重庆市六校2018届高三第三次诊断性考试数学理试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1. 若集合}1|{2<=x x M，{|N x y =，则N M = A ．N B ．M ．φ D ．{|01}x x <<2．下列结论正确的是A ．若向量//a b ，则存在唯一的实数λ使得a λb =；B ．已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”；C ．“若3πθ=，则1cos 2θ=”的否命题为“若3πθ≠，则1cos 2θ≠”； D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+> 3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为A ．2，6B ．2，7C ．3，6D ．3，7 4.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95,则A ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a = 5．若(9x －13x)n （n ∈N *）的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．84B ．－252C ．252D ．－846．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3+2B ．3+2C．3+2D．2 7.2cos10tan 20sin 70-=C. 1D.28．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则14x y+的最小值为A.B. 93C. 9D. 9．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x]，x ≥0f （x ＋1），x<0，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y ＝f(x)－14x －14不同零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 10.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。
经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
设函数32115()33212g x x x x =-+-，则122012()()()201320132013g g g ++⋅⋅⋅+= A. 2011 B. 2012 C. 2018 D. 2018第15题图第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（5分每题，14、15、16任选两题） 11．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 12．无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5 , 当a 1<a 2, a 2>a 3, a 3<a 4, a 4>a 5时称为波形数,则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 ．13．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围 。
考生注意：14、15、16为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
14．直线1cos :1sin x t αl y t α=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与圆24cos :14sin x θC y θ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相交所得的最短弦长为15．如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD//AC ． 过点 A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE= BD = 4，则线段CF 的长为______． 16．设函数()31,.g x x m x m R =-+-∈若存在0x R ∈，使得0()40g x -<成立，则m 的取值范围为 三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II 上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．(本小题满分13分)已知数列{n a }的前n 项和11()22n n n S a -=--+ (n 为正整数)。
（Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令1n n n c a n+=，12...n n T c c c =+++，求 n T 。
18 （本小题13分）已知函数()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 23)(2 （Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对应边分别是c b a ,,，且*,1N c a ∈=，若向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行，求c 的值。
19.（本小题满分13分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。
活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。
（Ⅰ）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（Ⅱ）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD - 中，AD //BC ，AB AD ⊥，AB PA ⊥，224BC AB AD BE ===，平面PAB ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为，求二面角A PC D --的平面角的余弦值．21.（本小题满分12分）已知圆(222:M x y r += (0)r >,若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M 的圆心，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于,A B 两点，与圆M 分别交于,G H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 的半径r 的取值范围．22、（12分）已知函数()1x f x e ax =--（e 为自然对数的底） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若函数()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)n n ⨯⨯⨯++++⋅⋅⋅++<---六校高2018级第三次诊断性考试数学(理科)答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.D 2.C 3D. 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B .二、填空题（本大题共6小题，考生答5小题，每小题5分，共25分。
）（一）必做题（11—13题）11. —52 12.152 13. （二）选做题（14—16题，考生只能从中选做两题） 14. 27 15.355 16. ⎪⎭⎫⎝⎛-35,1 三、解答题（本大题共6小题，共75分。
）17 解（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a = (1)当2n ≥时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，，..................2 11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列 (4)于是1(1)12,2n n n n nnb n n a a =+-⋅==∴= (6)(II)由（I ）得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以由①-②得……………………………………13 18 解：（1）………………………..3分，……..4分所以当，取得最大值；当，取得最小值；………..6分（2）因为向量与向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，经检验符合三角形要求………..13分19、（Ⅰ）甲抽奖一次，基本事件总数为310C =120,奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(ξ=240)=1120三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种，所以P(ξ=60)=8112015= 仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。
得奖金30的概率为P （ξ=30）=7267712015⨯+⨯= 奖金为0的概率为P （ξ=0）=117111120151524---= ξ的分布列为：0306024020241515120=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ6分（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=111312424-= 10分四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数η～B （4，1324）故131114342424144D η=⨯⨯=.13分20．法一（Ⅰ）取AD 中点F ，连接BF ，则//FD BE ，∴四边形FBED 是平行四边形，∴FB //ED ∵直角△BAF 和直角△CBA 中，2BA CB AFBA==∴直角△BAF 直角△CBA ，易知BF AC ⊥ ∴ED AC ⊥2分∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =AB PA ⊥∴PA ⊥平面ABCD∴PA ED ⊥， 4分 ∵PAAC A =∴ED ⊥平面PAC . 5分 ∴平面PED ⊥平面PAC . 6分（Ⅱ）设ED 交AC 于G ，连接PG ，则EPG ∠是直线PE 与平面PAC 所成的角.设1BE =由△AGD △CGE ，知23DG AD GEEC==，∵2AB AD ==∴35EG DE ==DG =∵∴3PE =，2AE PA === 9分作GH PC ⊥于H ，由PC DE ⊥，知PC ⊥平面HDG ， ∴PC DG ⊥， ∴GHD∠是二面角A PC D--的平面角.10分∵△PCA △GCH ，∴PA PCGH GC=，而GC ==∴PA GC GH PC⋅==∴tan GHD ∠=，∴cos GHD ∠=，即二面角A PC D--的平面角的余弦值为.12分法二：（Ⅰ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB 平面ABCD AB =，AB PA ⊥ ∴PA ⊥平面ABCD又∵AB AD ⊥，故可如图建立空间直角坐标系o xyz -2分由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>） ∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =- ∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=， ∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC . 4分 ∴平面PED ⊥平面PAC 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一个法向量是(2,1,0)DE=-，(2,1,)PEλ=-设直线PE与平面PAC所成的角为θ，∴sin|cos,|PE DEθ=<>==，2λ=±∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P8分设平面PCD的一个法向量为n000(,,)x y z=，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP=-由n DC⊥，n DP⊥∴0000220220x yy z+=⎧⎨-+=⎩，令1x=，则n(1,1,1)=-- 10分∴cos<n，DE>== 11分显然二面角A PC D--的平面角是锐角，∴二面角A PC D--的平面角的余弦12分224244222424222(1)2(231)22(1)112231231++++=+==+++++++k k k k k k r k k k k k k22 （Ⅰ）'()x f x e a =-0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增。
