内蒙古赤峰市2020届高三(5月份)高考数学(理科)模拟试题(wd无答案)

注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值高三理科数学第 1 页（共 6 页）高三理科数学 第 2 页 （共 6 页）5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．高三理科数学第 3 页（共 6 页）三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .高三理科数学第 4 页（共 6 页）高三理科数学 第 5 页 （共 6 页）2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .高三理科数学 第 6 页 （共 6 页）15 四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ᠂:x 2 ၠ y 2 — x ࿀ 0，C 2:x 2 ၠ y 2 — 2y ࿀ 0.（1） 以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C ᠂的参数方程； （2） 直线过原点，且与曲线C ᠂，C 2分别交于 A ，B 两点（A ，B 不是原点）.求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x ) > f (1) ,求实数 x 的取值范围；(II) f (x ) ≥ 1 + 1 (m>0, n>0 )对任意的 x ∈ R 都成立，求证： m + n ≥ 4. m n 3数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分高三理科数学参考答案 第 7 页 （共 6 页）解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。

注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C᠂:x2 ၠ y2 — x ࿀ 0，C2:x2 ၠ y2 — 2y ࿀ 0.（1）以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C᠂的参数方程；（2）直线过原点，且与曲线C᠂，C2分别交于A，B 两点（A，B 不是原点）. 求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知f (x) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x) > f (1) ,求实数x 的取值范围；(II) f (x) ≥ 1+1(m>0, n>0 )对任意的x ∈R 都成立，求证：m +n ≥4. m n 315 数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。

绝密★启用前赤峰市高三5·20模拟考试试题理科数学2020.5本试卷共23题，共150分，共8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|0A x x =<，{}11B x Z x =∈-<≤，则R C A B （）=A．()1,-+∞B．(]1,0-C．{}0,1D．{}1,1-2．已知复数()1a iz a R i+=∈-，则复数z 在复平面内对应的点不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为A．12B．23C．25D．154．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)1f =，(4)()f x f x +=，则(1)(8)f f -+=A．2-B．0C．1-D．15．被称为计算机第一定律的摩尔(Moore)定律表明，集成电路芯片上所集成的电路的数目，每隔18个月就翻一番并且性能也将提升一倍。

这说明电子产品更新换代之迅速。

由于计算机与掌上智能设备的升级，以及电动汽车及物联网行业的兴起等新机遇，使得电子连接器行业增长呈现加速状态.对于汽车领域的连接器市场规模，中国产业信息发布了2010～2018年之间统计折线图，根据图中信息，得到了下列结论：①2010～2018年市场规模量逐年增加；②增长额度最大的一年为2015～2016年；③2018年比2010年增长了约67%；④与2010～2013年每年的市场规模相比，2015～2018年每年的市场规模数据方差更小，变化更加平稳，其中正确命题的序号为A.①④B.②③C.②③④D.③④6．已知R b a ∈,,则“b a 2121log log <”的一个必要不充分条件是A．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3141B．ba 11>C．0)ln(>-b a D．13<-b a7．已知圆22:12M x y +=与抛物线2:4N y x =交于,A B 两点（A 在B 的上方），与抛物线N 的准线交于,C D 两点（C 在D 的上方），则四边形ABDC 的面积为A．6+311B．62+311C．2+211D．6+7118．设双曲线1:2222=-by a x C （0,0>>b a ），,M N 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，P 为双曲线C 上的一动点，若=4PM PN k k ⋅，则双曲线C 的离心率为A．235D．59．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。

2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答案无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，集合，则 A ． B ． C ． D ． 2.已知复数在复平面上对应的点为，则 A. B. C. D.是纯虚数3．已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是A ．24B ．8C ．D ．4.设的三个内角所对的边分别为，如果 ，且外接圆的半径为A ． 1 B．4 5.展开式中项的系数为 A ．30 B ．40 C. 60 D ．1206.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是A ．B ． C. D ．7．已知向量的取值范围是{}6,5,4,3,2,1=U {}3,5,1=A {}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|()U C A B =U {}1,6{}6{}63，{}1,3z (21)Z -，12=-+z i ||5=z z 2i =--2-z (3,2)a =-r )1,(-=y x a r b r ,x y yx23+3835ABC ∆AB C 、、a b c 、、()()3a b c b c a bc +++-=a =ABC ∆5(2)x y z ++22x y z [1,25]a a --()f x [0,25]a -()f x 2()f x x a =+||()x f x a =-()af x x =()log (||2)a f x x =+,5==+A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆的左右焦点分别为，以O 为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为 A ． B ． C ． D ． 9已知，，则的值为 A ． B ． C ． D ． 10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是 一个等边三角形，则这个几何体的体积为 A ．B ．C ．D ．11.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为A ．3B ．C ．D ．112.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数 A.有极小值，没有极大值 B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足不等式组,则的最小值是 ．14．甲、乙、丙三个同学在看三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是.比赛结果表明，他们的话有]5,0[]25,5[]7,25[]10,5[22221(0)x y a b a b+=>>12F F 、12F F P OP 313-213-222325tan 1tan =+αα)2,4(ππα∈)42sin(πα-1027-102102-1027()1100F -，()2100F ，M 120MF MF =⋅u u u u r u u u u r122MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 1312y kx =()y f x =()g x kx m =+()F x =()g x ()f x -,x y 2211≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x x y 4z y x =-c b a ,,.b c b a c b一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 . 15．已知三棱锥的外接球的球心为，平面 ，则球心到平面的距离为 .16如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成 的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列中，，其前n 项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当时，.18（本小题满分12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.重庆2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表:（Ⅰ）现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计ABC P -O ⊥PA ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，1PA =O PBC 31)(,b a b a >=a b{}n a 11a =n S 2221n n n S a S =-2()n ≥1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n ≥1231113 (232)n S S S S n ++++<X ),(2σμN 每分钟 跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,+) 得分 17181920∞总体的期望和方差,已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型:（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果 四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.附：若随机变量服从正态分布，则，19．（本小题满分12分）如图，已知与分别是边长为1与 2的正三角形，，四边形为直角梯 形，且，，点为的 重心，为中点，平面，为 线段上靠近点的三等分点． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值．20.（本小题满分12分）如图，是圆：内一个定点， 是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点．（1）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值．1692≈S 2000182ξξX ),(2σμN 6826.0)(=+<<-σμσμX P )22(σμσμ+<<-X P .9974.0)33(9544.0=+<<-=σμσμX P ，DEF △ABC △AC DF ∥BCDE DE BC ∥BC CD ⊥G ABC △N AB AG ⊥BCDE M AF F GM ∥DFN M BC D --47MN CD ()10N ,M ()22116x y ++=P NP MP Q P Q E ()01G ,l E A B A O D ABD △S21．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值. （Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且 .（为自然对数的底数）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆和圆的极坐标方程；（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集 （Ⅱ）若证明()ln ().au x x a R x=-∈)(x u 0=y a ,21e a e <<+,ln |)(|)(xxx u x f -=()f x 12,x x 21x x e -<e xOy 1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 2C 1C O 12||3C C =x 1C 2C O 1l 2l 2C O A D 1C O C B 12l l ⊥ABCD )()(R x x x f ∈=4)1()1(≤++-x f x f ;M ,,M b a ∈.4)()(2:+≤+ab f b a f2020届内蒙古赤峰二中高三最后一模数学（理）试题参考答案一、选择题：13．-5 14．C 15. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，， 当时，从而.18．（12分）解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，……………… 3分 （Ⅱ）（个）………… 5分 又所以正式测试时， （ⅰ）（人） ……………… 7分 （ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即662n ≥21221nn n n S S S S --=-112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111(1)221n n n S S =+-⨯=-121n S n ∴=-∴2n ≥11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----123111*********...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L ;16502921001121626=+=C C C C P 18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X ,13,1692≈≈s S 182,13,195=-∴==σμσμ,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ的分布列为…12分19.（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心所以，且为中点，又， 所以，所以；··········2分 又为中点，所以，又， 所以，所以，，，四点共面，··········4分 又平面，平面， 所以平面．··········5分（2）由题意，平面，所以，平面平面，且交线为， 因为，所以平面，又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面 因为，，所以平面平面， 又与分别是边长为1与2的正三角形，故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，··········7分 因为，所以，，， 设平面的法向量，则，取，··········8分平面的法向量，··········9分;125.05.0)3(,375.0)5.01(5.0)2(,375.0)5.01(5.0)1(333223213=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅==C P C P C P ξξξ∴ξ.5.15.03)(=⨯=X E ABC △AG BC O G ABC △23AG AO =O BC 23AM AF =u u u u r u u u r 23AG AM AO AF ==GM OF ∥N AB NO AC ∥AC DF ∥NO DF ∥O D F N OF ⊂DFN GM ⊄DFN GM ∥DFN AG ⊥BCDE AO BC ⊥ABC ⊥BCDE BC BC CD ⊥CD ⊥ABC BCDE 2BC =1DE =OE CD ∥OE ⊥ABC AC DF ∥DE BC ∥//ABC DEF DEF △ABC △O OC x OE y OA z CD m =()1,0,0C ()1,,0Dm (A 1,,22F m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0B-1,0,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭23AM AF =u u u u r u u ur 12,33m M ⎛ ⎝⎭()2,0,0BC =u u ur 42,33m BM ⎛= ⎝⎭u u u u r MBC (),,a b c =n 0BC BM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u u r nn ()m =-n BCD ()0,0,1=υ所以二面角的余弦值， ，··········10分 又， ；直线与．··········12分 20.解（1）由题意得， 根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，·········2分，，，轨迹方程为．·········4分 （2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得， 消去得，设，，则，，·········6分 则，·········8分 又·········9分，·········10分 ，由，得，，，易证在递增，， M BC D --cos θ⋅⋅==n n υυ273m =+21m =523,,63m MN ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ()0,,0CD m =u u u r cos ,MN CD <>=u u u u r u u u rNM CD NM CD⋅=⋅u u u u r u u u ru u u ur u u u r 227774m =+MN CD 2742QM QN QM QP MP MN +=+==>=Q E M N 2a ∴=3c =1b ∴=∴22143x y +=1222ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△d O l l 1y kx =+221 143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2234880kxkx ++-=()11A x y ,()22B x y ,122834k x x k -+=+122834x x k -=+()22221212261211434k k AB k x x x x k++=++-=+21d k=+22461234ABDk S d AB k+∴==+△212k t +=20k ≥1t ≥246461212ABD t S t t t∴==++△1t ≥12y t t =+()1+∞,123t t∴+≥，面积的最大值．·········12分 21（12分）解：（Ⅰ）设切点 又切点在函数上，即……………… 4分（Ⅱ）证明:不妨设，，所以在上单调递减，又， 所以必存在，使得，即. ……………… 6分 ①当时， 所以在区间上单调递减， 注意到， 所以函数在区间上存在零点，且. ……………… 9分 ②当时, 所以在区间上单调递增， 又， 且， 所以在区间上必存在零点，且. 综上，有两个不同的零点、，且.22．解：（Ⅰ）由圆的参数方程（为参数），得，-----------1分 所以，ABD S ≤△ABD ∴△S 3)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=Θ.,00200x a x x a k -=∴=-+=∴)(x u ,0)(0=∴x u ,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴12x x <Θ21()0a u x x x'=--<()u x (0,)+∞()10,(2)ln 202a au e u e e e e=->=-<0(,2)x e e ∈0()0u x =,ln 00x x a=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x xx a x x x x x x x ax f 00x x <≤222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x ---+---+'=---=≤<()f x 0(0,]x 1()10a f e e e =-->0000000ln ln ()ln 0x x af x x x x x =--=-<()f x 0(0,]x 1x 10e x x <<0x x >22211ln ln (1)()0a x x x a f x x x x x-++-'=+-=>()f x 0(,)x +∞0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->g ()f x 0(,2)x e 2x 022x x e <<()f x 1x 2x 21212x x x x e e e -=-<-=1C 1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩t 22(1)1x y ++=1(1,0)C -11r =又因为圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离， 可得，，则圆的方程为---------3分所以由得圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为--------------5分（Ⅱ）由已知设，则由 可得，， 由（Ⅰ）得， 所以------8分 所以当时，即时，有最大值9-----------------10分23.（10分） 解：（Ⅰ） 由 ……………… 5分（Ⅱ）法一：要证，只需证，即证， 只需证，即证 由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. 法二：，要证只需证，即证由（Ⅰ）上式显然成立，故原命题得证. ……………… 10分2C 1C O 12||3C C =1(2,0)C 22r =2C 22(2)4x y -+=cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩1C 2cos ρθ=-2C 4cos ρθ=1A(,)ρθ12l l ⊥2B(,)2πρθ+3C(,)ρθπ+43D(,)2ρθπ+12344cos 2cos()2sin 22cos()2cos 34cos()4sin 2ρθπρθθρθπθρθπθ=⎧⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+=⎪⎩132411()()18sin cos 9sin 222ABCD S AC BD ρρρρθθθ=⋅=++==四边形sin 21θ=4πθ=ABCD S 四边形⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=++-1,211,21,211x x x x x x x ];2,2[411-=⇒≤++-M x x 42+≤+ab b a ()()2244+≤+ab b a ()168484222++≤++ab ab b ab a ab ab 88≤Θ()1644222+≤+ab b a ()()04422≥--b a ,2,2≤≤b a ：b a b a +≥+Θ∴42+≤+ab b a 422+≤+ab b a ()()022≥--b a ,2,2≤≤b a ：。

2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则AB =（ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1C ．[]1,2D ．()3,2-【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C【解析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-，32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知115232,5,log 2a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由11522,511a b =>=>，而3log 21c =<，即可得到,a c b c >>.在比较10a 和10b ，即可,a b 大小关系，进而求得a bc ，，的大小关系. 【详解】11522,511a b =>=>，3log 21c =< ∴,a c b c >>又1052=32a =，1025,=25b =∴1010a b >，即a b >综上所述，c b a << 故选：B. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 所以当0x ≥时，()f x ≤由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤， 所以()f x，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A． B ．1CD ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以20,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈.故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．1310【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞.故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()b a a -⊥，则a 与b 的夹角为____________. 【答案】3π（或写成60︒） 【解析】设a 与b 的夹角为θ，通过()b a a -⊥，可得()=0b a a -⋅，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.【详解】设a 与b 的夹角为θ()b a a -⊥可得()=0b a a -⋅，∴()2=0a b a⋅-故2cos =0a b a θ⋅⋅-，将2b a =代入可得 得到1cos 2θ=， 于是a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.【答案】5639【解析】先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365=⨯+⨯=.由正弦定理得56sin 56653sin sin sin 395a b b A a A B B ⋅=⇒===.故答案为：5639【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】536【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22426C C ⨯=种.当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有225310330C C ⨯=⨯=种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有226415690C C ⨯=⨯=种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.所以该验证码的中间数字是7的概率为210210563090210420756151236==+++++. 故答案为：536【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.三、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O （A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】3 π【解析】判断出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值. 【详解】根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为22BD ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1). 3 (2). π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且32CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（24183【解析】（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PEEC E =，∴BC ⊥平面PCEBC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D ，(0,0,3)P ，由已知35CF CD =，得23,,055F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23(1,1,3),,,355PB PF ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭设平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，则30233055n PB x y z n PF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令3z =，则249,55x y ==， ∴249,,355n ⎛⎫= ⎪⎝⎭由（1）知平面PAD 的法向量可取为()1,0,0m =∴2222441835|cos ,|249(3)55m n <>==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴平面PAD 与平面PBF 4183. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥.（1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）112231n n S +=-+ 【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到113n nn n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-11*,2,3n nn n a b n N n a b ---∈≥=-所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，()()1111113,22nn n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()Eξ附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，17 6【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.且2,3,4ξ=1211222132431(2)(1,1)3C C C C P P m n C C ξ======； 21111222221222323243431(3)(2,1)(1,2)2C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为则11117()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）24x y =（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程. （2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】（1）依题意d =1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，即214y x =，得12y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+- ∵21114y x =，∴112xy x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，1112x t y -=-①，同理，2212xt y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12xt y -=-.即直线:12tAB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t=-，得PF AB ⊥于是1||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()22210y t y -++=21224AB y y t=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+当0t =时，PABS 最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.21．已知函数()ln f x x =.（1）设2()()f x g x x =，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1ae -+上不单调，证明：111a a a +>+.【答案】（1）(x ∈为增区间；)x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()1,1ae -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111a a a +>+成立. 【详解】（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0xg x x-'=>，解得(x ∈为增区间；由312ln ()0xg x x -'=<解得)x ∈+∞为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111x xa x e ah x e x x x --'=-=>--当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，则()0xm x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()1,1ae -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，且()()11010a ee am e ee a e a m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=-> ∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10xe x x >+>①在①中令x a =，∴111111aaa e a e e a a ->+⇒<⇒<++ 令1ln x a=∴1ln1ln 1ae a >+，即111ln 11ln a a a a>+⇒>-即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111a a a +>+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 的最大值为，求a 的值.【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a =或1a =-【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C 上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】 （1）22123sin ρθ=+，∴2223sin 12ρρθ+=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得223412x y +=，曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=由22220143x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 故C上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为d ==则||sin 45d PA ︒===当0a ≥时，||PA1a =；当0a <时，||PA=1a =-.综上所述，1a =或1a =- 【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）(],1-∞；（2）证明见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为(],1-∞.（2）由（1）知max ()3f x s ==，于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号）上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。

2020年内蒙古自治区赤峰市赤峯蒙古族中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则A表示的平面区域的面积是（）A．B．C．D．1参考答案：D【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，联立，得A（0，1），联立，得B（﹣，﹣），联立，得C（，﹣）；∴又直线x﹣y﹣1=0交y轴于点D（0，﹣1）∴不等式组表示的平面区域面积为S=S△ABD+S△ACD=×2×+×2×=1．故选：D．2. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( )种．A．240 B．180 C．150 D．540参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150故选：C【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．3. 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x［0,2］时，f(x)=x2-2x，若x［－4,－2］时，f(x)恒成立，则实数t的取值范围是A、（－∞，－1）∪（0,3］B、（－∞，－）∪（0, ］C、［－1,0）∪［3，＋∞）D、［－,0）∪［，＋∞）参考答案：C4. 由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A．B．2﹣ln3 C．4+ln3 D．4﹣ln3参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．故选D．5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为参考答案：D6. 已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．7. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足，且当时，（其中e=271828…是自然对数的底数）.若关于x的方程在[0,4]上恰有四个解，则实数a的取值范围（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据题意，可以得到是一个周期为4的偶函数，将在[0,4]上恰有四个解，转化为函数与直线的图像恰有4个交点，结合函数的单调性，即可求得实数a 的取值范围。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x+2>0}，B={−3,−2,−1,0}，则(∁R A)∩B=()A. {−3,−2}B. {−3}C. {−2,−1,0}D. {−1,0}2.复数z=1−i2+i在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35)3.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A. 23B. 12C. 15D. 254.已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(3)+f(4)+f(5)=()A. 2B. 0C. −2D. 45.在2010∼2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及新一代智能手机的规格升级，电动汽车及物联网等迎来新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为()①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013∼2014年；③这8年的增长率约为；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳．A. 1B. 2C. 3D. 46.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<17.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则C的焦点到准线的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 88.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，O为坐标原点，点M，N是双曲线C上异于顶点的关于原点对称的两点，P是双曲线C上任意一点，PM，PN的斜率都存在，则k PM⋅k PN的值为()A. a2b2B. b2a2C. b2c2D. 以上答案都不对9.将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)的数表示为a ij(i,j∈N∗)，例如a32=10.若a ij=2020，则i−j=()A. 25B. 22C. 23D. 2110. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=−5，S 9=−27，{b n }为等比数列，且b 3=a 3，b 5=a 5，则b 9的值为( )A. −9B. 9C. −27D. 2711. 设函数f (x )=x −e −x ，直线y =mx +n 是曲线y =f (x )的切线，则m +n 的最小值是( )A. −1eB. 1C. 1−1eD. 1+1e 3 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AD =2，BD =4，点M 、N 分别为BD 、BC 的中点，将其沿对角线BD 折起成四面体QBCD ，使平面QBD ⊥平面BCD ，P 为QC 的中点．则点D 到平面QMN 的距离为( )．A. √63B. 2√33C. √32D. √64二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5=8，a 7=8，则a 1的值是______．15. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为____．16. 函数y =x +2sinx 在区间(0,2π)内的极大值是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c.已知sinAsinC =34，b 2=ac ．(1)求角B 的值；(2)若b =√3，求△ABC 的周长．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=3，BC=6，PB=3√3．(Ⅰ)若PC的中点为E，求证：DE//平面PAB；(Ⅱ)若∠PAB=60°，求直线DC与平面PAB所成角的余弦值．19.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则X=3．(1)求三只黑猫挨在一起出笼的概率；(2)求X的分布列和数学期望．20.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−2，g(x)=|2x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)若f(x)≥g(x)在[6,8]上恒成立，求实数a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x>−2}；∴∁R A={x|x≤−2}；∴(∁R A)∩B={−3,−2}．故选：A．解出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．2.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：本题考查了古典概型的计算与应用，属于基础题．从5种物质中任取2种，共有10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，即可得出结果．解：依题意，从5种物质中任取2种，设五种物质分别为A，B，C，D，E，则所有选法为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，故取出的两种物质恰好是相克关系的概率为510=12，。

内蒙古赤峰市 2020 届高三数学模拟考试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先求 B,再求交集则元素个数可求【详解】由题，则，则 中的元素个数为 3 个故选：C【点睛】本题考查交集的运算，描述法，是基础题2.已知是纯虚数，复数 是实数，则 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵ 是实数，∴设a，a 是实数，则 z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai， ∴z＝2a﹣1﹣ai， ∵z 为纯虚数， ∴2a﹣1＝0 且﹣a≠0，即a ，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关 键．3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等 马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐 王获胜的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出满足 “从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛” 这一条件的事件数，然后求 出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果. 【详解】解：因为双方各有 3 匹马， 所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为 9 种， 满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的 事件数为 3； 齐王派出中等马，则获胜的事件数为 2； 齐王派出下等马，则获胜的事件数为 1； 故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为 6 种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选 A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型 的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数是定义在 上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式的范围，当 时，显然不成立，可等价转化为当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，即当 时，求解的解集，当 时，求解的解集，再根据函数 的性质求解不等式.【详解】解：因为是 R 上的奇函数，且在上是增函数，所以在上也是增函数，又因为，所以，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当 时，，不成立，故的 的取值范围是，故选 C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的外接球的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧 棱长为 4，底面等腰直角三角形的腰长为 4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三 棱柱外接球的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形、四边形均是边长为 4 的正方形，三角形 、三角形是，的等腰直角三角形，设 的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，的外接圆圆心为 ，故 即为 的中点，设球的球心为 ，因为三棱柱的为直三棱柱，所以球的球心 为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，连接 ，外接球的半径即为线段 的长，所以在中，，，故，即球的半径为 ，所以球的体积为，故选 B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出 三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.6.我们可以用随机数法估计 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生 内的任何一个实数）.若输出的结果为 7840，则由此可估计 的近似值为（ ）A. 3.119B. 3.124C. 3.136D. 3.151【答案】C【解析】【分析】程序的 功能是利用随机模拟实验的方法求取（0，1）上的 x，y，计算 x2+y2+＜1 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．【详解】x2+y2＜1 发生的概率为，当输出结果为 7840 时，i＝10001，m＝7840，x2+y2＜1 发生的概率为 P，∴，即 π＝3.136故选：C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题和随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率 的应用问题，是综合题．7.已知是等差数列，且，，则（）A. -5 【答案】B 【解析】 【分析】B. -11C. -12由是等差数列，求得 ，则 可求D. 3【详解】∵是等差数列，设,∴故故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题8.设定义在 上的函数 满足，且，则下列函数值为-1 的是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函数的周期是 4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【详解】由得 f（x-4）＝﹣f（x-2）＝f（x），则函数的周期是 4，则=，=-1即函数值为-1 的为 ，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移 个单位B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向右平移 个单位【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】函数＝sin（2x ）＝sin2（x ），故把函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角公式和两角和的 正弦公式，y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，熟记变换原则是关键，属于基础题．10.已知 为双曲线 的两个焦点， 是 上的一点，若，且，则 的离心率为（ ）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．【详解】由双曲线的定义可得＝2a，又得点 P 满足 即有 c a，，可得＝4c2，则离心率 e 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运 算能力，属于基础题．11.已知直三棱柱 余弦值为（ ）的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,可得 AM 与 B 所成角为∠N B 或其补角，在△ NB 中，利用余弦定理即可求解 AM 与 B 所成角的余弦值．【详解】取 AC 的中点 N，连接 N 和 NB，则 N∥AM,所以 AM 与 B 所成角为∠NC1B 或其补角，设所有棱长为 2，则 N=B=2 ,BN= ，在△ NB 中，由余弦定理 cos∠N B=故选：A【点睛】本题考查线线角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的 合理运用12.已知函数在区间 上只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）A.或B.或C. 【答案】D 【解析】 【分析】 原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[D. ]上有一个实根，即或 在区间[ ]上有一个实根．令，求出其值域，即可得实数 k 的取值范围．【详解】原问题等价于 xlnx﹣kx+1＝0 在区间[ ]上有一个实根，∴在区间[ ]上有一个实根．令，0，可得 x＝1，当时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）递减，当∈（1，e]时，f′（x）＞0．此时函数 f（x）递增，∴f（x）≥f（1）＝1，且，1+e，又﹣1+e，∴实数 k 的取值范围是 k=1 或 故选：D． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设 的满足约束条件，则的最大值为______．【答案】 【解析】 【分析】先将题中 ， 满足约束条件对应的可行域画出，目标函数意义为一条斜率为-2 的直线，通过平移求解出最值.的几何【详解】解：如图， ， 满足约束条件 边界），对应的可行域为五边形内部（含目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为 的直线，当直线经过点 O 时，直线的截距最小，最小，故.【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.设向量 的模分别为 1,2，它们的夹角为 ，则向量 【答案】 【解析】 【分析】与 的夹角为____．利用向量 夹角公式 cosθ，先求出的模以及与 的数量积，再代入公式计算求解．【详解】∵（）22﹣2 •∴||，（）• ＝3，∴cosθ，∴θ＝2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，故答案为 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础， 掌握基本的公式和技巧即可顺利求解15.若过点且斜率为 的直线与抛物线交点为 ，若，则 ____．【答案】【解析】【分析】的准线相交于点 ，与 的一个由直线方程为与准线得出点 坐标，再由可得，点 为线段的中点，由此求出点 A 的坐标，代入抛物线方程得出 的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为 的直线方程为，联立方程组，解得，交点 坐标为，设 A 点坐标为，因为，所以点 为线段 的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为 ， 解得 . 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.设数列 满足 ______．【答案】 【解析】 【分析】 将 相减求 即可 【详解】由题，且 平方得比数列，，则，则数列的前 项的和，进而得 的通项，得,由 错位,∴=0，故，所以 为等两式作差得-即 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项公式，错位相减求和，考查推理及计算能力，是中 档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设 的内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ，，且满足.（1）求角 的大小；（2）若， ，求 的面积.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）由正弦定理得得，进而得【详解】（1）又， 故又，结合余弦定理得 ，则面积可求，则 B 可求（2）由余弦定理，. （2）由余弦定理得：，即 又. 【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题18.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从 15 个发达地区，10 个欠发达地区，5 个贫困地区中选取 6 个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查 小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户9060150合计13070200（1）写出选择 6 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.附：参考公式：，其中参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1) 分层抽样(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算 的值即可进行判断， 再分析原因给出建议即可 【详解】（1）分层抽样 （2）由列联表中的数据可得 的观测值所以有 97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关 原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合； 2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定 建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受； 2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点. 【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验， 的计算，考查计算能力，是基础题19.如图，在四棱锥中， 底面 ，，，，点 为棱 的中点.（1）证明：;（2）若 与底面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）连接,且面 ，即可证明,证明是正方形得，再由（2）由 平面 ，得 与底面角为，由,得，得求解距离即可证明 平 所成的平面，利用【详解】证明:（1）连接,BE,且,, 为棱 的中点，且是正方形，又 平面 ， 平面 ,平面 ,,平面又平面 ,（2）因为 平面 ，所以 与底面 所成的平面角为 ，且,∵,∴tan = 得设点 到平面 的距离为 ，由已知得，，得，所以，点 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面角的应用，点面距离的考查，考查空间想象和推理 能力，是中档题20.顺次连接椭圆应该的四个顶点恰好构成了一个边长 为且面积为 的菱形.（1）求椭圆 的方程；（2）设，过椭圆 右焦点 的 直线交于 两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求 的最小值.【答案】(1)(2)【解析】 【分析】（1）列 a,b,c 的方程组求解即可（2）当直线垂直于 轴时得，当直线不垂直于 轴时，设直线与椭圆联立，利用，代入韦达定理得即可求解【详解】（1）由已知得：，解得所以，椭圆 的方程为 （2）设当直线垂直于 轴时，此时，当直线不垂直于 轴时，设直线由，得且 ，要使不等式恒成立，只需，即 的最小值为 .【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量坐标化运算及数量积，考查运 算求解能力，是中档题21.已知函数（1）若 ，求函数 的极值和单调区间；（2）若，在区间 上是否存在 ，使，若存在求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值(2)见解析 【解析】 【分析】（1）， 判 断 符 号 变 化 ， 则 极 值 和 单 调 区 间 可 求 ，（ 2 ）由时，，时得为函数的唯一极小值点，讨论当 求解时和当 时，的 a 的范围即可【详解】（1）当 时，时，，且 有极小值时，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为极小值为 3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间 上若存在 ，使，则，解得当 时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间 上存在 ，使，此时【点睛】本题考查导数与函数的 单调性，函数的最值，极值与单调区间的求解，分类讨论思 想，考查推理能力，是中档题22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为的直线与曲线 交于 两点. （1）求 的取值范围； （2）求 中点 的轨迹的参数方程.为参数），过点且倾斜角为【答案】(1)(2)（为参数，）.【解析】 【分析】 （1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的 范围；（2）设出 对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示 的参数，从而得出 点 的轨迹的参数方程.【详解】解：（1） 曲线 的直角坐标方程为,当 时，与 交于两点，当 时，记，则的方程为，与 交于两点当且仅当，解得 即或，或，综上 的取值范围是 .（2）的参数方程为（为参数，），设 对应的参数分别为，则且 满足，由韦达定理可得：，故,又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程为（为参数，）.【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点 的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.23.已知函数，.（1）若，不等式恒成立，求实数 的取值范围；（2）设，且，求证：.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数解决问题；的最小值，从而（2）要证，即证明即可.【详解】解：（1）由，，，所以 的取值范围是（2）由（1），当且仅当， 时等号成立，，然后借助于基本不等式证 ，，【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是 否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。

绝密★启用前内蒙古呼伦贝尔市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟统一考试数学(理)试题2020年5月注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈,则A B =UA ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}， 2．复数=-+ii 221 A. i B.i +1 C.i -D. i -1 3.在△ABC 中μλ+===,2,, 则μλ+=A ． 31B ．31-C ．21- D ．21 4.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点．若|AF|＝3,则直线AB 的斜率为 A.2± B. 2- C. 2 2 D ．22±6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,公比1q >,352620,64,a a a a +==则5S =A.31B.36C. 42D.487.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是8.在天文学中,天体明暗的程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足,lg 252112E E m m =- 其中星等为k m 的星的亮度为)2,1(=k E k .已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度比值为A.1.1010B.1.10C.1.10lgD.1.1010-9．把函数)6sin(y π+=x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将图象向右平移3π个单位,那么所得图象的一个对称中心为 A ．（3π,0） B ．（4π,0） C ．（12π,0） D ．（0,0） 10.在棱长均相等的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 为BB 1的中点,F 在AC 1上,且DF ⊥AC 1,则下述结论：①AC 1⊥BC ；②AF ＝FC 1；③平面DAC 1⊥平面ACC 1A 1; ④异面直线AC 1与CD 所成角为60°.其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．已知双曲线C ：,)0,0(12222>>=-b a by a x 以点),0(b P 为圆心a 为半径作圆,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M,N 两点,若∠MPN ＝90°,则双曲线C 的离心率为 A. 27 B. 25 C. 2 D. 312.已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<--+=10,201,1)1(1)(x x x x f x f ,若方程()21f x ax a -=-有唯一解,则实数a 的取值范围是。