2008年广州市普通高中毕业班综合测试 理数·广州一模

2008年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学 （理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M 满足{1,2}{1,2,3}M = ，则集合M 的个数是 A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42．函数sin(2y x π=+是A ．周期为2π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数 3．已知点A （1，-2）, B （m ,, 2），若线段AB 的垂直平分线方程是220x y +-=，则实数m 的值是 A ． -2B ．-7C ． 3D ． 14．己知二次函数()f x 的图象如图1所示，则其导函数'()f x 的图象大致形状是B ．图 1C ．D ．5．设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．b <c <aA6．已知命题p :20()a a R ≥∈，命题q ：函数()f x =2x x -在区间[0,+∝）上单调递增，则下列命题中为真命题的是A ．p ∨qB ． p ∧qC ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨7．某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法种数共有A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种8．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12;如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ．对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ．当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则1a 的取值范围是 A ．（-∝，12] B ．[ 24, +∝）C ．（12，24）D ．（-∝，12] [24,+∝）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．9． 函数2lg(1)y x =-的定义域是_________．10．在复平面内，复数1+i 与-1+3i 分别对应向量OA 与OB ，其中O 为坐标原点，则||AB=_________．11．在一次数学测试（满分为150分）中，某地区10000名考生的分数X 服从正态分布2(100,15)N ，据统计，分数在110分以上的考生共2514人，则分数在90分以上的考生共________人．12．已知a 为正常数，定义运算“○×”，如下：对任意m ，n ∈N *，若m ○×n =a ，则（m +1） ○×n =2a ，m ○×（n +1）=a +1．当1○×1=1时，则1○×10=______，5○×10=________．（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程）已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则点P （4, 4） 与圆C 上的点的最远距离是_________． 14．（不等式选讲）不等式12x x +-<的解集是__________．15．（几何证明选讲）如图2所示，圆内接∆ABC 的∠C 的平分线CD延长后交圆于点E ，连接BE ，己知BD =3，CE =7，BC =5，则线段BE =__________．图 2APCMB三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(2sin ,cos )C θθ．（1）若||||AC BC =，求tan θ的值；（2）若(2)1OA OB OC +⋅=，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值．17．（本小题满分14分）如图3所示，在三棱锥P -AB C 中，P A ⊥平面ABC ，AB =BC =CA =2, M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上． （1）证明：平面P AB ⊥平面PCM ； （2）证明：线段PC 的中点为球O 的球心;（3）若球O 的表面积为20π，求二面角A -PB -C 的平面角的余弦值．18．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示:已知该工厂的工人人数最多是200人，根据限额，该工厂每天消耗电能不得超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大．图 319．〔本小题满分14分）（1）椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、 PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN BM ⋅ 为定值22b a -． （2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN BM⋅为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过程）．20．（本小题满分14分） 已知函数()f x =22ln x a x ax -+（a ∈R ）． （1）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点;（2）若函数()f x 在区间（1，+∝）上是减函数，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分） 已知数列{a n }满足a 1=1，2121n n n a a a +=+（n ∈N *）．（1）求a 2 , a 3的值;（2）求数列{a n }的通项公式;（3）求证：1718ni i ia a =<+∑．。

绝密★启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)， B ．(13)， C．D．2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24C ．36D ．483．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．12 表14．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．405．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =（ B ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）10．已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于 120，则k = ．E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直 的直线方程是 ．12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的 最小正周期是 ．二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．14．（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果图4此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？18．（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 19．（本小题满分14分）设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性． 20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD ，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ． （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形；F PG EAD（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．绝密★启用前 试卷类型B2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1．C 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2．D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3．C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯ 4．C 5．A6．D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝为真命题7．B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。

2008年普通高等学校统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知0<a<2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ）A. （1，5）B. （1，3）C. （1D. （12、记等差数列{a n }的前n 项和为S n 。

若a 1=1/2，S 4=20，则S 6 =（ ）A. 16B. 24C. 36D. 48 3、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表。

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19。

现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 124、若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 90B. 80C. 70D. 405、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、 C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如 图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图 （或称左视图）为（ ）6、已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A. a>－3B. a<－3C. a>－1/3D. a<－1/38、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 。

若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A.1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b + 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2008年广州市普通高中毕业班综合测试(二)本试卷共27小题，满分150分，考试题意120分钟可能用到的相对原子质量：N: 14 O : 16 Cl : 35.5 K : 39 Fe : 56 Cu : 64一、选择题(本题包括9小题，每小题3分，共27分。

每小题只有一个选项符合题意。

)1 .下列关于水的说法错误的是A .水是生命活动必不可少的物质B .水是含有极性共价键的共价化合物C.水的电离是放热过程D .水是极弱的电解质，在50C时水的pH小于72. 下列有关说法正确的是A .高温加热氧化镁和碳的混合物可以制单质镁B .铁的冶炼过程是通过置换反应得到单质铁C.海水提溴的过程中不发生氧化还原反应D .利用电解的方法可以从海水中获取淡水3. 下列关于铜电极的叙述正确的.是A .铜锌原电池中铜作负极B .在铁制品上电镀铜时，用铜作阴极C.电解饱和食盐水制烧碱时，用铜作阳极D .电解法精炼铜时，粗铜连接电源的正极4. 下列说法正确的是A .乙烯和聚乙烯都能使溴的四氯化碳溶液褪色B .淀粉和纤维素都可以作为工业上生产葡萄糖的原料C.油脂的水解反应，都是皂化反应D .蔗糖是高分子化合物，其水解产物能发生银镜反应5. 下列叙述正确的是A .用标准氢氧化钠溶液滴定含甲基橙的盐酸，终点时溶液由橙色变成黄色B .将SO2通人BaCb溶液中产生白色沉淀，再滴加稀硝酸沉淀不消失C.将碘盐加人淀粉溶液中，充分搅拌后溶液呈蓝色D .向葡萄糖溶液中加人新制氢氧化铜，加热至沸，静置后上层溶液显红色6. 下列反应的能量变化与其他三项不相同的是A .铝粉与氧化铁的反应B .氯化铵与消石灰的反应C.锌片与稀硫酸反应 D .钠与冷水反应7. 设N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A .标准状况下，2.24L苯中含有的分子数为0」N AB. 0」mol/L硫酸铜溶液中含铜离子数为0」N AC. 0.lmol 188O原子中含中子数为N AD. 4.6g NO2气体中含有的原子数为0」N A&下列分离或提纯方法正确的是①用酒精萃取碘水中的碘②用Na2CO3溶液除去CaCO3固体中的少量CaSO4③用NaOH溶液除去KCl溶液中的少量MgCl2④与新制的生石灰混合后蒸馏可除去乙醇中的少量水A .①②B .②③C .③④D .②④9. 某温度下，向容积为2L的密闭反应器中充入0.10 mol SO 3,当反应器中的气体压强不再变化时测得SO3的转化率为20%，则该温度下反应2SO2(g) + O2 2SO3(g)的平衡常数为A . 3.2 x 103mol 1• LB . 1.6 x 103mol 1• LC. 8.0 x 102mol 1• LD. 4.0 x 102mol1• L二、选择题(本题包括9小题，每小题4分，共36分。

试卷类型：A2008年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学 （理科）2008．4本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式: 0122n nn n n n C C C C =+++⋅⋅⋅+（n ∈N *）球的表面积公式为24S R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M 满足{1,2}{1,2,3}M =U ，则集合M 的个数是 A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42．函数sin()2y x π=+是A ．周期为2π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数3．已知点A （1，-2）, B （m ,, 2），若线段AB 的垂直平分线方程是220x y +-=，则实数m 的值是 A ． -2B ．-7C ． 3D ． 14．己知二次函数()f x 的图象如图1所示，则其导函数'()f x 的图象大致形状是A ．B ．图 1C ．D ．5．设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．b <c <a6．已知命题p :20()a a R ≥∈，命题q ：函数()f x =2x x -在区间[0,+∝）上单调递增，则下列命题中为真命题的是A ．p ∨qB ． p ∧qC ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨7．某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法种数共有A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种8．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12;如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ．对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ．当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则1a 的取值范围是A ．（-∝，12]B ．[ 24, +∝）C ．（12，24）D ．（-∝，12]U [24,+∝）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分必做题和选做题两部分．APCMB （一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．9． 函数2lg(1)y x =-的定义域是_________．10．在复平面内，复数1+i 与-1+3i 分别对应向量OA u u u r 与OB uuu r ，其中O 为坐标原点，则||AB uuu r=_________．11．在一次数学测试（满分为150分）中，某地区10000名考生的分数X 服从正态分布2(100,15)N ，据统计，分数在110分以上的考生共2514人，则分数在90分以上的考生共________人．12．已知a 为正常数，定义运算“○×”，如下：对任意m ，n ∈N *，若m ○×n =a ，则（m +1） ○×n =2a ，m ○×（n +1）=a +1．当1○×1=1时，则1○×10=______，5○×10=________．（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程）已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则点P （4, 4） 与圆C 上的点的最远距离是_________．14．（不等式选讲）不等式12x x +-<的解集是__________． 15．（几何证明选讲）如图2所示，圆内接∆ABC 的∠C 的平分线CD延长后交圆于点E ，连接BE ，己知BD =3，CE =7，BC =5，则线段BE =__________．三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(2sin ,cos )C θθ．（1）若||||AC BC =u u u r u u u r，求tan θ的值；（2）若(2)1OA OB OC +⋅=u u u r u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值．17．（本小题满分14分）如图3所示，在三棱锥P -AB C 中，P A ⊥平面ABC ，AB =BC =CA =2, M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上． （1）证明：平面P AB ⊥平面PCM ； （2）证明：线段PC 的中点为球O 的球心;（3）若球O 的表面积为20π，求二面角A -PB -C 的平面角的余弦值．18．（本小题满分12分）图 2图 3:已知该工厂的工人人数最多是200人，根据限额，该工厂每天消耗电能不得超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大． 19．〔本小题满分14分）（1）椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、 PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN BM ⋅u u u r u u u u r 为定值22b a -．（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过程）．20．（本小题满分14分） 已知函数()f x =22ln x a x ax -+（a ∈R ）． （1）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点;（2）若函数()f x 在区间（1，+∝）上是减函数，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分） 已知数列{a n }满足a 1=1，2121n n n a a a +=+（n ∈N *）．（1）求a 2 , a 3的值;（2）求数列{a n }的通项公式; （3）求证：1718ni i ia a =<+∑．。

2008届广东省高三三校第一次联考数学(理)试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B =（ ）A ．[0，1]B ．)1,0[C ．]1,(-∞D ．)1,(-∞ 2．复平面内，复数2)31(i +对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若平面向量b a 与)2,1(-=的夹角是180°，且b b 则,53||=等于 （ ）A ．（－3，6）B ．（3，－6）C ．（6，－3）D ．（－6，3）4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．21C ．31D ．615．设奇函数)(x f 的定义域为[－5，5]，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如下图，则不等式，)(x f <0的解集是（ ）A ．)2,0()0,2( -B ．（0，2）C ．)2,0()2,5[ --D ．)2,0()2,5( --6．动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y xC ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 7．函数)2||,0,0)(sin(πφωϕω<>>+=A x A y 的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）A ．)61110sin(2π+=x y B ．)61110sin(2π-=x yC ．)62sin(2π+=x y D ．)62sin(2π-=x y8．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10，…，则a 21的值为 （ ）A ．66B ．220C ．78D ．286二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

试卷类型：A2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)物 理2008． 3本试卷21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用不2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市县/区、学校，以及自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共48分）一、选择题 共12小题。

在每小题给出的四个选项中，有一个或一个以上选项符合题目要求，全部选对得4分，选不全得2分，有选错或不答的得0分。

1．以下说法符合事实的是 （ ） A ．爱因斯坦用光子说很好地解释了光电效应 B ．开普勒发现了万有引力定律和行星运动规律C ．普朗克在前人研究电磁感应的基础上建立了完整的电磁理论D ．玻尔把普朗克的量子理论运用于原子系统上，成功解释了氢原子光谱规律2．北京奥运会场馆建设中，大量采用环保新技术，如场馆周围的路灯用太阳能电池供电、洗浴热水能过太阳能集热器产生等.太阳能产生于太阳内部的核聚变，其反应方程是 （ ）A ．411H →42He+201eB ．147N+42He →178O+11HC ．23592U+10n →13654Xe+ 9038Sr+1010nD ．23892U →23490Th +42He 3．如图1所示，在同一平面内，大小分别为1N 、2N 、3N 、4N 、5N 、6N 的六个力共同作用于一点，其合力大小为 （ ）A ．0B ．1NC ．2ND ．3N4．为适应国民经济的发展需要，从2007年4月18日起，我国铁路正式实施第六次提速.火车转变可以看成是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受轨.为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是 （ ） A ．仅减小弯道半径 B ．仅增大弯道半径 C ．仅适当减小内外轨道的高度差 D ．仅适当增加内外轨道的高度差5．如图2所示，在正四棱柱abcd —a ′b ′c ′d 的中心线OO ′上有一根通有恒定电流的无限长直导线，比较各点的磁场 （ ） A ．棱aa ′上的各点磁感应强度大小相等 B ．棱ad 上的各点磁感应强度大小相等 C ．棱a b 上各点磁感应强度方向相同D ．棱cc ′上的各点磁感应强度方向相同6．仅采取下列中的某一个措施，能使如图3所示的理想变压器输出功率增加的是 （ ）A ．增加负载电阻R 的阻值B ．减小负载电阻R 的阻值C ．增加副线圈的匝数n 2D ．减少原线圈的匝数n 17．如图4是一位同学设计的防盗门报警器的简化电路示意图.门打开时，红外光敏电阻R 3受到红外线照射，电阻减小；门关闭会遮蔽红外线源（红外线源没有画出）. 经实际试验，灯的亮灭确能反映门的开、关状态. 门打开时两灯的发光情况以及R 2两端电压U R 2与门关闭时相比（ ） A ．红灯亮，U R 2变大 B ．绿灯亮，U R 2变大 C ．绿灯亮，U R 2变小 D ．红灯亮，U R 2变小8．A 、B 、C 、D 、E 五个小球从不同高度由静止开始地同时释放，从A 球碰到地面的瞬间开始计时，每隔相等的时间间隔，B 、C 、D 、E 四个小球依次落到地面. 图5给出的四幅图中能恰当表示五个小球刚释放时离地面高度的是 （ ）图59．如图6所示，平行板电容器在充电后不切断电源，此时板间有一电尘粒恰能在电场中静止. 若正对的平行板左右错开一些 （ ） A ．带电尘粒将向上运动 B ．带电尘粒将保持静止C ．错开过程中，通过电阻R 的电流方向为A 到BD ．错开过程中，通过电阻R 的电流方向为B 到A10．如图7是验证楞次定律实验的示意图，竖直放置的线圈固定不动，将磁铁从线圈上方插入或拔出，线圈和电流表构参展的闭合回路中就会产生感应电流. 各图中分别标出了磁铁的极性、磁铁相对线圈的运动方向以及线圈中产生的感应电流的方向等情况，其中正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 图711．如图8所示，两带电小球A 和B 各用细线悬挂于同一点，平衡时，两小球在同一水平面上，悬线与竖直方向的夹角分别为α和β，且α>β.关于两球的质量m 1和m 2及电量q 1和q 2，可以断定 （ ） A ．必有m 1<m 2 B ．必有q 1<q 2C ．可能m 1>m 2D ．可能q 1>q 2 12．小铁块置于长木板右端，木板放在光滑的水平地面上，t=0时使二乾获得等大反向的初速度开始运动，经过时间t 1铁块在木板上停止滑动，二者相对静止，此时与开始运动时的位置相比较，图9中哪一幅反映了可能发生的情况 （ ）图9第II 卷（共102分）二、非选择题12—14题为选做题，15—21题为必做题. 按题目要求作答. 解答题应写出必要的文字说明、方程和重要演算步骤，只写出最后答案的不得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位.（一）选做题请考生从下面给出的两组选做题中选择其中的一组进行答题（不能同时选做两组，否则选做无效，不能得分），并在答题卡上将所选做题组对应的信息点涂满、涂黑. 第一组（13题）：适合选修3—3（含2—2）模块的考生 13．（9分）一定质量的理想气体，经过图10所示的由A 经B 到C 的状态变化.设状态A 的温度为300K.则：状态C 的温度T C = K ；如果由A 经B 到C 的状态变化的整个过程中，气体对外做了400J 的功，气体的内能增加20J ，则这个过程气体 （填“吸收”或“放出”） J 的热量. 第二组（14题）：适合选修3—4模块的考生 14．（9分0图11表示一个向右传播的t=0时刻的横波波形图，已知波从0点传到D 点用0.2s. 该波的波速为 m/s ，频率为 Hz ；t=0时，图中“A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J ”各质点中，向y 轴正方向运动的速度最大的质点是 .（二）必做题15．（10分）用如图12（甲）所示的实验装置来验证牛顿第二定律，为消除摩擦力的影响，实验前必须平衡摩擦力.（1）某同学平衡摩擦力时是这样操作的：将小车静止地放在水平长木板上，把木板不带滑轮的一端慢慢垫高，如图12（乙），直到小车由静止开始沿木板向下滑动为止.请问这位同学的操作是否正确？如果不正确，应当如何进行？答： .图12（2）如果这位同学先如（1）中的操作，然后不断改变对小车的拉力F ，他得到M （小车质量）保持不变情况下的a —F 图线是图13中的 （将选项代号的字母填在横线上）.图13（3）打点计时器使用的交流电频率f =50Hz. 图14是某同学在正确操作下获得的一条纸带，A 、B 、C 、D 、E 每两点之间还有4个点没有标出.写出用s 1、s 2、s 3、s 4以及f 来表示小车加速度的计算式：a = . 根据纸带所提供的数据，算得小车的加速度大小为 m/s 2（结果保留两位有效数字）.16．（12分）物理兴趣小组的同学在一次活动中做了以下实验： （1）用伏特表和安培表测量干电池的电动势和内阻. 实验中通过改变滑线变阻器电阻的大小，测量并记录多组路端电压和相应的电流值如下表所示（实验过程中读数和记录环节都没有出错），实验结果与预想的不一致，由表中数据可判断他们所连接的电路可能是图15中的 （将选项代号的字母填在横线上）.U/V 0.60 0.70 0.80 0.90 1.01.1 I/A0.180.210.250.280.300.33（2）用如图16中的电阻箱、电流表、开关和若干条导线测量一个表盘刻度和数字都模糊不清的多用表内的电池的电动势.①用笔事线代替导线将图16中的器材连接成符合实验要求的电路.②实验步骤如下表所示，请在空格中补充完整实验步骤中的相关内容.第一步：连接好电路， ，闭合开关S.第二步：调节电阻箱的阻值并读出其值（如R 1、R 2）和相应的电流表读数（如I 1、I 2）.第三步：求得电池的电动势为：E=（用R 1、R 2、I 1、I 2表示）.17．（13分）（1）卢瑟福通过 实验，发现了原子中间有一个很小的核，并由此提出了原子的核式结构模型.如果用带箭头的四条线a 、b 、c 、d 来表示α粒子在图17所示的平面示意图中运动的可能轨迹.请在图中补充完成b 和c 两条α粒子运动的大致轨迹. （2）2007年10月24日我国探月了星“嫦娥1号”成功发射，当“嫦娥1号”进入距月球表面高为、周期为T 的圆形工作轨道时，卫星绕月飞行速度降为v . 已知万有引力常数为G . 求：月球的半径和质量.18．（13分）如图18（甲）所示，在竖直向下的B =5T 的有界匀强磁场中，有一个边长为0.4m 的正方形闭俣金属线框放在光滑水平地面上，线框的ab 边与磁场右边界MN 平行且相距0.09m ，线框电阻为10Ω、质量为0.20kg ，t =0时，线框静止. 现对线框加一向右的水平拉力F ，使线框以a =2.0m/s 2的加速度做匀加速直线运动，试通过分析和计算，在图18（乙）上画出F —t 图线.19（15分）如图19所示，绝缘水平板面上，相距为L 的A 、B 两个点分别固定着等量正点电荷.O 为AB 连线的中点，C 、D 是AB 连线上的两点，AC=CO=OD=DB =1/4L. 一质量为m 、电量为+q 的小滑块（可视为质点）以初动能E 0从C 点出发，沿直线AB 向D 运动，滑块第一次经过O 点时的动能为nE 0（n >1），到达D 点时动能恰好为零，小滑块最终停在O 点，求： （1）小滑块与水平板面之间的动摩擦因数μ； （2）OD 两点间的电势差U OD ； （3）小滑块运动的总路程S .20．（15分）如图20所示，竖直平面坐标系xOy 的第一象限，有垂直xOy 面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B 和E ；第四象限的垂直xOy 面向里的水平匀强电场，大小也为E ；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R 的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O 相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N .一质量为m 的带电小球从y 轴上（y >0）的P 点沿x 轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O ，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N 点水平进入第四象限，并在电场中运动.（已知重力加速度为g ）（1）判断小球的带电性质并求出其带电量； （2）P 点距坐标原点O 至少多高；（3）若该小球以满足（2）中OP 最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N 点开始计时，经时间t =2gR 小球距坐标原点O 的距离s 为多远？21．（15分）如图21（a ）所示，竖直轻弹簧下端与放在水平地面上的物块A 相连.上端与物块B 相连.物块C在B 的正上方某处自由落下，与B 碰撞后粘合在一起.在物块C 正上方放置一个速度传感器，以测量C 下落的速度v C ；在物块A 的正下方放置一个压力传感器，以测量物块A 对地面的压力N ，得到如图21（b ）所示v —t 和N —t 图线，图中纵坐标轴上的P 、v 1、v 2为已知量.已知弹簧的劲度系数为k ，A 、B 、C 三个物块的质量相等且都可视为质点，重力加速度为g ，求： （1）每个物块的质量.（2）从t 1到t 2，BC 粘合体对弹簧做的功多大？（3）为使BC 粘合体向上反弹到最大高度时，物块A 对地面的压力恰好为零，则C 物开始下落时与B 物块的距离应多大？参考答案。

广东省部分地区模拟考试或调研测试作文题目及其范文2008年广州市1.阅读下面的文字，根据要求写一篇不少于800字的文章。

（60分）陈小姐带着在BB车中熟睡的1岁大的孩子乘公交车，司机让陈小姐将BB车折叠放好，否则就多交1元的行李费。

陈小姐表示，如果把车折叠起来会把孩子弄醒，而车上没有空座位，把小孩抱在手中乘车又很危险。

她认为司机的要求非常不合理，坚决不交这1元钱，而司机则拒不开车。

为了这1元钱，陈小姐与司机“对峙”数小时，其间陈小姐多次报警，警察两度出警，车上数十人被迫转车。

最后，在警察苦口婆心的劝导下，陈小姐搭乘警车回家。

此事引起了社会各方的反响，议论不一。

要求：选择一个角度构思作文，自主确定立意，确定文体，确定标题；不脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。

2008年佛山市24．阅读下面的文字，根据要求写一篇不少于800字的文章。

（60分）甲、乙两个好朋友一起出门旅行。

旅途中，甲发现地上有把斧头，乙就说：“真幸运，我们捡到一把斧头，路上可就方便砍柴取火了。

”可是捡到斧头的甲却对乙说：“不对，不是‘我们’，你刚才应该对我说‘你捡到了一把斧头’。

”没多久，遗失斧头的人追上来，要讨回斧头。

甲惊慌地说：“这下我们完了！”“不是我们，你应该说‘这下子我完了！’”乙答道。

要求全面理解材料，但可以选择一个侧面、一个角度构思作文。

自主确定立意，确定问题，确定标题；不要脱离材料的含意作文，不要套作，不得抄袭。

韶关市200824．阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

（60分）在非洲的戈壁滩上，有一种叫依米的小花。

花呈四瓣，每瓣自成一色：红、白、黄、蓝。

它的独特并不止于此，在那里，根系庞大的植物才能很好地生长，而它的根，却只有一条，蜿蜒盘曲着插入地底深处。

通常，它要花费5年的时间来完成根茎的穿插工作，然后，一点一点地积蓄养分，在第六年春，才在地面吐绿绽翠，开出一朵小小的四色鲜花。

这种极难长成的依米小花，花期并不长，仅仅两天，它便随母株一起香消玉殒。

秘密★启用前2008年广州市高三教学质量抽测试题数 学（理科）2008．1 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写在答题卡上，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k p p -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}2,4,6M =的真子集的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 2．不等式2320x x -+<的解集是A ．{}21x x x <->-或B ．{}12x x x <>或 C ．{}12x x << D ．{}21x x -<<- 3．函数cos y x =的一个单调递增区间为A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．设复数z 满足i 2i z =-，则z =A ．12i --B ．12i -C ．12i +D ．12i -+5．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=a b a b ，则n = A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 6．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以 下年份是闰年的为 A ．1996年 B ．1998年 C ．2010年 D ．2100年7．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下 列命题①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． ②若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ．③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 8．函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 A ．35 B ．23 C ．45D ．554-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人． 10．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ． 11．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = ．12．已知5235x x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集 是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图2所示，AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则=PF ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． （1）求b 的值； （2）求sinC 的值．17．（本小题满分12分）已知射手甲射击一次，击中目标的概率是23． （1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；（2）假设甲连续2次未击中．．．目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率．18．（本小题满分14分）如图3所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCDPD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为 PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA EF ⊥；（2）求二面角D －FG －E 的余弦值．C 图219．（本小题满分14分）设函数()()2()2ln 11f x x x =---． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12-． （1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之间），试求ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值范围（O 为坐标原点）． 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(n an n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．2008年广州市高三教学质量抽测数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．８．方法1：由()()1221f x f x +=，得()()22212122log 21log 11log 1log 21x x x x --+=++，即22214log log 1x x =-．于是()212212221214log log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以()()()()21212212212log 1221log 1log 13x x f x x x x x x -==-≥++．方法2：由()()1221f x f x +=，得()()22212122log 21log 11log 1log 21x x x x --+=++，即22214log log 1x x =-．于是()221212122122212121log log 44log log log log log 1log 1x x x x x x x x x -+=+=+=--， 则()()()2212122212log 125log 13x x t t f x x x x t --+==++（其中21log 1t x =>），再利用导数的方法求解．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共7小题，每小题5分，满分30分．9．760 10．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭11．2 12．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦13．2 14．53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分∴b =6分（2）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-=，………………………………8分==，………………………10分 ∵C 是ABC ∆的内角，∴sin C ==．………………………………………………………12分 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴sin B ==．………………………………………………………8分 根据正弦定理，sin sin b cB C=，……………………………………………………10分得3sin sin c BC b===． ……………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查独立重复试验等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力） 解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A ，则()32352180C 33243P A ⎛⎫⎛⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为24380．………………………………6分 （2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C ，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则()2221222212116C C 33333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为16243．……………………………12分 方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C ，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则()2222121161C 333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为16243．……………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力） （1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PD ⊥．又ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥．∵PD AD D =，∴CD ⊥平面PAD ．……………………………………………3分∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥． ∵EFCD ，∴PA EF ⊥．…………………………………………………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,0,2)PA =-，(0,1,0)EF =-．…………………………………………………4分∵()()2,0,20,1,00PA EF =--=，∴PA EF ⊥．………………………………………6分 （2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(0,1,0)EF =-，(1,2,1)FG =-．………………………………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵11110,0,20.0.z DF x y z FG ⎧=⋅=⎧⎪∴⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩m m令11y =，得()2,1,0=-m 是平面DFG 的一个法向量．…………………………10分 设平面EFG 的法向量为222(,,)x y z =n ，∵22220,0,20.0.y EF x y z FG ⎧-=⋅=⎧⎪∴⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩n n令21z =，得()1,0,1=n 是平面EFG 的一个法向量．……………………………12分∵cos ,||||5⋅<>====-⋅m n m n m n 设二面角D FG E --的平面角为θ，则,θ=<>m n ．所以二面角D FG E --的余弦值为5-．………………………………………14分 解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(1,2,0)DG =，(0,1,0)EF =-，(1,1,1)EG =-，(1,2,1)FG =-．………………………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵,,F G M 三点共线，∴()1DM DF DG λλ=+-， ∵0DM FG =，∴()10DF FG DG FG λλ+-=，即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=．∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．…………10分再过E 作FG 的垂线，垂足为N ，∵,,F G N 三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+-， ∵0EN FG =，∴()10EF FG EG FG μμ+-=，即()()2140μμ⨯-+-⨯=，解得23μ=． ∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………………12分∴cos ,DM EN DM EN DM EN==-⋅． ∵DM与EN 所成的角就是二面角D FG E --的平面角， 所以二面角D FG E --的余弦值为5-．………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、微积分基本定理和导数的应用，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力）解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，…………………………………………………1分∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，………………………………………2分∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，故函数()f x 的单调递增区间为()1,2． ……………………………………………4分 （2）方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，……………………9分故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩……12分即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．………………………………14分 方法2：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………………………6分 即()2ln 11a x x =---， 令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111xh x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．……………………9分 ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-， 又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<．……………………………………12分即2ln352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力） 解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ⋅=-………………………………………2分0x ≠），这就是动点M 的轨迹方程．……………………4分 （2）方法1：如图，由题意知直线l 的斜率存在， 设l 的方程为()2y k x =-（12k ≠±） …… ①…………………………………5分将①代入122=+y ， 得0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，………………6分由0∆>，解得2102k <<．…………………………………………………………7分 设()11,E x y ，()22,F x y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822212221k k x x k k x x …… ② ……………………8分 令OBE OBF S S λ∆∆=，则||||BE BF λ=，即BE BF λ=⋅，即()1222x x λ-=-，且0 1.λ<< ……………………9分 由②得，12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-⋅-=-++=⎪+⎩（ 即()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧+-=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩ 22222141,(1)8(1)2k k λλλλ+∴==-++即．……………………………………………11分 2102k <<且214k ≠24110(1)22λλ∴<-<+且2411(1)24λλ-≠+．解得33λ-<<+13λ≠………………………………………………13分 01λ<<，1223<<-∴λ且13λ≠． ∴△OBE 与△OBF面积之比的取值范围是113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………14分 方法2：如图，由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠±…… ①…………5分将①代入122=+y ， 整理，得22(2)420s y sy +++=，…………6分由0∆>，解得22s >．………………………………………………………………7分 设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,22.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩…… ② ……………………8分 令11221212OBEOBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅，且01λ<<．…………………………………9分 将12y y λ=代入②，得()2222241,22.2s y s y s λλ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴()222182s s λλ+=+．即()2222161s λλλ+=--．……………………………………11分 ∵22s >且24s ≠，∴()2221261λλλ+>--且()2221461λλλ+≠--． 即2610λλ-+<且13λ≠．解得33λ-<<+13λ≠．……………………………………………13分 01λ<<，1223<<-∴λ且13λ≠． 故△OBE 与△OBF面积之比的取值范围是113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， …………………2分 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立， ∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分 当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分。

秘密★启用前2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理科)2008.3本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再将答案填写在对应题号的横线上。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}22A x x =-<<,{}220B x x x =-≤,则AB =A.()0,2B.(]0,2C.[)0,2D.[]0,22.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比 赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为 A.19、13 B.13、19C.20、18D.18、20图13.已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =,则a = A.1-C.1-D.1或4.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A.相离B.相交C.相切D.不确定 5.在区间[]0,1上任取两个数,a b ,方程220x ax b ++=的两根均为实数的概率为A.18 B.14 C.12 D.346.已知a ∈R ,则“2a >”是“22a a >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg 20.3010=,lg30.4771=)A.15次B.14次C.9次D.8次8.在ABC ∆所在的平面上有一点P ,满足PA PB PC AB ++=,则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 A.13 B.12 C.23 D.34二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第9、10、11、12题是必做题,每道试题考生都必须做答.9.若复数()()2563i z m m m =-++-是实数,则实数m = . 10.已知3cos 5α=,则cos 2α= . 11.根据定积分的几何意义,计算x =⎰.12.按如图2所示的程序框图运算. 若输入8x =,则输出k = ；若输出2k =,则输入x 的取值范围是 .(注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”,均表示赋值语句)(二)选做题:第13、14、15题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题的得分.13.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是 .14.(不等式选讲选做题)若a 、b 、c ∈R ,且222236a b c ++=,则a b c ++的最小值是 .15.(几何证明选讲选做题)在平行四边形ABCD 中,点E 在边AB 上,且:1:2AE EB =,DE 与AC 交于点F ,若AEF ∆的面积为62cm ,则ABC ∆的面积为 2cm .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求实数a 和b 的值；(2)当x 为何值时,()f x 取得最大值.17.(本小题满分12分)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n =,其中N 的各位数中,161n n ==,k n (k =2,3,4,5)出现0的概率为23,出现1的概率为13,记123456n n n n n n ξ=+++++,当该计算机程序运行一次时,求随机变量ξ的分布列和数学期望(即均值).18.(本小题满分14分)如图3所示,在边长为12的正方形11AA A A ''中,点,B C 在线段AA '上,且3AB =,4BC =,作1BB 1AA ,分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ,作1CC 1AA ,分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ,将该正方形沿1BB 、1CC 折叠,使得1A A ''与1AA 重合,构成如图4所示的三棱柱111ABC A B C -.(1)在三棱柱111ABC A B C -中,求证:AB ⊥平面11BCC B ；(2)求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比； (3)在三棱柱111ABC A B C -中,求直线AP 与直线1AQ 所成角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 中,51=a 且1221n n n a a -=+-(2n ≥且*n ∈N ). (1)若数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,求实数λ的值； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .20.(本小题满分14分)已知函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的最小值；(2)若*n ∈N ,证明:1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.(本小题满分14分)已知抛物线L :22x py =和点()2,2M ,若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0.(1)求实数p 的取值范围；(2)当2p =时,抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ,使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线,若存在,求出点C 的坐标,若不存在,请说明理由.2008年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.8.由PA PB PC AB ++=,得PA PB BA PC +++=0,即2PC AP=,所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点,如图所示.故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅.二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中第12题第一个空2分,第二个空3分.9.3 10.725-11.3π 12.4；(]28,57 13.cos 2ρθ= 14. 15.72三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力) 解:(1)∵函数()sin cos f x ax b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,21.b a +=⎪=⎩解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.(2)由(1)得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即232x k πππ-=+, 即526x k ππ=+()k ∈Z 时,()f x 取得最大值2.17.(本小题满分12分)(本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力等) 解:ξ的可能取值是2,3,4,5,6.∵161n n ==,∴()4042162C 381P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭, ()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭, ()444116C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系,面积与体积,空间向量等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力)(1)证明:在正方形11AA A A''中,∵5A C AA AB BC ''=--=, ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =.∵3AB =,4BC =,∴222AB BC AC +=,则AB BC ⊥.∵四边形11AA A A''为正方形,11AA BB ,∴1AB BB ⊥,而1BCBB B =,∴AB ⊥平面11BCC B . (2)解:∵AB ⊥平面11BCC B ,∴AB 为四棱锥A BCQP -的高.∵四边形BCQP 为直角梯形,且3BP AB ==,7CQ AB BC =+=,∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=, ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=,由(1)知1B B AB ⊥,1B B BC ⊥,且AB BC B =,∴1B B ⊥平面ABC .∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱,∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=. 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=. (3)解:由(1)、(2)可知,AB ,BC ,1BB 两两互相垂直.以B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -,则()3,0,0A ,()13,0,12A ,()0,0,3P ,()0,4,7Q , ∴(3,0,3)AP =-,1(3,4,5)AQ =--, ∴1111cos ,5AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>==-,∵异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦, ∴直线AP 与1AQ 所成角的余弦值为15.19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识,考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力)解:(1)方法1:∵51=a ,∴22122113a a =+-=,33222133a a =+-=. 设2n n na b λ+=,由}{n b 为等差数列,则有3122b b b +=. ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+. ∴13533228λλλ+++=+. 解得 1λ=-.事实上,1111122n n n n nn a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=,综上可知,当1λ=-时,数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列. 方法2:∵数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列, 设2n n na b λ+=,由}{n b 为等差数列,则有122n n n b b b ++=+(*n ∈N ). ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+.∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-.综上可知,当1λ=-时,数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列. (2)由(1)知,()1111122n na a n --=+-⨯, ∴()121n n a n =+⋅+.∴()()()()12122132121121n nn S n n -⎡⎤=⋅++⋅+++⋅+++⋅+⎣⎦.即()1212232212n n n S n n n -=⋅+⋅++⋅++⋅+.令()1212232212n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅, ① 则()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅. ②②－①,得()()12312222212n n n T n +=-⋅-+++++⋅12n n +=⋅.∴()11221n n n S n n n ++=⋅+=⋅+.20.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识,考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识)(1)解:∵()x f x e x =-,∴()1xf x e '=-.令()0f x '=,得0x =.∴当0x >时,()0f x '>,当0x <时,()0f x '<.∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增. ∴当0x =时,()f x 有最小值1.(2)证明:由(1)知,对任意实数x 均有1xe x -≥,即1xx e +≤.令k x n=-(*,1,2,,1n k n ∈=-N ),则01k n ke n-<-≤,∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即(1,2,,1)nk n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭.∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nn nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---,∴ 1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.(本小题满分14分)(本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识,考查数形结合的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力)解法1:(1)不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且12x x <,∵AM BM +=0,∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.∴124x x +=,22128x x p +=.∵()21222122x x x x ++>(12x x ≠),即88p >,∴1p >,即p 的取值范围为()1,+∞.(2)当2p =时,由(1)求得A 、B 的坐标分别为()0,0、()4,4.假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫⎪⎝⎭(0t ≠且4t ≠),使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线.设经过A 、B 、C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=. ①∵函数24x y =的导数为2x y '=, ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t , ∴经过A 、B 、C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t . ∵0t ≠,∴直线NC 的斜率存在.∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴242122t E t D t +⨯=-+,即()()324480t E t E ++-+=. ② ∵0t ≠,由①、②消去E ,得326320t t -+=.即()()2420t t -+=.∵4t ≠,∴2t =-.故满足题设的点C 存在,其坐标为()2,1-.解法2:(1)设A ,B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,,且12x x <。