内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学(文)试题

内蒙古赤峰市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【详解】A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC所以1B M AE ⊥，所以存在C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.2．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.3．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r ，则3m =是//a b r r 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 【答案】A【解析】【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r （，），//a b r r ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r， //a b r r ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.4．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则A B =I（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-【答案】A【解析】【分析】 解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D ．105 【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d a a a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =. 在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==故选D ． 6．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．1 【答案】D【解析】【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=， ()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2-- 【答案】C【解析】【分析】 对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.8．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．534【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.10．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 【答案】A【解析】【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2.【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.11．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】 根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】【分析】 根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市苏木中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像如图所示，则它的解析式是（）A.B.C.D.参考答案：C2. 若，，则A∩B=（）A．{1,2} B．{0,1} C．{0,2} D．{2}参考答案：C由题意可得：又∴故选：C3. （5分）已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣1参考答案：B【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．解：∵，∴=（﹣i）3=i．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4. 已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段的中点的横坐标为A．B．C．D．参考答案：A5. 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A．4320 B．2400 C．2160 D．1320参考答案：D【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】依题意，分（1，1，1，3）；（1，1，2，2）两组，先分组，后排列，最后求和即可．【解答】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有?=388，第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）?=932根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．6. 已知，，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（）A．B．C． D．参考答案：B略7.已知函数f (x ) = x3 + mx2 + (m + 6) x + 1既存在极大值又存在最小值，则实数m的取值范围是（）A．(－1，2) B．(－∞，－3)∪(6，+∞)C．(－3，6) D．(－∞，－1)∪(2，+∞)参考答案：答案：B8.下列命题中是假命题的是（）A． B．C．上递减D．都不是偶函数参考答案：答案:D9. 若实数满足则的最小值是（）A．0 B． C．1 D．2参考答案：【答案】A【解析】本小题主要考查线性规划问题。

2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|3＜x＜6}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，6）C．（﹣1，3）D．∅2．已知复数z满足（3+i）z＝1﹣3i（i为虚数单位），则z＝（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．14．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠（yuè）、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则这4个数据的平均数与极差分别为（）A．3.1767，0.0615B．3.1767，0.0533C．3.1745，0.0484D．3.1547，0.05335．已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线2x﹣y+5＝0截得的弦长为4，则⊙O的方程为（）A．x2+y2＝4B．x2+y2＝9C．x2+y2＝8D．x2+y2＝66．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，且a＝，则＝（）A．2B．3C．4D．27．已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，则S7＝（）A．64B．63C．127D．488．已知α∈（，π），且cos2α＝sin2α+1，则cosα＝（）A．B．C．D．9．点F为抛物线y2＝4x的焦点，点A（2，1），点P为抛物线上与直线AF不共线的一点，则△APF周长的最小值为（）A．3B．3C．4D．210．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，且f（x）的图象关于点（x0，0）对称，则|x0|的最小值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝，则不等式f（2x﹣1）＜f（x﹣2）的解集为（）A．（0，2）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）12．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，∠CAB＝，点F是线段AB上的一点，若＝2，＝，且•＝，则λ＝（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝2cos x+sin x在点（0，2）处的切线方程为．14．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是m/s．15．已知圆锥的体积为π，其底面半径和母线长的比为1：3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．16．过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若＝，3≤λ≤4，则C的离心率的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝5，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{}的前n项和T n＜．18．如图，三棱锥A﹣BCD中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等边三角形，AD＝BD＝1，M为BC中点．（1）试在棱AC上确定一点N，使MN∥平面ABD；（2）证明：平面ABC⊥平面ADM；（3）求点M到平面ABD的距离．19．某超市为了促销某品牌粮食，记录了每天销售员的人均日业绩，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于55袋的概率；（2）用分层抽样的方法在样本数据[45，55），[55，65）中抽取一个容量为5的样本，再在这个样本中任取两天，求这两天的数据都在[55，65）中的概率．20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1，F2，过点F1的直线l与椭圆E交于M、N两点，△MNF2的周长为4．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E右焦点的直线l1，l2互相垂直，且分别交椭圆E于A，B和C，D四点，求|AB|+|CD|的最小值．21．设函数f（x）＝x2﹣a（x+alnx）（a＞0），f′（x）是函数f（x）的导函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（1）+f′（1）＝0，证明：++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点到直线C1距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x﹣m的解集为R，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|3＜x＜6}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，6）C．（﹣1，3）D．∅解：因为集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|3＜x＜6}，由集合交集的定义可知，A∩B＝∅．故选：D．2．已知复数z满足（3+i）z＝1﹣3i（i为虚数单位），则z＝（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i解：由（3+i）z＝1﹣3i，得z＝＝＝．故选：B．3．已知x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．故选：B．4．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠（yuè）、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则这4个数据的平均数与极差分别为（）A．3.1767，0.0615B．3.1767，0.0533C．3.1745，0.0484D．3.1547，0.0533解：由题意，这4个数据分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，这4个数据的平均数为（3.1547+3.1992+3.1498+3.2031）＝3.1767，4个数据中最大的时3.2031，最小的为3.1498，极差为3.2031﹣3.1498＝0.0533．故选：B．5．已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线2x﹣y+5＝0截得的弦长为4，则⊙O的方程为（）A．x2+y2＝4B．x2+y2＝9C．x2+y2＝8D．x2+y2＝6解：∵⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线2x﹣y+5＝0截得的弦长为4，设⊙O的方程为x2+y2＝r2，则弦心距为d＝＝，∴（）2+（2）2＝r2，解得r2＝9，可得圆的标准方程为x2+y2＝9，故选：B．6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，且a＝，则＝（）A．2B．3C．4D．2解：△ABC的三边a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，整理得，由于A∈（0，π），所以A＝，故sin A＝，故．故选：A．7．已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，则S7＝（）A．64B．63C．127D．48解：设等比数列{a n}的公比为q，由题设可得：，解得：或，∵数列{a n}是递增数列，∴，∴S7＝＝127，故选：C．8．已知α∈（，π），且cos2α＝sin2α+1，则cosα＝（）A．B．C．D．解：因为cos2α＝sin2α+1，所以cos2α﹣sin2α＝sinαcosα+sin2α+cos2α，可得﹣2sin2α＝sinαcosα，因为α∈（，π），sinα≠0，所以sinα＝﹣cosα，由于cos2α+sin2α＝1，可得cos2α+cos2α＝1，可得cosα＝±，因为α∈（，π），cosα＜0，所以cosα＝﹣．故选：D．9．点F为抛物线y2＝4x的焦点，点A（2，1），点P为抛物线上与直线AF不共线的一点，则△APF周长的最小值为（）A．3B．3C．4D．2解：求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）＝2+1＝3，∵|AF|＝＝，∴△PAF周长的最小值为3+，故选：B．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，且f（x）的图象关于点（x0，0）对称，则|x0|的最小值为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝2，•＝﹣，∴ω＝1．集合五点法作图，1×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（x+）．根据f（x）的图象关于点（x0，0）对称，可得x0+＝kπ，k∈Z，则|x0|的最小值为，此时，k＝0，故选：B．11．已知函数f（x）＝，则不等式f（2x﹣1）＜f（x﹣2）的解集为（）A．（0，2）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）解：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝lg（1+x）＝f（x），当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝lg（1﹣x）＝f（x），所以函数f（x）在R上是偶函数，所以不等式f（2x﹣1）＜f（x﹣2）等价于f（|2x﹣1|）＜f（|x﹣2|），因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以|2x﹣1|＜|x﹣2|，两边同时平方化简可得：﹣1＜x＜1，即不等式f（2x﹣1）＜f（x﹣2）的解集为（﹣1，1），故选：C．12．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，∠CAB＝，点F是线段AB上的一点，若＝2，＝，且•＝，则λ＝（）A．B．C．D．解：直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，则以A点为原点AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的直角坐标系，因为AB＝2，AD＝，∠CAB＝，所以A（0，0），B（2，0），C（1，），D（0，），因为＝2，设E（m，n），则（﹣1，）＝2（m﹣1，n﹣），所以m＝，n＝，所以E（，），因为＝，所以F（2λ，0），所以＝（，），＝（2λ，﹣），所以•＝λ﹣＝，解得λ＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝2cos x+sin x在点（0，2）处的切线方程为x﹣y+2＝0．解：∵y＝2cos x+sin x，∴y′＝﹣2sin x+cos x，∴曲线y＝2cos x+sin x在点（0，2）处的切线的斜率k＝1，∴曲线y＝2cos x+sin x在点（0，2）处的切线的方程y＝x+2，即x﹣y+2＝0．故答案为：x﹣y+2＝0．14．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是m/s．解：将O＝2700代入可得，故答案为：．15．已知圆锥的体积为π，其底面半径和母线长的比为1：3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为2π．解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得×2×＝×（3+3+2）r，∴r＝，∴该圆锥内切球的表面积为4πr2＝4π×＝2π，故答案为：2π．16．过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若＝，3≤λ≤4，则C的离心率的取值范围为[，]．解：不妨设点A在渐近线y＝﹣x上，则点B在渐近线y＝x上，∵AB⊥OA，∴直线AB的方程为y＝（x﹣c），联立，解得A（，﹣），联立，解得B（，），∵＝，∴（﹣c，）＝λ（c﹣，），∴＝λ•，即λ＝，∵3≤λ≤4，∴3≤≤4，又b2＝c2﹣a2，∴a2≤c2≤a2，∵e＝＞1，∴≤e≤，∴C的离心率的取值范围为[，]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝5，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{}的前n项和T n＜．解：（1）∵a1、a4、a13成等比数列，∴a42＝a1a13，∴（5+2d）2＝（5﹣d）（5+11d），化为d2﹣2d＝0，d≠0，解得d＝2，∴a n＝5+2（n﹣2）＝2n+1．证明：（2）S n＝＝n（n+2），∴＝＝（﹣），∴T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜18．如图，三棱锥A﹣BCD中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等边三角形，AD＝BD＝1，M为BC中点．（1）试在棱AC上确定一点N，使MN∥平面ABD；（2）证明：平面ABC⊥平面ADM；（3）求点M到平面ABD的距离．【解答】（1）解：取AC的中点N，因为M，N分别为BC，AC的中点，所以MN∥AB，又MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD；（2）证明：因为AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，因为DC＝DB，M为BC的中点，所以DM⊥BC，又AD∩DM＝D，AD，DM⊂平面ADM，所以BC⊥平面ADM，又因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADM；（3）解：设点M到平面ABD的距离为d，由等体积法V M﹣ABD＝V A﹣BDM，所以，又，AD＝1，，所以，故点M到平面ABD的距离为．19．某超市为了促销某品牌粮食，记录了每天销售员的人均日业绩，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于55袋的概率；（2）用分层抽样的方法在样本数据[45，55），[55，65）中抽取一个容量为5的样本，再在这个样本中任取两天，求这两天的数据都在[55，65）中的概率．解：（1）设事件A为“随机选取一天，这一天该超市的销售员人均业绩不少于55袋”，依题意，该超市人均业绩不少于55袋的频率分别为：0.3，0.2，0.15，0.05，∵0.3+0.2+0.15+0.05＝0.7，∴随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于55袋的概率为0.7．（2）由题知，样本数据[45，55），[55，65）分别有20天，30天，∴容量为5的样本中，[45，55）有2天，记为1，2，[55，65）中有3天，记为3，4，5，从中任取2天，基本事件有10种，分别为：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种，其中都在[55，65）的有3种，分别为：34，35，45，∴这两天的数据都在[55，65）中的概率为P＝．20．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1，F2，过点F1的直线l与椭圆E交于M、N两点，△MNF2的周长为4．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E右焦点的直线l1，l2互相垂直，且分别交椭圆E于A，B和C，D四点，求|AB|+|CD|的最小值．解：（1）由题意可知，△MNF2的周长为4，所以4a＝4，即a＝，由e＝，即＝，解得c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）知，椭圆的右焦点为（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），当直线l1的斜率为0时，|AB|＝2a＝2，直线l2为：x＝2，所以|CD|＝，所以|AB|+|CD|＝2+＝，当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，|AB|+|CD|＝，当直线l1的斜率存在且不为0时，直线l2的方程可设为x＝my+2（m≠0），则直线l2的方程为x＝﹣y+2，所以，整理得（3+m2）y2＝4my﹣2＝0，△＝16m2+8（m2+3）＞0恒成立，则，所以|AB|＝|y1﹣y2|＝＝＝，联立直线l2与椭圆的方程可得|CD|＝＝，则|AB|+|CD|＝2（+）＝，令m2+1＝t，则g（t）＝＝＝（t＞1），当t∈（1，+∞）时，﹣（﹣1）2＝4∈（3，4]，则g（t）＝∈[，），所以|AB|+|CD|∈[2，），所以|AB|+|CD|的最小值为2．21．设函数f（x）＝x2﹣a（x+alnx）（a＞0），f′（x）是函数f（x）的导函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（1）+f′（1）＝0，证明：++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝2x﹣a﹣＝，∵a＞0，∴x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，即f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增；（2）证明：由（1）可知f（1）＝1﹣a，f′（1）＝2﹣a﹣a2，∴1﹣a+2﹣a﹣a2＝0，解得：a＝1或a＝﹣3（舍），∴f（x）＝x2﹣x﹣lnx，由（1）知：函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝0，即f（x）≥0即x2﹣x≥lnx对任意x＞0恒成立，当且仅当x＝1时“＝”成立，令x＝＞1，n∈N*，则﹣＞ln，整理得：＞ln＝ln（n+1）﹣lnn，∴++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]＝ln（n+1），即原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝．（1）求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点到直线C1距离的最大值．解：（1）直线C1的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x﹣y+4＝0．曲线C2的极坐标方程为ρ2＝，根据，转换为直角坐标方程为；（2）设曲线上的点（cosθ，sinθ），利用点到直线的距离得d＝＝，当cos（θ+）＝1时，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x﹣m的解集为R，求m的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得①；②；③；∵，∴不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）不等式f（x）≥x﹣m解集为R⇔﹣m≤f（x）﹣x恒成立，设g（x）＝f（x）﹣x，则，①当x＞1时，g（x）＝2x+1＞3；②当﹣1≤x≤1时，g（x）＝3；③当x＜﹣1时，g（x）＝﹣4x﹣1＞3．∴g（x）min＝3．∵﹣m≤g（x）恒成立⇔﹣m≤g（x）min，由﹣m≤3，得m≥﹣3．∴m的取值范围是[﹣3，+∞）．。

2021年内蒙古赤峰市高三4月统一能力测试数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}21,0,1,|20M N x x x =-=--=，则()U C M N ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}1-C ．{}2,1,2--D ．{}1,1- 2．已知复数11z i =-，则（ ） A ．z 的实部为12 B ．z 的虚部为12i - C．z =D ．z 的共轭复数为1122i + 3．若方程221y x a+=（α是常数）则下列结论正确的是（ ）A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线4．已知()()1,2,2,4a b ==-，且ka b +与b 垂直，则k =（ ） A ．103 B ．203- C ．103- D ．203 5．某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：根据上表得回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=−3.2,a ̂=y −b ̂x ，按此回归方程估计零售价为5元时的销售量估计为（ ）个．A ．16个B ．20个C ．24个D ．28个6．不等式220x x m -+>在R 上恒成立的必要不充分条件是（ ）A ．2m >B ．01m <<C ．0m >D ．1m > 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 8．设n S 是公差1d =-的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则n a =（ ）A ．12n -- B ．12n - C ．12n + D ．12n -+9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3100cm B ．398cm C ．388cm D ．378cm 10．已知0,2πωϕ><，若6x π=和76x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的两个相邻的极值点，将()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数y g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．y g x 是奇函数B ．y g x 的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．y g x 的图象关于直线2x π=对称D ．yg x 的周期为π11．已知点(),P x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2 B．．．412．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A B 、，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ） AC二、填空题 13．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 14．若22)nx 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．15．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，13,2,2AB AD A A ===，过棱作AD 该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为___________． 16．已知函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数a 的取值范围__________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足*1,n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，11,AC AB A BC ==∆是正三角形，11111//,2B C BC B C BC =．（1）求证：平面1A AC ⊥平面ABC ； （2）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数 1 [)0,2 12 2 [)2,4 16 3 [)4,634 4 [)6,8 44 5 [)8,10 50 6 [)10,1224 7 [)12,14 12 8 [)14,16 4 9 [)16,184 合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的,a b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(4,22A 在椭圆上，且2AF 与x 轴垂直． （1）求椭圆的方程；（2）过2F 作直线与椭圆交于B C 、两点，求COB ∆面积的最大值． 21．设函数()()2ln 0,1xf x x a x aa a =-->≠．（1）当a e =时，求函数()f x 的图像在点()()0,0f 的切线方程；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 22．选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD 内接于O ，过点A 作O 的切线EP ，交CB 的延长线于P ，035PAB ∠=．（1）若BC 是O 的直径，求D ∠的大小 ；（2）若035PAB ∠=，求证：22DA DCAP PC=． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为8cos 384sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是()23400ρρρ--=≥．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程； （2）设直线l 与曲线 C 相交于A B 、两点，求AOB ∠的值． 24．选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =-+++的最小值为1． （1）求a b c ++的值； （2）求证：22213a b c ++≥．参考答案1．A 【解析】试题分析：因}2,2{},2,1{},1,0,1{-=-=-=M C N M U ,故}2{)(=N M C U ,应选A. 考点：集合的交集运算. 2．C 【解析】 试题分析：因i i i z 21212111--=-+=-=,故22||=z ,应选C. 考点：复数的概念及运算. 3．B 【解析】 试题分析：显然当时,该方程表示椭圆,故应选B.考点：椭圆的标准方程. 4．C 【解析】试题分析：由题设0)(=⋅+k ,即02=+⋅k ,也即0206=+k ,故310-=k ,应选C.考点：向量的坐标形式及运算. 5．C 【解析】 试题分析：因,,代入b ̂=−3.2,a ̂=y −b ̂x ,可得,则,故当时,,应选C.考点：线性回归方程及运用. 6．C 【解析】试题分析：因不等式恒成立的充要条件是1m >,故当0>m 时,不等式不是恒成立的,故0>m 是不充分条件,应选C.考点：充分必要条件的判定和运用.7．B 【解析】试题分析：由算法流程图所提供的信息可以看出50552101110321>=⨯=+⋅⋅⋅+++=c ,因输出的结果是55=c ,故应选B. 考点：算法流程图的识读和理解. 8．B 【解析】试题分析：由题设可得)64()12(1121-=-a a a ,解之得211-=a ,故n n a n -=---=21)1(21,应选B.考点：等差数列的通项及前n 项和. 9．A 【解析】试题分析：从三视图提供的图形信息和数据信息可知该几何体的一个四棱柱去掉一个三棱锥角所剩余的几何体.其体积10081084)4321(31636=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ,故应选A. 考点：三视图的识读和理解. 10．B 【解析】 试题分析：由题设,故,即,所以；又因为,故,又因为0,2πωϕ><,故,所以.将其图象向左平移6π个单位后得,显然该函数的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭对称.故应选B. 考点：三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以一道求函数解析表达式为()()cos f x x ωϕ=+的实际应用问题为背景,要求研究经过平移后的函数的图象和性质.解答本题时,首先要求确定解析式中的未知参数的值,求得()()cos f x x ωϕ=+,然后向左平移6π个单位后得.这里确定的值是解答本题的关键.11．D 【解析】试题分析：因要使弦AB 最短,则弦心距最大,根据图形可知,圆内部的点)3,1(P 到圆心)0,0(O 距离最大,此时10=OP ,因此最小弦长410142=-=L ,故应选D.考点：线性规划和直线与圆的位置关系的等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识与直线与圆等知识的综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩及圆2214x y +=表示的平面区域和图形,如上图, 借助题设条件可知使弦AB 最短,则弦心距最大. 根据圆的几何性质和不等式表示的区域可知,圆内部的点)3,1(P 到圆心)0,0(O 距离最大,此时10=OP ,因此最小弦长410142=-=L ,从而使问题简捷巧妙获解.12．D 【解析】试题分析：由题设可知以21F F 为直径的圆与直线AB 相切,而直线的方程为1=+-bya x ,即0=+-ab ay bx ,故圆心)0,0(O 到直线0=+-ab ay bx 的距离c cabb a ab d ==+=22,即2c ab =,也即4222)(c c a a =-,所以124=+e e ,解之得2152-=e ,故应选D. 考点：椭圆的几何性质等知识的综合运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为圆心)0,0(O 到直线0=+-ab ay bx 的距离c cabb a ab d ==+=22的问题,建立了关于c a ,的方程,从而求得离心率2152-=e .借助椭圆的定义和题设条件建立方程是解答好本题的关键.13．-【解析】 试题分析：因344ππα<<,故,所以，,应填210-. 考点：三角变换及运用． 14．180 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】由题意可得只有第六项的二项式系数5n C 最大，∴n ＝10． 故展开式的通项公式为T r +110rC =•102r x-•2r •x ﹣2r ＝2r •10rC •1052r x-，令1052r -=0，求得r ＝2，故展开式中的常数项是 22210C =180， 故答案为180 【点睛】本题考查了二项式系数与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．15．2【解析】试题分析：由题意可知当截面圆的直径是AD 时,过AD 的截面圆的面积最小,即1=r ,又21744921=++=R ,故球心距2131417=-=d ,应填2. 考点：球的几何性质及运用．【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是立体几何中的重点和难点问题,也是各级各类考试的重要题型之一.求解时一定要先搞清几何体是怎样与球体内切和外接的,这是解答这类问题的关键也是解好这类问题的突破口.解答本题时,其中的题设条件截面面积最小是较难领会和理解的.只要搞清这句话的含义就能顺利求解球的半径了.因此这是本题的难点,经过分析当截面圆的直径是AD 时,过AD 的截面圆的面积最小,由此可求得求的半径21744921=++=R ,继而求得球心距2131417=-=d . 16．211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题设函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点可得方程0ln 22=+-a x x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两根.即x x a ln 22-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两根,也即直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点.因x x x x x x h )1)(1(222)(/-+=-=,故当11<<x e时,0)(/<x h ,函数单调递减；当e x <<1时,0)(/>x h ,函数单调递增,其最小值为1)1(=h ,而21)1(,2)(22+=-=e e h e e h ,且)1()(e h e h >,故当2112+≤<e a 时,直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点.应填211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.考点：导数和函数的图像与性质等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置的是一道函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的前提下求参数a 的取值范围问题.解答时要先将函数的零点问题转化为方程有两个根的问题.进而分离参数,再运用函数思想将问题转化为研究函数的图象的性质和最大最小值得问题.求解时,先对函数x x x h ln 2)(2-=求到得到xx x x x x h )1)(1(222)(/-+=-=,再求得最小值是212+e ,最后借助函数的图象判定当2112+≤<ea 时, 直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点,从而使得问题获解.整个求解过程体现了转化与化归的数学思想和数形结合的思想. 17．(1)12n n a =；(2)332n nn T +=-. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的知识求解；(2)借助题设条件运用错位相减法求解. 试题解析：（1）解：∵1n n S a =-，则111n n S a ++=-， 作差得：11n n n a a a ++=-，∴112n n a a +=， 又111S a =-，即111112a a a =-⇒=，知0n a ≠，∴112n n a a +=，∴{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴1111222n n n a -⎛⎫==⎪⎝⎭（2）由（1）得：12n nn b +=， ∴1231234122222n n n n n T -+=+++++，∴234112341222222n n n n n T ++=+++++，∴23411111111111113342211122222222212nn n n n n n n n T +++-+++=+++++-=+-=--，∴332n n n T +=-考点：等比数列的通项、错位相减法求和等有关知识的综合运用． 18．(1)证明见解析；(2)125. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设条件运用分解转化法求解. 试题解析：（1）1111AC A B A A AC ====，满足22211A A AC A C +=， 于是1A A AC ⊥，又1,,,A A AB AC AB A AC AB ⊥⋂=在平面ABC 内， 所以1A A ⊥平面ABC（2）依题意得：11111C AB BAC A B CV V V --=+， 而111111111333C A B BA A B BA V S CA -=⨯⨯=⨯⨯=， 11111111111133212C A B C A B C V S A A -⎛=⨯⨯=⨯⨯= ⎝⎭， 故11531212V =+= 考点：空间直线与平面的位置关系中面面垂直的判定、体积转化法等有关知识的综合运用． 19．(1)9.0；(2)125.0；(3)第四组. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布表和直方图的知识求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(3)借助频率分布直方图及分布表运用加权平均数公式计算分析推断. 试题解析：（1）根据频数分布表知，200名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有12+4+4=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是2010.9200-=，故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9（2）课外阅读时间落在组[)4,6内的有34人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距，课外阅读时间落在组[)8,10内的有50人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距 （3）()11536121316534744950112413121541747.68200200t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（小时），所以样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组 考点：频率分布直方图、频率分布表、加权平均数等有关知识的综合运用．20．(1)2213216x y +=；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件将点(4,A 在椭圆上建立方程求解；(2)借助题设条件联立方程组,建立目标函数运用基本不等式求解. 试题解析：（1）由已知得：24,b c a ==4a b ==， 故椭圆方程为2213216x y += （2）设BC 的直线方程为()()11224,,,,x ty B x y C x y =+； 由2242320x ty x y =+⎧⎨+-=⎩，得()2228160t y y ++-=，()()222126464212810,t t t y y ∆=++=+>-=，21211422DBC S OF y y ∆=⨯⨯-=⨯=≤，当0t =时取等号，COB ∆面积取最大值为考点：椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式等有关知识的综合运用． 【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的求椭圆的标准方程问题时,直接依据题设条件将点(4,A 的坐标代入椭圆方程建立方程,然后再结合基本量c b a ,,的关系,求出c b a ,,的值,最终求出椭圆的方程;第二问的求解过程中,先设BC 的直线方程为()()11224,,,,x ty B x y C x y =+,再与椭圆方程联立方程组消去x 得()2228160t y y ++-=.然后再借助坐标之间的关系建立目标函数2221216tt S ++=,最后运用基本不等式求出其最小值,从而使得问题获解. 21．(1)1y =-；(2)[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系分析推证. 试题解析：（1）当a e =时，()2xf x x x e =--，所以()()12,00xf x x e f ''=--=，又因为()01f =-，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y =-（2）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-成立， 而当[]1,1x ∈-时，()()()()12max min f x f x f x f x -≤-， 所以只要()()max min 1f x f x e -≥-即可． 又因为()(),,x f x f x '的变化情况如下表所示：所以()f x 在[]1,0-上是减函数，在[]0,1上是增函数，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为()()1112ln f f a a a--=--， 令()()12ln 0g a a a a a =-->，因为()22121110g a a a a ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g a 在[)0,+∞上是增函数，而()10g =，故当1a >时，()0g a >，即()()11f f >-；当01a <<时，()0g a <，即()()11f f <-．所以，当1a >时，()()101f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，函数ln y a a =-在()1,+∞上是增函数，解得a e ≥；当01a <<时，()()101f f e --≥-，即1ln 1a e a+≥-，函数1ln y a a =+在()0,1上是减函数，解得10a e<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦考点：导数的几何意义导数在研究函数单调性和最值极值等方面的的综合运用． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求指定点()()0,0f 处的切线方程,求解时先借助导数求得切点处的导函数值,即为切线的斜率；第二问中借助导数,运用导数求在不等式()()121f x f x e -≥-恒成立的前提下实数a 的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,先求函数()f x 在闭区间]1,1[-上的最大值和最小值,其中通过构造函数,再分进行分析推证,进而求得实数a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解. 22．(1)0125D ∠=；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用圆内接四边形的性质求解；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理推证. 试题解析：（1）解：∵EP 与圆O 相切于点0,35A ACB PAB ∠=∠=，又BC 是圆O 的直径， ∴055ABC ∠=，∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴0180ABC D ∠+∠=，∴0125D ∠=（2）证明 ：∵035DAE ∠=，∴,ACD PAB D PBA ∠=∠∠=∠， ∴ADCABP ∆∆，∴DA DCBP BA=，DBA BDA ∠=∠，∴DA BA =， ∴2DA DC BP =，2AP BP PC =，∴22DA DCAP PC= 考点：相似三角形和圆幂定理等有关知识的综合运用． 23．40y ++=，2216x y +=；(2)23AOB π∠=. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用极坐标和参数方程与直角坐标的互化关系的知识求解；(2)借助题设条件运用直线与圆的位置关系求解. 试题解析：（1）由124x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去t ，得直线l40y ++=，()()2340,140,4ρρρρρ--=+-==曲线C 的直角坐标系方程为2216x y +=（2）C 的圆心()0,0到直线40l y ++=的距离为2d ==，∴121cos 242AOB ∠==，∵1022AOB π<∠<∠，∴123AOB π∠=，故23AOB π∠=考点：极坐标参数方程、直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用． 24．(1)1；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对的几何意义求解；(2)借助题设条件运用配方法分析推证.（1）因为0,0,0a b c >>>()f x x a x b c x a x b c a b c =-+++≥---+=++，当且仅当()()0x a x b --≤时取等号，所以1a b c ++=． （2）因为()()()22222222313a b ca b c a b c ++-=++-++()()()2222222222220a b c ab bc ac a b b c c a =++---=-+-+-≥所以22213a b c ++≥考点：绝对值不等式的几何意义和配方法等有关知识的综合运用．。

内蒙古赤峰市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c c a b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜ D ．11()()22ab<【答案】C 【解析】 【分析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．2．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案.将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <， 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题. 3．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】 求出AB 的元素，再确定其真子集个数．【详解】由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A B 中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．4．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B．[2]C．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．[2]【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【详解】解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3x π=对称，33382k πππϕπ∴⨯-+=+，k Z ∈， 78πϕ∴=，函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 3,182x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()2sin 3[2,2]8f x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，即()f x 的值域是[2,2]-，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．5．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A.故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题. 6．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法:由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 7．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=，()70900.9544P X <=， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 9．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位【答案】D 【解析】55cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()332612y x x x x πππππ=+=++=+=+，所以要的函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个长度单位得到，故选D10．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.52+=， 故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f D ．以上情况均有可能【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【详解】 由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-， 所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，(cos )(sin )f f αβ<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=则()()()()1221121212121212121122211111MB MC y x y x y yy y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前赤峰市高三1·30模拟考试试题文科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}210A x x =-≤∣，{2,1,0,1}B =--，则A B ⋂=（） A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{2,1,0}--D ．{1,1}-2．已知复数z 满足32z i =+，i 是虚数单位，则z z ⋅=（） A ．13B ．13C ．5D ．53．设α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l α⊂，则l //β是//αβ的（） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知0a <，0b >，则下列结论正确的是（）A ．11a b<B ．||a b >∣ C ．1122a b⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭D ．22b a >5．下图是某统计部门网站发布的《某市202年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI ）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）2020年居民消费价格月度涨跌幅度下列说法错误的是（）①2020年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨2.0%②2020年6月CPI 环比上升0.1%，同比无变化 ③2020年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨0.2% ④2020年3月CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7% A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③6．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）A ．12y x = B ．1sin sin y x x=+C ．x xy e e-=-D ．2log ||y x =7．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为21，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A ．110B ．15C ．310D ．3208．设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()f x f x -=，且在(0,)+∞上单调递增，(2)0f =，2()g x x =，则函数()()y f x g x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，ACD △为等边三角形，将ACD △沿边AC 折起，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．43π D ．163π10．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，若3||||MF NF =，O 为坐标原点，则||||NF OF =（） A ．43B ．34C ．4D ．5411．设函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎫⎛=+>><⎪⎝⎭的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,012π⎫⎛- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称 C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为3- D ．要得到函数()f x 的图象，只需将3cos2y x =的图象向右平移6π个单位 12．若函数32()312(0)f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x ，2x ，则()()12f x f x +的取值范围是（） A ．(,16]-∞B ．(,16)-∞C ．(16,)+∞D ．[16,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60A =︒，a =4b =，则ABC S =△ ．14．已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足2AM AB AC =+，则MB MD ⋅= ．15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其左焦点为(2,0)F -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点N ，且与另一条渐近线交于点M ，若MN NF =，则双曲线的渐近线方程为 ． 16．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是 ．①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形； ②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33； ③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且1a q =，1b d =，221a b +=，431a b +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令12()n m n -*=∈N ，求证：()21216m n n a a a b b ++⋅⋅⋅+=+． 18．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，CD//AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）证明：当2MA EM =时，直线CE//平面BDM ； （2）当AE ⊥平面MBC 时，C BDM -的体积．19．某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了40名学生，其中有四成学生经常使用手机．40名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于70分为一般，70分以上为良好．（1）根据以上资料完成以下22⨯列联表，并判断有多大的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”．物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 经常使用手机 合计（2）现将40个成绩分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)共5组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这40名学生的物理平均成绩的估计值．（3）从这40名学生成绩高于90分的人中随机选取2人，求至少有一人不使用手机的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．定义椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的“蒙日圆”的方程为2222x y a b +=+，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为1e 2=． （1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA ，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”点E 交于点D ，O 为坐标原点，若直线OM ，OD 的斜率存在，且分别设为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值．21．已知函数1()ln(1)1f x a x x =-+-． （1）如果函数()()22g x f x x =-+在(1,)+∞上单调递减，求a 的取值范围； （2）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C 极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>，且曲线C 与直线l 有且只有一个交点． （1）求a ；（2）过点O 且倾斜角为β的直线交直线l 于点A ，交曲线C 异于原点的一点B ，,43ππβ⎫⎡∈⎪⎢⎣⎭，求||||OB OA 的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲 设函数()|1|f x x =-．（1）求(2)(1)f x f x ++的最小值m ；（2）在（1）的件下，证明()221cos sin 2f f m αα⎫⎛-+≤ ⎪⎝⎭． 赤峰市高三1·30模拟考试试题 文科数学参考答案一、选择题二、填空题 13．3．14-15．3y x =±16．①②④ 三、解答题17．（1）解：由已知，得1(1)n a a n d =+-，1111n n n b b q d a --=⋅=⋅221a b +=，431a b +=，11211131a d b qa db q ++=⎧∴⎨++=⎩， 即2131q d dq q d dq ++=⎧⎨++=⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩或01d q =⎧⎨=-⎩（舍去） 2(1)331n a n n ∴=+-⨯=-，132n n b -=⋅（2）证明：12()n m n -*=∈N左边()112(231)22m m m a a m m a a a ++-=++⋅⋅⋅+==23122m m =+123422n n --=⋅+ 右边()()21112113943242662n n n n n n b b ----=+=⋅+⋅=⋅+因此，原式得证18．（1）证明：连结BD 与AC 交于点N ，连结MNAB//CD ，24AB CD ==，CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴== 12EM MA =，EM CNMA AN∴=，MN //EC ∴ 又MN ⊂面BDM ，CE ⊂/面BDM ，CE//∴平面BDM （2）解：AE ⊥平面MBC ，AE BM ∴⊥，AB AE BE ==M ∴是AE 的中点，面ABE ⊥面ABCD ，∴点E 到面ABCD 的距离为3432d =⨯=∴M 到面ABCD 的距离为32dh ==111232233323C BDM M BCD BCD V V S h --∴==⋅=⋅⋅⋅=△19．解：（1）物理成绩一般 物理成绩良好 合计不使用手机 6 18 24 经常使用手机 10616合计16 24 402240(661810)45 5.625 3.841241624168K ⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”．或25.625 5.024K =>，有97.5%的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”． （2）设40名学生物理平均成绩估计值为x550.015650.025750.020850.0225950.017575.25x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）高于90分经常使用手机的有2人，分别设为A ，B 不使用手机的有5人，分别设为a ，b ，c ，d ，e高于90分人中随机抽取2人共有：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ae ；Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Be ；ab ，ac ，ad ，ae ；bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共21种则至少有一人不使用手机的概率为2021p =20．解：（1）由题意知24a =，12c e a ==，1c ∴=，23b ∴=∴椭圆的方程22143x y +=， ∴“蒙日圆”E 的方程为22437x y +=+=，即227x y +=（2）当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，则由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x mkx m +++-=()()2222644344120m k k m ∴∆=-+-=，2234m k ∴=+由227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2221270k x mkx m +++-= ()()2222244174120m k k m k ∴∆=-+-=+>设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12221mkx x k-+=+，212271m x x k -=+ ()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++∴==()22121212k x x km x x mx x +++= 222222222272711771m mkk km m m k k k m m k --++-++==--+ 2234m k =+，222212227347373474m k k k k k m k -+-∴===--+-当切线MA 的斜率不存在且为零时，1234k k =-成立， 12k k ∴为定值21．解：（1）因为()()22g x f x x =-+在(1,)+∞上单调递减， 等价于21()201(1)a g x x x '=--≤--在(1,)+∞恒成立 变形得12(1)(1)1a x x x ≤-+>-恒成立而1(1)12x x -+≥=-（当且仅当12(1)1x x -=-，即1x =+时，等号成立）．所以a ≤ （2）2(1)1()(1)a x f x x --'=-，令()0f x '=，解得1a x a+=当x 变化时，()f x '，()f x 的取值及变化如下表所以min 11()1ln (1ln )f x f a a a a a a⎫⎛=+=+=- ⎪⎝⎭ （ⅰ）当0e a <<时，min ()0f x >，所以()f x 在定义域内无零点； （ⅱ）当e a =时，min ()0f x =，所以()f x 在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当e a >时，min ()0f x <，①因为(2)10f =>，所以()f x 在增区间11,a ⎫⎛++∞ ⎪⎝⎭内有唯一零点； ②211(2ln )f a a a a ⎫⎛+=-⎪⎝⎭， 设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-， 因为e a >，所以()0h a '>，即()h a 在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)0h a h >>，即2110f a ⎫⎛+>⎪⎝⎭，所以()f x 在减区间11,1a ⎫⎛+ ⎪⎝⎭内有唯一的零点．所以当e a >时，()f x 在定义域内有两个零点综上所述：当0e a <<时，()f x 在定义域内无零点； 当e a =时，()f x 在定义域内有唯一的零点； 当e a >时，()f x 在定义域内有两个零点．22．解：（1）直线l的普通方程为10x -+=， 曲线C 的普通方程为222()x a y a -+=因为曲线C 与直线l 有且只有一个交点，所以直线l 与曲线C 相切， 所以圆心(,0)C a 到直线l 的距离为a 到直线，所以a =，解得1a =或13a =-解得（舍去）（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθθ-+=曲线C 极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>则设点A 的极坐标为()1,ρβ，点B 的极坐标为()2,ρβ，1||OA ρ=，2||OB ρ=1ρ∴=22cos ρβ=)2||cos )2cos 2cos cos ||OB OA ββββββ∴=-⋅=-)22cos cos βββ=-1cos2222cos212ββββ⎫+=-=--=⎪⎝⎭2sin 216πβ⎫⎛-- ⎪⎝⎭ ,43ππβ⎫⎡∈⎪⎢⎣⎭，2,632πππβ⎫⎡∴-∈⎪⎢⎣⎭，2sin 211,1)6πβ⎫⎛∴--∈- ⎪⎝⎭， ||1,1)||OB OA ∴∈ 23．（1）解：131,21(2)(1)|21|||1,0213,0x x f x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪++=-+=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩∴当12x =时，(2)(1)f x f x ++的最小值为12m = （2）证明：()222211cos sin sin sin 22f f αααα⎫⎛-+=-- ⎪⎝⎭． 当21sin 02α-≤时，原式222111sin sin 2sin 222ααα=+-=-≤ 当21sin 2α>时，原式2211sin sin 22αα=-+= 12m =，()221cos sin 2f f m αα⎫⎛∴-+≤ ⎪⎝⎭ 或用如下方法：()221cos sin 2f f αα⎫⎛-+= ⎪⎝⎭2222111sin sin sin sin 222αααα⎫⎛--≤-+= ⎪⎝⎭。

赤峰市高三4·20模拟考试试题文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}20,10A B x x x ==-≥，则()AB =R（ ）A. [0,1)B. (0,1]C. (,1]-∞D. [0,1]【答案】D2. 设复数i(12i)z =-，则z z ⋅=（ ） A. 5 B.5C.3D. 3【答案】A3. 设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a ->”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A4. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A 校、B 校、C 校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A 校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）A. 测试成绩前200名学生中B 校人数超过C 校人数 1.5倍B. 测试成绩前100名学生中A 校人数超过一半以上C. 测试成绩在51—100名学生中A 校人数多于C 校人数D. 测试成绩在101—150名学生中B 校人数最多29人【答案】C5. 设42ln2,log ,lg a b e c e ===（e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A. b a c <<B. b c a <<C. c b a <<D.a b c <<【答案】C6. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，则截面1BED F 分别在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值1【答案】D7. 设向量,a b 满足a b ⊥，||2||a b =，若c a b ，则cos ,b c <>=（ ）A.43 B.5 C. 43D. 5【答案】D8. 设O 为坐标原点，直线2y =与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (0,1)D. (0,2)【答案】B9. 已知函数2()23cos 2sin cos =+f x x x x ，则有下列结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③()f x 在232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增；④把2cos2y x =的图像上的所有点向右平移12π为个单位长度，可得到()y f x =的图像，其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②④C. ①③D. ①③④【答案】A 10. 设奇函数()f x 的定义域为R ，34f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数，当302x <≤时，3()4f x x =-，则(2020)2(2021)f f +=（ ）A.14B. 14-C.34D. 114-【答案】B11. 已知函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点，则实数a =（ ） A.3227B. 3227-C.2732D. 2732-【答案】C12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为4，A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两个点，M 是双曲线C 上异于A ，B 的动点，直线,MA MB 斜率分别12,k k ，若11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2k 的取值范围为（ ） A. [24,4]--B. 31,816⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. [4,24]D.13,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件222022x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为____________.【答案】114. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在三位数的回文数中，出现偶数的概率为_____________. 【答案】4915.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin 2,462A b c π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则a的最小值为_________. 【答案】216. 如图是一个由正方体截得八面体的平面展开图，它由六个等腰直角三角形和两个正三角形构成，若正三角形的边长为2，则这个八面体中有下列结论：①平面//ABC 平面111A B C ；②多面体111ABC A B C -是三棱柱；③直线AB 与直线11A B 所成的角为60︒；④棱1BB 所在直线与平面ABC 所成的角为4π.以上结论正确的是________.【答案】①③三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且777S =，11a 是1a 和61a 的等比中项.（1）求数列{}n a 通项公式； （2）设11n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）23n a n =+；（2）5(25)n nT n =+.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，60ADC ∠=︒，且2PA AB PB BC ====，E 为PA 的中点.（1）证明：//BE 平面PCD ； （2）求三棱锥P BCD -体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.19. 某校的学习方法研究小组，设计了关于学习能力的问卷调查表，小组从高二年级学生中按性别（女生占55%）分层抽取n 名同学进行调查，并把学生的学习能力由低到高按1，2，3，4，5五个基数进行赋分，形成如下条形图已知基数为2的学生人数占总调查人数的425.（1）求n 与a 的值；（2）若将某同学得分所在的基数0t 作为学习能力指标（基数05t =表示学习能力高，其他均为学习能力不高）.在学习能力基数为5的学生中，男生与女生的比例为3:7，以本次抽取的n 名同学为研究对象，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学习能力基数的高低与性别有关.（3）为了提高同学们的学习能力，该学习方法研究小组建议学校开设学习方法系列课程经过课程.学习之后，每位同学的学习能力T 与学习能力基数0t 以及参加学习方法课程的次数k 满足函数关系式()150011kT t t e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.如果学生A 的学习能力基数为4，学生B 的学习能力基数为2，则在A 不参加学习方法课程的情况下，B 至少需要参加多少次学习方法课程，其学习能力才能超过A ？参考数据及参考公式：ln 3 1.099≈，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）100n = ，20a =；（2）列联表见解析，没有把握；（3）17次.20. 已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>P ⎛ ⎝⎭，A 为椭圆T 的右顶点，直线l 的方程为2x a =-，M ，N 为直线l 上任意两点，,M N y y 分别为点M ，N 的纵坐标，且满足9M N y y ⋅=-，连接,AM AN 分别交椭圆T 于C ，D 两点. （1）求椭圆T 的方程； （2）求证：直线CD 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 21. 已知函数()(,)x f x e mx n m n R =++∈（1）当0n =时，方程()0f x =有两个根，求m 的取值范围； （2）若不等式()0f x ≥恒成立，证明：ln m nx x e+≥-. 【答案】（1）m e <-；（2）证明见解析.请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 如图是以等边三角形OAB 的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围城的曲边三角形，记为勒洛OAB （勒洛三角形是德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 为轴正半轴为极轴建立极坐标系，（规定：极径0ρ≥，极角[,]θππ∈-），已知点2,,2,66A B ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求AB 和OB 的极坐标方程； （2）已知点2,12M π⎫-⎪⎭，Q 是AB 上的动点，求||MQ 的取值范围. 【答案】（1）2,,66ππρθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，4cos ,,663πππρθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）[22,2]选修4—5：不等式选讲23. 设,,x y z ∈R ，0,1x y z xyz ++==（1）证明：0xy yz zx ++<；（2）用min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中的最小数，证明：min{,,}x y z ≤【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.。

高考数学模拟试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M I 等于（ ）（A ）)1,1(- （B ）)3,1( （C ）)1,0( （D ）)0,1(-2．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ）（A ）2x y = （B ）3x y -= （C ）||lg x y -= （D ）x y 2=3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）.（A ）9（B ）10（C ）19（D ）294．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是（A ）23 （B ）43（C ）53 （D ）836．在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则（ ）（A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ== 7. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ） 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ） 若//αβ，//m α，则//m β （C ） 若//αβ，m α⊥，则m β⊥ （D ） 若//m α，//m β，则//αβ俯视图侧（左）视图正（主）视图111128．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，2x 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) 12x x =，12s s < (B) 12x x =，12s s >(C) 12x x >，12s s >(D)12x x =，12s s =9．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) （A ）191622=+y x (y ≠0) （B ） 192522=+x y (y ≠0)（C ）191622=+x y (y ≠0) （D ）192522=+y x (y ≠0)10． 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ） （A ） 向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ） 向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度11．已知直线x y =按向量a 平移后得到的直线与曲线)2ln(+=x y 相切，则a 可以为 （A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（0，2） （D ）（2，0）12．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）[5,5]- （B ）11[,]33-（C ） 11[,0)(0,]33-U （D ）33[,0)(0,]-U数学试题（文科）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13． 若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z . 14.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是____________.15. 给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与 输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为____________.16．已知数列{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n ，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.18．（本题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．EDPCA19．（本题满分12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示： （I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．20．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且C 上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设直线l 与椭圆交于P 、Q ，O 为坐标原点，若90POQ ∠=︒，求证2211PQOQ+为定值．4653100频率 组距2xyQOP21.（本小题满分12分） 已知函数1()1e xf x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =. (Ⅰ)OD ∥AE ; (Ⅱ)求FDAF的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为22,2(24.2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M N 、. (Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．数学试题（文科）参考答案一、选择题：BABA BACB DCAD 二、填空题：13、12i -； 14、53； 15、{}0,1,3； 16、()3,-+∞ 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）因为sin 3cos b A a B =，由正弦定理sin sin a bA B=得：sin 3cos B B =，tan 3B = 因为02B π<<，所以3B π=---------------------------6分（Ⅱ）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ① 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ② 由①②得3,23a c ==。

赤峰第二实验中学 高三年级模拟考试(一)数学试卷本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，共150分，考试用时120分钟．第一卷 选择题(共45分)参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)． ·柱体的体积公式V ＝Sh. ·球体的体积公式V ＝43πR3.一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．设全集I ＝{x|－3<x<3，x ∈Z}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，0，2}，那么A ∪(∁IB)＝( ) A ．{－1，1，2} B ．{1} C ．{2} D ．{0，1，2}2．“α＝π3＋kπ(k ∈Z)〞是“tan(α－π6)＝33〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[x]表示不超过实数x 的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx ＋x －4的零点，那么g(x0)＝( )A ．5B ．4C ．3D ．24．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的准线分别交于A ，B 两点．假设双曲线C 的离心率为2，△AOB 的面积为3，O 为坐标原点，那么抛物线C2的焦点坐标为( )A ．(2，0)B ．(1，0) C.⎝⎛⎭⎫22，0 D.⎝⎛⎭⎫12，0 5．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，那么ξ的数学期望为( )A.13B.12C.23D.346．函数f(x)＝sin2x －2sin2x ＋1，给出以下四个结论，其中正确的结论是( ) A ．函数f(x)的最小正周期是2π B ．函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数 C ．函数f(x)的图象关于x ＝π16对称 D ．函数f(x)的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到7．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1<x2)，都有f 〔x1〕x1>f 〔x2〕x2，记a ＝25f(0.22)，b ＝f(1)，c ＝－log53f(log 135)，那么a ，b ，c 大小关系为( )A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>b>cD ．a>c>b8．国际顶峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，那么不同的提问方式的种数为( )A ．378B ．306C ．268D ．1989．圆O 的半径为2，P ，Q 是圆O 上任意两点，且∠POQ ＝60°，AB 是圆O 的一条直径，假设点C 满足OC →＝(λ－1)OP →＋λOQ →(λ∈R)，那么CA →·CB →的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4第二卷 非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．) 10．a 为实数，i 为虚数单位，假设复数z ＝(a2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i2 0201＋i ＝________．11．假设⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x4的系数为－448，那么实数a ＝________．12．一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．那么该半球体的体积为________．13．函数f(x)＝xlnx ＋a 的图象在x ＝1处的切线被圆C ：x2＋y2－2x ＋4y －4＝0截得弦长为2，那么实数a 的值为________．14．假设x>0，y>0，且log23x ＋log29y ＝log481，那么此时x ＋2y ＝________，2x ＋x ＋3y3y 的最小值为________．15．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]2f 〔x －2〕，x ∈〔0，＋∞〕，那么3logf(3)256＝________；假设方程f(x)＝x ＋a 在区间[－2，4]上有三个不等实根，那么实数1a的取值范围为________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．(本小题总分值14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cosC(acosB ＋bcosA)＋c ＝0.(1)求角C 的大小； (2)假设a ＝2，b ＝2.求：①边长c ；②sin(2B －C)的值． 17．(本小题总分值15分)如下图，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF ∥CE ，BC ⊥CE ，DC ＝CE ＝4，BC ＝BF ＝2.(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； (3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18．(本小题总分值15分)椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点F2作OQ 的平行线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，记△QF2M 的面积为S1，△OF2N 的面积为S2，令S ＝S1＋S2，求S 的最大值．19．(本小题总分值16分)数列{an}是等比数列，公比大于0，前n 项和为Sn(n ∈N*)，{bn}是等差数列，a1＝12，1a3＝1a2＋4，a3＝1b4＋b6，a4＝1b5＋2b7.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式an ，bn ；(2)设{Sn}的前n 项和为Tn(n ∈N*)： ①求Tn ；②假设cn ＝〔Tn ＋1－bn ＋1〕bn ＋3bn ＋1bn ＋2，，求Rn 的取值范围．20．(本小题总分值15分)函数f(x)＝ax ＋bx ex ，a ，b ∈R ，且a>0.(1)假设函数f(x)在x ＝－1处取得极值1e，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)的单调区间； (3)设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)，g′(x)为g(x)的导函数．假设存在x0∈(1，＋∞)，使g(x0)＋g′(x0)＝0成立，求ba的取值范围．数学答案1．A [命题立意]此题考查集合的并集、补集运算．[解析]∵I ＝{x|－3<x<3，x ∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{－2，0，2}，∴∁IB ＝{－1，1}，又∵A ＝{1，2}，∴A ∪(∁IB)＝{－1，1，2}，应选A.2．C [命题立意]此题考查充分、必要条件．[解析]当α＝π3＋kπ(k ∈Z)时，tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫π6＋kπ＝33；当tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33时，α－π6＝π6＋kπ，k ∈Z ，∴α＝π3＋kπ，k ∈Z ，∴“α＝π3＋kπ(k ∈Z)〞是“tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33〞的充要条件，应选C.3．D [命题立意]此题考查函数的零点．[解析]∵f(x)＝lnx ＋x －4在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，∴f(x)存在唯一零点x0，且x0∈(2，3)，∴g(x0)＝2，应选D.4．B [命题立意]此题考查双曲线、抛物线的几何性质．[解析]∵双曲线的离心率为2，∴ba ＝3，即双曲线的渐近线为y ＝±3x ，又∵抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x ＝－p2，∴|AB|＝2|yA|＝3p ，∴S △AOB ＝12·p2·3p ＝3，∴p ＝2.∴抛物线的焦点坐标为(1，0)，应选B.5．B [命题立意]此题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列、数学期望． [解析]由图可知(0.006×2＋0.01＋0.054＋x ＋0.006)×10＝1，∴x ＝0.018，∴不低于80分的学生共有50×(0.018＋0.006)×10＝12人，90分以上的学生有50×0.006×10＝3人，从这12人中选取2人，成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C13C19C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122，∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，应选B.6．B[命题立意]此题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质．[解析]∵f(x)＝sin2x －2sin2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴T ＝2π2＝π，A 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，f(x)单调递减，B 正确；f ⎝⎛⎭⎫π16＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8＋π4≠±1，C 错误；f(x)图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位得到，D 错误，应选B.7．C [命题立意]此题考查函数的奇偶性、单调性的应用．[解析]∵f(x)是R 上的奇函数，∴f 〔x 〕x 是定义域上的偶函数，∵对x1<x2(x1>0，x2>0)，都有f 〔x1〕x1>f 〔x2〕x2，∴f 〔x 〕x 在(0，＋∞)上单调递减，∵log35>1>0.22>0，∴f 〔log35〕log35<f 〔1〕1<f 〔0.22〕0.22，又∵c ＝－log53f(log 135)＝log53f(log35)＝f 〔log35〕log35，a ＝25f(0.22)＝f 〔0.22〕0.22，∴a>b>c ，应选C. 8．D [命题立意]此题考查排列、组合问题．[解析]只选一个国内媒体的提问方式有C16C23A33＝108，选两个国内媒体的提问方式有C26C13·A22＝90，∴共有108＋90＝198种方式，应选D.9．C [命题立意]此题考查向量的运算、向量的数量积．[解析]∵CA →·CB →＝(CO →＋OA →)·(CO →＋OB →)＝CO →2－OA →2＝CO →2－4，∴要求CA →·CB →的最小值，只须求CO →2的最小值，∵OC →＝(λ－1)OP →＋λOQ →，∴OC →2＝(λ－1)2OP →2＋λ2·OQ →2＋2λ(λ－1)OP →·OQ →＝4(λ－1)2＋4λ2＋2λ(λ－1)×2×2×cos60°＝12λ2－12λ＋4＝12⎝⎛⎭⎫λ－122＋1，∴当λ＝12时，OC →2取得最小值1，∴CA →·CB →的最小值为1－4＝－3，应选C.10.2 [命题立意]此题考查复数的有关概念、复数的模．[解析]∵z ＝(a2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2－1＝0a ＋1≠0，∴a ＝1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i2 0201＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋11＋i ＝22＝ 2.11．－2 [命题立意]此题考查二项展开式中特定项的系数．[解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为Tr ＋1＝Cr8x8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝arCr8x8－43r ，令8－43r ＝4，得r ＝3，∴x4的系数为a3C38＝－448，∴a ＝－2.12．46π [命题立意]此题考查球的体积．[解析]体积为8的正方体边长为2，边长为2的正方形的外接圆半径r ＝2，∴球的半径R ＝22＋2＝6，∴半球体的体积为12·43·πR3＝46π.13．－6或2 [命题立意]此题考查导数的几何意义、直线与圆的位置关系．[解析]圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，∴圆心C(1，－2)，半径r ＝3，∵切线被圆C 截得的弦长为2，∴圆心到切线的距离d ＝9－1＝22，∵f(x)＝xlnx ＋a ，∴f′(x)＝1＋lnx ，∴f(1)＝a ，f′(1)＝1，∴切线方程为y －a ＝x －1即x －y ＋a －1＝0，∴圆心C 到直线的距离d ＝|1＋2＋a －1|12＋12＝22，解得a ＝－6或a ＝2.14．226＋63[命题立意]此题考查对数运算、根本不等式． [解析]∵log23x ＋log29y ＝log481，∴log2(3x·9y)＝log29，∴x ＋2y ＝2，又∵x>0，y>0，∴2x ＋x ＋3y 3y ＝x ＋2y x ＋x ＋3y 3y ＝2＋2y x ＋x3y ≥2＋223＝2＋263，当且仅当2y x ＝x 3y时等号成立，∴2x ＋x ＋3y 3y 的最小值为26＋63. 15．81 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪{1} [命题立意]此题考查分段函数、方程的根． [解析]∵f(3)＝2f(1)＝4f(－1)＝4，∴logf(3)256＝log4256＝4，∴3logf(3)256＝34＝81.当x ∈(0，2]时，x －2∈(－2，0]，∴f(x)＝2f(x －2)＝2－2|x －1|，当x ∈(2，4]时，x －2∈(0，2]．∴f(x)＝2f(x －2)＝4－4|x －3|，方程f(x)＝x ＋a 在区间[－2，4]上有三个不等实根等价于函数y ＝f(x)的图象和y ＝x ＋a 的图象在区间[－2，4]上有三个交点，作出y ＝f(x)和y ＝x ＋a 的图象如图：当直线经过点A(1，2)，B(3，4)时有3个交点，此时a ＝1；当直线过原点时有4个交点，此时a ＝0；当直线过点C(2，0)时有2个交点，此时a ＝－2，由图象得当两图象有3个交点时a ＝1或－2<a<0，∴1a ＝1或1a <－12.16．[命题立意]此题考查正、余弦定理、二倍角公式、两角差的正弦公式．[解题思路](1)利用正弦定理将化为角的关系，求出角C ；(2)①利用余弦定理求得c 边；②利用正弦定理求得sinB ，利用二倍角公式求出sin2B ，cos2B ，代入两角差的正弦公式即可．[解](1)由及正弦定理得2cosC(sinAcosB ＋sinBcosA)＋sinC ＝0， ∴2cosCsinC ＋sinC ＝0， ∴cosC ＝－22，∵0<C<π， ∴C ＝3π4.(2)①因为a ＝2，b ＝2，C ＝3π4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝2＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝10， ∴c ＝10.②由c sinC ＝b sinB sinB ＝55，因为B 为锐角，所以cosB ＝255， sin2B ＝2×55×255＝45，cos2B ＝cos2B －sin2B ＝35， sin(2B －C)＝sin2BcosC －cos2BsinC ＝45×⎝⎛⎭⎫－22－35×22＝－7210. 17．[命题立意]此题考查线面平行、二面角、线面角．[解题思路]建立空间直角坐标系，(1)利用向量法只需证明AF 与平面CDE 的法向量垂直；(2)分别求出平面ADE 和平面BCEF 的法向量，利用向量法求得锐二面角的大小；(3)利用向量法求出线面角的正弦值，再利用同角三角函数关系式求余弦．[解](1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC ⊥CE ，BC ⊥CD ，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD ∩平面BCEF ＝BC ，∴DC ⊥平面BCEF. 以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如下图空间直角坐标系．那么：A(2，0，4)，B(2，0，0)，C(0，0，0)，D(0，0，4)，E(0，4，0)，F(2，2，0)，那么AF →＝(0，2，－4)，CB →＝(2，0，0)． ∵BC ⊥CD ，BC ⊥CE ，∴CB →为平面CDE 的一个法向量． 又∵AF →·CB →＝0×2＋2×0＋(－4)×0＝0AF 平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE.(2)设平面ADE 的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n1＝0DE →·n1＝0.∵AD →＝(－2，0，0)，DE →＝(0，4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x1＝04y1－4z1＝0，取z1＝1，得n1＝(0，1，1) ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为CD →＝(0，0，4)， 设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，那么cosα＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n1|CD →|·|n1|＝44×2＝22. 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4.(3)根据(2)知平面ADE 一个法向量为n1＝(0，1，1)，∵EF →＝(2，－2，0)， 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，那么 sinθ＝|cos 〈EF →，n1〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·n1|EF →||n1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－222·2＝12 ∴cosθ＝1－sin2θ＝32因此，直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值为32. 18．[命题立意]此题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、最值问题．[解题思路](1)利用圆与直线相切求得b ，再利用离心率求得a ，写出椭圆的方程；(2)设直线MN 的方程与椭圆方程联立消x ，利用韦达定理及弦长公式求得|MN|的表达式，利用OQ ∥MN 将问题转化为求S △OMN 的最大值，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，得到面积的表达式；利用换元法和根本不等式求最值即可．[解](1)由题意知：e ＝c a ＝22，∴a2＝2b2 又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为x2＋y2＝b2，且与直线x －y ＋2＝0相切，所以b ＝212＋〔－1〕2＝2，所以a ＝2，故椭圆C 的标准方程为x24＋y22＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OQ ：x ＝my. 那么直线MN ：x ＝my ＋ 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x24＋y22＝1，得(m2＋2)y2＋22my －2＝0，∴y1＋y2＝－22mm2＋2，y1y2＝－2m2＋2，∴|MN|＝1＋m2|y1－y2|＝1＋m2〔y1＋y2〕2－4y1y2＝4〔m2＋1〕m2＋2，∵MN ∥OQ ，∴S △QF2M ＝S △OF2M ， ∴S ＝S1＋S2＝S △OMN ，因为点O 到直线MN ：x ＝my ＋2的距离d ＝21＋m2即为MN 上的高h.∴S ＝12|MN|d ＝221＋m2m2＋2，令t ＝1＋m2，那么m2＝t2－1(t ≥1)． S ＝22t t2＋1＝22t ＋1t，∵t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1t时等号成立，即t ＝1.此时m ＝0，Smax ＝ 2.19．[命题立意]此题考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、裂项相消求和． [解题思路](1)解方程组求出a1、q 和b1、d 即可；(2)①利用等比数列前n 项和公式求出Sn ，再利用等差、等比数列前n 项和公式求得Tn ；②利用裂项相消法求得Rn ，再利用Rn 的单调性求得Rn 的取值范围．[解](1)设数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1＝12，1a3＝1a2＋4，可得⎩⎨⎧a1＝121a1q2＝1a1q＋4，整理得1q2－1q －2＝0，解得q ＝－1(舍)或q ＝12，所以数列{an}通项公式为an ＝12n，设数列{bn}的公差为d ，因为a3＝1b4＋b6，a4＝1b5＋2b7，可得⎩⎨⎧18＝12〔b1＋4d 〕116＝13b1＋16d，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋4d ＝43b1＋16d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝0，d ＝1，所以数列{bn}的通项公式为bn ＝n －1.(2)①由等比数列的前n 项和公式， 可得Sn ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，所以Tn ＝(1＋1＋…＋1)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n －⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －1＋12n ， ②由①，可得cn ＝〔Tn ＋1－bn ＋1〕bn ＋3bn ＋1bn ＋2＝⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＋1－n ·〔n ＋2〕n·〔n ＋1〕＝n ＋2n·〔n ＋1〕·2n ＋1＝1n·2n －1〔n ＋1〕·2n ＋1，所以{cn}的前n 项和Rn ＝c1＋c2＋…＋cn ＝⎝⎛⎭⎫11·2－12·22＋⎝⎛⎭⎫12·22－13·23＋…＋⎝⎛⎭⎫1n·2n －1〔n ＋1〕·2n ＋1＝12－1〔n ＋1〕·2n ＋1，易知12－1〔n ＋1〕·2n ＋1<12，又∵Rn ＝12－1〔n ＋1〕·2n ＋1是关于n 的单调递增函数，∴Rn ≥R1＝38，从而Rn ∈⎣⎡⎭⎫38，12.20．[命题立意]此题考查函数的极值、单调区间、方程有根问题．[解题思路](1)利用⎩⎪⎨⎪⎧f′〔－1〕＝0，f 〔－1〕＝1e 解方程组求得a ，b ，从而得到f(x)解析式；(2)对f(x)求导、解不等式、得f(x)单调区间；(3)问题转化为x ∈(1，＋∞)，使2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0成立，构造函数u(x)＝2ax3－3ax2－2bx ＋b(x>1)，对u(x)求导，判单调，利用零点存在性定理得ba的取值范围．[解](1)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f′(x)＝ax2＋bx －bx2ex ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧f′〔－1〕＝0f 〔－1〕＝1e ， 即⎩⎪⎨⎪⎧〔a －2b 〕e －1＝0，〔－a ＋b 〕－1·e －1＝1e 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以函数f(x)＝2x ＋1x ex(x ≠0)．(2)f′(x)＝2x2＋x －1x2·ex ＝〔x ＋1〕〔2x －1〕x2·ex ， 令f′(x)>0得x<－1或x>12，令f′(x)<0得－1<x<0或0<x<12.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞， 单调递减区间是(－1，0)，⎝⎛⎭⎫0，12. (3)∵g(x)＝⎝⎛⎭⎫ax －bx －2a ex ，(a>0)，∴g′(x)＝⎝⎛⎭⎫b x2＋ax －bx －a ex ， 由g(x)＋g′(x)＝0，得⎝⎛⎭⎫ax －b x －2a ex ＋⎝⎛⎭⎫b x2＋ax －bx －a ex ＝0， 整理得2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0.存在x0∈(1，＋∞)，使g(x0)＋g′(x0)＝0成立，等价于存在x0∈(1，＋∞)，使2ax30－3ax20－2bx0＋b ＝0成立． 设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx ＋b(x>1)．那么u′(x)＝6ax2－6ax －2b ＝6ax(x －1)－2b ， 当b ≤0时，u′(x)>0，此时u(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因此u(x)>u(1)＝－a －b.因为存在x0∈(1，＋∞)，使2ax30－3ax20－2bx0＋b ＝0成立， 所以只要－a －b<0即可，此时－1<ba≤0.当b>0时，令u(x)＝b ，解得x1＝3a ＋9a2＋16ab 4a >3a ＋9a24a ＝32>1，x2＝3a －9a2＋16ab4a (舍去)，x3＝0(舍去)，得u(x1)＝b>0，又u(1)＝－a －b<0，于是u(x)在(1，x1)上必有零点，即存在x0>1，使2ax30－3ax20－2bx0＋b ＝0成立，此时ba >0.综上有ba的取值范围为(－1，＋∞)．。

2021年内蒙古自治区赤峰市昆都镇中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则（）A．(0,3) B．(2,5) C．(2,9) D．(2,3)参考答案：D2. 在等差数列中，若，为方程的两根，则() A．10 B．15 C．20 D．40参考答案：B略3. 复数 z 满足 z(1?? i)?? 1?? 2i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内所对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限参考答案：C略4. 设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B试题分析：，，又，，注意到，只有这两组．故选B．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.5. 下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x2﹣2x+3 C．y=ln（x+1）D．y=2参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】根据对数函数，指数函数，二次函数和一次函数的性质，对A、B、C、D四个选项进行判断，从而求解．【解答】解：对于A，y=，故函数在（0，1）递增，不合题意；对于B，函数的对称轴是x=1，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意；对于C，y=ln（x+1）在（0，+∞）递增，不合题意；对于D，函数在R递减，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了对数函数、指数函数以及二次函数，一次函数的基本性质，是一道基础题．6. 设抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离是A． B．C．D．参考答案：B7. 已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84参考答案：B考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．8. 设全集S={a，b，c，d，e}，集合A={a，c}，B={b，e}，则下面论断正确的是（）A．A∪B=S B．A C S B C．C S A BD．C S A∩C S B=[来源: / /]参考答案：B9. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. 11B. 9C. 8D. 3参考答案：C【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解在轴截距的最小值；通过平移直线可知当直线过时，截距取最小值；求出点坐标后代入即可得到所求结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当取最小值时，在轴截距最小由平移可知，当过图中点时，在轴截距最小由得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距的最值，属于常考题型.10. 如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( )A．4πB．2πC．πD．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积．所以答案为，故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：（1）;（2）在上是减函数；（3）函数没有最小值；（4）函数在处取得最大值；（5）的图像关于直线对称.其中正确的序号是 .参考答案：12. 直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围是．参考答案：[-6,10]【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在Rt△AON 中，得到cos∠AON=，得cos∠MON=﹣，最后根据向量数量积的公式即可算出?的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得=2﹣8cos∠AOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．【解答】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，∴O点到直线MN的距离OA==1，x2+y2=16的半径r=4，∴Rt△AON中，设∠AON=θ，得cosθ==，cos∠MON=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣，由此可得， ?=||?||cos∠MON=4×4×（﹣）=﹣14，则=（﹣）?（﹣）=?+2﹣?（+）=﹣14+16﹣2?=2﹣2||?||?cos∠AOP=2﹣8cos∠AOP，当，同向时，取得最小值且为2﹣8=﹣6，当，反向时，取得最大值且为2+8=10．则的取值范围是[-6,10]．13. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且有，则此鳖臑的外接球O（A、B、C、D均在球O表面上）的直径为__________；过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为__________.参考答案：3 π【分析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.故答案为： 3 π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题. 14. 设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= ．参考答案：2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB 、AC 为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM 是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：215. 已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）=（x＞0），则g（x）= ．参考答案：log（x2+2）﹣1（x＞0）考点：反函数；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据y=f﹣1（x）向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1），利用反函数的概念图象的对称性得出f （x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，即可得出g（x）的解析式．解答：解：y=f﹣1（x）向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1），∵函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数∴函数y=f（x）与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∵y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，∵f（x）=（x＞0），∴g（x）=﹣1（x＞0），故答案为：g（x）=log（x2+2）﹣1（x＞0）；点评：本题考查了函数图象的对称性，平移问题，利用反函数的概念，图象的对称性的知识求解，知识综合较多，属于中档题．16. 已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩?R B= ．参考答案：[2，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集R，以及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，∴?R B={x|x≥2}，则A∩（?R B）={x|2≤x≤3}．故答案为：[2，3]．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17. 如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，则直线AB 与CD所成的角=_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。