内蒙古赤峰市2020届高三4月模拟数学(理)试题 Word版含答案

内蒙古自治区赤峰市蒙古族完全中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则A．B． C．D．参考答案：2. 设偶函数（的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是A. B.C. D.参考答案：C4. 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为A. B.C. D.参考答案：B5. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．l1和l2有交点（s，t） B．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）C．l1与l2必定平行 D．l1与l2必定重合参考答案：A6. 已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为A．B．C．D．参考答案：C7. 下列说法正确的是（）A．“x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件B．命题“?x＞0，2x＞1”的否定是“”C．命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题D．命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题．参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．【解答】解：选项A：log2（x+1）＜1可得﹣1＜x＜1，所以“x＜1”是其必要不充分条件；选项B：“?x＞0，2x＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；选项C：命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是“若ac2≤bc2，则a≤b”，当c=0时，不成立；选项D：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真．故选：D．8. 已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．9. 三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B略10. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af （x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是．参考答案：（，）略12. 如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为．参考答案：36（π+2）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，锥体的底面面积S=π+=18π+36，锥体的高h=6，故锥体的体积V=Sh=36（π+2），故答案为：36（π+2）；点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．参考答案：8800【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为： =8800．故答案为：8800．【点评】本题考查中位数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．14. 设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。

内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题一、单选题1．已知抛物线C 的方程为 x =−116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ） A ．(-4,0)B ． −14C ．(-2,0)D ． −122．已知a r ，b r 是两个不共线的向量，命题甲：向量+r r ta b 与2a b -r r 共线；命题乙: 12t =-，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ABC V 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()1,0,1,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠，则（ ）A ．当0m <时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，并除去()()1,0,1,0-两点B ．当0m <时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，并除去()()1,0,1,0-两点 C ．当0m >时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，并除去()()1,0,1,0-两点D ．当0m >时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，并除去()()1,0,1,0-两点 4．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑P ABC -的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．164πB ．64πC ．100πD ．256π5．从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．456．下列说法中，正确命题的个数为（ ）① 已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()316E X +=，则5n =.②对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-.③以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为0.34z x =+，则c 、k 的值分别是4e 和0.3.④若样本数据12310,,,,x x x x L 的方差为2，则数据:121021,21,,21x x x ---L 的方差为16 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．设函数 22210,2210,log 210x y x x y x y x x =+-=+-=+-的零点分别为a ,b ,c , 则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．已知函数e(2)()ln x f x x-=，下列函数是奇函数的是（ ） A ．()11f x ++B ．()11f x -+C ．()11f x --D ．()11f x +-9．设点 P 是椭圆 22:13625x y C +=上一点, 12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点, 且12PF F V 的重心为G ，若 2,PF PF =₁₂则1PFG V 的面积为（ ）A ．BC ．D 10．如图，边长为4的等边△ABC ，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若 ,AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r则12λμ+的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知²2,?²10,c a b =+=,BC AC 边上的中线,AM BN 相交于点 P , 则直线,AM BN 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第3个正方形MNPQ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为23,,,,n a a a L L ；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为23,,,,n b b b L L ，若18a =，下列说法中正确的个数是（ ）①35;a =②375;32b =③1lim 16;n i n i b →∞==∑④n n a b ⋅是公比为58的等比数列.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．复数2i z =-, 则 z =.141111ABCD A B C D -中，以1A 为球心、2为半径的球与正方体的面ABCD 相交，则交线长为.15．将函数 ()()π2sin ω06f x x ω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移 π6ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数y =g (x )在 ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的取值范围是.16．已知直线 2y x =+与圆 ()(22:18C x y -+=-,A B 两点，则直线,AC BC 倾斜角之和为.三、解答题17．如图, 在三棱台 A B C ABC -₁₁₁中, 111A B C V 和ABC V 都为等边三角形, 且边长分别为2和4， 2,90,CC ACC BCC =∠=∠=︒₁₁₁G 为线段 AC 的中点, H 为线段 BC 上的点, 1//A B 平面1C GH .(1)求证: 点 H 为线段BC 的中点; (2)求二面角 C GH B --₁₁的余弦值. 18．已知数列 a n 满足()*321223n a a a a n n n++++=∈N L . (1)求数列 a n 的通项公式； (2)已知数列 b n 满足12nn n a b +=. ①求数列 b n 的前n 项和n T ； ②若不等式()12nn n n T λ-<+对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围. 19．我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Score)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scoring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211,R R G GR R G G --=--其中R ₁，R ₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( ,G G ₁₂分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R 表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R 时，等级分为G .某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.(1)根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次化学考试原始分的平均值； (2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A 等级的原始分区间；(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.20．已知 π,π.4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)将sin x ，cos x ，x ，2112x -+按由小到大排列，并证明；(2)令 ()2e cos 2sin sin ,xf x x x x x x =+-- 求证: ()f x 在π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内无零点.21．已知点P 为圆 ():2?²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H . (1)求曲线H 的方程;(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点. (i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点； (ii)求21OS OT+的取值范围.22．直角坐标系xOy 中，曲线C₁的参数方程为 sin2sin cos k k x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为 cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，，（t 为参数， 0.a >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线3C 的极坐标方程为 0θα=，其中0α满足 01tan .2α=(1)当 1k =时，求曲线C₁的普通方程；(2)当 4k =时，若C₁与3C 在第一象限的交点在2C 上，求a 的值. 23．已知 x y ≠， (1)化简①22;x y x y-- ②33x y x y--(2)用数学归纳法证明： n n x y -能被x y -整除.。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−1≥0}，B={x|0<x<4}，则A∩B=()A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2.若复数z满足|z|⋅z.=20−15i，则z的虚部为()A. 3B. −3C. 3iD. −3i3.已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是()A. 100，20B. 100，10C. 200，20D. 200，104.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n<na n对n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若双曲线C:x2−y2m=1的一条渐近线为√2x+y=0，则实数m=()A. 12B. 2 C. 4 D. 146.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a7.设变量x,y满足约束条件{x+y≥0x−3≤0x−2y−1≥0，则z=x−y的最大值为()A. 2B. 4C. 6D. 88. 关于函数f(x)=cos|x|+|sinx|的下述四个结论中，正确的是( )A. f(x)是奇函数B. f(x)的最大值为2C. f(x)在[−π,π]有3个零点D. f(x)在区间(0,π4)单调递增9. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 29B. 37C. 56D. −2910. 椭圆x 26+y 22=1的离心率为( )A. 23B. 13C. √63D. 2√2311. 如图四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，PA =2，M ，N 分别是PD 和BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角的余弦值为 ( )A. √55 B. √33C. 225 D. 2512. 已知定义在R 上的函数f(x)满足其导函数f′(x)<0在R 上恒成立，则不等式f(|x|)<f(1)的解集为( )A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,1)，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角的余弦值为__________． 14. 设△ABC 中，cosA =35,cosB =513,b =3则c =________。

内蒙古赤峰市2020届高三4月统一能力测试理数试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集为R ，集合{}{}2|1,|2M x x N x Z x =>=∈≤，则()R C M N ⋂=（） A ．{}0 B ．{}2 C ．{}1,0,1- D ．{}2,0,2- 2.已知复数11z i =-，则（ ） A ．z 的实部为12 B ．z 的虚部为12i - C ．22z = D ．z 的共轭复数为1122i +3.设n S 是公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则33S a =（ ） A ．95 B ．3 C ．94D ．2 4.已知命题1:12p x ≤≤，命题()():10q x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎛⎤⎥⎝⎦5.在区间()0,3上任取一个实数a ，则不等式()2log 410a -<成立的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．16 D ．1126.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．42B ．43C ．6D ．257.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则AOB ∆的面积为（ ） A ．2 B ．23 C ．32D ．3 8.某程序框图如图所示，若输出i 的值为63，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．27S >B ．27S ≤C ．26S ≥D ．26S <9.若函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且()sin 2x 3cos2f x x '=，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的周期为2π B ．()y f x =在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =是偶函数10.点S A B C 、、、2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，3AB BC CA ===则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ） A 32 C ．1 D ．1211.动点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点()()A ,0,0a B a -、的一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段112F P F F 、的延长线及线段2PF 相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线的右支 D ．一条直线 12.若关于x 的不等式()()211xa ax e x a ->->-有且仅有两个整数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．235,43e ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．31,2e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．235,23e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若()()411x ax +-的展开式中2x 的系数为10，则实数a =__________．14.已知实数,x y 满足2000x y a x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，其中()3201a x dx =-⎰，则目标函数23z x y =-的最小值为_________．15.在ABC ∆中，G 为重心，BE 为AC 上的中线，()1//,4AG CD AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λ的值为___________．16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2*112,,1nn nS a a n N S +=-=-∈+，则n S =__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,C A B 对边分别为,,a b c ，且c a <，已知2CB BA =-u u u v u u u vg ，tan 22,b 3B ==．（1）求a 和c 的值；（2）求()sin B C -的值． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，平面SAB ⊥底面ABCD ，且2,1,2,3SA SB AD AB BC =====．（1）求证：SB ⊥平面SAD ； （2）求二面角D SC B --的余弦值． 19.（本小题满分12分）某地区业余足球运动员共有15000人，其中男运动员9000人，女运动员6000人，为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的样本数据（单位：小时），得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率 分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12．将“业余运动员的每周平均踢足球所占用时间超过4小时”定义为“热爱足球”． （1）应收集多少位女运动员的样本数据？（2）估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有80位女运动员“热爱足球”，请画出“热爱足球与性别”列联表，并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别”有关．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.010 0.0050k2.7063.841 6.635 7.87920.（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆22:15x E y +=的左、右焦点，12,F F 关于直线20x y +-=的对称点是圆C 的一条直径的两个端点． （1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为,m n ，当mn 最大时，求直线l 的方程． 21.（本小题满分12分）设函数()22ln f x x bx a x =+-．（1）当5,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意[]3,2b ∈--，都存在()21,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为8cos 384sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是()23400ρρρ--=≥．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程； （2）设直线l 与曲线 C 相交于A B 、两点，求AOB ∠的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =-+++的最小值为1． （1）求a b c ++的值； （2）求证：22213a b c ++≥．内蒙古赤峰市2020届高三4月统一能力测试理数试题参考答案一、选择题二、填空题 13. -1或53； 14．-18 ；15．54； 16．223n - 三、解答题（1）证明：∵2CB BA =-u u u v u u u v g ，∴2BA BC =u u u v u u u vg ， ∵cos 2,tan 22ca B B ==，∴6ac =，sin 22242sin 339c B C b ===g ，a b c =>，C 为锐角． 22427cos 1sin 199C C ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ()227142102sin sin cos cos sin 93B C B C B C -=-=-=g g ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解：（1）由平面SAB ⊥底面ABCD ，面SAB ⋂面,DA AB,DA ABCD AB =⊥⊂面ABCD ， 所以DA ⊥平面,SAB SB ⊂面SAB ，所以SB AD ⊥． 又因为2,2SA SB AB ===，所以,SA SB SA AD A ⊥⋂=，因此SB ⊥平面SAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）过点S 作SO AB ⊥于点O ，则SO ⊥底面ABCD ，过O 作//OE AD ，以,,OA OE OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则()()()()()1,0,0,1,0,0,1,3,0,1,1,0,0,0,1A B C D S --． 所以()()1,1,1,2,2,0SD DC =-=-u u u v u u u v，设平面SCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v ，则111111100,2200x y z SD n x y DC n ⎧+-=⎧=⎪⎨⎨-+==⎪⎩⎩u u u v u vg u u u v u v g ，不妨设11x =，得 ()11,1,2n =u v．设平面SBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u v ，则()()1,0,1,0,3,0SB BC =--=u u v u u u v，2222200,300x z SB n y BC n ⎧--=⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩u u v u u v g u u u v u u v g ， 令21x =，得()21,0,1n =-u u v，所以121212cos ,n n n n n n ===u v u u vu v u u v g u v u u v g ， 而二面角D SC B --为钝二面角，所以二面角D SC B --的余弦值为6-．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）600030012015000⨯=，所以应收集120女运动员的样本数据．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由频率分布直方图得()120.1000.0250.75-⨯+=，所以该地区每周平均踢足球占用时间超过4小时的概率的估计值为0.75．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（3）由（2）知，300位足球运动员中有3000.75225⨯=人的每周平均踢足球时间超过4小时，75人的每周平均踢足球占用时间不超过4小时，所以热爱足球与性别列联表如下：结合列联表可算得中()223003580145402007.407 6.6351801207522527k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“该地区热爱足球与性别有关”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由2215x y +=，得()()122,0,F 2,0F -，圆C 的半径 为2 ，圆心C 为原点O 关于20x y +-=的对称点，设圆心()00,C x y ，则000012022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得0022x y =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为()()22224x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线l 的方程为2x ty =+，则圆心到直线的距离d =，所以n ==，由22215x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得 ()225410ty ty ++-=，设直线l 与椭圆E 的两上交点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122241,55t y y y y t t +=-=-++g ，于是)212215t m y y t +==-=+，)()22214514t mn t t +===≤+++g当且仅当t =所以直线l 的方程为20x-=或20x --=．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）当5,1a b ==-时，()225ln f x x x x =--，其定义域为()0,+∞，()()()245154541x x x x f x x x x x-+--'=--==，由()0f x '<，得514x -<<，由()0f x '>，得1x <-或54x >，因为定义域为()0,+∞，所以()f x 的递减区间为50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的递增区间为5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）令()[]22ln ,3,2g b xb x a x b =+-∈--，则()g b 为增函数，根据题意，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,x e ∈，使得()0f x <成立，则()()2max 222ln 0g b g x x a x =-=--<在()21,e 上有解，令()222ln h x x x a x =--，只需存在()201,x e ∈，使得()()010h x h <=即可，因为()24242a x x ah x x x x--'=--=，又令()()2242,1,x x x a x e ϕ=--∈，()()2820,1,x x x e ϕ'=->∈，所以()x ϕ在()21,e 上单调递增，所以()()12x a ϕϕ>=-，当2a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()21,e 上单调递增，所以()()10h x h >=，不符合题意．当2a >时，()()242120,42a e e e a ϕϕ=-<=--，若()20e ϕ≤，即()422242212a e e e e ≥-=->时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 在()21,e 上单调递减，又()10h =，所以存在()201,x e ∈，使得()00x ϕ<，若()20e ϕ>，即42242a e e <<-时，在()21,e 上存在实数m ，使得()0m ϕ=，即()1,x m ∈时，()()0,0x h x ϕ'<<，所以()h x 在()1,m 上单调递减，所以()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，综上所述，当2a >时，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,x e ∈，使得()0f x <成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（1）由1242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t ，得直线l40y ++=，()()2340,140,4ρρρρρ--=+-==曲线C 的直角坐标系方程为2216x y +=．．．．．．．．16分 （2）C e 的圆心()0,0到直线40l y ++=的距离为2d ==，∴121cos 242AOB ∠==，∵1022AOB π<∠<∠，∴123AOB π∠=，故23AOB π∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．解：（1）因为0,0,0a b c >>>()f x x a x b c x a x b c a b c =-+++≥---+=++，当且仅当()()0x a x b --≤时取等号，所以1a b c ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为()()()22222222313a b c a b c a b c ++-=++-++()()()2222222222220a b c ab bc ac a b b c c a =++---=-+-+-≥所以22213a b c ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

赤峰市高三年级4·20模拟考试试题理科数学答案2024．04一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案ACBACDABBDDC二、填空题13．14．2215．(]0,216.43π或240︒三、解答题17.解（1）连接1A C ，设11A C C G O ⋂=，连接HO 、1A G …………………………1分三棱台111A B C ABC -，11//A C AC \，又122CG AC ==，………………………2分11A C CG \四边形为平行四边形，…………………………………………………3分1CO OA \=，………………………………………………………………………4分又11//C GH A B 平面，1A B ⊂平面1A BC ，平面1CBA ⋂平面1C GH HO =，∴1BA HO∥…………………………………………………………………………5分∵四边形11A C CG 是正方形，O 是1A C 的中点，∴点H 是BC 的中点．…………6分（2）1190C CA BCCÐ=Ð=1C C BC ∴⊥，1CC AC ⊥，BC AC C = 则1CC ABC ⊥平面又ABC 为等边三角形，BG AC \^，又（1）知11A G CC ，建立如图所示的坐标系G xyz ，…………7分则()B ，()0,2,0A ，()0,0,0G ，)1,0H-，()0,2,0C -，()10,2,2C -，)11,2B-……………………………………………………………8分设平面1C HG的法向量(),,n x y z®=，()10,2,2GC=-，)1,0GH=-则220y zyì-+=ï-=令y=，解得(n=………………………………9分设平面1B GH的法向量(),,m a b c®=，)11,2GB=-则20b cb-+=-=令1a=，解得()m®=………………………………10分设二面角11C GH B--的平面角为q，cos,m nm nm n==7=………………………………………………………………………11分又因为q为锐角，所以cos7q=…………………………………………12分18.解：（1）因为()321223na aaa n n Nn*++++=Î①，当11,2n a==当2n≥时，12311112(1)231na a a a nn-++++=--②……………………1分1-②得12nan=，即2na n=…………………………………………………………2分因为12a=符合，所以()*2na n n N=∈………………………………………………3分（2）①由（1）知122nn n na nb+==……………………………………………………………4分所以，231232222n nnT=++++所以，234111231222222n n nn nT+-=+++++…………………………………5分两式相减得，23111111222222n n nnT+=++++-………………………………………………6分11111222112212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-=--……………………………7分所以，222n n n T +=-……………………………………………………………8分2由①得()22122222nn n nn n λ+-<-+=-设222n n c =-，则数列{}n c 是递增数列.…………………………………………9分当n 为偶数时，222n λ<-恒成立，所以223222λ<-=………………………10分当n 为奇数时，222n λ-<-恒成立，所以12212λ-<-=即，1λ>-………11分综上，λ的取值范围是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.…………………………………………………12分19.解：(Ⅰ)由题意可知:10(a +b )=0.3…………………………………………1分且10(2a +b )=0.35……………………………………2分解得：a =0.005，b =0.025………………………………3分可知每组的频率依次为:0.05,0.25,0.45,0.2,0.05……………4分∴该同学化学原始分的平均值为：50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5………………………5分(Ⅱ)由频率分布直方图知：原始分成绩位于区间[85,95)的占比为5%，………………………………6分位于区间[75,85)的占比为20%，………………………………………7分因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[75,85)，估计等级A 的原始分区间的最低分为85-15%−5%20%×10=80，…………8分已知最高分为94，所以估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间为[80,94]，…………………………………………………………………………………9分(Ⅲ)由公式−−=−−得：−−=−− (10)分解得：G =89………………………………………………11分所以该学生的等级分为89分.…………………………………12分20.（Ⅰ）解：（1）令21()cos 12g x x x =+-，'()sin g x x x =-+，''()cos 1g x x =-+∵,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，''()0g x >恒成立.…………………………………………………1分∴'()g x 在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，'()'()=044g x g ππ->>，故()g x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，………………………………………………………2分从而2()10432g x g ππ+⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，即,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有21cos 12x x >-成立.………………………………………3分又sin cos 4x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，知30,44x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，04x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即sin cos .x x >……………………………………………………4分综上，211cos sin .2x x x x -+<<<………………………………………………5分（2）要证()f x 在,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内无零点，只需证()2cos 2sin sin 0x f x xe x x x x =+-->.……………………………………………………………………………………………6分由（1）知211cos sin .2x x x x -+<<<只需证221(1)202x xe x x x x +--->………………………………………………7分即证32102x xe x x x --->，即证21102xe x x --->.…………………………8分令21()12xh x e x x =---，则'()1x h x e x =--，''()1x h x e =-，………………9分当()0,x ∈+∞时，有''()0h x >，故'()h x 在,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，'()''(0)04h x h h π⎛⎫>>= ⎪⎝⎭……………………………………………………10分从而()h x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)04h x h h π⎛⎫>>= ⎪⎝⎭.…………………11分()f x 在,4x ππ⎛⎫∈ ⎪内无零点.……………………………………………………12分②3322x y x xy y x y x y-++-==++--………………………………4分(2)用数学归纳法证明：n n x y -能被x y -整除证明：（1）当1n =时，n n x y x y -=-显然能被x y -整除，命题成立。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x|x2+3x−4≤0}，B={x|log3x≤0}，则A∩B=()A. [−4,1]B. [−4,3]C. (0,1]D. (0,3]2.复数z满足z(1−2i)=3+2i，则z.=()A. −15−85i B. −15+85i C. 75+85i D. 75−85i3.《九章算术》卷第七——“盈不足”中有如下问题：今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰“我羊食半马．”马主曰“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟．根据该问题，马的主人应当赔偿()升粟(注：1斗=10升)．A. 1623B. 717C. 313D. 14274.已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上递减，且f(−1)=1，则满足f(log2x)>−1的x的取值范围是()A. (0,2)B. (0,+∞)C. (0,1)∪(1,2)D. (0,1)5.已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4=1，S3=7则S5=()A. 152B. 314C. 334 D. 1726.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为()A. 323πB. 36πC. 323D. 18π7.祖冲之是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械发明家，是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，现在可用计算机产生随机数的方法估算出π的值，其程序框图如下图所示，其中函数rand(0,1)的功能是生成区间(0,1)内的随机数，若根据输出的k值估计出π的值为3.14，则输出k的值为()A. 314B. 628C. 640D. 7858.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有()种A. 60B. 90C. 120D. 1509.已知函数f(x)=2sinωx2cosωx2−√3cosωx(ω>0)，若集合{x∈(0,π)|f(x)=−1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是()A. [32,52) B. (32,52] C. [72,256) D. (72,256]10.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点M，N分别为A1C1，CC1的中点，则异面直线MN与B1C1所成的角为()A. 90°B. 60°C. 45°D.30°11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为√5，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()A. x2−4y25=1 B. x22−2y25=1 C. x24−y25=1 D. x216−y220=112. 若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx −ay 3=0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a的取值范围为( )A. [e 28,+∞)B. (0,e 327]C. [e 327,+∞)D. (0,e 28]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{3x +2y −6≤0x ≥0y ≥0，则z =x −y 的取值范围是______．14. 已知|a⃗ |=4，e ⃗ 为单位向量，当它们的夹角为60°时，a ⃗ 在e ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(2,0)，直线l ：x =my −2(m >0)与抛物线相交于A ，B两点，且满足|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则实数m 的值为__________． 16. 数列{a n }满足a n =3a n−1+1，a 1=1，则a 2= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a−b+c c=ba+b−c ．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．18. 2019年电商“双十一”大战即将开始．某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对北海地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：(年龄单位：岁)(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？(2)若从年龄在[55,65)，[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )19. 已知，动点P 在抛物线x 2=2y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ，动点Q 满足：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点N(4,5)且斜率为k 的直线交轨迹E 于A ，B 两点，M 点的坐标为(−4,4)，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，求k 1⋅k 2的值．20. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =π3，PA ⊥平面ABCD ，点M是棱PC 的中点．(1)证明：PA//平面BMD ；(2)当PA =√3时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21. 已知函数f(x)=axlnx +x +2(a >0)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意x ∈[1,+∞)，f′(x)<x 2+(a +2)x +1恒成立．22. 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =3+tcos αy =tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：{x =1cos θy =tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ． (1)若α=π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．|(a>0)，23.已知f(x)=|x−a|+|x−1a(Ⅰ)求证f(x)≥2；(Ⅱ)当a=1，求解不等式f(x)≥x2−x．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题交集的运算、一元二次不等式的解法及对数不等式，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|−4≤x≤1}，B={x|0<x≤1}；∴A∩B=(0,1]．故选C．2.答案：A解析：解：由z(1−2i)=3+2i，得z=3+2i1−2i =(3+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+85i，∴z.=−15−85i．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质，函数模型的应用，属于基础题．因为羊、马、牛食粟构成等比数列，故m+2m+4m=50，即可求出解．【解答】解：依题意设羊的主人应赔偿m升粟，则羊、马、牛食粟构成等比数列，故m+2m+4m=50，解得m=717，则马的主人应当赔偿1427升粟．4.答案：A解析：解；根据题意，函数f(x)为奇函数且在(−∞,0]上递减，则f(x)在[0,+∞)上递减， 则f(x)在R 上递减，又由f(−1)=1，则f(1)=−f(−1)=−1， 则f(log 2x)>−1⇒f(log 2x)>f(1)⇒log 2x <1， 解可得0<x <2， 即不等式的解集为(0,2)； 故选：A ．根据题意，分析可得f(x)在R 上递减，结合函数为奇函数可得f(1)=−f(−1)=−1，则不等式f(log 2x)>−1⇒f(log 2x)>f(1)⇒log 2x <1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在R 上的单调性，属于基础题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查等比数列的前5项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】 解：由已知得： {a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，解得a 1=4，q =12， ∴S 5=a 1(1−q 5) 1−q=4(1−125)1−12=314．故选：B ．6.答案：B解析：本题考查三视图及球的体积的求解，在长方体中考虑求解即可，属于一般题．【解答】解：由三视图知，该几何体为下图中的三棱锥P−ABC，其中长方体的长宽高分别为4，2，4，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，所以球的半径为r=√42+22+422=3，所以球的体积为．故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知中的程序流程图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，本题属于基础题．我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法任取(0,1)上的x，y，利用x2+y2≤1的概率，计算k的值，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x2+y2≤1发生的概率为π⋅124 1=k1000，由于：π=3.14，解得：k=785．故选：D．8.答案：D解析：本题考查排列、组合的综合应用，及分类、分步计数原理的综合应用，属于中档题． 利用先分组再分配的方法，可得不同的安排方式共有150种． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法; ②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种不同的分组方法． 故选D ．9.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数的图象与性质，涉及倍角公式和两角和差的三角函数公式，属于中档题． 先利用倍角公式和两角和差的三角函数公式化简f(x)的解析表达式，然后根据f(x)=−1，利用三角函数的性质得到x 的值x =π6ω+2kπω或，根据题意分析，设直线y =−1与y =f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，由于方程f(x)=−1在(0,π)上有且只有4个实数根，则x A <π≤x B ，由此解不等式组求得ω的取值范围．【解答】解：f(x)=2sinωx 2cosωx 2−√3cosωx=sinωx −√3cosωx=2sin(ωx −π3)，令2sin(ωx −π3)=−1，得sin(ωx −π3)=−12， 解得ωx −π3=−π6+2kπ或ωx −π3=7π6+2kπ(k ∈Z)，所以x =π6ω+2kπω或x =3π2ω+2kπω(k ∈Z)．设直线y =−1与y =f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ， 第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω．由于方程f(x)=−1在(0,π)上有且只有4个实数根， 则x A <π≤x B ，即3π2ω+2πω<π≤π6ω+4πω，解得72<ω≤256，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．可得∠A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角(或所成角的补角)，由此求解即可．【解答】解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点M，N分别为A1C1，CC1的中点，∴MN//A1C，B1C1//BC，∴∠A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角(或所成角的补角)，连结A1B，则A1B=A1C=BC=√2，∴∠A1CB=60°，∴异面直线MN与B1C1所成的角为60°．故选B．11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F到渐近线的距离为b，由勾股定理可得|OA|=a，运用三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，即可求出双曲线方程．解：由题意可得e=ca =32，可得：ba=√52，设F(c,0)，渐近线为y=bax，可得F到渐近线的距离为d=√a2+b2=b，由勾股定理可得|OA|=√|OF|2−|AF|2=√c2−b2=a，由题意可得12ab=√5，又a2+b2=c2，解得b=√5，a=2，c=3，可得双曲线的方程为：x24−y25=1．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．【解答】解：∵存在两个正实数x，y，使得等式x3e y x−ay3=0成立，∴a=e y x(y x )3，设yx =t，t>0，则a=e tt3，设f(t)=e tt3，则f′(t)=e t(t−3)t4，当t>3时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增，当0<t<3时，f′(t)<0，函数f(t)单调递减，∴f(t)min=f(3)=e327，∴a≥e327，故选C．13.答案：[−3,2]解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x−y得y=x−z，平移直线y =x −z ，由图象直线当直线y =x −z 经过A(0,3)时，直线y =x −z 的截距最大，此时z 最小为z =0−3=−3，当直线y =x −z 经过B(2,0)时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大为z =2−0=2，即−3≤z ≤2，故答案为：[−3,2]作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 14.答案：2解析：解：a⃗ 在e ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cos60°=4×12=2． 故答案为：2．利用向量数量积的几何意义：向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量上的投影．本题考查向量数量积的几何意义，并利用数量积求出向量的投影，是基础题．15.答案：3√24解析：【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．先求出抛物线的方程为y 2=8x ，再由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |结合抛物线的定义得B 是AM 的中点，又因为OB =BF ，所以B 在OF 的垂直平分线上，得B(1,2√2)，求出m =1k BM ． 【解答】解：因为抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F (2,0)，所以p =4，故y 2=8x ，因为直线x =my −2过定点M(−2,0)，过A ，B 作抛物线准线x =−2的垂线，垂足为C ，D根据抛物线的定义有|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又因为|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即B 是AM 的中点，连接OB 又因为OB =BF ，所以B 在OF 的垂直平分线上，则x B =12x F =1得B(1,2√2)，故m =1k BM =2√23=3√24． 故答案为3√24．16.答案：4解析：解：a n=3a n−1+1，a1=1，则a2=3a1+1=3+1=4．故答案为：4．利用数列递推关系即可得出．本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)由a−b+cc =ba+b−c化简得b2+c2−a2=bc，由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc ，得cosA=bc2bc=12，，又因为，所以；(2)由正弦定理得，所以3=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=√3时取等号，故时取等号)，即△ABC面积S的最大值为3√34．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)根据已知等式变形得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cos A，可得角A；(2)由正弦定理可求a的值，利用基本不等式可求bc的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(1)由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物601575不使用网上购物101525总计7030100于是有K的观测值k=275×25×70×30=7≈14.286>10.828．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关．(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：P(X=0)=C32C22C52C32=110，P(X=1)=C31C21C22C52C32+C32C21C52C32=25，P (X =2)=C 22C 22C 52C 32+C 31C 21C 21C 52C 32=1330，P (X =3)=C 22C 21C 52C 32=115，于是X 的分布列为：X 0 1 2 3P 110 25 1330 115所以EX =0×110+1×25+2×1330+3×115=2215．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件，求解联列表中的数值，求出k 2，即可判断结果．(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设点Q(x,y)，由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗=12PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P(x,2y)， 将点P(x,2y)代入x 2=2y 得x 2=4y ．∴动点Q 的轨迹E 的方程为x 2=4y ．(2)设过点N 的直线方程为y =k(x −4)+5，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k(x −4)+5x 2=4y，得x 2−4kx +16x −20=0， 则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16k −20．∵k 1=y 1−4x 1+4，k 2=y 2−4x 2+4， ∴k 1k 2=(kx 1−4k+1)(kx 2−4k+1)(x 1+4)(x 2+4)=k 2x 1x 2+(k−4k 2)(x 1+x 2)+16k 2−8k+1x 1x 2+4(x 1+x 2)+16=1−8k 32k−4=−14． 解析：(1)设Q(x,y)，则P(x,2y)，代入x 2=2y 得出轨迹方程；(2)联立直线AB 方程与Q 的轨迹方程，得出A ，B 的坐标关系，代入斜率公式计算k 1k 2化简即可． 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．20.答案：证明：(1)如图，连结AC ，交BD 于点O ，连结MO ，∵M ，O 分别为PC ，AC 的中点，∴PA//MO ，∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA//平面BMD ．解：(2)如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ，∵ABCD 为菱形，∠ABC =π3，∴AH ⊥AD ，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∴A(0,0，0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，P(0,0，√3)，M(√32,12,√32)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0，取z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(1,0，1)， 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，∴sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|AM |=|√32×1+12×0+√32×1|√74×√2=√427．∴直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为√427．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)连结AC ，交BD 于点O ，连结MO ，推导出PA//MO ，由此能证明PA//平面BMD ．(2)取线段BC 的中点H ，连结AH ，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a(lnx +1)+1，由f′(x)=0，解得：x =e −1a −1，故f(x)在(0,e −1a −1)递减，在(e −1a −1,+∞)递增；(2)∵f′(x)=a(lnx +1)+1，故设g(x)=alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1=alnx −x 2−(a +2)x +a ，(x ≥1,a >0)， 故g′(x)=a x −2x −a −2，∵a >0，易知g′(x)在x ∈[1,+∞)递减，∴g′(x)≤g′(1)=−4<0，故g(x)在[1,+∞)递减，故g(x)≤g(1)=−3<0，故alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1<0恒成立，故对任意x ∈[1,+∞)，f′(x)<x 2+(a +2)x +1恒成立．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，设g(x)=alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题． 22.答案：【解答】解：(1)由曲线C ：{x =1cosθy =tanθ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2−y 2=1．当α=π3时，直线l的参数方程为{x=3+12ty=√32t(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2−6t−16=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6，所以线段AB的中点对应的t=t1+t22=3，故线段AB的中点的直角坐标为(92,3√3 2).(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α−sin2α)t2+6tcosα+8=0，则|PA|·|PB|=|t1t2|=|8cos2α−sin2α|=|8(1+tan2α)1−tan2α|，由已知得tanα=2，故|PA|·|PB|=403．解析：本题考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)若α=π3，直线l的参数方程为{x=3+tcosαy=tsinα(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2−6t−16=0，求出线段AB的中点对应的t=3，即可求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，利用参数的几何意义求|PA|⋅|PB|的值．23.答案：解：(Ⅰ)因为|x−a|+|x−1a |≥|x−a−x+1a|=a+1a≥2，当且仅当a=1时取等号，故f(x)≥2…(5分)(Ⅱ)当a=1时，f(x)=2|x−1|，由f(x)≥x2−x，得2(x−1)≥x2−x或2(x−1)≤−(x2−x)，解得：−2≤x≤2，故解集为[−2,2]…(10分)解析：(Ⅰ)根据绝对值三角不等式的性质证明即可；(Ⅱ)代入a的值，解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查解不等式问题，是一道常规题．。

内蒙古赤峰市 2020 届高三数学模拟考试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先求 B,再求交集则元素个数可求【详解】由题，则，则 中的元素个数为 3 个故选：C【点睛】本题考查交集的运算，描述法，是基础题2.已知是纯虚数，复数 是实数，则 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵ 是实数，∴设a，a 是实数，则 z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai， ∴z＝2a﹣1﹣ai， ∵z 为纯虚数， ∴2a﹣1＝0 且﹣a≠0，即a ，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关 键．3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等 马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐 王获胜的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求 出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果. 【详解】解：因为双方各有 3 匹马， 所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为 9 种， 满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的 事件数为 3； 齐王派出中等马，则获胜的事件数为 2； 齐王派出下等马，则获胜的事件数为 1； 故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为 6 种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选 A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型 的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数是定义在 上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式的范围，当 时，显然不成立，可等价转化为当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，即当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，再根据函数 的性质求解不等式.【详解】解：因为是 R 上的奇函数，且在上是增函数，所以在上也是增函数，又因为，所以，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，，不成立，故的 的取值范围是，故选 C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧 棱长为 4，底面等腰直角三角形的腰长为 4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三 棱柱外接球的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形、四边形均是边长为 4 的正方形，三角形 、三角形是，的等腰直角三角形，设 的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，设球的球心为 ，因为三棱柱的为直三棱柱，所以球的球心 为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，连接 ，外接球的半径即为线段 的长，所以在中，，，故，即球的半径为 ，所以球的体积为，故选 B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出 三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.6.我们可以用随机数法估计 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）.若输出的结果为 7840，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.119B. 3.124C. 3.136D. 3.151【答案】C【解析】【分析】程序的 功能是利用随机模拟实验的方法求取（0，1）上的 x，y，计算 x2+y2+＜1 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．【详解】x2+y2＜1 发生的概率为，当输出结果为 7840 时，i＝10001，m＝7840，x2+y2＜1 发生的概率为 P，∴，即 π＝3.136故选：C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率 的应用问题，是综合题．7.已知是等差数列，且，，则（）A. -5 【答案】B 【解析】 【分析】B. -11C. -12由是等差数列，求得 ，则 可求D. 3【详解】∵是等差数列，设,∴故故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题8.设定义在 上的函数 满足，且，则下列函数值为-1 的是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函数的周期是 4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【详解】由得 f（x-4）＝﹣f（x-2）＝f（x），则函数的周期是 4，则=，=-1即函数值为-1 的为 ，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移 个单位B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向右平移 个单位【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】函数＝sin（2x ）＝sin2（x ），故把函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的 正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，熟记变换原则是关键，属于基础题．10.已知 为双曲线 的两个焦点， 是 上的一点，若，且，则 的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．【详解】由双曲线的定义可得＝2a，又得点 P 满足 即有 c a，，可得＝4c2，则离心率 e 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运 算能力，属于基础题．11.已知直三棱柱 余弦值为（ ）的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,可得 AM 与 B 所成角为∠N B 或其补角，在△ NB 中，利用余弦定理即可求解 AM 与 B 所成角的余弦值．【详解】取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,所以 AM 与 B 所成角为∠NC1B 或其补角，设所有棱长为 2，则 N=B=2 ,BN= ，在△ NB 中，由余弦定理 cos∠N B=故选：A【点睛】本题考查线线角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的 合理运用12.已知函数在区间 上只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）A.或B.或C. 【答案】D 【解析】 【分析】 原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[D. ]上有一个实根，即或 在区间[ ]上有一个实根．令，求出其值域，即可得实数 k 的取值范围．【详解】原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[ ]上有一个实根，∴在区间[ ]上有一个实根．令，0，可得 x＝1，当时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）递减，当∈（1，e]时，f′（x）＞0．此时函数 f（x）递增，∴f（x）≥f（1）＝1，且，1+e，又﹣1+e，∴实数 k 的取值范围是 k=1 或 故选：D． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设 的满足约束条件，则的最大值为______．【答案】 【解析】 【分析】先将题中 ， 满足约束条件对应的可行域画出，目标函数意义为一条斜率为-2 的直线，通过平移求解出最值.的几何【详解】解：如图， ， 满足约束条件 边界），对应的可行域为五边形内部（含目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为 的直线，当直线经过点 O 时，直线的截距最小，最小，故.【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.设向量 的模分别为 1,2，它们的夹角为 ，则向量 【答案】 【解析】 【分析】与 的夹角为____．利用向量 夹角公式 cosθ，先求出的模以及与 的数量积，再代入公式计算求解．【详解】∵（）22﹣2 •∴||，（）• ＝3，∴cosθ，∴θ＝2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，故答案为 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础， 掌握基本的公式和技巧即可顺利求解15.若过点且斜率为 的直线与抛物线交点为 ，若，则 ____．【答案】【解析】【分析】的准线相交于点 ，与 的一个由直线方程为与准线得出点 坐标，再由可得，点 为线段的中点，由此求出点 A 的坐标，代入抛物线方程得出 的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为 的直线方程为，联立方程组，解得，交点 坐标为，设 A 点坐标为，因为，所以点 为线段 的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为 ， 解得 . 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.设数列 满足 ______．【答案】 【解析】 【分析】 将 相减求 即可 【详解】由题，且 平方得比数列，，则，则数列的前 项的和，进而得 的通项，得,由 错位,∴=0，故，所以 为等两式作差得-即 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项公式，错位相减求和，考查推理及计算能力，是中 档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设 的内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ，，且满足.（1）求角 的大小；（2）若， ，求 的面积.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）由正弦定理得得，进而得【详解】（1）又， 故又，结合余弦定理得 ，则面积可求，则 B 可求（2）由余弦定理，. （2）由余弦定理得：，即 又. 【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题18.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从 15 个发达地区，10 个欠发达地区，5 个贫困地区中选取 6 个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查 小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户9060150合计13070200（1）写出选择 6 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.附：参考公式：，其中参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1) 分层抽样(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算 的值即可进行判断， 再分析原因给出建议即可 【详解】（1）分层抽样 （2）由列联表中的数据可得 的观测值所以有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关 原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合； 2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定 建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受； 2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点. 【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验， 的计算，考查计算能力，是基础题19.如图，在四棱锥中， 底面 ，，，，点 为棱 的中点.（1）证明：;（2）若 与底面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）连接,且面 ，即可证明,证明是正方形得，再由（2）由 平面 ，得 与底面角为，由,得，得求解距离即可证明 平 所成的平面，利用【详解】证明:（1）连接,BE,且,, 为棱 的中点，且是正方形，又 平面 ， 平面 ,平面 ,,平面又平面 ,（2）因为 平面 ，所以 与底面 所成的平面角为 ，且,∵,∴tan = 得设点 到平面 的距离为 ，由已知得，，得，所以，点 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面角的应用，点面距离的考查，考查空间想象和推理 能力，是中档题20.顺次连接椭圆应该的四个顶点恰好构成了一个边长 为且面积为 的菱形.（1）求椭圆 的方程；（2）设，过椭圆 右焦点 的 直线交于 两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求 的最小值.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）列 a,b,c 的方程组求解即可（2）当直线垂直于 轴时得，当直线不垂直于 轴时，设直线与椭圆联立，利用，代入韦达定理得即可求解【详解】（1）由已知得：，解得所以，椭圆 的方程为 （2）设当直线垂直于 轴时，此时，当直线不垂直于 轴时，设直线由，得且 ，要使不等式恒成立，只需，即 的最小值为 .【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量坐标化运算及数量积，考查运 算求解能力，是中档题21.已知函数（1）若 ，求函数 的极值和单调区间；（2）若，在区间 上是否存在 ，使，若存在求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值(2)见解析 【解析】 【分析】（1）， 判 断 符 号 变 化 ， 则 极 值 和 单 调 区 间 可 求 ，（ 2 ）由时，，时得为函数的唯一极小值点，讨论当 求解时和当 时，的 a 的范围即可【详解】（1）当 时，时，，且 有极小值时，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间 上若存在 ，使，则，解得当 时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间 上存在 ，使，此时【点睛】本题考查导数与函数的 单调性，函数的最值，极值与单调区间的求解，分类讨论思 想，考查推理能力，是中档题22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为的直线与曲线 交于 两点. （1）求 的取值范围； （2）求 中点 的轨迹的参数方程.为参数），过点且倾斜角为【答案】(1)(2)（为参数，）.【解析】 【分析】 （1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的 范围；（2）设出 对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示 的参数，从而得出 点 的轨迹的参数方程.【详解】解：（1） 曲线 的直角坐标方程为,当 时，与 交于两点，当 时，记，则的方程为，与 交于两点当且仅当，解得 即或，或，综上 的取值范围是 .（2）的参数方程为（为参数，），设 对应的参数分别为，则且 满足，由韦达定理可得：，故,又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程为（为参数，）.【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点 的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.23.已知函数，.（1）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围；（2）设，且，求证：.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数解决问题；的最小值，从而（2）要证，即证明即可.【详解】解：（1）由，，，所以 的取值范围是（2）由（1），当且仅当， 时等号成立，，然后借助于基本不等式证 ，，【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是 否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。

2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则A B =I （ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1C ．[]1,2D ．()3,2-【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得A B I . 【详解】由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C【解析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-，32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知115232,5,log 2a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由11522,511a b =>=>，而3log 21c =<，即可得到,a c b c >>.在比较10a 和10b ，即可,a b 大小关系，进而求得a bc ，，的大小关系. 【详解】Q 11522,511a b =>=>，3log 21c =<∴,a c b c >>又Q 1052=32a =，1025,=25b=∴1010a b >，即a b >综上所述，c b a << 故选：B. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 所以当0x ≥时，()f x ≤由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤， 所以()f x，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是（ ） A． B ．1CD ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a>=，所以2918a+>，所以双曲线的离心率22910, 92ea⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以20,2e⎛⎫⎪⎪⎝⎭∈.故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.11．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA==，.若E F，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E=，1114C F CC=，则异面直线1A E与AF所成角的余弦值为（）A．210B26C13D13【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E与AF所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为O，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF=-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E与AF所成角的余弦值为11824261342213A E AFA E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞.故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a r ，b r 满足2b a =v v，且()b a a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为____________. 【答案】3π（或写成60︒） 【解析】设a r 与b r的夹角为θ，通过()b a a -⊥r r r ，可得()=0b a a -⋅r r r ，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.【详解】设a r 与b r的夹角为θ Q ()b a a -⊥r r r可得()=0b a a -⋅r r r，∴()2=0a b a⋅-r r r故2cos =0a b a θ⋅⋅-r r r ，将2b a =v v代入可得得到1cos 2θ=， 于是a r 与b r的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.【答案】5639【解析】先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365=⨯+⨯=.由正弦定理得56sin 56653sin sin sin 395a b b A a A B B⋅=⇒===.故答案为：5639【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】536【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22426C C ⨯=种.当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有225310330C C ⨯=⨯=种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有226415690C C ⨯=⨯=种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.所以该验证码的中间数字是7的概率为210210563090210420756151236==+++++. 故答案为：536【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.三、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O （A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】3 π【解析】判断出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值. 【详解】根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为22BD ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1). 3 (2). π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且32CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（24183【解析】（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 底面ABCD AD =， ∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PE EC E =I ，∴BC ⊥平面PCEBC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D ，(0,0,3)P ，由已知35CF CD =u u u r u u u r ，得23,,055F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23(1,1,3),,,355PB PF ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r设平面PBF 的法向量为(),,n x y z =r，则 30233055n PB x y z n PF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 令3z =，则249,55x y ==， ∴249,,355n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r由（1）知平面PAD 的法向量可取为()1,0,0m =u r∴2222441835|cos ,|249(3)55m n <>==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r r ∴平面PAD 与平面PBF 4183. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥.（1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）112231n n S +=-+ 【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到113n nn n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-11*,2,3n nn n a b n N n a b ---∈≥=-所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，()()1111113,22nn n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()Eξ附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，17 6【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.且2,3,4ξ=1211222132431(2)(1,1)3C C C C P P m n C C ξ======； 21111222221222323243431(3)(2,1)(1,2)2C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为则11117()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）24x y =（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程. （2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】（1）依题意d =1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，即214y x =，得12y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+- ∵21114y x =，∴112xy x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，1112x t y -=-①，同理，2212xt y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12xt y -=-.即直线:12tAB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t=-，得PF AB ⊥于是1||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()22210y t y -++=21224AB y y t=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+当0t =时，PAB S V 最小，且最小值为4 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.21．已知函数()ln f x x =.（1）设2()()f x g x x=，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1ae -+上不单调，证明：111a a a +>+.【答案】（1）(x ∈为增区间；)x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()1,1ae -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111a a a +>+成立. 【详解】（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0xg x x -'=>，解得(x ∈为增区间；由312ln ()0xg x x -'=<解得)x ∈+∞为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111x xa x e ah x e x x x --'=-=>--当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，则()0xm x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()1,1ae -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，且()()11010ae e am eee a ea m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=-> ∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10xe x x >+>①在①中令x a =，∴111111aaa e a e e a a ->+⇒<⇒<++ 令1ln x a=∴1ln1ln 1ae a >+，即111ln 11ln a a a a>+⇒>-即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111a a a +>+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 的最大值为，求a 的值.【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a =或1a =-【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C 上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】（1）Q 22123sin ρθ=+， ∴2223sin 12ρρθ+=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得223412x y +=，曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=由22220143x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 故C上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为d ==则||sin 45d PA ︒===当0a ≥时，||PA1a =；当0a <时，||PA=1a =-.综上所述，1a =或1a =- 【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）(],1-∞；（2）证明见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）Q ()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为(],1-∞.（2）由（1）知max ()3f x s ==，于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号）上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）Q 3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。

赤峰市高三年级3·20模拟考试试题理科数学2024.03本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内．2．选择题答案必须使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}01A x x =<<，{}ln 1B x x =<，则()U A B =I ð（ ）A ．()0,1B ．()1,e C ．[)1,e D ．[),e +∞2．棣莫弗公式(cos i sin )cos()i sin()nx x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数2ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r．且1a =r ，2b =r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．π3C ．π6D ．5π64．命题“x ∀∈R ，*n ∃∈N ，2n x >”的否定形式是（ ）A ．x ∀∈R ，*n ∀∈N ，2n x ≤．B ．x ∃∈R ，*n ∃∈N ，2n x <．C ．x ∃∈R ，*n ∀∈N ，2n x ≤．D ．x ∃∈R ，*n ∀∈N ，2n x <．5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且周期6T =．若当[]3,0x ∈-时，()4xf x -=，则()2024f =（ ）A ．4B ．16C ．116D ．146．在下列四个图形中，点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（）A ．B ．C ．D ．7．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名大学生将前往3处场地A ，B ，C 开展志愿服务工作．若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A 时，场地B 有且只有1名志愿者的概率为（ ）A ．34B ．2150C ．611D ．358．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C 的方程为2212516x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且12PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆长轴交于点M ，则12:F M F M =（）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:49．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22cos a b c B +=，且sin sin 1A B +=，则ABC △的形状为（ ）A ．等边三角形B ．顶角为120︒的等腰三角形C ．顶角为150︒的等腰三角形D ．等腰直角三角形10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M中的元素的个数是（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．在直三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为2，M ，N ，P ，Q 分别是线段AC ，11A C ，1AA ，1CC 的中点，点D 在线段MP 上，则下列结论错误的是（ ）A ．三棱柱111ABC ABC -外接球的表面积为28π3B ．BD MQ⊥C ．DQ ⊥面1B QND ．三棱锥1D QB N -的体积为定值12．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为M ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点N ，若14FM FN =u u u u r u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．34y x=±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．43y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______14．已知圆()22:24C x y -+=，直线:1l y x =-+被圆C 截得的弦长为______15．已知函数ππ()sin()0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为______16．定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意(),1,1x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭，且当()0,1x ∈时，()0f x <恒成立．下列结论中可能成立的有______①()f x 为奇函数；②对定义域内任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+；③对12,(1,0)x x ∀∈-，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭；④2111312ni f f i i =⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a ，______．在①数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-；②数列{}n a 的前n 项之积为(1)22()n n n S n +*=∈N ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况．随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为(]495,505，(]505,515，…，(]535,545，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值x ；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值ξ服从正态分布2),1.(25N μ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，计算该批产品质量指标值519.75ξ≥的概率；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过515克的产品数量，求Y 的分布列和数学期望．附：若2(,)N x ξσ~，则()0.6827P u μσξσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈．19．（12分）已知函数1()1x f x a e x ⎛⎫=+-⋅⎪⎝⎭．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围．20．（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2．（1）求证：1A C ⊥平面11AB D ．（2）若平面α∥平面11AB D ，且平面α与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值．（3）在（2）的情形下，设平面α与正方体的棱AB 、1BB 、11B C 交于点E 、F 、G ，当截面的面积最大时，求二面角1D EF G --的余弦值．21．（12分）已知抛物线2:2(05)P y px p =<<上一点Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点F 的距离为5．过点F 做两条互相垂直的弦AB 、CD ，设弦AB 、CD 的中点分别为M 、N ．（1）求抛物线P 的方程．（2）过焦点F 作FG MN ⊥，且垂足为G ，求OG 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4-4：坐标与参数方程（本题满分10分）：已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，π2πθ≤≤）．（1）求曲线2C 的普通方程；（2）已知M ，N 分别是曲线1C ，2C 上的动点，求MN 的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）已知函数()f x x m =-．（1）当2m =时，求不等式()41f x x ≥-+的解集；（2）若()21f x m x ≥-+恒成立，求m 的取值范围．赤峰市高三年级3.20模拟考试试题理科数学答案2024.03一、选择题：题号123456789101112答案CBACBDADBBCD二、填空题：13．801415．π616．①③④解答题：17．解：（1）选①，当1n =时，1122a a =-，即12a =当2n ≥时，22n n S a =-①1122n n S a --=-②①-②得：122n n n a a a -=-，即12nn a a -=所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列所以2nn a =选②，当1n =时，112a S ==，即12a =当2n ≥时，(1)2(1)1222n n n n n n n S a S +--==，即(1)(1)2222n n n n n n a +--==当1n =时，12a =符合上式．所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列所以2nn a =（2）因为2log n n n b a a =+，所以2nn b n =+，所以12(222)(12)nn T n =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2(12)(1)122n n n n T -+=+-21222n n n n T ++=-+18．解（1）由频率分布直方图可知，Q 质量超过515克的产品的频率为50.0750.0550.010.65⨯+⨯+⨯=，∴质量超过515克的产品数量为400.6526⨯=（件）10(5000.0155100.0205200.0355300.0255400.005)518.5x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意可得518.5x μ== 1.25σ=则()(517.25519.75)0.6827P P μσξμσξ-<≤+=<≤≈，则该批产品质量指标值519.75ξ≥的概率：1(517.25519.75)(519.75)0.158652P P ξξ-<≤≥==（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过515克的概率为26130.654020==所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布．故，质量超过515克的件数Y 可能的取值为0，1，2，且132,20Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭221313()C 1,0,1,22020k kk P Y k k -⎛⎫⎛⎫∴==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222749(0)C 0.350.122520400P Y ⎛⎫∴==⨯=== ⎪⎝⎭，1213791(1)C 0.4552020200P Y ==⨯⨯==，22213169(2)C 0.422520400P Y ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭，Y ∴的分布列为Y 012P4940091200169400Y 的均值为4991169()012 1.3400200400E Y =⨯+⨯+⨯=或者13()2 1.320E Y =⨯=19．解（1）：当1a =时，e ()x f x x =，则2e (1)()x x f x x -='，所以，()1e f =，(1)0f '=，故当1a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=，即e y =．（2）当2a =时，1(1)e()1e xx x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为{}0x x ≠，222(2)e (1)e (1)e ()x x xx x x x x f x x x'+-++-==，由()0f x '>，即210x x +->，解得x <或x >，因此，当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝、⎫+∞⎪⎪⎭（3）法Ⅰ：因为1()1e xf x a x ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭，则22211((1)1)e ()1e x x a x x f x a x x x -+-⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭'，令()()211g x a x x =-+-，因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点，则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点，当1a =时，对任意的()0,1x ∈，()10g x x =-<恒成立，无零点，故不符合题意；当1a >时，函数()()211g x a x x =-+-在()0,1上单调递增，因为()010g =-<，只需()110g a =->，故1a >符合题意；当1a <时，函数()g x 的图象开口向下，对称轴为直线102(1)x a =->-，因为()010g =-<，只需()110g a =->，故1a <不符合题意，舍去综上所述，实数a 的取值范围是()1,+∞．法Ⅱ：令2(1)10a x x -+-=则2111a x x-=-有根．令1(1,)t x=∈+∞设()2g t t t =-由题意可知10a ->1a ∴>20．证明：（1）连接1AC ，1A B因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥又因为四边形11ABB A 是正方形，所以11A B AB ⊥，因为1A B BC B =I ，所以1AB ⊥平面1A BC ，因为1A C ⊂平面1A BC ，所以11A C AB ⊥．同理：111A C D B ⊥又因为1111AB B D B =I ，所以1A C ⊥平面11AB D ．（2）截面图形为如图所示的六边形的正六边形，所以最大的截面面积为16sin 602S =⨯︒=（3）因为平面α∥平面11AB D ，所以当截面EFG 的面积最大时，E 、F 、G 分别是棱AB 、1BB 、11B C 的中点，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系()10,0,2D ，()2,1,0E ，()2,2,1F ，()1,2,2G 设平面1D EF 的一个法向量是111(,,)n x y z =r，1(2,1,2)D E =-u u u u r ，1(2,2,1)D F =-u u u u r ，11111111220220n D E x y z n D F x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u r r u u u u rr令13x =，则12y =-，12z =，(3,2,2)n =-r设平面GEF 的一个法向量是222(,,)m x y z =r，(0,1,1)EF =u u u r ，(1,0,1)FG =-u u u r 22220m EF y z m FG x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，令21x =，则21y =-，21z =，则(1,1,1)m =-r cos ,n m n m n m ⋅===⋅r r r rr r 设二面角1D EF G --的平面角为θ，由图知θ为锐角，所以cos θ=，所以二面角1D EF G --．21．解：（1）由题可知，24252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得，2p =或8p =（舍）所以，抛物线P 的方程为24y x=（2）设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，则得124y y m +=，21242x x m +=+，2(21,2)M m m ∴+，同理2221,N mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭①1m =±时，3OG =②当1m ≠±时，22222:2(21)22MNm m l y m x m m m+∴-=---根据曲线对称性可知，令0y =时，则3x =．所以直线MN l 恒过点(3,0)E 又FG MN ⊥，所以点G 在以FE 为直径的圆上，且轨迹方程为()2221x y -+=，由几何图形关系可知，OG 的最大值为322．解：（1）由cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，可得cos 4sin x y θθ=⎧⎨-=⎩消去参数θ得2222(4)sincos 1x y θθ+-=+=，所以曲线2C 的普通方程为()2241x y +-=，又因为π2πθ<<所以曲线2C 的普通方程为22(4)1(34)x y y +-=≤≤（3）因为曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以设点M的坐标为(2cos )αα，设圆心2C 与1C 上任意一点的距离为d则d ==设sin t α=，[]1,1t ∈-，则d ==，min 4d =，所以min 3MN d r =-=23．解：①当2m =时，()41f x x ≥-+，即214x x -++≥当1x ≤-时，不等式化为214x x -+--≥，解得32x ≤-，所以32x ≤-当12x -<<时，不等式化为214x x -+++≥，解得x φ∈当2x ≥时，不等式化为214x x -++≥，解得52x ≥，所以52x ≥综上，原不等式的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ②若()21f x m x ≥-+恒成立，即min 12x m x m⎡-++⎤≥⎣⎦因为111x m x x m x m -++≥---=+（当且仅当()()10x m x -+≤时，等号成立），所以12m m +≥，即12m m +≥或12m m +≤-，解得1m ≤或13m ≤-故m 的取值范围为(],1-∞．。

绝密★启用前赤峰市高三年级4·20模拟考试试题理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,3U A B = ,(){}2,4U A B = ,则集合B 为（ ） A ．{}1,3,5,6,7,8 B ．{}2,4,5,6,7,8C ．{}5,6,7,8D ．{}1,2,3,42、棣莫弗公式()()cos sin cos ,sin nn r i r n i n θθθθ+=，（i 是虚数单位，0r >）是由法国数学家棣莫弗（16671754−）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内的复数112cos sin 44i ππ+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B ．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C ．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D ．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4、函数()21sin f x x x x =−在()(),00,ππ− 上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第n 环，则第1n −号环必须解下(或套上)，1n −往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ，已知()12121,2,213n n n a a a a a n −−===++≥，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（ ） A ．42 B ．85 C ．170 D ．3416、下列选项中，命题p 是命题q 的充要条件的是（ ） A ．在ABC 中，:p A B >，:sin sin q A B >.B ．已知x ,y 是两个实数，2:230p x x −−≤，:02q x ≤≤.C ．对于两个实数x ,y ,:8p x y +≠，:3q x ≠或5y ≠.D ．两条直线方程分别是1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +−+−=,12:p l l ∥，:2q a =或1−.7、记函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ =+><< 的最小正周期为T .若()f T =,6x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．68、四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线(如右图)，其方程为()322228x y x y +=，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。

内蒙古自治区赤峰市市松山区第四中学2020年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2 B．2e2 C．4e2 D．参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；作图题；导数的综合应用．【分析】由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．【解答】解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．【点评】本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．2. 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q = ( )A. B. C.2 D.1参考答案：A3. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）参考答案：C略4. 等差数列的前n项和满足，则其公差d等于A．2 B．4 C．±2D．±4参考答案：A5. 已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上实根的个数是（）A．7 B．8 C. 9 D．10参考答案：C由题意知，，所以是以2为周期的函数，在平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示，观察图象可知这两个函数的图象在上的交点有9个，故选C.6. 如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，．故选：B．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题7. 如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC的三等分点．则的取值范围为( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为2cos，然后由﹣1＜cosθ＜1求得答案．【解答】解：∵====，∴=（）?（）=﹣==2cos．∵﹣1＜cosθ＜1，∴﹣＜2cosθ+＜．∴∈（﹣）．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题．8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分散直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是A.90B.75C.60D.45参考答案：C略9. （理）设函数，其中为取整记号，如，，。

一、单选题二、多选题1. 曲线在点处的切线斜率为（ ）A．B．C．D．2. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D ．23.已知，，则（ ）A．B．C．D．4. 某中学为提高学生的健康水平，增设了每天40分钟的体育锻炼课程，学生可以在跳绳、羽毛球、乒乓球、篮球、排球等课程中选择一门.为了解该校学生参与乒乓球运动的情况，在全校班级中随机抽取了7个班（将其编号为1，2，…，7），下表是这7个班参与乒乓球运动的人数统计表：班编号1234567人数/人1510141591113若从这7个班中随机选取2个进行调查研究，则选出的2个班中至少有1个班参与乒乓球运动的人数超过12人的概率为（ ）A．B．C．D．5.的值为A ．1B．C．D．6.已知函数，则（ ）A．有一个极值点B．有两个零点C ．点（0，1）是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线7. 某地区安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A ，B 两人安排在同一个社区，C ，D 两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（ ）A ．72B ．84C ．90D ．968. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知是等轴双曲线C 的方程，P 为C 上任意一点，，则（ ）A ．C的离心率为B ．C 的焦距为2C ．平面上存在两个定点A ，B，使得D．的最小值为内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学(理科)4月20日试题(2)内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学(理科)4月20日试题(2)三、填空题四、解答题10. 已知向量，，则（ ）A．若与垂直，则B ．若，则的值为C ．若，则D ．若，则与的夹角为45°11. 已知函数的定义域为，，则下述正确的是（ ）A ．为奇函数B ．为偶函数C．的图象关于直线对称D ．的图象关于点对称12. 如图，正方体的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是（）A ．当时，S 为四边形；B．当时，S 不为等腰梯形；C ．当时，S与的交点满足；D ．当时，S 的面积为.13. 展开式奇数项的二项式系数和为32，则该展开式的中间项是__________.14.若，则________；________.15.抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，则的外接圆的方程为________．16. 已知，函数，．(1)讨论的单调性；(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．17. 已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.18. 已知函数，.（1）设时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，.19. 在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20. 已知函数．(1)求函数的最小值；(2)若方程有两实数解，求证：．（其中为自然对数的底数）．21. 已知函数，.(1)写出函数的单调区间；(2)求函数的最大值；(3)求证：方程有唯一实根，且.。

一、单选题二、多选题1. 已知向量，若，则（ ）A．B．C．D．2.已知平面向量，则A．B ．3C．D ．53. 在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ）A ．1B．C．D．4. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则与满足的关系是（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，，若，恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为A．B．C．D．7. 如图，B 地在A地的正东方向处，C 地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远．现要在曲线上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A ．万元B ．万元C ．万元D ．万元8. 已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P ，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．9. 斜圆锥顾名思义是轴线与底面不垂直的类似圆锥的锥体．如图，斜圆锥的底面是半径为2的圆，为直径，是圆周上一点，且满足．斜圆锥的顶点满足与底面垂直，是中点，是线段上任意一点．下列结论正确的是（ ）内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学(理科)4月20日试题内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学(理科)4月20日试题三、填空题四、解答题A ．存在点，使得B ．在劣弧上存在一点，使得C ．当时，平面D ．三棱锥体积的最大值为10.（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．是等比数列C．D．11. 在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ）A．平面B ．平面C．与平面所成的角为D ．三棱锥的体积为12.已知多面体中，平面是正方形，平面，，且，，取中点，在平面中，作，且，则下列说法中正确的是（）A ．平面B．直线与所成角的正切为C．D ．中点到平面的距离为13. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，已知的面积等于10，，则___________，a 的值为___________.14. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________.15.已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.16. 为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占；女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占.根据调查结果制作了如下列联表.更擅长理科其他合计男生女生合计（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率.附：，其中.17. 设的内角所对的边分别为，且，，函数.（1）求角的取值范围；（2）求的值域.18. 已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为.①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值；②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列.19. 已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列，的前项和为，证明：.20. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数（）的值域为，求b的值；（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．21. 唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n.如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批店三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立.(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率；(2)已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X元，求X的分布列及数学期望.。