三线合一解题PPT课件
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三线合一解题页数:20
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三线合一解题说课讲解页数:20
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怎样利用“三线合一”证明线段垂直页数:3
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三线合一解题PPT课件页数:10
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活用“三线合一”解题的六种技巧页数:16
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三线合一等腰三角形ppt课件
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
情景引入：
小学时，我们学习过等腰三角形的初步知识，现在 我们进一步研究有关等腰三角形的知识。
探究新知：
请同学们把一张长方形纸对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
拓展提高:
. 1 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为____度．
2 如图(2) 在△ABC中, AB＝AC, CD⊥AB于D, 则下列判断正确的是 A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACD C.∠A＝∠DCB D.∠A＝2∠BCD
3 如图(3), 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE
你从以上的证明中还能得出什么结论？
性质：
1 等腰三角形两个底角相等（简写为“等边对等角”）
2 等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高相互重合。 （简称“等腰三角形三线合一”）
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
在△ABC中，∠A=36 ° ∠ABC=∠C=72 °
巩固训练 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个角 的度数是多少呢？
2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两 个角的度数是多少呢？
A A
D
B 图(2)
B C
D 图(3)
情景引入：
小学时，我们学习过等腰三角形的初步知识，现在 我们进一步研究有关等腰三角形的知识。
探究新知：
请同学们把一张长方形纸对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
拓展提高:
. 1 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为____度．
2 如图(2) 在△ABC中, AB＝AC, CD⊥AB于D, 则下列判断正确的是 A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACD C.∠A＝∠DCB D.∠A＝2∠BCD
3 如图(3), 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE
你从以上的证明中还能得出什么结论？
性质：
1 等腰三角形两个底角相等（简写为“等边对等角”）
2 等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高相互重合。 （简称“等腰三角形三线合一”）
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
在△ABC中，∠A=36 ° ∠ABC=∠C=72 °
巩固训练 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个角 的度数是多少呢？
2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两 个角的度数是多少呢？
A A
D
B 图(2)
B C
D 图(3)
秋沪科版(安徽专版)八年级数学上册课件：15.3.4 活用“三线合一”巧解题 (共19张PPT)
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技巧 5 利用“三线合一”证垂直
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D， O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想 AE与BC的关系，并说明理由．
解：猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD. 理由如下：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO. ∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．
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梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》
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技巧 6 利用“三线合一”证角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D， 求证：∠DBC＝ ∠BAC.
1 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAF＝ ∠BAC.
∵AF⊥BC，BD⊥AC1 ， ∴∠CAF＋∠C＝∠D2 BC＋∠C＝90°.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
证明：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＋∠C＝90°. ∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
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技巧 8 利用“三线合一”证线段的和差关系
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C. 求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接 AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.又因为AD⊥BC， 所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝ 2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝∠CAE＋∠C， 所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB， 故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
技巧 5 利用“三线合一”证垂直
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D， O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想 AE与BC的关系，并说明理由．
解：猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD. 理由如下：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO. ∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．
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技巧 6 利用“三线合一”证角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D， 求证：∠DBC＝ ∠BAC.
1 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAF＝ ∠BAC.
∵AF⊥BC，BD⊥AC1 ， ∴∠CAF＋∠C＝∠D2 BC＋∠C＝90°.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
证明：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＋∠C＝90°. ∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
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技巧 8 利用“三线合一”证线段的和差关系
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C. 求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接 AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.又因为AD⊥BC， 所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝ 2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝∠CAE＋∠C， 所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB， 故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
七年级数学下册第五章第2课时三线合一在等腰三角形中应用的六种常见题型习题课件新版北师大版ppt
6．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且∠ABC＝2∠C.试说 明：CD＝AB＋BD.
解：如图，以 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 CD 于点 E， 连接 AE，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，则 AE＝AB，∠EFA＝∠EFC＝90°， 所以∠AEB＝∠ABC.
因为 AD⊥BC，所以 AD 是 BE 边上的中线，即 DE＝BD. 又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C. 因为∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C. 又因为 EF＝EF，∠EFA＝∠EFC，所以△EFA≌△EFC， 所以 CE＝AE＝AB.所以 CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
在△ABD 中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°， 所以∠B＝∠BAD. 又因为 DH＝DH，∠DHA＝∠DHB， 所以△DHA≌△DHB，所以 BD＝AD. 又因为 BD＝CD，所以 AD＝CD. 所以∠DAC＝∠C＝45°.所以∠B＝∠DAC. 又因为 BE＝AF，所以△BDE≌△ADF(SAS)．所以 DE＝DF.
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在△ABC 外，CE⊥AE 于点 E，∠CAE＝12∠BAC.试说明：∠ACE＝∠B.
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADB＝90°.
因为 AB＝AC，所以∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC. 因为∠CAE＝12∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE. 因为 CE⊥AE，所以∠E＝90°.所以∠ADB＝∠E.
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB 于点 E. 若 BC＝12，且△BDC 的周长为 36，求 AE 的长．
解：因为△BDC 的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12， 所以 BD＋DC＝24. 因为 AD＝BD，所以 AD＋DC＝24，即 AC＝24. 因为 AB＝AC，所以 AB＝24. 又因为 DE⊥AB，所以 AE＝EB＝12AB＝12.
初二上数学课件(人教版)-第13章 技巧专题 巧用等腰三角形“三线合一”解题
证明角相等 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，CE⊥AE 于点 E，CE＝12BC，点 E 在△ ABC 外．求证：∠ACE＝∠B.
证明：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，∵AB＝AC，∴BD＝12BC，又∵CE＝12BC， ∴BD＝CE，在 Rt△ABD 和 Rt△ACE 中，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD ≌Rt△ACE，∴∠ACE＝∠B.
பைடு நூலகம்
证明线段相等 4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 和 BE 相交于点 H，且 BE＝AE.求证：AH＝2BD.
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEH＝∠BEC＝∠ADB＝90°，∴∠EBC ＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°.∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠ EAH.∵BE＝AE，∴△AHE≌△BCE，∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2BD，∴AH＝2BD.
(1)证明：连接 AD，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∠EBD＝45°.∵点 D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC，∠FAD＝∠BAD＝45°，∴ AD＝BD.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠
ADF. 在 △ BDE 和 △ ADF 中 ， ∠ BDE＝BDAD＝∠FAD ∠BDE＝∠ADF
5．(滨州中考)已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D 为 BC 的中 点． (1)如图①，若点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE＝ AF； (2)若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE＝AF 吗？请利用图②说明理由．
， ∴ △ EDB ≌ △
专题训练(三) 活用“三线合一”巧解题 省优获奖课件
解：证明：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，∵AB＝AC，∴BF＝CF， 1 ∵CE＝2BC，∴BF＝CE，∵CE⊥AE，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
AB＝AC， 在 Rt△ABF 和 Rt△ACE 中 BF＝CE，
∴Rt△ABF≌Rt△ACE(HL)，∴∠ACE＝∠B
5．如图，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝DE，∠ABC＝∠AED， 点 F 是 CD 的中点．求证：AF⊥CD.
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点， E，F分别为AB，AC上的点，且满足EA＝CF.求证：DE＝DF.
解：证明：连接 AD，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为 BC 中点， ∴AD＝DC，AD 平分∠BAC，∠C＝45°，∴∠EAD＝∠C＝45°， EA＝CF， 在△ADE 和△CDF 中，∠EAD＝∠C，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF AD＝CD，
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.C边上的中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD，又∵BE⊥AC， ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD.∴∠CBE＝∠BAD.
1 4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，CE⊥AE 于点 E，CE＝2BC， 点 E 在△ABC 外，求证：∠ACE＝∠B.
AB＝AE， 解：证明：连接 AC，AD，在△ABC 和△AED 中，∠ABC＝∠AED， BC＝DE， ∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD，∵点 F 是 CD 的中点，∴AF⊥CD
6．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于 点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
第十三章 轴对称
八级数学上册(浙教版)课件：专题训练：(三) 活用“三线合一”巧解题 (共15张PPT)
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证明：作∠BAC的平分线，交EB的延长线于点P，连结PC.∵DE＝DB， ∠ADB＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠DBE＝60°，∴∠PBC＝ 60°.∵AB＝AC，AP平分∠BAC，∴PA垂直平分BC，∴PB＝PC，∴△PBC 是等边三角形，∴BP＝CP＝BC.又∵AP⊥BC，∴∠BPA＝∠CPA.又 ∵∠ADB＝∠PCB＝60°，∴PC∥DA，∴∠BPA＝∠CPA＝∠EAP，∴AE＝ EP.又∵EP＝BE＋BP＝BE＋BC，∴AE＝BE＋BC
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证明：延长BA，CD交于点E.由ASA可证△BDC≌△BDE，∴BC＝BE.又 ∵BD⊥CD，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)，∴BF＝CE，∴BF＝2CD
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4
解：∵△BDC 的周长＝BD＋BC＋CD＝24，CD＝4，∴BD ＋BC＝20.∵AD＝BD＝BC，∴AD＝BD＝BC＝10，∴AB＝ AC＝AD＋CD＝10＋4＝14.又∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝ 1 EB＝ AB＝7 2
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5
三、利用“三线合一”证线段(角)相等
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谢谢观看！
解：∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°
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2
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE， 求∠CDE的度数． 解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD平分 ∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝40°.又∵AD＝AE，
三线合一
E
E
B
C
过C点作DE的平行线，
交BA的延长线于R点． D
A
B
FC
过D点作AC的平行线，交BC的延长 线于H点，并延长DE交BC于F点．
E
B
FC
H
拓展提高:课本背后的性质
已知：AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC, 确定：DE+DF是一个定值.
E
B
A
F
D
C
课件：底边上一点到两腰的距离.gsp .
等腰三角形的性质
14.3.1等腰三角形(1)
三线合一
等腰三角形性质(2)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（简称“三线合中点，
∴AD⊥CB,AD平分∠CAB.
(2)∵AC=AB,且AD平分∠CAB，
B
D
C ∴ D为CB的中点,AD⊥CB.
(3)∵AC=AB,且AD⊥CB，
3 ．作∠DAC的角平分线．
4 ．作DE边的中线．
B
D P E
C
D
A E
过B点作AC的平行线，交DE 的延长线于G点．
B
C
Q
D A
E
D
B
C
G
A
N
过C点作AB的平行线，
E
交DE的延长线于N点．
B
C
过B点作DE的平行线， 交CA的延长线于Q点．
R
D A
OD
过D点作DO∥BC交CA的延长线 A
于O点，并延长DE交BC于F点．
∴ D为CB的中点,AD平分∠CAB.
性质(2)应用
已知AB′=AB，E为BB′的中点，
EC⊥AB′, ED ⊥AB. 求证:CE=ED. A
2018年秋安徽专版沪科版八年级上册数学授课课件：15.3.4活用“三线合一”巧解题(共18张PPT)
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技巧
4
利用“三线合一”求线段相等
4．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中 点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝ AF.求证：DE＝DF.
证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°.在△ABD中，∠BAD＝180°－ ∠B－∠ADB＝45°，∴∠B＝∠BAD.∴BD＝AD. 又∵BD＝CD，∴AD＝CD.∴∠DAC＝∠C＝45°.
∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO.
∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．
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技巧
6
利用“三线合一”证角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D， 求证：∠DBC＝ ∠BAC . 1
2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴∠CAF＝∠BAF＝ ∠BAC.
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1 ∵AF⊥BC，BD⊥AC， 2
∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°.
∴∠DBC＝∠CAF.∴∠DBC＝ ∠BAC.
1 2
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技巧
7
利用“三线合一”证线段的倍分关系
7．(马鞍山11中期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和 BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE.AH与2BD相等 吗？请说明理由．
相等．理由：因为AD和BE是高，所以∠AEH＝ 解： ∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，所以∠C＋∠EAH ＝90°，∠C＋∠EBC＝90°，所以∠EAH＝ ∠EBC.又因为AE＝BE，所以△AHE≌△BCE，所 以AH＝BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得
探究等腰三角形的性质之三线合一微课件(1)
即：AD⊥BC
∴∠BDA=∠CDA,BD=CD
证明
①+③
求证： ∠BAD=∠CAD ， BD=CD
②④
A
已知：在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于点D，
｛
证明：∵AD⊥BC ∴ ∠ADB=∠ADC=90º 在Rt△ABD与Rt △ACD中 AB=AC AD=AD ∴△ABD≌ △ACD(HL) ∴∠BDA=∠CDA,BD=CD
B
D
C
证明
①+④
求证：AD⊥BC， ∠BAD=∠CAD
②③
A
已知：在△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=CD
｛
证明：在△ABD与 △ACD中 AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ABD≌ △ACD(SSS) B ∴ ∠BAD=∠CAD, ∠BDA=∠CDA
∵∠BDA+∠CDA=180º
在等腰△ABC中
A
D
C
1、若AD是顶角的平分线，则它也是底边上的中线，底边上的高. 2、若AD是底边上的中线，则它也是顶角的平分线，底边上的高. 3、若AD是底边上的高，则它也顶角的平分线，底边上的中线.
分 析
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C） ② ∠BAD=∠CAD ③ AD⊥BC ④ BD=CD ② ①
D
C
∴∠BDA=∠CDA=90º 即：AD⊥BC
符号表示
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是 底边上的高.
A
∵AB＝AC
∴BD＝DC
∠BAD＝∠CAD（已知）
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
B
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角 平分线.
∴∠BDA=∠CDA,BD=CD
证明
①+③
求证： ∠BAD=∠CAD ， BD=CD
②④
A
已知：在△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于点D，
｛
证明：∵AD⊥BC ∴ ∠ADB=∠ADC=90º 在Rt△ABD与Rt △ACD中 AB=AC AD=AD ∴△ABD≌ △ACD(HL) ∴∠BDA=∠CDA,BD=CD
B
D
C
证明
①+④
求证：AD⊥BC， ∠BAD=∠CAD
②③
A
已知：在△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=CD
｛
证明：在△ABD与 △ACD中 AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ABD≌ △ACD(SSS) B ∴ ∠BAD=∠CAD, ∠BDA=∠CDA
∵∠BDA+∠CDA=180º
在等腰△ABC中
A
D
C
1、若AD是顶角的平分线，则它也是底边上的中线，底边上的高. 2、若AD是底边上的中线，则它也是顶角的平分线，底边上的高. 3、若AD是底边上的高，则它也顶角的平分线，底边上的中线.
分 析
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C） ② ∠BAD=∠CAD ③ AD⊥BC ④ BD=CD ② ①
D
C
∴∠BDA=∠CDA=90º 即：AD⊥BC
符号表示
1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是 底边上的高.
A
∵AB＝AC
∴BD＝DC
∠BAD＝∠CAD（已知）
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
B
2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角 平分线.
云南省红河州弥勒县庆来学校八年级数学上册 利用三线合一解题课件 新人教版
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You made my day!
我们，还在路上……
求证:
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
D
B
C
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③
You made my day!
我们，还在路上……
求证:
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
D
B
C
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③
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求证：∠2=∠1+∠B
A
E3 B
2
D
1
C
18
1、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质，
但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时， 要善于发现“补形”的条件：是否能 产生“两线合一”的情境？
3、应用“三线合一基本图形”是一个重 要 的解题策略，为我们解决问题又提 供了一种手段。
4
在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③ ①④
思考： ② ③
②④
③
④
②B
D
C
①
①
③④
①
5
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:CE=ED
A
C
D
B'
E
B
9
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E在 AC上，D 在BA的延长线上，
AD=AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
D
A
E
B
C
10
添加辅助线思路
图中AR这条线段的引出可以看成是： 1 ．过A点作DE的平行线． 2 ．过A点作BC的垂线． 3 ． ∠BAC的角平分线． 4 ． BC边的中线．
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
8
例1.已知AB′=AB，E为BB′的中点，
EC⊥AB′, ED ⊥AB.
15
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
16
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
17
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
BD
C
∴
∠BAD=∠CA
AD⊥BC
D------------- ----------------
3.等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----A---D--⊥----B--C------
∴
∠BAD=∠CAD BD=CD
------------- ----------------
只要证DB=DE即可
13
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
D
B
C
14
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---Leabharlann --D-------一题多解
B
D A
E RF C
11
添加辅助线思路
图中AP这条线段的引出可以看成是：
D
1 ．过A点作BC 的平行线． 2 ．过A点作DE的垂线．
AP
3 ．作∠DAC的角平分线．
E
4 ．作DE边的中线．
B
C
12
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
1
A
复习回顾:
等腰三角形有哪些性质?
BD
C
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在
的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”）
2
三线合一基本图形
3
等腰三角形三线合一性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
19
这节课你有那些收获?
20
求证:
?
6
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
7
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
A
E3 B
2
D
1
C
18
1、当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质，
但表达要规范； 2、当题目中没有出现等腰三角形时， 要善于发现“补形”的条件：是否能 产生“两线合一”的情境？
3、应用“三线合一基本图形”是一个重 要 的解题策略，为我们解决问题又提 供了一种手段。
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在△ABC中,对于以下四个条件
①AB=AC或（∠B=∠ C）
② ∠BAD=∠CAD
A
③ AD⊥BC
④ BD=CD
我们已经知道了 ① ②
①③ ①④
思考： ② ③
②④
③
④
②B
D
C
①
①
③④
①
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在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:CE=ED
A
C
D
B'
E
B
9
例3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC, E在 AC上，D 在BA的延长线上，
AD=AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
D
A
E
B
C
10
添加辅助线思路
图中AR这条线段的引出可以看成是： 1 ．过A点作DE的平行线． 2 ．过A点作BC的垂线． 3 ． ∠BAC的角平分线． 4 ． BC边的中线．
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
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例1.已知AB′=AB，E为BB′的中点，
EC⊥AB′, ED ⊥AB.
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在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
16
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
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练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
BD
C
∴
∠BAD=∠CA
AD⊥BC
D------------- ----------------
3.等腰三角形的底边上的高线也是顶角平分线、底边上的中线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----A---D--⊥----B--C------
∴
∠BAD=∠CAD BD=CD
------------- ----------------
只要证DB=DE即可
13
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
D
B
C
14
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
DC
求证: E
证明:延长△ABC的中线AD至E点,使DE=AD,连接CE.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---Leabharlann --D-------一题多解
B
D A
E RF C
11
添加辅助线思路
图中AP这条线段的引出可以看成是：
D
1 ．过A点作BC 的平行线． 2 ．过A点作DE的垂线．
AP
3 ．作∠DAC的角平分线．
E
4 ．作DE边的中线．
B
C
12
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
1
A
复习回顾:
等腰三角形有哪些性质?
BD
C
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在
的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”）
2
三线合一基本图形
3
等腰三角形三线合一性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
19
这节课你有那些收获?
20
求证:
?
6
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
7
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.