【北师大版】七年级数学下册《三线合一”解题的六种技巧》专题试题(附答案)

北师⼤版七下第⼆章相交线、垂线、三线⼋⾓知识点加练习相交线、垂线、三线⼋⾓（⼀）概念知识点：⼀、邻补⾓与对顶⾓两直线相交所成的四个⾓中存在⼏种不同关系的⾓，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶⾓是成对出现的，对顶⾓是具有特殊位置关系的两个⾓；⑵如果∠α与∠β是对顶⾓，那么⼀定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不⼀定是对顶⾓⑶如果∠α与∠β互为邻补⾓，则⼀定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不⼀定是邻补⾓。

⑶两直线相交形成的四个⾓中，每⼀个⾓的邻补⾓有两个，⽽对顶⾓只有⼀个。

⼆、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个⾓中，有⼀个⾓是直⾓时，就说这两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，它们的交点叫做垂⾜。

符号语⾔记作：如图所⽰：AB ⊥CD ，垂⾜为O⑵垂线性质1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直。

⑶垂线性质2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

三、垂线的画法：⑴过直线上⼀点画已知直线的垂线；⑵过直线外⼀点画已知直线的垂线。

注意：①画⼀条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过⼀点作线段的垂线，垂⾜可在线段上，也可以在线段的延长线上。

四、点到直线的距离直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。

PO 是垂线段。

PO 是点P 到直线AB 所有A B C DOP AB O线段中最短的⼀条。

现实⽣活中开沟引⽔，牵⽜喝⽔都是“垂线段最短”性质的应⽤。

五、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近⽽⼜相异的概念⑴垂线与垂线段区别：垂线是⼀条直线，不可度量长度；垂线段是⼀条线段，可以度量长度。

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。

即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系 【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，构造两个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质.4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

（4）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（5）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连D C BAED F CB A线，出一对全等三角形。

北师大版数学七年级下册解答题专题训练50题含答案51．如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ．求证：∠ABC ∠∠DEF ．【答案】见解析【分析】首先求出BC ＝EF ，进而利用全等三角形的判定定理AA S 证明两个三角形全等． 【详解】证明：∠BF ＝EC ， ∠BF +CF ＝EC +CF ， ∠BC ＝EF ，在∠ABC 和∠DEF 中， B E BC A D EF ∠=∠⎧⎪⎨⎪==∠⎩∠， ∠∠ABC ∠∠DEF （AA S ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，熟练运用全等三角形的判定定理进行解答． 52．先化简，再求值．已知x 2﹣5x ﹣14=0，求（x ﹣1）（2x ﹣1）﹣（x+1）2+1的值． 【答案】15【详解】试题分析：先根据整式的乘法计算，然后合并同类项，再整体代入化简即可． 试题解析：解：（x ﹣1）（2x ﹣1）﹣（x+1）2+1 =2x 2﹣3x+1﹣x 2﹣2x ﹣1+1 =x 2﹣5x+1当x 2﹣5x ﹣14=0时，即x 2﹣5x=14， 则原式=14+1=15．考点：整式的乘法，完全平方公式53．（1）先化简，再求值：(2x ＋3)(2x －3)－2x(x ＋1)－ (x －1)2，其中x=－1 （2）已知，．求的值．【答案】（1）-9；（2）11．【详解】试题分析：（1）首先运用平方差公式、乘法分配原则及完全平方公式进行乘法运算，去掉括号，然后合并同类项，再把x 的值代入求值即可．=；（2）把所给代数式进行幂的乘方、同底数幂的乘法运算，再把所给条件代入即可求值． 试题解析：（1）原式=4x 2-9-2x 2-2x -x 2+2x -1 =x 2-10当x=-1时，原式=1-10=-9．(2)()()()33332423363·m n m n m n m n m n a b a b a b a b a b +-⋅⋅⋅=+- 333323()()?m n m n a b a b =+-当，时，原式=33+2-32×2=11．考点：1．整式的混合运算—化简求值；2．幂的乘方；3．同底数幂的乘法． 54．计算： （1）（2）22(2)()(3)5x y x y x y y +-+--，【答案】（1）9．（2）-2x 2+2xy ．【详解】试题分析：（1）平方差公式展开后去括号合并同类项即可；（2）利用完全平方公式、多项式乘以多项式展开后去括号合并同类项即可． 试题解析：（1）原式=；原式=2222224433522x xy y x xy xy y y x xy =++-+-+-=-+考点：整式的乘法．55．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线m n ∥，两点H 、T 在m 上，HE n ⊥于E ，TF n ⊥于F ，则HE TF =．如图2，已知直线m n ∥，A 、B 为直线n 上的两点，C 、D 为直线m 上的两点．(1)请写出图中面积相等的各对三角形：__________．(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：_______与ABC 的面积相等；理由是：___________．【答案】(1)ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO (2) ABD △ 同底等高的两个三角形，面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿ABC 与ABD △为例：两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．【详解】（1）有三对分别是：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ， 分析如下：ABC 和ABD △，两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；DCA △和DCB △，两个三角形以CD 为底，高相等，即面积相等；ACO △和DBO ，根据DCA △和DCB △面积相等，两个三角形同时减去CDO ，得ACO△和DBO 面积相等．故答案为：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：ABD △与ABC 的面积相等，理由是：同底等高的两个三角形，面积相等；分析如下：ABD △与ABC 同底，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置，点D 到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，面积相等． 故答案为：ABD △，同底等高的两个三角形，面积相等【点睛】本题考查平行线间的距离处处相等，解题的关键是读懂题意，答案全面． 56．如图，AB∠CD ，EM 是∠AMF 的平分线，NF 是∠CNE 的平分线，EN ，MF 交于点O.（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，∠E= °，∠F= °，∠MON= °；（2）指出∠E，∠F与∠MON之间存在的等量关系，并证明．57．已知（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m =（x －y ）12，求（4m 2+2m+1）－2（2m 2－m －5）的值． 【答案】43【详解】试题解析：313412()()()()()()m m m x y x y x y x y x y x y +++⋅⋅===－－－－－－， 4128m m ∴+==，．22(421)2(25),m m m m ++--- 22421(4210),m m m m =++---224214210,411.m m m m m =++-++=+当8m =时，原式481143.=⨯+= 58．计算：(1)022*********(23)()()(4)24---+⨯-； (2) 432105222()(2)a a a a a -+-÷；点睛：本题主要考查整式的混合运算、负整数指数幂和零指数幂的知识点，熟练掌握实数以内的各种运算按法则，是解题的关键．59．已知：如图，BC ，AD 分别垂直于OA ，OB ，BC 和AD 相交于点E ，且OE 平分∠AOB ，已知CE ＝3 cm ，∠A ＝30°，试求EB 的长．【答案】6 cm.【详解】【分析】由角平分线的性质可得CE=DE ，然后利用ASA 证明∠ACE∠∠BDE ，进而可得AE=BE ，根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半可求得AE 长，继而可得BE 长.【详解】∠BC ，AD 分别垂直于OA ，OB ，OE 平分∠AOB ，∠CE ＝DE ，在∠ACE 和∠BDE 中， 90AEC BEDCE DEACE BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∠∠ACE∠∠BDE(ASA)， ∠AE ＝BE，∠CE ＝3 cm ，∠A ＝30°， ∠AE ＝2CE ＝2×3＝6(cm)， ∠EB ＝6 cm.【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，结合图形熟练应用相关的性质和定理是解题的关键. 60．我们规定一种运算：a b ad bc c d=-．例如242534235=⨯-⨯=-，35935x x -=+．按照这个规定，当x 取何值时12021x x x x ++=-+．61．先化简，再求值：()()()()2233322x y x x y x y x y +++-+-，其中x =1，y =-2 【答案】2232110x xy y ++，1【分析】先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把x 和y 的值代入计算． 【详解】解：原式=4x 2+12xy +9y 2+3x 2+9xy -4x 2+y 2 =3x 2+21xy +10y 2 当x =1，y =-2时 原式=3-42+40=1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算． 62．如图所示，11//,,44AB CD EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠.求证：34AFC AEC ∠=∠【答案】详见解析【分析】连接AC ，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案． 【详解】证明：连接AC ，63．如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点.BF CE ⊥于点F ，交CD 于点G ，AH CE ⊥的延长线于点H ，交CD 的延长线于点M .（1）求证：AE CG =； （2）求证：222ABCBF AH S+=.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）是一线三等角模型，一线三等角必有全等，第一问很容易求出来；（2）利用第一问的结论和勾股定理，第二问也很容易求出来. 【详解】证明：（1）∠AC BC =，D 为AB 中点 ∠CD 平分ACB ∠∠45BCD ACD CAB ∠=∠=∠=︒ ∠90CBF BCF ACE BCF ∠+∠=∠+∠=︒ ∠CBF ACE ∠=∠ 在ACE △和CBG 中ACE CBG AC CBCAE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()ACE CBG ASA ≅ ∠AE CG =（2）在ACH 和CBF 中ACH CBF AHC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ACH CBF AAS ≅ ∠CH BF = ∠222CH AH AC += ∠222BF AH AC += ∠AC CB = ∠22ACBAC AC CB S == 所以222ACBBF AH S+=【点睛】掌握一线三等角模型是解题的关键.64．化简求值：已知x ，y 满足：x 2+y 2﹣4x +6y +13＝0．求代数式[（3x ﹣y ）2﹣4（2x +y ）（x ﹣y ）﹣（x ﹣3y ）（x +3y ）]÷（﹣12y ）的值． 【答案】﹣28y +4x ，92．【分析】先把已知方程转化成两个非负数的和，利用分负数的性质求出x 、y 的值，再根据65．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一直线上，12∠=∠，BC EF =，//AB DE .求证：ABC DEF ∆≅∆.【答案】见解析【分析】由//AB DE 可得∠B=∠E ，然后根据“ASA”即可证明ABC DEF ∆≅∆． 【详解】∠//AB DE ， ∠∠B=∠E ，在∠ABC 和∠DEF 中， ∠∠B=∠E ，BC EF =，12∠=∠，∠ABC DEF ∆≅∆．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．66．如图，等边ABC 中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE ，连接BE ．（1）求证：AD BE =；（2）已知8AC =，求点C 到BE 之间的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明∠ACD∠∠BCE ，可得AD=BE ；（2）由（1）的结论可知C 到BE 的距离和C 到AD 的距离相等，可求得C 到BE 的距离．【详解】（1）证明：∠∠ABC 和∠CDE 为等边三角形，∠CD=CE ，AC=BC ，∠ACB=∠DCE=60°，∠∠ACD=∠BCE ，在∠ACD 和∠BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD∠∠BCE （SAS ），∠AD=BE ；（2）解：由（1）可知∠ACD∠∠BCE ，∠S △ACD =S △BCE ，设C 到BE 的距离为h ，则67．知识延展：三角形的一边和另一边的反向延长线组成的角叫三角形的外角，如∠ACD是三角形的外角．容易说明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，如图可得：∠ACD=∠A十∠B．请你用所学的知识和延展知识解决如下问题：(1)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∠CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小：(2)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC 的大小；(3)如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC、∠ADC、∠ABC之间是否存在某种等量关系？若存在，请你得出结论，说明理由；若不存在，请说明理由．是EFC的外角，∠+∠AEC∠-∠CFA如下图所示，设BC与是EFC的外角，∠+∠AEC68．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n 边形()4n ≥木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【答案】3根木条；()3n -根木条． 【分析】要使六边形不变形，即需要在内部放入木条，使其变成多个三角形.寻找规律，从四边形需要一根，五边形需要两根，六边形需要三根，同理则n 边形需要多少很容易得出规律了.【详解】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条； 要使一个n 边形木架不变形，至少再钉上()3n -根木条．【点睛】本题考查三角形的基本概念以及探索规律的能力，熟记三角形具有稳定性是解答本题的关键.69．如图，ABC 与DCB △中，AC 与BD 交于点E ，且A D ∠=∠，ABC DCB ∠=∠．(1)求证：AE DE =；(2)当56AEB ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】(1)见解析=︒5628题目主要考查全等三角形的判定和性质，70．已知∠ABC，点P在射线BA上，请根据“同位角相等，两直线平行”，利用直尺和圆规，过点P作直线PD平行于BC．（保留作图痕迹，不写作法．）【答案】作图见解析.【详解】试题分析：在AB的同侧作∠APD=∠B，则PD∠BC.作图如下：第一步：第二步：第三步：考点：作一个角等于已知角.71．阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∠x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∠（x+3）2≥0，∠（x+3）2﹣6≥﹣6，∠x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）代数式﹣x2﹣2x有最（填“大”或“小”）值为；（3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小：（4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）﹣2，1；（2）大，1；（3）x2﹣1＞2x﹣3；（4）当花圃的宽为10m，长为20m 时花圃面积最大，最大面积为200m2【分析】（1）将原式配方即可；（2）将原式配方即可判断；（3）先做差，然后配方，判断配方后的式子大于0即可；（4）设矩形花圃的宽为x m，则长为（40-2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，根据函数的性质求最值．【详解】解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，故答案为：-2，1；（2）∠-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1，又∠（x+1）2≥0，∠-（x+1）2≤0，∠-（x+1）2+1≤1，∠-x2-2x的最大值为1，故答案为：大，1；（3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1，∠（x-1）2≥0，∠（x-1）2+1≥1＞0，∠x 2-1＞2x -3；（4）设矩形花圃的宽为x m ，则长为（40-2x ）m ，∠矩形的面积S =（40-2x ）x =-2x 2+40x =-2（x 2-20x ）=-2（x -10）2+200，∠（x -10）2≥0，∠-（x -10）2≤0，∠-（x -10）2+200≤200，∠当x =10时，S 有最大值200（m 2），此时，40-2x =20（m ），∠当花圃的宽为10m ，长为20m 时花圃面积最大，最大面积为200m 2．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．72．如图，平面直角坐标系中，已知点(1,4)A ，(1,1)B ，()3,2C ．(1)请作出ABC ；(2)请作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(3)求ABC 的面积．(3)ABC 的面积为【点睛】本题考查作图-轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．73．如图，DE∠AB于E，DF∠AC于F，若BD=CD，BE=CF.（1）写出图中所有的全等三角形.（2）求证：AD平分∠BAC．（3）在这个图中，找出两个三角形，满足两组边及一组非夹角对应相等，但这两个三角形不全等.【答案】（1）∠BED∠∠CFD，∠AED∠∠AFD；（2）证明见解析；（3）∠ABD和∠ACD.【分析】（1）利用HL可得∠BED∠∠CFD，根据全等三角形的性质可得DE=DF，利用HL 可得∠AED∠∠AFD，即可得答案；（2）根据∠AED∠∠AFD即可得∠EAD=∠FAD，即可的答案；（3）由BD=CD，AD=AD，∠EAD=∠FAD，∠ABD与∠ACD不全等即可得答案.【详解】（1）∠DE∠AB，DF∠AC∠BD=CD，BE=CF，∠∠BED∠∠CFD(HL)，∠DE=DF，又∠AD=AD，∠∠AED∠∠AFD，∠图中所有的全等三角形有∠BED∠∠CFD，∠AED∠∠AFD.（2）∠∠AED∠∠AFD，∠∠EAD=∠FAD ，∠AD 平分∠BAC.（3）∠∠AED∠∠AFD ，∠BED∠∠CFD ，∠S △AED =S △AFD ，S △BED ∠S △CFD ，∠S △ABD =S △AED -S △BED ，S △ACD =S △AFD +S △CFD ，∠∠ABD 与∠ACD 不全等∠BD=CD ，AD=AD ，∠EAD=∠FAD ，∠∠ABD 和∠ACD 满足两组边及一组非夹角对应相等，但这两个三角形不全等.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．注意：AAA 和SSA 不能判定两个三角形全等，两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握判定定理是解题关键. 74．阅读下列材料，并完成相应的任务：杨辉三角我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，给出了二项式()na b +的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示 ()1n a b += 1()a b a b +=+222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b…任务：（1）通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依为_______、_______、_______； （2）请直接出()4a b +的展开式：()4a b +=_______．（3）根据（2）中的规律，求421的值，写出计算过程． 【答案】（1）4、6、4；（2）a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；（3）214=194481．【分析】（1）从每行的数字个数和数字之和可得规律；；（2）根据杨辉三角规律，写出（a +b ）4的展开式即可；（3）把214变形为（20+1）4，利用（2）的结果计算即可．【详解】（1）通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为4、6、4；（2）根据题意得：（a +b ）4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；故答案为：（1）4、6、4；（2）a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4；（3）214=（20+1）4=204+4×203+6×202+4×20+1=160000+32000+2400+80+1=194481．【点睛】此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清杨辉三角中的数字排列规律是解本题的关键．75．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O 按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD =35°，则∠AOC= ．如图（2）若∠BOD =35°，则∠AOC= ．（2）猜想∠AOC 与∠BOD 的数量关系，并结合图（1）说明理由．（3）三角尺AOB 不动，将三角尺COD 的OD 边与OA 边重合，然后绕点O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD （0°＜∠AOD ＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．（填空）（3） 当 ∠ 时，∠AOD = ．当 ∠ 时，∠AOD = ．当 ∠ 时，∠AOD = ．当 ∠ 时，∠AOD = ．【答案】（1）145，145；（2）详见解析；（3）详见解析.（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC 【分析】的度数；根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;（2）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（3）分别利用OD∠AB、CD∠OB、CD∠AB、OC∠AB分别求出即可．【详解】解：（1）若∠BOD=35°，∠∠AOB=∠COD=90°，∠∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°；如图2，若∠BOD=35°，则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD=360°-35°-90°-90°=145°；（2）∠AOC与∠BOD互补．∠∠AOB=∠COD=90°，∠∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∠∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∠∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补．（3）当AB ∠ OD 时，∠AOD = 30° ．76．在前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来进行验证，请结合下列两组图形回答问题：图∠说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成.图∠说明：边长为()a b +的正方形的面积分割成如图所示的四部分.（1）请结合图∠和图∠分别写出学过的两个乘法公式：图∠：____________，图∠：____________；（2）请利用上面的乘法公式计算：∠2201820192017-⨯；∠21001 【答案】（1）()()22a b a b a b +-=-，()2222a b a ab b +=++；（2）∠1；∠1002001. 【分析】（1）由图∠中阴影部分面积不变，即可得出乘法公式；依据图∠中大正方形的面积的表示方法，即可得出乘法公式；（2）∠依据平方差公式进行计算即可；∠依据完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）由图∠可得：（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；由图∠可得：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2．故答案为（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；（a +b ）2=a 2+2ab +b 2；（2）∠20182﹣2019×2017=20182﹣（2018+1）×（2018﹣1）=20182﹣20182+1=1；∠10012=（1000+1）2=10002+2×1000×1+12=1002001．【点睛】本题考查了平方差公式以及完全平方式的几何背景和应用，正确表示出各部分面积是解题的关键．77．先化简，再求值：()()()()()12211ab ab ab ab ab +--+-÷-⎡⎤⎣⎦，其中32a =，43b =-.78．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．(1)根据下列所示图形写出一个代数恒等式；(2)利用(1)中的结论，求:当(x -100)(200-x)＝1995时，(2x -300)2的值；(3)已知正数a、b、c和m、n、l，满足a+m=b+n=c+l=k，试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn<k2【答案】（1）4ab=（a+b）2-（a-b）2；（2）2020；（3）见解析【分析】（1）利用面积分割法，可求阴影部分面积，各部分用代数式表示即可；（2）令a=x-100，b=200-x，可得7980=（a+b）2-（a-b）2，代入化简可得7980=1002-（2x-300）2，即可得出结果；（3）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有边长是a、l；b、m；c、n的长方形，通过画成的图可发现，al+bm+cn＜k2．【详解】解：（1）由图可得，4ab=（a+b）2-（a-b）2；（2）∠(x-100)(200-x)＝1995，∠4(x-100)(200-x)＝7980，,令a=x-100，b=200-x，∠4ab=7980，∠4ab=（a+b）2-（a-b）2，∠7980=（a+b）2-（a-b）2=（x-100+200-x）2-（x-100-200+x）2=1002-（2x-300）2，∠(2x-300)2=1002-7980=2020；（3）构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然a+m=b+n=c+l=k，根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，故al+bm+cn＜k2．【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．79．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图∠，当∠BOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图∠，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出∠DOE的度数（不必写过程）．80．计算：（1）234()()()a a a -⋅-⋅-；（2）724()()x x x -⋅-⋅；（3）345()()()a b b a a b -⋅-⋅-；（4）214222n n ++⨯-⨯． 【答案】（1）原式9a =；（2）原式13x =-；（3）原式12()a b =-；（4）原式232n +=⨯．【详解】试题分析：按照同底数幂的运算法则进行运算即可.试题解析：（1）原式()()2349a a a a =-⋅-⋅=． （2）原式72413x x x x =-⋅⋅=-．（3）原式()()()()34512a b a b a b a b =-⋅-⋅-=-．（4）原式2212222n n ++=⨯-⨯ 4222n n ++=- ()22221n +=- 232n +=⨯． 81．如图所示，分别延长ABC ∆的中线,BD CE 到点,F G ，使,E DF BD G CE ==. 求证：三点,,G A F 在一条直线上．【答案】详见解析【分析】易证∠AEG∠∠BEC ，∠ADF∠∠CDB ，根据全等三角形对应角、对应边相等的性质，可得∠F=∠CBD ，∠G=∠BCE ，继而可得AF∠BC ，AG∠BC ，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行即可得出结论．【详解】证明：在∠AEG 和∠BEC 中，EG=EC AEG=BEC AE=BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠∠AEG∠∠BEC ，（SAS ）∠∠BCE=∠G ，∠AG∠BC ，在∠ADF 和∠CDB 中，DF=DB ADF=CDB AD=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠∠ADF∠∠CDB ，（SAS ）∠∠DBC=∠F ，∠AF∠BC ，∠AF ，AG 都经过点A ，∠G 、A 、F 在一条直线上【点睛】本题考查全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证∠AEG∠∠BEC 和∠AEG∠∠BEC 是解题的关键．也考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．82．如图，∠ABC 的三个顶点均在格点处．(1)过点B 画AC 的垂线BD ；(2)过点A 画BC 的平行线AE ．（请用黑水笔描清楚）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)过点B 作格点直角三角形与以AC 为斜边的直角格点三角形全等，即可画得；(2)过点A 画正方形的对角线，即可画得．（1）解：画图如下：（2）解：画图如下：【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．83．计算：(1)()()222236ab a c ab --÷ (2)2202020192021-⨯（用简便方法计算）(3)()()228x y x y y x +-+-(4)()()()()()3323233b a b a a b a b a b a ⎡⎤--++--÷-⎣⎦．84．如图，已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点O,M，射线OP在∠AOE的内部，且OP∠EF，垂足为O，∠AOP=30°．（1）若∠CME=120°，问AB和CD平行吗？为什么？（2）若直线AB∠CD,求∠EMD的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）60°.【分析】（1）结论：AB∠CD ，想办法证明∠AOE=∠CME=120°即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【详解】（1）结论：AB∠CD ．理由：∠OP∠OE ，∠∠POE=90°，∠∠AOP=30°，∠∠AOE=120°，∠∠AME=120°，∠∠AOE=∠CME ，∠AB∠CD ．（2）∠AB∠CD ，∠∠EMD=∠EOB ，∠∠EOB=180°-∠1OE=60°，∠∠EMD=60°．【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 85．已知：a b 1+=，ab 2=-，且a b >，求22a b +，22a b -的值．【答案】3．【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求．【详解】把a b 1+=两边平方得：2(a b)1+=，即22a b 2ab 1++=，将ab 2=-代入得：22a b 41+-=，即22a b 5+=；222(a b)a b 2ab 549∴-=+-=+=，a b >，即a b 0->，a b 3∴-=，则()()22a b a b a b 3-=+-=．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．86．计算：（1）()1201220182-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （2）()2366x y xy xy -÷87．如图，DE ∠AC ，BF ∠AC ，E ，F 是垂足，DE =BF ，AE =CF ．请写出DC 与AB 之间的关系，并证明你的结论．【答案】DC =AB 且 DC ∠AB ，证明见解析【分析】通过证明DCE BAF ∆≅∆可得结论.【详解】DC =AB 且 DC ∠AB ，证明如下：∵AE =CF ∠AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ∠AC ，BF ∠AC ∠∠DEC =900，∠BF A =900 ，从而∠DEC =∠BF A在DCE ∆与BAF ∆中DE BF DEC BFA CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()DCE BAF SAS ∆≅∆∠DC =AB,C A ∠=∠ 则DC ∠AB故DC =AB 且 DC ∠AB.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．88．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D G ，是BA 延长线上一点，AH 平分GAC ∠．且AH ∠BC ，E 是AC 上一点，连接BE 并延长交AH 于点F ．(1)求证：AB AC ＝；(2)猜想并证明，当E 在AC 何处时，2AF BD ＝． 【答案】(1)见解析(2)当E 在AC 的中点时，2AF BD ＝，证明见解析【分析】（1）AH ∠BC ，得到GAH ABC ∠=∠，HAC C ∠=∠；而AH 是角平分线，GAH HAC ∠=∠，从而证明ABC C ∠=∠，证得ABC ∆为等腰三角形，从而得到结论AB AC =．（2）ABC ∆为等腰三角形，AD BC ⊥，则2BC BD =，要得到题目中的结论2AF BD ＝，只有当BC AF =时即可，要证明BC AF =，可以通过构造全等三角形AEF CEB ∆≅∆，而此时AE CE =，此时E 为AC 中点，才有以上结论成立．【详解】（1）证明：∠AH 平分GAC ∠，∠GAF FAC ∠∠＝，∠AH BC ∥，∠GAF ABC ∠∠＝，FAC C ∠∠＝，∠ABC C ∠∠＝，∠AB AC ＝．（2）当E 在AC 的中点时，2AF BD ＝理由：∠AB AC ＝，AD BC ⊥，∠BD DC ＝，∠AF BC ∥，∠FAE C ∠∠＝∠AEF CEB ∠∠＝，AE EC ＝在AEF ∆和CEB ∆中，FAE C AE ECAEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()AEF CEB ASA ∆≅∆，∠2AF BC BD ＝＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．89．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠BDE CDA ∆∆≌（依据一），∠BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）， ∠2AB AC AD +>．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：___________；依据2：___________．(2)如图3，610AB AC ==，，则AD 的取值范围是___________；(3)如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)SAS ，三角形任意两边之和大于第三边(2)28AD <<(3)2EF AD =，见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系解答即可；（2）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，证明BDE CDA ∆∆≌，得出BE CA =，再利用三角形三边关系可得出答案；（3）延长AD 至点M ，使DM AD =，连接CM ，证明()SAS ABD MCD ≌，得到AB MC ABD DCM =∠=∠，，推出AE CM AB CM =，∥，由180BAC ACM ︒∠+∠=，90BAE CAF ∠=∠=︒，推出EAF ACM ∠=∠，证明()SAS EAF MCA ≌，得到AM EF =，即可得到2EF AD =．【详解】（1）依据1：SAS ；依据2：三角形任意两边之和大于第三边；故答案为：SAS ，三角形任意两边之和大于第三边；（2）解：如图，延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CDBDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠BDE CDA ∆∆≌（SAS ），∠BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>，∠2AC AB AD AB AC -<<+，即1062610AD -<<+，∠28AD <<；故答案为：28AD <<；（3）EF 与AD 的数量关系为2EF AD =．理由如下：如图2，延长AD 至点M ，使DM AD =，连接CM ，∠AD 是中线，∠BD CD =，在ABD △和MCD △中，AD MD ADB MDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS ABD MCD ≌，∠AB MC ABD DCM =∠=∠，，∠AE CM AB CM =，∥，∠180BAC ACM ︒∠+∠=，∠90BAE CAF ∠=∠=︒，∠180EAF BAC ∠+∠=︒，∠EAF ACM ∠=∠，又∠AF AC =，∠()SAS EAF MCA ≌，∠AM EF =，∠2AM AD =，∠2EF AD =．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，不等式的性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．90．【问题发现】如图1，D 是△ABC 边AB 延长线上一点，求证:∠A+∠C=∠CBD ．小白同学的想法是，过点B 作 BE∠AC ，从而将∠A 和∠C 转移到∠CBD 处，使这三个角有公共顶点B ，请你按照小白的想法，完成解答；【问题解决】在上述问题的前提，,如图3，从点B 引一条射线与∠ACB 的角平分线交于点F ，且∠CBF=∠DBF ，探究∠A 与∠F 的数量关系．在小白想法的提示下，小黑同学也想通过作平行线将∠A 或∠F 的位置进行转移，使两角有公共顶点,，请你根据小黑的想法或者学过的知识解决此问题．91．如图∠AOB＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O处．转动三角板（其中OC边始终在∠AOB内部），OE始终平分∠AOD．（1）【特殊发现】如图1，若OC边与OA边重合时，求出∠COE与∠BOD的度数．（2）【类比探究】如图2，当三角板绕O点旋转的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），∠COE与∠BOD的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，在转动三角板的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），若OP 平分∠COB，请画出图形，直接写出∠EOP的度数（无须证明）.92．如图，在△ABC中，CE为三角形的角平分线，AD∠CE于点F交BC于点D(1) 若∠BAC＝96°，∠B＝28°，直接写出∠BAD＝__________°(2) 若∠ACB＝2∠B∠ 求证：AB＝2CF∠ 若EF＝2，CF＝5，直接写出BDCD＝__________966234-=AH∠BC，交CE的延长线于DFC=90ASA），为直线m上两点．93．如图，直线m n，A B，为直线n上两点，C P，，，点P在直线m上移动，那么不论点P移动到何处，总有_____（1）如果固定点A B C与ABC的面积相等，理由是_________________．（2）如果P处在如图所示位置，请写出另外两对面积相等的三角形：∠_________________；∠_________________．△与PBC；∠OAC与OBP【答案】（1）PAB，同底等高；（2）∠PAC【分析】（1）根据m∠n证得m、n之间的距离处处相等，利用同底等高证得∠ABP与∠ABC 的面积相等；（2）利用（1）的等量减去等量∠AOB的方法即可得到答案.【详解】（1）∠m∠n，∠m与n之间的距离处处相等，∠根据同底等高得到∠ABP与∠ABC的面积相等，故答案为：PAB，同底等高；（2）∠∠PAB与∠ABC的面积相等，∠S△PAB-S△AOB=S△ABC-S△AOB，∠S△OAC=S△OBP；△与PBC的面积相等，根据同底等高得：PAC△与PBC，OAC与OBP.故答案为：PAC【点睛】此题考查平行线的性质：平行线间的距离处处相等，由此得到三角形面积间的等量关系.94．如图，在等腰Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝∠CAB ，AC ＝BC ．点D 在CB 的延长线上，BD ＝CB ．DF∠BC ，点E 在BC 的延长线上，EC ＝FD ．（1）如图1，若点E 、A 、F 三点共线，求证：∠FAB ＝∠FBA ；（2）如图2，若线段EF 与BA 的延长线交于点M ，求证：EM ＝FM ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）连接BF ，求出∠ACE∠∠BDF ，推出∠EAC ＝∠FBD ，再由∠FAB ＝180°﹣∠EAC ﹣∠CAB ，∠FBA ＝180°﹣∠FBD ﹣∠CBA ，由已知∠CAB ＝∠ABC 即可得结论；（2）如图2，连接FB ，EA ，延长BM ，分别过点E ，F 作BM 的垂线，垂足分别为P ，Q ，由（1）得∠ACE∠∠BDF ，AE ＝BF ，∠EAP ＝∠FBQ ，可推出∠EAP∠∠FBQ ，则PE ＝FQ ，再由∠EMP∠∠FMQC 即可得结论./【详解】证明：（1）连接BF ，∠AC ＝BC ，BC ＝BD ，∠AC ＝BD ，∠DF∠BC ，∠∠ACB ＝∠D ＝∠ACE ＝90°，在∠ACE 和∠BDF 中，∠ EC FD ACE D AC BD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∠∠ACE∠∠BDF （SAS ），∠∠EAC ＝∠FBD ，∠∠FAB ＝180°﹣∠EAC ﹣∠CAB ，∠FBA ＝180°﹣∠FBD ﹣∠CBA ，∠∠CAB ＝∠ABC ，∠∠FAB ＝∠FBA ；（2）如图2，连接FB ，EA ，延长BM ，分别过点E ，F 作BM 的垂线，垂足分别为P ，Q ，同理得：∠EAC∠∠FBD ，∠AE ＝BF ，同理可知：∠EAP ＝∠FBQ ，在∠EAP 和∠FBQ 中，EPA FQB EAP FBQ EA FB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝， ∠∠EAP∠∠FBQ （AAS ），∠PE ＝FQ ，在∠EMP 和∠FMQ 中，EPM FQM EMP FMQ EP FQ ＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∠∠EMP∠∠FMQ （AAS ），∠EM ＝FM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形.95．（1）2ab •（﹣14b 3） （2）利用整式乘法公式计算：（m +n ﹣3）（m +n +3）（3）先化简，再求值：（2xy ）2﹣4xy （xy ﹣1）+（8x 2y +4x ）÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝﹣12。

专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C=180°−∠BAC2=180°−100°2=40°；∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝100°，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．【详解】解：∵DE垂直且平分AB，∴AD＝BD，∵△BDC的周长为22∵BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝22，∵BC＝10，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【详解】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴AD=BC2=BD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠B=∠DAF=45°BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【详解】证明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，∴AF＝FC=12AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，△BAE和△F AE中{AB=AF∠BAD=∠CADAE=AE，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE与△ADC中，{∠ABE=∠DAC∠BAE=∠ACDAE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．题型六 利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B ＝2∠C ，试说明：AB +BD ＝CD ．【详解】解：在CD 上取一点E 使DE ＝BD ，连接AE ．∵AD ⊥BC ，∴△ABE 是等腰三角形，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB ，∵∠B ＝∠AEB ＝2∠C ，又∵∠AEB ＝∠C +∠EAC ，∴∠EAC ＝∠C ，∴AE ＝EC ；∴CD ＝DE +EC ＝AB +BD ．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF ．求证：∠ADC ＝∠BDF ．【详解】证明：作BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G ，如图所示：∵∠CBG ＝90°，CF ⊥AD ，∴∠CAD +∠ADC ＝∠BCG +∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCG ，在△ACD 和△CBG 中，{∠CAD =∠BCGAC =BC ∠ACD =∠CBG =90°，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，∠CDA ＝∠CGB ，∵CD ＝BD ，∴BG ＝BD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝∠GBF =12∠CBG ，在△BFG 和△BFD 中，{BG =BD∠FBD =∠GBF BF =BF，∴△BFG ≌△BFD （SAS ），∴∠FGB ＝∠FDB ，∴∠ADC ＝∠BDF ．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．【点睛】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证；（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB＝4．【详解】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF，∵CD＝CB，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．（2）解：由（1）得BF＝DE，∵CE＝CF，CA＝CA，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE，∵AE＝6，DE＝2，∴AB＝4．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．【详解】解：PD+PE＝CM，证明：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB×PD+12AC×PE=12×AB×（PD+PE），∵S△ABC=12AB×CM，∴PD+PE＝CM．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵直线ME垂直平分AB，∴BM＝AM，∴∠B＝∠MAB＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，同理可得：∠ANM＝60°．∴∠MAN＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．即AM＝AN＝MN，又∵BM＝AM，CN＝AN，∴BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5．（1）求线段EF 的长；（2）求四边形AFDE 面积．【详解】解：（1）连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠C ＝45°，∵∠EDA +∠ADF ＝90°，又∵∠CDF +∠ADF ＝90°，∴∠EDA ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，{∠EDA =∠FDCAD =CD ∠EAD =∠C，∴△AED ≌△CFD （ASA ）．∴AE ＝CF ＝5．∵AB ＝AC ，∴BE ＝AF ＝12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝90°，∴EF 2＝AE 2+AF 2＝52+122＝169， ∴EF ＝13；（2）由（1）知△AED ≌△CFD ，所以S 四边形AFDE ＝S △AFD +S △AED ＝S △AFD +S △CFD ＝S △ADC =12S △ABC=12×12AB 2=14（12+5）2=2894．。

类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.试说明：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，试说明：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为( )A．3B．4C．5D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.试说明：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，且CE＝BF，试说明：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD.8．★如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)试说明：PD＝DQ；[提示：过点P作PF∥BC交AC于点F](2)若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．42．解：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵AE＝AF，AD＝AD，∴△AED ≌△AFD (SAS)，∴DE ＝DF .3．解：过点E 作EF ⊥AC 于F ，∴∠AFE ＝90°.∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B 5．解：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．解：连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB .又∵CE ＝BF ，∴△ECD ≌△FBD (AAS)，∴DE ＝DF .7．解：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD ＝12∠ABC .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ，∴∠DEC ＝180°－∠BED ＝180°－108°＝72°.∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°，∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°－∠ABD －∠A ＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE ＝180°－∠ADB －∠EDB ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC .过点C 作CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠CFE ＝90°.∵∠CDF ＝∠CEF ，CF ＝CF ，∴△CDF ≌△CEF ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．解：(1)过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠A ＝∠AFP ＝∠APF ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝PA ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，构造两个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质.4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

（4）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（5）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连D C BAED F CB A线，出一对全等三角形。

北师大版七年级数学下册专题训练（附答案解析）说明：本专题训练包含4个专题难点探究专题：全等三角形中的动态问题类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法解题技巧专题：乘法公式的灵活运用难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB 于N点．P是直线MN上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA ＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB ＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE；(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三 全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD 与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE . (2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法◆类型一 利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且∠ABE ＝∠ABC.若BE ＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF.试说明：DE ＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，试说明：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.试说明：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，且CE＝BF，试说明：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC 交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD.8．★如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)试说明：PD＝DQ；[提示：过点P作PF∥BC交AC于点F](2)若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．42．解：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .又∵AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS)，∴DE ＝DF .3．解：过点E 作EF ⊥AC 于F ，∴∠AFE ＝90°.∵EA ＝EC ，∴AF＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．解：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．解：连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB.又∵CE＝BF，∴△ECD≌△FBD(AAS)，∴DE＝DF.7．解：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，∴∠DEC＝180°－∠BED＝180°－108°＝72°.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－∠ABD－∠A＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC.过点C作CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFE＝90°.∵∠CDF＝∠CEF，CF＝CF，∴△CDF≌△CEF，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC ＝AB＋CD.8．解：(1)过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝∠APF＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝P A＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝1 2.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法◆类型一含一个拐点的平行线问题1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD 的度数为()A．140° B．130° C．120° D．110°第1题图第2题图2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD 的度数为()A．20° B．30° C．40° D．70°3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋∠2＋∠3＝________°.第3题图第4题图4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】◆类型二含两个或多个拐点的平行线问题6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为()A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°第6题图第7题图7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：(1)如图①，∠1＋∠2＝________；(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．参考答案与解析1．B 解析：过点C 向右作CG ∥AB ，由题意可得AB ∥EF ∥CG ，∴∠B ＝∠BCG ，∠GCD ＝90°，则∠BCD ＝40°＋90°＝130°.故选B.2．B 解析：如图，过点C 作CF ∥DE ，则AB ∥DE ∥CF ，∴∠BCF ＝∠ABC ＝70°，∠CDE ＋∠DCF ＝180°，∴∠DCF ＝180°－∠CDE ＝180°－140°＝40°，∴∠BCD ＝∠BCF －∠DCF ＝70°－40°＝30°.故选B.3．3604．15° 解析：如图，过A 点作AB ∥a ，∴∠1＝∠2.∵a ∥b ，∴AB ∥b ，∴∠3＝∠4＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.5．解：如图①，过点P 作PF ∥AB ，则AB ∥PF ∥CD .∴∠P AB ＝∠APF ，∠PCD ＝∠FPC ，∴∠APC ＝∠APF ＋∠FPC ＝∠P AB ＋∠PCD ；如图②，过点P 作PF ∥AB ，则AB ∥PF ∥CD .∴∠P AB ＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC＝180°，∴∠APC＋∠P AB＋∠PCD＝360°；如图③，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FP A＋∠P AB ＝180°，∠FP A＋∠APC＋∠PCD＝180°，∴∠P AB＝∠APC＋∠PCD；如图④，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FP A＝∠P AB，∠FP A＋∠APC＝∠PCD，∴∠P AB＋∠APC＝∠PCD.6．D解析：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180°－∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－∠2＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选D.7．140解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.8．(1)180°(2)360°(3)540°(4)(n－1)·180°解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°；(2)如图②，过点E作直线EF平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.(3)过点E，F作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，即可得到n个角的和是(n－1)·180°.9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点E，G，M作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5.(2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝右的所有角的度数之和相等．解题技巧专题：乘法公式的灵活运用◆类型一 整体应用1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为________；(2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________．3．计算：(1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2；(2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)．◆类型二 连续应用4．计算：(1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)；(2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)．◆类型三 利用乘法公式进行简便运算5．计算2672－266×268的结果是( )A ．2008B ．1C ．2006D ．－16．利用完全平方公式计算：(1)792;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫30132.7．利用平方差公式计算：(1)802×798; (2)3913×4023.◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求：(1)x 2－xy ＋y 2的值；(2)(x －y )2的值．9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值．参考答案与解析1．B 2.(1)12 (2)±303．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3.(2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2.4．解：(1)原式＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 4－b 4)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 8－b 8)(a 8＋b 8)＝a 16－b 16.(2)原式＝115 (42－1)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115 (44－1)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115 (48－1)(1＋48)(1＋416)＝115 (416－1)(1＋416)＝432－115.5．B6．解：(1)原式＝(80－1)2＝802－2×80×1＋12＝6241；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋132＝302＋2×30×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝92019. 7．解：(1)原式＝(800＋2)(800－2)＝8002－22＝640000－4＝639996；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－23⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋23＝402－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1600－49＝159959. 8．解：(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝9＋21＝30.(2)(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝9＋28＝37.9．解：∵(n －46)2＋(45－n )2＝2，∴[(n －46)＋(45－n )]2－2(n －46)(45－n )＝2，整理得1－2(n －46)(45－n )＝2，则(n －46)(45－n )＝－12.。