【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修二课时作业：第1章 章末总结]

2.2.2 椭圆的几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准 方程范围顶点轴长 短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是________离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b2＝1__________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足1MF ·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的标准方程为___________________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______________．9.已知F1、F2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1PF ⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 三、解答题10．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标． 11.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中word 格式-可编辑-感谢下载支持心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .能力提升12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________． 13．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段P A 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围． 4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．2.2.2 椭圆的几何性质知识梳理 1.焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x 2b 2＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c)焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e ＝ca，0<e<1 2.一 作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e ＝c a ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4.∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]6. [∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e<1，∴0<e<22.]7.x 245＋y236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.9．3解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12|PF 1||PF 2|＝9， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2， ②|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ③解得a 2－c 2＝9，即b 2＝9，所以b ＝3. 10．解 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1或y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝4(2－1)，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝42，b ＝4，c ＝4.所以所求的椭圆方程为x 232＋y 216＝1，或y 232＋x 216＝1.离心率e ＝c a ＝22，当焦点在x 轴上时，焦点为(－4,0)，(4,0)， 顶点(－42，0)，(42，0)，(0，－4)，(0,4)， 当焦点在y 轴上时，焦点为(0，－4)，(0,4)， 顶点(－4,0)，(4,0)，(0，－42)，(0,42)．11．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)． 设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程， 得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .word 格式-可编辑-感谢下载支持∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c ＝b 2ac .∴ab ＝c 2.∴e ＝c a ＝bc ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12. 12．27－5解析 ∵A 1(－a,0)，B 1(0，－b)，B 2(0，b)，F(c,0)，∴直线A 1B 2的方程为－bx ＋ay ＝ab ，① 直线B 1F 的方程为bx －cy ＝bc.②由①②得T(2ac a －c ，b (a ＋c )a －c )，∴M(ac a －c ，b (a ＋c )2(a －c ))．又∵M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴a 2c 2a 2(a －c )2＋b 2(a ＋c )24(a －c )2b 2＝1， 即3a 2－10ac －c 2＝0，∴e 2＋10e －3＝0.∵0<e<1，∴e ＝27－5. 13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。

1.3.2命题的四种形式课时目标、否命题与逆否命题，．1．命题p⇒q是由条件p及结论q组成的，对q进行“换位”和“换质”后，可构成四种不同形式的命题．(1)原命题：p⇒q；(2)条件和结论“换位”得：q⇒p，称为原命题的__________；(3)条件和结论“换质”(分别否定)得：(綈p)⇒(綈q)，称为原命题的__________；(4)条件和结论“换位”又“换质”得：(綈q)⇒(綈p)，称为原命题的______________．2．四种命题间的关系3．四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为______，也可以为______．(2)原命题为真，它的否命题可以为______，也可以为______．(3)原命题为真，它的逆否命题____________．(4)互为逆否的两个命题是________命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和__________是一对互为逆否的命题，所以它们______________．一、选择题1．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1B．2C．3D．43．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0C．若a≠0，且b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0D．若a≠0，或b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠04．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．命题“若x >y ，则x 3>y 3－1”的否命题是________________________．8．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______命题(填“真”“假”)．9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．(填序号)三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．3．互为逆否的命题真假性相同，可以利用这个性质判定一个命题的真假．1.3.2命题的四种形式知识梳理1．(2)逆命题(3)否命题(4)逆否命题3．(1)真假(2)真假(3)一定为真(4)等价否命题同真同假作业设计1．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]2．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故原命题及原命题的逆否命题为真命题，故选B.]3．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]4．C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．9．①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.] 13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。

§3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 课时目标 1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量运算证线线垂直，会求两直线所成的角．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝________或OP →＝____________或OP →＝________________(AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的________________．向量a 称为该直线的方向向量．(2)线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝________________.2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔______________.(2)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，得l ∥α或l 在α内⇔____________________________________.(3)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔____________________________________.3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则两条直线的方向向量的夹角与θ________________.(2)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，l 1与l 2的夹角为θ，则l 1⊥l 2⇔______________，cos θ＝________________.一、选择题1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)2．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( ) A.32 B.1010 C.35 D.255．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31)题 号 1 2 3 4 5答 案二、填空题6.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥面DCC1D1；④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)7.已知点A（4,1,3），B（2，-5,1），C为线段AB上一点且AC AB ＝13，则点C的坐标为____________．8．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若P A⊥AB，P A⊥AC，则P点的坐标为____________．9．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是____________．三、解答题10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.11．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．能力提升12．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．证明：AE ⊥平面PBC .1．利用向量可以确定直线，表示点在直线上的位置．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法的根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以用平面的法向量来完成．3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0是证明两条直线垂直的依据；两条直线所成的角是通过求两个向量的夹角得到的．§3.2 空间向量在立体几何中的应用3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程知识梳理1．(1)t a OA →＋t a (1－t ) OA →＋t OB → 向量参数方程(2)12( OA →＋OB →) 2．(1)v 1∥v 2 (2)存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2(3)v 1∥β且v 2∥β3．(1)相等或互补 (2)v 1⊥v 2 |cos 〈v 1，v 2〉| 作业设计1．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]2．B [∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.]3．C4．D[如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，C (0,1,0)， N ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. ∴AM →·CN →＝12，|AM →|＝52＝|CN →|.∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252·52＝25.] 5．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]6．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →，∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1.又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1.∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行．7.⎝⎛⎭⎫103，－1，73 解析 设C (x ，y ，z )，∵C 为线段AB 上一点且ACAB ＝13，∴AC →＝13AB →， 即(x －4，y －1，z －3)＝13(－2，－6，－2)， ∴x ＝103，y ＝－1，z ＝73. 8．(－1,0,2)解析 由已知，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )，由，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋z ＝0－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2. ∴P (－1,0,2)．9．yOz 平面解析 ∵AB →＝(0,5，－3)，∴AB →平行于平面yOz .10．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1在直线A 1D 外，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →.∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1.11．解 以D 为原点建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,4,0)，C 1(0,4,2)，A 1(2,0,2)，∴E (1,2,2)，F (1,4,1)，AF →＝(－1,4,1)，BE →＝(－1，－2,2)，∴|AF →|＝18＝32，|BE →|＝9＝3，AF →·BE →＝1－8＋2＝－5，∴cos 〈AF →，BE →〉＝－532·3＝－5218. ∵异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 设AF 与BE 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AF →，BE →〉|＝5218. 12．证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)． 于是AE →＝(22，0，22)， BC →＝(0，a,0)， PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0.所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .。

3.2.3直线与平面的夹角课时目标 1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念.2.了解三个角θ，θ，θ的意义，会利用公式cos θ＝cosθ·cos θ求平面的斜线与平面内的直线1212的夹角.3.会利用向量的方法求斜线和平面所成的角． 1．线线角、线面角的关系式 (如图) cos θ＝____________. 2．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为________． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为________．(3)斜线和它在平面内的________________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)． 3．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．直线和平面所成的角可以通过直线的______________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin θ＝__________. 一、选择题 1．如果BC⊂平面M，斜线AB与平面M所成的角为α，∠ABC＝θ，AA′⊥平面M，垂足为A′，∠A′BC＝β，那么( ) A．cosθ＝cos α·cos β B．sin θ＝sin α·sin β C．cos α＝cos θ·cos β D．cos β＝cosα·cos θ 2．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( ) 12663A. B. C. D. 226333．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为( ) A．30° B．60° C．45° D．120° 4．如图所示，在正方体ABCD—ABCD中，M，N，P分别是棱CC，BC，AB上的1111111点，若∠BMN＝90°，则∠PMN的大小是( ) 1A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A．30°B．60°C．150° D．以上均错6．如果一个平面与一个正方体的12条棱所在的直线都成相等的角，记作θ，那么sin θ的值为( ) 235A. B. C. D．1 235 1 2 3 4 5 6 题号答案二、填空题7．平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，AB在α上的射影长为3，则直线AB和平面α所成的角为______________．8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．9．在正三棱柱ABC—ABC中侧棱长为2，底面边长为1，则BC与侧面ACCA所成111111的角是________. 三、解答题10. 如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值． 11. 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．能力提升12．已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，ππAB与平面α所成的角为，∠OBC＝，求∠ABC. 44 13．如图所示，在正三棱柱ABC—ABC中，AB＝2AA，点D是AB的中点，点E在AC上，11111111且DE⊥AE. (1)证明：平面ADE⊥平面ACCA； 11(2)求直线AD和平面ABC所成角的正弦值． 1直线与平面所成角的求法(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ， |a·u|或cos θ＝sin φ. a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a||u|(3)如图所示，利用公式cos θ＝cos θ·cos θ，求cos θ，尽而求出θ. 1211 3．2.3直线与平面的夹角知识梳理 1．cos θ·cos θ122．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角，最小方向向量法向量 3．射影作业设计 1．A 2．D[如图，设A在平面BPC内的射影为O.∵∠APB＝∠APC. ∴点O在∠BPC的角平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC 即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°，3∴cos∠APO＝.] 33．B4．A [∵AB⊥平面BCCB，∴AB⊥MN，111111→→→→→MPMNMBBPMN∵·＝(＋)· 11→→→→MBMNBPMN＝·＋·＝0，11∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 也可由三垂线定理直接得MP⊥MN.]5．B [当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余．] 6．B [由于两条平行直线和同一平面所成的角相等，则在正方体ABCD—ABCD中，1111平面ABC满足和十二条棱所在直线成等角，又BD⊥平面ABC，垂足为O，则O为△1111113ABC的中心，且BO＝BD，设正方体棱长为a，则BO＝a，1111133BO31所以sin θ＝＝.] AB3117．30°或60°解析分A，B在α的同侧或异侧两种情形讨论．8．30° π9. 6解析在正三棱柱ABC—ABC中，取AC的中点O，OB⊥AC，111则OB⊥平面ACCA，11∴∠BCO就是BC与平面AC的夹角．以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，111则O(0,0,0)，B，，0，0，，20，，2，OC＝，CBC＝. －，，2→→cos〈OC，BC〉＝110，，2·－，，22243＝＝＝. 213133＋2× ＋＋24442π→→∴〈OC，BC〉＝，116π即BC与平面ACCA的夹角为. 111610．解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，，2，4则B(3,0,0)，D. －，2，4，＝(3,0，z)．设P(3,0，z)，则＝→→BDOP∵BD⊥OP，∴·99＝－＋4z＝0，z＝. ，0，.∵BB′⊥平面AOB，∴P ∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．983∵tan∠POB＝＝，383故OP与底面AOB所成角的正切值为. 811．解由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，，0，0D，S(0,0,1)．→AS∴＝(0,0,1)，→CS＝(－1，－1,1)．→→ASCS显然是底面ABCD的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，13＝，故有sin θ＝|cos β|＝＝31×362θ＝于是cos θ＝1－sin. 312．解如图，过O作OC⊥BC，C为垂足，连结AC，由于AO⊥α，∴由三垂线定理知BC⊥AC，π∴在Rt△ABO中，∠ABO＝，42∴AO＝OB＝AB，2π在Rt△OBC中，∠OBC＝，42221∴BC＝OC＝OB＝·AB＝AB，22221∴在Rt△ABC中，cos∠ABC＝，2π∴∠ABC＝. 313．(1)证明由正三棱柱ABC—ABC的性质知AA⊥平面ABC. 1111111 又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA，而DE⊥AE，AA∩AE＝A，所以DE⊥平面ACCA，1111111又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACCA. 11(2)解如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA＝2，1则AB＝2，A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1，2)，1 D. ，－，231→→→ABCAD易知＝(3，1,0)，A＝(0,2，2)，＝(，，2) 122设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有 13y，z＝－2y，解得x＝－3故可取n＝(1，－3，6)．2310→AD所以cos〈n，〉＝＝＝. 510×310 . 由此可知，直线AD和平面ABC所成角的正弦值为15。

3.2.4 二面角及其度量课时目标 理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求二面角．1．从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做________________，每个半平面叫做________________．棱为l ，两个面分别为α、β的二面角，记为____________． 2．在二面角α—l —β的______上任取一点O ，在______________内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则________叫做二面角α—l —β的平面角．3．平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成______________的两个平面，叫做相互垂直的平面．4．二面角的平面角，它的两边在__________平面内，且都________于棱，两个条件缺一不可． 5.用向量夹角来研究二面角性质及其度量的方法(如图所示) (1)分别在二面角α—l —β的面α、β内，并沿α，β________的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则__________等于该二面角的平面角．(2)设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与该二面角____________________．一、选择题1．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互为补角C ．互为余角D ．相等或互为补角 2．如图所示，已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则直线m ，n 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°3．如果二面角α—l —β的平面角是锐角，点P 到α，β和棱l 的距离分别为22，4和42，则二面角的大小为( ) A ．45°或30° B ．15°或75° C ．30°或60° D ．15°或60°4．从点P 引三条射线P A 、PB 、PC ，每两条夹角均为60°，则二面角B —P A —C 的余弦值是( ) A.12 B.13 C.33 D.325．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 6.如图所示，在边长为a 的等边△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABD 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B —AD —C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是____________． 8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面为正三角形，若AA 1＝AB ＝1，E 为棱BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 所成锐二面角的大小为________． 9.如图，已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面的夹角等于________． 三、解答题10．自二面角α—l —β的棱上一点A 在平面β内引一条射线AC ，它与棱l 成45°角，和平面α成30°角，求二面角α—l —β的大小． 11.ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求面SCD与面SAB 所成二面角的正切值．能力提升12．在正方体AC1中，求二面角A—BD1—C的大小．13.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE ＝3EB1.(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的正弦值．1．二面角有三个要素：两个半平面和一条棱；二面角大小范围是[0，π]．2．求二面角的大小的一般步骤是：(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算．3．与二面角有关的问题中找或作平面角的常用方法：(1)根据定义找出二面角的平面角；(2)根据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；(3)作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角． 4．利用射影面积公式cos α＝S 射影S 原求二面角的大小．5．利用平面的法向量来求二面角．3．2.4 二面角及其度量知识梳理1．两个半平面 二面角的棱 二面角的面 α—l —β 2．棱 两半平面 ∠AOB 3．直角 直二面角 4．同一个 垂直5．(1)延伸 〈n 1，n 2〉 (2)大小相等或互补 作业设计 1．D 2．B3．B [如图①，②所示，分别是P 在二面角α—l —β的内部、外部时的情况．因为P A ⊥α，所以P A ⊥l ，因为PC ⊥l ，所以l ⊥面P AC ，同理，l ⊥面PBC ，而面P AC 与面PBC 有公共点，所以面P AC 和面PBC 应重合，即A ，B ，C ，P 在同一平面内，∠ACB 是二面角的平面角．在Rt △APC 中，sin ∠ACP ＝P A PC ＝2242＝12，所以∠ACP ＝30°.在Rt △BPC 中，sin ∠BCP ＝PB PC ＝442＝22，所以∠BCP ＝45°，故∠ACB ＝30°＋45°＝75°(图①)，或∠ACB ＝45°－30°＝15°(图②)．]① ②4．B [在射线P A 上取一点O ，分别在平面P AB 、P AC 内作OE ⊥P A ，OF ⊥P A 交PB 、PC 于E 、F ，则∠EOF 为所求二面角的平面角．在△EOF 中，令EF ＝1，则由题意可求得，OE ＝OF ＝32，∴cos ∠EOF ＝34＋34－12×32×32＝13.故选B.]5．B[建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝(1,1，12)设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋z ＝0x ＋y ＋z2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z ，y ＝z 2. 令z ＝1，∴n 1＝(－1，12，1)平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝11＋14＋1·1＝23.]6．C [∵AD ⊥CB ，∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ， ∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，又∵BD ＝CD ＝BC ＝a2，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°.] 7．60°解析 cos 〈n ，ν〉＝n ·v |n ||v |＝－12·2＝－12.∴〈n ，ν〉＝120°.8．30° 9.π3解析 作VO ⊥底面ABCD ，OM ⊥BC ，连结VM ，则VM ⊥BC ，所以∠VMO 为侧面和底面的夹角．由题意知O 为底面中心，设底面边长为a ，则2a 2＝(26)2，解得a ＝23，所以OM ＝ 3.又V V —ABCD ＝13·(23)2·h ＝12，得h ＝3.所以tan ∠VMO ＝33＝3，所以∠VMO ＝π3.本题还可利用向量法求二面角． 10．解 如图所示，过C 作CD ⊥平面α，在α内作DB ⊥AB ，垂足为B ，连结BC .由三垂线定理知BC ⊥AB ， 则∠CBD 为二面角α—l —β的平面角． 设CD ＝a ，又∠CAD 为AC 与面α所成的角， 即∠CAD ＝30°，∴AC ＝2a . 又∠CAB ＝45°，∴BC ＝2a . 在Rt △CDB 中，sin ∠CBD ＝CD BC ＝22， ∴∠CBD ＝45°，即二面角α—l —β为45°. 11．解 建立如图的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的法向量． 设面SCD 的法向量n ＝(1，λ，μ)，易得λ＝－12，μ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12. 若以θ表示欲求二面角的值，则cos θ＝〈AD →，n 〉＝.∵AD →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，0·⎝⎛⎭⎫1，－12，12＝12， |AD →|＝12，|n |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫122＝ 32， ∴cos θ＝1212·32＝ 23，sin θ＝ 13，∴tan θ＝12＝22.12．解 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)． DA 1→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量， DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量． 所以cos 〈DA 1→，DC 1→〉＝＝12. 所以〈DA 1→，DC 1→〉＝60°.由图形可知二面角A —BD 1—C 为120°.13．(1)证明 以B 为坐标原点，射线BA 、BB 1为x 轴正半轴、y 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .设AB ＝2，则A (2,0,0)，B 1(0,2,0)，D (0,1,0)，E (12，32，0)．又设C (1,0，c )，则DE →＝(12，12，0)，B 1A →＝(2，－2,0)，DC →＝(1，－1，c )．于是DE →·B 1A →＝0，DE →·DC →＝0，故DE ⊥B 1A ，DE ⊥DC ，又DE ∩AB 1＝E ，CD ∩DE ＝D . 所以DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线．(2)解 因为〈B 1A →，DC →〉等于异面直线AB 1与CD 的夹角， 故B 1A →·DC →＝|B 1A →||DC →|cos 45°， 即22×c 2＋2×22＝4. 解得c ＝2，故AC →＝(－1,0，2)． 又AA 1→＝BB 1→＝(0,2,0)，所以AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(－1,2，2)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ·A C 1→＝0，m ·AA 1→＝0， 即－x ＋2y ＋2z ＝0,2y ＝0.令x ＝2，则z ＝1，y ＝0.故m ＝(2，0,1)． 设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(p ，q ，r )，则n ·A C 1→＝0，n ·B 1A →＝0， 即－p ＋2q ＋2r ＝0,2p －2q ＝0，令p ＝2，则q ＝2，r ＝－1.故n ＝(2，2，－1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝115.由于〈m ，n 〉等于二面角A 1－AC 1－B 1的平面角， 所以二面角A 1－AC 1－B 1的正弦值为1－115＝21015.。

第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算 课时目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.3.掌握数乘运算的定义和运算律．1．空间向量2．几类特殊向量(1)零向量：______________的向量叫做零向量，记为______．(2)单位向量：____________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________.加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；4.空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；λa 的长度是a 的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________.一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD → D .2OD→ 4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D BC.1B DD. 1DB6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B. EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B 的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)9．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有公共终点的向量，一定是共线向量；③有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量的线性运算知识梳理1．(1)大小 方向 (2)大小 模(3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等(4)相等 相反 －a3.空间向量的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；CA →＝OA →－OC →＝a －b .加法运 算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).4.(1)λa 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．]5．A[如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD →1，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.]7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|.8．重心解析 如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC →＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心．9．3解析 ①假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；③假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD → ＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明 如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC'→ ＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→ ＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→) ＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→) ＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→) AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。

3.1.4 空间向量的直角坐标运算课时目标 掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度、两向量夹角和两点间距离公式．1．建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则{i ，j ，k }叫做________________．单位向量i ，j ，k 都叫做______________．2．在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据________________定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的__________，有序实数组________________叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可记作a ＝________________.3．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝________________________________，a －b ＝________________________________，λa ＝________________________，a·b ＝________________________.a ∥b (b ≠0)⇔________________________，或当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔________________________________________；a ⊥b ⇔________________________.4．向量的坐标与点的坐标之间的关系设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝________________________.5．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．则|a |＝________________，|b |＝______________，a·b ＝________________，从而有cos 〈a ，b 〉＝____________________________.6．设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝______________________________.一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1,2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( )A. AB →＝(－1,2,1) C. AB →＝(1,3,4)B. AB →＝(2,1,3) D.AB →＝(－2，－1，－3)2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4 C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1 3．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35 D.755．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65B.652C ．4D ．8 6．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( )A.55 B.555 C.355 D.115题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．已知三个力f 1＝(1,2,3)，f 2＝(－1,3，－1)，f 3＝(3，－4,5)，若f 1，f 2，f 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移动到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功是________．8．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝______.9. 已知A （1，-1,2），B （5，-6,2），C （1,3，-1），则AB →在AC →上的投影为______．三、解答题10．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .11．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2, 并取A 1B 1、A 1A 的中点分别为P 、Q .（1）求向量BQ →的长；（2）cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→，CB 1→〉的大小；(3)求证：AB 1⊥C 1P .能力提升12．在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离．13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?1．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．3．1.4空间向量的直角坐标运算知识梳理1．单位正交基底坐标向量2．空间向量分解分向量(a1，a2，a3)(a1，a2，a3)3．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)a1b1＝a2b2＝a3b3(b1≠0，b2≠0，b3≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝04．(x2－x1，y2－y1，z2－z1)5.a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b236.作业设计1．C2．B [∵a ＋2b ＝(1＋2x,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，∴3(1＋2x )＝4(2－x )且3(4－y )＝4(－2y －2)，∴x ＝12，y ＝－4.] 3．A [设a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝k ，易知a ∥b ，即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)， 虽有a ∥b ，但条件a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.] 4．D [∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，∴3(k －1)＋2k －4＝0.∴k ＝75.]5．A [设向量a 、b 的夹角为θ，于是cos θ＝4－2＋23×3＝49，由此可得sin θ＝659.所以以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝2×12×3×3×659＝65.]6．C7．16解析 合力f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,1,7)，位移s ＝M 1M 2→＝(2,3,1)，∴功w ＝f·s ＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．11解析 ∵点P 在平面ABC 内，∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11.9．－4解析 ∵AB →＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．AC →＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos 〈AB →，AC →＝－20541，AB →在AC →上的投影为|AB →|cos〈AB →，AC →〉⎝⎛⎭⎫－20541＝－4.10．解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(7，－4，－16)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063. 11．解以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则由已知，得C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，Q (1,0,1)，B 1(0,1,2)，A 1(1,0,2)．∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0.(1)| BQ →|＝BQ BQ •＝12＋－12＋12＝ 3.(2)∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3，|CB 1→|＝02＋12＋22＝5，∴cos 〈BQ →，CB 1→〉＝13×5＝1515. 又BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3，|BA 1→|＝1＋1＋4＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝330＝3010. 又0<1515<3010<1， ∴〈BQ →，CB 1→〉，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， ∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→〉．(3)证明 ∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1,2)·⎝⎛⎭⎫12，12，0＝0， ∴AB 1→⊥C 1P →.12．解建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0，0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)． ∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝－2210＝－1010， ∴AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010. (2)由题意得O 1D →⊥AC →，AD →∥AC →，∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，∴O 1D →＝(x ，y ，－2)，AD →＝(x －2，y,0)，AC →＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3， 解得⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213. ∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0，∴O 1D ＝|O 1D →|＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4＝228613. 即点O 1到点D 的距离为228613. 13．解 如图所示，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，设M (1,1，m )，∴EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0， B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)． 若D 1M ⊥平面EFB 1，则D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，D 1M →·B 1E →＝0，∴⎩⎨⎧－12＋12＋m －1×0＝00－12＋1－m ＝0，∴m ＝12， 即存在点M 且为B 1B 的中点，使D 1M ⊥平面EFB 1.。

3.1.3 两个向量的数量积课时目标 ，掌握两个向量的数量积概念、，会用它解决立体几何中的夹角问题．1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法范围〈a ，b 〉＝π2时，a ______b想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积(内积)(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)向量的数量积的性质 ①a·e ＝____________；②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔__________； ③|a |2＝________； ④|a·b |≤________.(3)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝________； ②a·b ＝________(交换律)； ③(a ＋b )·c ＝____________(分配律)． 3．异面直线(1)异面直线的定义______________________的两条直线叫做异面直线． (2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是________，则称两条异面直线互相垂直．一、选择题1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |； ③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE →·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若空间向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC . 11.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．能力提升12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.1．空间向量数量积直接根据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b|a||b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题．3．1.3 两个向量的数量积知识梳理 1.定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 〈a ，b 〉范围 [0，π]．当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b3．(1)不同在任何一个平面内 (2)平移到一个平面内 锐角或直角 直角 作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇒cos 〈a ，b 〉＝1⇒〈a ，b 〉＝0⇒a ，b 同向．当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.]6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0， m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0， ∴m ⊥n .] 7．60°解析 由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°.8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7.9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形． 10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， ∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB . ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC .11．解 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB → ＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－(cos 〈a ，b 〉)2 ＝12|a ||b | 1－(a ·b |a ||b |)2 ＝12|a ||b | |a |2|b |2－(a ·b )2|a |2|b |2 ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.] 13．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ， MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝23AB →＋(AC →－AB →) ＋13(AD →－AC →) ＝－13AB →＋13AD →＋23AC →.又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2，∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭· 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|MN MN •＝53a ，即|MN |＝53a .。

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课时目标 ，，会证明两平面的平行和垂直．1．已知平面α，如果向量n 的基线与平面α________，则向量n 叫做平面α的法向量或说向量n 与平面α________.2.设A 是空间任一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，____________称作一个平面的向量表示式． 3．设n 1、n 2分别是平面α、β的法向量， α∥β或α与β重合⇔n 1______n 2. α⊥β⇔__________⇔____________.4．如果在________内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直；反之，如果平面内的一条直线和这个平面的一条________垂直，那么它也和这条斜线在平面内的________垂直．5．如果一条直线和平面内的________________垂直，那么这条直线__________这个平面．一、选择题1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是( ) A ．(0，－3,1) B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定4．已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( ) A ．(1，－1,1) B ．(2，－1,1) C ．(－2,1,1) D ．(－1,1，－1) 5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定6．斜线b 在平面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直C ．共面或垂直D ．以上都有可能题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为_________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2. 求证：(1)A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面； (2)平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.能力提升 12.已知：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，F 是AC 与BD 的交点，求证：A 1F ⊥平面BED .1．平行问题的证明方法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证AB→＝λCD→；证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外；证面面平行可转化证两面的法向量平行．2．垂直问题的证明方法立体几何中的垂直有：线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直，它们之间可以相互转化．要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．非零向量a，b，a⊥b⇔a·ba，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 3．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在应用时关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．3．2.2平面的法向量与平面的向量表示知识梳理1．垂直 正交2．平面 AM →·n ＝0 3．∥ n 1⊥n 2 n 1·n 2＝04．平面 射影 斜线 斜线 射影 5．两条相交直线 垂直于 作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.] 2．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]3．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]4．C [显然a 与b 不平行，设平面α的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．] 6．D [若a ⊂α，由三垂线定理知a ⊥b .当a 不在平面α内时．a 与b 的位置关系不确定．] 7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 8．－8 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①②③10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 11．证明 如图所示，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)，C 1(0,1,2)，B (2,2,0)，B 1(1,1,2)．(1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)， B 1D 1→＝(－1，－1,0)，BD →＝(－2，－2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，BD →＝2B 1D 1→，∴A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面．(2) D D 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0. ∴D D 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.又AC ⊂面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.12．证明 AA 1⊥平面ABCD ，AF 是A 1F 在面ABCD 内的射影， 又∵AC ⊥BD ，∴A 1F ⊥BD .(三垂线定理)取BC 中点G ，连结FG ，B 1G (如图)， ∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， FG ⊥平面BCC 1B 1，∴B 1G 为A 1F 在面BCC 1B 1内的射影，又∵正方形BCC 1B 1中，E ，G 分别为CC 1，BC 的中点， ∴BE ⊥B 1G ，∴A 1F ⊥BE (三垂线定理)， 又∵EB ∩BD ＝B ，∴A 1F ⊥平面EBD .。

§ 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程课时目标 ，明确焦点、，初步学会求简单的椭圆的标准方程．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．设平面内一点P ，当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是____________；当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹． 2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段2．椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 3．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，±66 B ．(0，±1)C ．(±1,0) D.⎝⎛⎭⎫±66，04．方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形 二、填空题7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52.A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|P A |，求动点P 的轨迹方程．能力提升22143y x+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 13.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆；如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2；如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．§2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程知识梳理1．常数椭圆焦点焦距线段F1F2不存在2.x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)F1(－c，0)，F2(c，0)2cy2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)作业设计1．D[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段．]2．B[由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.] 3．D4．B [|a|－1>a ＋3>0⇒－3<a<－2.]5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝⎛⎭⎫52，－32验证即可．] 6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2， 则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5.又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．]7．2 120° 解析∵|PF 1|＋|PF 2| ＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x(2a －x)， 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|PA|＝4，又∵|O 1A|＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1. 12．C [由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴·OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.]13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 分别为AB 、AC 边上的中线， 则|BD|＋|CE|＝30. 由重心性质可知|GB|＋|GC| ＝23(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c ＝|BC|＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．。

2.3.2 双曲线的几何性质课时目标 、对称性、顶点、离心率、，及学会由双曲线的方程研究几何性质．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性 质焦点 焦距 范围 对称性 顶点轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12xx 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)AB ＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.106．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73 二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e为________．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．椭圆x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线x 2n2－y 2＝1(n >0)有公共焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，求△F 1PF 2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3C.3＋12D.5＋1213．焦点在x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为π3，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P (x ，y )的横坐标均满足|x |≥a . 2．双曲线的离心率e 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)．2.3.2 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)图形性 质焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c)，F 2(0，c)焦距 |F 1F 2|＝2c范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a )轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1) 渐近线y ＝±b a x y ＝±a bx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .]5．C [设B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则由A B →＝12BC →知x C －x B ＝2x B －2x A ，∴3x B ＝x C ＋2x A ，由于点B 是直线x ＋y ＝a 与y ＝b a x 的交点，易求x B ＝a 2a ＋b .由点C 是直线x ＋y ＝a与y ＝－b a x 的交点，易求x C ＝a 2a －b .由3x B ＝x C ＋2x A ，得3a 2a ＋b ＝a 2a －b ＋2a ，整理，得b ＝2a . ∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b2a2＝5.∴e ＝ 5.] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3. 又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|ACA点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上，∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 根据椭圆与双曲线焦点都在x 轴上，不妨设P 在第一象限，F 1是左焦点，F 2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，可解得|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m 2＋n 2)． 又∵两者有公共焦点，设半焦距为c . 则m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，∴m 2＋n 2＝2c 2. ∴|F 1F 2|2＝4c 2＝2(m 2＋n 2)， ∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴∠F 1PF 2＝90°.又∵m 2－1＝n 2＋1＝c 2，∴m 2－n 2＝2.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝18[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12(m 2－n 2)＝1.∴△F 1PF 2的面积为1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]13．解 由已知可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)， 所以两条渐近线为y ＝±ba x .因为两条渐近线的夹角为π3，故分两种情况，即y ＝b a x 的倾斜角为π6或π3.①当y ＝b a x 的倾斜角为π6时，∴b a ＝tan π6＝33，∴b 2a 2＝13，即a 2＝3b 2. 又2c ＝12，∴c ＝6.∴c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝9，a 2＝27.∴双曲线方程为x 227－y 29＝1.e ＝c a ＝633＝233. ②当y ＝b a x 的倾斜角为π3时，∴b a ＝tan π3＝3，∴b 2＝3a 2. 又2c ＝12，∴cc 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝9，b 2＝27.∴双曲线方程为x 29－y 227＝1，e ＝c a ＝63＝2.。

2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质课时目标 ，．1．用坐标法研究几何图形的知识，形成的学科叫做解析几何，研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出________________；(2)通过曲线的方程，研究________________．2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的________________；(2)设动点M 的坐标为__________；(3)把几何条件转化为______________；(4)________．3．利用方程研究曲线的性质，主要研究：(1)曲线的________；(2)曲线与坐标轴的________；(3)曲线的________性质；(4)曲线的变化________；(5)画出方程的________.一、选择题1．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝0(0≤y ≤3)C ．y ＝0D ．y ＝0(0≤x ≤2)2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x >0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x <2)3．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)4．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－135．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝8x (x >0)和y ＝0C ．y 2＝8x (x >0)D ．y 2＝8x (x >0)和y ＝0 (x <0)6.已知两M （-2,0）、N （2,0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x二、填空题7．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是____________________．8.直角坐标平面xoy 中，若定点A （1,2）与动点P(x ，y)满足OP ·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________________．9．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是____________________．三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．能力提升12．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A.[]－1，1＋22B.[]1－22，1＋22C.[]1－22，3D.[]1－2，313.在平面直角坐标系中，已知动点P （x ，y ），PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP •MN =4，求动点P 的轨迹方程．1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质知识梳理1．(1)表示曲线的方程(2)曲线的性质2．(1)直角坐标系(2)(x，y)(3)坐标表示(4)证明3．(1)组成(2)交点(3)对称(4)情况(5)曲线作业设计1．B[直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]2．D[注意所求轨迹在第四象限内．]3．C[易知B、C的中点D即为原点O，由于|AD|＝3，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠C.]4．A[设点M的坐标为(x0，y0)，因为点A(0，－1)，点M分PA所成的比为2∶1，所以P点的坐标为(3x0,3y0＋2)，代入曲线y＝2x2＋1得y0＝6x20－13，即点M的轨迹方程是y＝6x2－13.]5．D [设动圆圆心为M(x ，y)，动圆半径为r ，定圆圆心为C(2,0)，半径r 1＝2.由题设得|MC|＝2＋r ，又r ＝|x|.∴|MC|＝2＋|x|，故(x －2)2＋y 2＝2＋|x|，化简得y 2＝4x ＋4|x|，当x>0时，y 2＝8x ；当x<0时，y ＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝8x (x>0)和y ＝0 (x<0)．]6．B [设点P 的坐标为(x ，y)，则MN ＝(4,0)，MP →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y)，NP →＝(x －2，y)．∴|MN |＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN ·NP →＝4(x －2)．根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x)，整理得y 2＝－8x ，∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x.]7．射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1解析 由(x ＋y －1)x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.8．x ＋2y －4＝0解析·OP →·OA →＝4知，x ＋2y ＝4，即x ＋2y －4＝0，∴点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝010．解 以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB|＝2a ，则设A(－a,0)，B(a,0)，动点M(x ，y)．因为|MA|∶|MB|＝2∶1，所以(x ＋a )2＋y 2∶(x －a )2＋y 2＝2∶1， 即(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 所以所求动点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解 设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋32y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y ， 又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.12．C [曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4 (1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆故可得b ＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．]13．解 由已知得：M(0，y)，N(x ，－y)，∴MN →＝(x ，－2y)，则OP →·MN →＝(x ，y)·(x ，－2y)＝x 2－2y 2＝4，即所求动点P 的轨迹方程为x 24－y 22＝1.。

1．3两条直线的位置关系【课时目标】1．熟练应用两直线平行与垂直的判断方法．2．理解当直线的斜率不存在时，两直线可能平行或垂直．1．设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则__________，反之，若k1＝k2，则________．特别当两条直线的斜率都不存在时两条直线______．2．(1)两条直线l1与l2中的一条平行于x轴，另一条垂直于x轴，则两条直线________．(2)如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且其中一个不为零，那么l1⊥l2⇔__________．一、选择题1．下列说法正确的有()①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；③若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为() A．0 B．－8 C．2 D．103．△ABC的顶点A(3,6)、B(－1,5)、C(1,1)，则BC边的高所在的直线方程为()A．x－2y＋9＝0 B．x＋2y－15＝0C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－9＝04．已知直线l1：(m＋3)x＋(m－1)y－5＝0与直线l2：(m－1)x＋(3m＋9)y－1＝0互相垂直，则实数m的值为()A．－3，－1 B．－3,1C．3,1 D．－1,35．在平面直角坐标系中，对a∈R，直线l1：x－2ay＋1＝0和l2：2ax＋y－1＝0() A．互相平行B．互相垂直C．关于原点对称D．关于直线y＝－x对称6．两条直线xm－yn＝1与xn－ym＝1的图象是下图中的()二、填空题7．与直线3x－2y＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是__________．8．经过点P(－2，－1)、Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________．9．经过A(－1，m)，B(2m,1)两点的直线，当m＝______时，该直线平行于x轴；当m＝________时，该直线平行于y轴．三、解答题10．已知直线l1上的点满足ax＋2y＋6＝0，直线l2上的点满足x＋(a－1)y＋a2－1＝0 (a≠1)，试求a为何值时，(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．11．已知斜边在x 轴上的Rt △ABC 的直角顶点A (0,1)，其中一条直角边所在直线的方程为2ax ＋by ＋a ＝0 (b ≠0)，求另一条直角边所在直线的方程．能力提升12．过点(4，－5)且与原点距离最远的直线方程是____________．13．已知正方形的一个顶点为A (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求以A 为端点的两边所在直线的方程．在判定两条不重合的直线的位置关系时，应先考虑两条直线的斜率是否存在．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行；如果一条直线斜率存在，另一条直线的斜率不存在，画图很容易判断它们的位置关系；如果两条直线的斜率都存在，我们可根据l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1判断即可．1．3 两条直线的位置关系 答案知识梳理1．k 1＝k 2 l 1∥l 2 平行2．(1)垂直 (2)k 1k 2＝－1作业设计1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B7．2x ＋3y －8＝0 8．49．1 －1210．解 (1)若l 1∥l 2，∵a ≠1，∴l 1的斜率是k 1＝－a 2， l 2的斜率是k 2＝－1a －1， 由k 1＝k 2，得－a 2＝－1a －1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0符合题意；当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0，l 1与l 2重合，不合题意，故a ＝－1为所求．(2)l 1⊥l 2时，由(1)及两直线垂直的条件k 1·k 2＝－1，得⎝⎛⎭⎫－a 2·⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23． 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2． 11．解 由题意知点A (0,1)满足方程2ax ＋by ＋a ＝0 (b ≠0)．∴b ＝－a ，∴该直线的斜率k ＝－2a b＝2． ∵两直角边所在的直线互相垂直．∴另一直角边所在的直线的斜率为－12， ∴y －1＝－12(x －0)． 即所求直线的方程为x ＋2y －2＝0．12．4x －5y －41＝0解析 此直线必过点(4，－5)，且与(0,0)，(4，－5)的连线垂直，而(0,0)，(4，－5)连线的斜率为－54． ∴所求直线的斜率为45， ∴所求直线的方程为y ＋5＝45(x －4)， 即4x －5y －41＝0．13．解 易知点A 不在直线x ＋3y －5＝0上．和已知边平行的一边所在直线的斜率为－13，和已知边垂直的两边所在直线的斜率为3．因此，以A 为端点的两边所在直线方程分别为y ＝－13(x ＋1)和y ＝3(x ＋1)，即x ＋3y ＋1＝0和3x －y ＋3＝0．。

§基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”课时目标“且”、“或”，并能判断命题的真假．1．“或”、“且”叫做______________．2．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作________，读作“p且q”．3．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作________，读作“p或q”．4．完成下列真值表：p q p∧q p∨q真真真假假真假假一、选择题1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)2．命题p：函数y＝log a(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有()A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p真q假D．p假q真3．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形4．命题“方程|x|＝1的解是x＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”5．下列命题：①5>4，或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题题号12345 6答案7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题(填“真”，“假”)．8．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：log a p是假命题，“p或q”是真命题，那么实数a的取值范围是____________．9．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是____________．三、解答题10．分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．能力提升12．判断下列命题的真假：(1)－1是偶数或奇数；(2)2属于集合Q，也属于集合R.13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”．设命题p：x∈A，命题q：x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p∨q⇔x∈A或x∈B⇔x∈A∪B. 2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真．§1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”知识梳理1．逻辑联结词 2．p ∧q 3.p ∨q 4.作业设计1．C [点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．]2．C [由于将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )成立，故p 真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称， 知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 假．]3．D6．C [p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个是真命题；p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，因此，p 、q 中必有一个是真命题，一个是假命题．] 7．或 真 8．(4，＋∞)解析 由题意知：q 为真命题． 当a >1时，由q 为真命题得a >2； 由p 为假命题且画图可知：a >4. 当0<a <1时，无解．所以a >4. 9．[1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．10．解 (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真． 11．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真． 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎨⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.12．解 (1)此命题为“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R ，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．13．解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．。

第一章立体几何初步（B）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．0 B．9 C．快D．乐4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是()A．6 B．3 2 C．6 2 D．125．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1()A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对7．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A ．4B ．6C ．8D ．129．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A ．12B ．14C ．1D ．3912910．设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若l ⊥α，α⊥β，则l β B ．若l ∥α，α∥β，则l β C ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β11．已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．均不正确12．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 、FG间的距离为( )A ．8 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．9 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________．14．已知用斜二测画法，画得正方形的直观图的面积为182，则原正方形的面积为________．15．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． ①若AC ＝BD ，则四边形EFGH 的形状是______； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是______．16．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____________时，SC ∥平面EBD ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 画出如图所示的四边形OABC 的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD ∥面AGC ； ②证明：面PBD ⊥面AGC ．19．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h 1，且水面高是锥体高的13，即h 1＝13h ，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h 2，求h 2的大小．20．(12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠BCD ＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V．第一章 立体几何初步(B ) 答案1．B[如图， ∵P ∈HG ，面ACD ，∴P ∈面ACD ，同理P ∈面BAC ， 面BAC ∩面ACD ＝AC ； ∴P ∈AC ，选B ．] 2．C 3．B4．D [△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12．] 5．C [可以以正方体为载体作出判断．] 6．C7．B [因为AD 1⊥A 1D ，且AD 1⊥A 1B 1， 所以AD 1垂直于平面A 1DB 1．] 8．A[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S －ABCD ，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2， AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD)×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A ．]9．D [设上，下底半径分别为r 1，r 2， 过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，r 0＝52r 1，∴V 上V 下＝r 21＋r 1r 0＋r 20r 22＋r 2r 0＋r 20＝39129．] 10．C [当l ⊥α，α⊥β时不一定有l β，还有可能l ∥β，故A 不对，当l ∥α，α∥β时，l β或l ∥β，故B 不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m ，n 与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l ⊥α，则l ⊥m ，l ⊥n ，即l ⊥m′，l ⊥n′，故l ⊥β，因此C 正确，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交或l ∥β或l β，故D 不对．]11．B [由题意知，球的直径为 2R ＝32＋42＋52＝52，∴S 球＝4×π·⎝⎛⎭⎫5222＝50π．故选B ．] 12．A [由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm ．设平行线EH 、FG 之间距离为d ，则28＝12×(3＋4)×d ，∴d ＝8 cm ，故选A ．]13．9解析 由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD，解得SD ＝9． 14．72解析 设原正方形边长为x ，则直观图中平行四边形底为x ，高为h ′＝12x·22＝24x ，面积为S ′＝x·24x ＝24x 2，即24x 2＝182，∴x 2＝72， ∴原正方形面积为72． 15．菱形 矩形 16．E 是SA 的中点解析 连接AC 交BD 于O ， 则O 为AC 中点，∴EO ∥SCEO 面EBD ，SC ⊆面EBD ， ∴SC ∥面EBD ．17．解 直观图如下图所示．(1)画轴：在直观图中画出x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)确定A ′，B ′，C ′三点，在x ′轴上取B ′使O ′B ′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y ′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x ′轴的平行线，得交点A ′，C ′．(3)顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线，就得到四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′．18．(1)解 该几何体的直观图如图所示(2)证明 ①连接AC ，BD 交于点O ，连接OG ，因为G 为PB 的中点，O 为BD 的中点， 所以OG ∥PD ．又OG 面AGC ，PD ⊆面AGC ， 所以PD ∥面AGC ．②连接PO ，由三视图，PO ⊥面ABCD ，所以AO ⊥PO ．又AO ⊥BO ，所以AO ⊥面PBD ． 因为AO 面AGC ， 所以面PBD ⊥面AGC ．19．解 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r ，水的体积为：V ＝13πr 2h －13π⎝⎛⎭⎫23r 2·23h ＝1981πr 2h ． 当锥顶向下时，设水面圆半径为r ′，则V ＝13π·r ′2·h 2．又r ′＝h 2r h，此时V ＝13π·h 22r 2h 2·h 2＝πh 32r23h 2，∴πh 32r23h 2＝1981πr 2h ，∴h 2＝3193h ， 即所求h 2的值为3193h ． 20．证明 设AC ∩BD ＝O ， 连接EO ，则EO ∥PC ．∵PC ＝CD ＝a ，PD ＝2a ，∴PC 2＋CD 2＝PD 2， ∴PC ⊥CD ．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，CD 为交线， ∴PC ⊥平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD ． 又平面EDB ，∴平面EDB ⊥平面ABCD ．21．(1)解 ∵CD ∥平面PBO ，CD 平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明 ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，AB 底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ．又PD 平面PAD ， ∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，且AB ∩PA ＝A ， ∴PD ⊥平面PAB ． 又PD 平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．22．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ．∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD 平面PAD ，EF 平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA ．在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22．∴S △ABC ＝12AB·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13．。

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．在“如果p，则(那么)q”形式的命题中，把p称为命题的________，q称为命题的________．“如果p，则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作________，读作“__________”．2．如果p可推出q，则称p是q的________条件；q是p的________条件．3．如果既有__________，又有________，就记作p⇔q，此时称p是q的充分且必要条件，简称____________________，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．4．p是q的充要条件，又常说成__________________或____________．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件7．用符号“⇒”或“ ”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.设x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p.2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性；B ⇒A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性；B⇒A证明了必要性．§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件知识梳理1．条件结论p⇒q p推出q2．充分必要3．p⇒q q⇒p p是q的充要条件4．q当且仅当p p与q等价作业设计1．A[对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]2．A[∵綈p：－1≤x≤1，綈q：－2≤x≤1，∴綈p⇒綈q，反之不一定成立，因此綈p是綈q的充分不必要条件．]3．B[因为N M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]4．A[把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A[l⊥α，m、n⊂α⇒l⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a 解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2为常数．又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2. ∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得a n＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{a n}为等差数列的充要条件是c＝－1.。