0,即」2ln 2 + b>0 , 所以一2ln 2<b w 2- 2ln 3.2ln 3 —2+ b w 0,故实数b的取值范围是(一2ln 2,2 —2ln 3].达标检测1 ③ 2.( —a, —3) U (6,+^ )3. (— a, —1)4.( —2,2)。

1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]极值已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极值与导数的关系观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：x x1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)增极大值f(x1)减2．极小值与导数之间的关系如下表：x x2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)减极小值f(x2)增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．[对应学生用书P17]求函数的极值[例1](1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)极大值10极小值－22因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10； 极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋0 － f (x )极大值1e因此函数f (x )的极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤： ①求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )的值在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a ，x 1)，(x 2,0)，(0，x 3)内f ′(x )>0； 在区间(x 1，x 2)，(x 3，b )内f ′(x )<0. 即f (x )在(a ，x 1)内单调递增， 在(x 1，x 2)内单调递减， 在(x 2，x 3)内单调递增， 在(x 3，b )内单调递减．所以，函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极小值，极小值为f (x 2)． 答案：12．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 易知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．答案：③④3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.已知函数极值求参数[例2] 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[思路点拨] 解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．[精解详析] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则ab ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，易知在x ＝1的左右两侧都有f ′(x )＞0，即函数f (x )在R 上是单调递增的， 因此f (x )在x ＝1处并不存在极值，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.ab ＝－44. 答案：－445．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ . 解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值．解：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0.解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1， x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x ) 极大值极小值所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．极值的综合应用[例3] 已知a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2；极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a ＋2大于极小值a －2.(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0或极小值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有一个交点？ 解：函数f (x )的大致图象如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2<0或极小值a －2>0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是a <－2或a >2.8．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0，所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练(七)]一、填空题1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：32．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p 则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析：f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.答案：－1ln 24．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R取极值的点大于0，则a的取值范围是________．解析：令x ＝f (x )，则f ′(x )＝a e ax ＋3， 函数f (x )取极值的点大于0， 即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根．当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a ＜0， 此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ， 由x ＞0可得a ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④ 二、解答题6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：(1)f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．7．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a ，或x >a ， 由f ′(x )<0解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )．(2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0. ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1， 由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合f (x )的单调性可知m 的取值范围是(－3,1)． 8．(重庆高考)已知函数f (x )＝a e 2x －b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；第11页 共11页 (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －4>0，此时f (x )无极值； 当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

导函数零点问题的探讨教学设计无锡市玉祁高级中学高宏教学背景分析〔一〕教学内容的功能和地位函数导数的应用是高考命题的热点之一，在高考中占有重要的位置。

函数中求导找零点是解决函数问题的一个根本环节，通过导数零点的研究可以求出函数的单调性，获得函数的根本图象，能把抽象的思维落实到具体的图象上，为进一步解决函数的极值点，值域、恒成立等问题提供了有力的帮助。

求导函数零点会遇到各种不同的情况，这就需要在复习中帮助学生自主建构解决问题的知识框架，构架思维导图，实现导数零点问题的整体把握，多样解读零点问题的目标。

〔二〕学情分析在以往的考试分析和学生的访谈中，导函数零点问题是学生认为较容易上手的题型，但是能彻底解决问题的成功率并不高。

此题型属于入口宽，出口窄，导函数零点问题是函数问题中的一个瓶颈。

学生主要是觉得导函数零点问题方法技巧多，观察分析变形难等。

本讲面对的是进入二轮复习的高三学生，对导函数零点问题有初步的掌握，学生具备一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，但缺乏对导函数零点问题的全面认识，学生往往就题论题，只是一味地考虑解题情况，没有一个解决问题的根本框架。

〔三〕设计思想导函数零点问题题型复杂多变，理清问题的类型是突破难点的前提，发挥学生的主观能动性是落实教学效果的重要保障。

本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习气氛，充分调动学生的兴趣与积极性。

让学生在经历“自主、探究、合作〞的过程中，体验从比拟中发现问题，并通过观察、分析、比照、归纳、猜测、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。

同时注重渗透“分类讨论〞、“转化与化归〞“数形结合〞等数学思想及“整理和归纳〞的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，将数学学科核心素养有效落地。

〔四〕教学准备试卷分析、学生访谈、要求学生完成课前小练。

教学目标1、知识与技能：通过导函数零点问题复习，理清导函数零点问题的各种类型，归纳整理相应的解题方法。

导数与单调性的教学设计本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的根底上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好根底。

函数的单调性是函数极为重要的性质。

在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多〔尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言〕，充分表达了导数解决问题的优越性。

虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。

【教学目标】1知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3情感态度与价值观：通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数〔尤其是三次、三次以上的多项式函数〕的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要表达在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比拟困难的。

根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会〞向“会学〞转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜想、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。