内蒙古赤峰市2020届高三(5月份)高考数学(理科)模拟试题

内蒙古自治区赤峰市蒙古族完全中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则A．B． C．D．参考答案：2. 设偶函数（的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是A. B.C. D.参考答案：C4. 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为A. B.C. D.参考答案：B5. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．l1和l2有交点（s，t） B．l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）C．l1与l2必定平行 D．l1与l2必定重合参考答案：A6. 已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为A．B．C．D．参考答案：C7. 下列说法正确的是（）A．“x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件B．命题“?x＞0，2x＞1”的否定是“”C．命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题D．命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题．参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．【解答】解：选项A：log2（x+1）＜1可得﹣1＜x＜1，所以“x＜1”是其必要不充分条件；选项B：“?x＞0，2x＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；选项C：命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是“若ac2≤bc2，则a≤b”，当c=0时，不成立；选项D：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真．故选：D．8. 已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．9. 三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B略10. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af （x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是．参考答案：（，）略12. 如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为．参考答案：36（π+2）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，锥体的底面面积S=π+=18π+36，锥体的高h=6，故锥体的体积V=Sh=36（π+2），故答案为：36（π+2）；点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．参考答案：8800【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为： =8800．故答案为：8800．【点评】本题考查中位数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．14. 设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。

注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值高三理科数学第 1 页（共 6 页）高三理科数学 第 2 页 （共 6 页）5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．高三理科数学第 3 页（共 6 页）三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .高三理科数学第 4 页（共 6 页）高三理科数学 第 5 页 （共 6 页）2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .高三理科数学 第 6 页 （共 6 页）15 四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ᠂:x 2 ၠ y 2 — x ࿀ 0，C 2:x 2 ၠ y 2 — 2y ࿀ 0.（1） 以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C ᠂的参数方程； （2） 直线过原点，且与曲线C ᠂，C 2分别交于 A ，B 两点（A ，B 不是原点）.求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x ) > f (1) ,求实数 x 的取值范围；(II) f (x ) ≥ 1 + 1 (m>0, n>0 )对任意的 x ∈ R 都成立，求证： m + n ≥ 4. m n 3数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分高三理科数学参考答案 第 7 页 （共 6 页）解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。

注意事项：宁城县高三年级统一考试(2020. 5.10) 数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60 分）1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（每小题5 分，共12 小题，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R，集合A={-1,0,1,2,3}，B={x|x 2}，则A (C U B)=(A){-1,0,1}(B){-1, 0,1, 2} (C){x | x < 2} (D){x | -1 x < 2}2.若复数z =i ⋅ (a -i) 满足z ≥ 2 ，则实数a 的取值范围是(A) [ 3,+∞)(B) [-1,1] (C) (-∞, 3] [ 3,+∞)(D) (-∞, -1] [1, +∞)3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是(A) (B) (C) (D)4.2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1 月21 日至3 月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错．误．的是(A)2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势(B)随着全国医疗救治力度逐渐加大，2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数(C)2 月10 日至2 月14 日新增确诊人数波动最大(D)我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2 月12 日左右达到峰值5. 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = ０，向量a , b 的夹角为120 ，且| b |= 2 | a | ，则向量a 与c 的夹角为(A) 60︒ (B) 90︒ (C ）120︒ (D ）150︒ 6. 已知△OAB ，O 为坐标原点，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2），则△OAB 的面积是(A) x x - y y(B) x y -x y (C) 1 x x - y y (D) 1 x y - x y 1 2 1 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 2 2 17. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100 公里，远月点与月球表面距离为400 公里.已知月球的直径为3476 公里，则该椭圆形轨道的离心率约为(A) 1（B) 3 （C) 1 （D ) 125 40 8 48. 将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则 （）（A ）（B ）（C ）（D ）9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点 A (1,0)作 x 轴的垂线与曲线 y = e x相交于点 B ，过 B 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 C （如图）， 然后向矩形OABC 内投入 M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线 y = e x 上方的有 N 粒( N ＜M ) ，则无理数e 的估计值是 （A ） MN (B) MM - N(C ）M - NN(D ）N M - N10.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为线段 CD 和 A 1B 1 上的动点，且满足CE = A 1F ，则四边形 D 1FBE 所围成的图形（如图阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(A ) 最小值32(B )有最大值 52(C ) 为定值 3（D ）为定值 211.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C 的右支相交于P，若，则双曲线C 渐近线方程为(A)(B) （C) （D)12.若函数与的零点分别为α,β，若α-β< 1 ，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）宁城县高三年级统一考试(2020.5.10)数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 题～第23 题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）x — y+1 ≤ 0y+113.若实数x，y 满足 x> 0y ≤ 2，则的取值范围是．x14.某天小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是 B 就行;小张说：B，C，D，E 都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C 就行;小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为．15.设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且b = 6, c = 4, A = 2B ，则a = ．16.直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC = 90︒, AA = 2 ，设其外接球的球心为O ，已知1 1 1 1三棱锥O -ABC 的体积为1，则球O 表面积的最小值为．三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17.（本题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第1 项，笫2 项，第4 项，第8 项，…，第项，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和.18.（本题满分 12 分）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N (500, 52 )（单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：X ~N(μ,σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6826，P(μ- 2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈0.9544 ，P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ) ≈ 0.9974 .2k 19.（本题满分 12 分）如图三棱柱中，，，.（1） 证明：； （2） 若，且，求二面角的余弦值.20．（本题满分 12 分）已知抛物线G : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点M (1, -2) ， A , B 是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段 AB 为直径的圆恒过点M .（I ） 当点 A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程； （I I ）求证：直线 AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.21. （本题满分 12 分）己知函数 f (x ) = lnx - kx 2( k ∈ R ).（1） 讨论函数 f (x ) 的单调性；（2） 若函数 f (x ) 有两个零点x 1 ， x 2 ，求k 的取值范围，并证明 x 1 + x 2 > 2 .四、选做题请考生在 22,23 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x࿀y 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C᠂:x2 ၠ y2 — x ࿀ 0，C2:x2 ၠ y2 — 2y ࿀ 0.（1）以过原点的直线的倾斜角8为参数，写出曲线C᠂的参数方程；（2）直线过原点，且与曲线C᠂，C2分别交于A，B 两点（A，B 不是原点）. 求|AB|的最大值.23.（本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲已知f (x) = 2 | x +1| + | 2x -1| .(I)若 f (x) > f (1) ,求实数x 的取值范围；(II) f (x) ≥ 1+1(m>0, n>0 )对任意的x ∈R 都成立，求证：m +n ≥4. m n 315 数学试题（理科）参考答案一、选择题: ACDDBDBC ADCB二、填空题: 13、[3,+∞) ； 14、D ； 15、 2 ；16、16π. 三、解答题:5. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，则 ， ----------- 2 分解得 ， .∴ .----------------------4 分（Ⅱ）由题意知 ， ------------ 6 分∴-------------------------------------8 分.-----------------12 分6. 解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知X N (500, 52 ) 。

内蒙古赤峰市数学高考模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·济南模拟) 设集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）复数的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·彭州期中) 已知等比数列{an}中a2=2，a5= ，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an•an+1等于（）A . 16（1﹣4﹣n）B . 16（1﹣2n）C .D .4. （2分）(2017·石嘴山模拟) 下列命题中正确命题的个数是①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；③设ξ～B（n，p），已知Eξ=3，Dξ= ，则n与p值分别为12，④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为（）A . －1B . 1C . 3D . 96. （2分）(2018·内江模拟) 已知函数，则（）A . 的最小正周期为B . 的最大值为2C . 在上单调递减D . 的图象关于直线对称7. （2分）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A .B .C .D .8. （2分）如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）A . 36B . 108C . 72D . 1809. （2分）(2017·蚌埠模拟) 数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an （n=1，2，…），数列{cn}满足cn=2+b1+b2+…+bn（n=1，2，…）．若{cn}为等比数列，则a+q=（）A .B . 3C .D . 610. （2分） (2017高二下·运城期末) 在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有（）A . 14400种B . 518400种C . 720种D . 20种11. （2分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B 是C的准线与E的两个交点，则|AB|= （）A . 3B . 6C . 9D . 1212. （2分） (2016高二下·龙海期中) 函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A . f（a）=f（b）B . f（a）＜f（b）C . f（a）＞f（b）D . f（a），f（b）大小关系不能确定二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·黄骅期中) 二项式（n∈N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是________．14. （1分） (2018高二上·榆林期末) 已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为________．15. （1分）若实数x，y满足条件，则z=3x﹣4y的最大值是________16. （2分） (2017高一上·海淀期末) 已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a= 时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为________；若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一上·昌吉月考) 在中，角所对的边分别为，且满足， .（1）求的面积；（2）若，求、的值.18. （5分） (2016高二上·吉林期中) 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？19. （10分）(2020·金堂模拟) 中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：参考数据：.（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，求选中的2人中恰有1人支持“延迟退休”的概率.20. （10分）(2018·朝阳模拟) 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.21. （10分）(2020·江西模拟) 已知函数 .（1）当时，求的极值；（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2017高二下·河南期中) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ= 与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23. （10分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数， .（1）解不等式；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

绝密★启用前赤峰市高三5·20模拟考试试题理科数学2020.5本试卷共23题，共150分，共8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|0A x x =<，{}11B x Z x =∈-<≤，则R C A B （）=A．()1,-+∞B．(]1,0-C．{}0,1D．{}1,1-2．已知复数()1a iz a R i+=∈-，则复数z 在复平面内对应的点不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为A．12B．23C．25D．154．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)1f =，(4)()f x f x +=，则(1)(8)f f -+=A．2-B．0C．1-D．15．被称为计算机第一定律的摩尔(Moore)定律表明，集成电路芯片上所集成的电路的数目，每隔18个月就翻一番并且性能也将提升一倍。

这说明电子产品更新换代之迅速。

由于计算机与掌上智能设备的升级，以及电动汽车及物联网行业的兴起等新机遇，使得电子连接器行业增长呈现加速状态.对于汽车领域的连接器市场规模，中国产业信息发布了2010～2018年之间统计折线图，根据图中信息，得到了下列结论：①2010～2018年市场规模量逐年增加；②增长额度最大的一年为2015～2016年；③2018年比2010年增长了约67%；④与2010～2013年每年的市场规模相比，2015～2018年每年的市场规模数据方差更小，变化更加平稳，其中正确命题的序号为A.①④B.②③C.②③④D.③④6．已知R b a ∈,,则“b a 2121log log <”的一个必要不充分条件是A．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3141B．ba 11>C．0)ln(>-b a D．13<-b a7．已知圆22:12M x y +=与抛物线2:4N y x =交于,A B 两点（A 在B 的上方），与抛物线N 的准线交于,C D 两点（C 在D 的上方），则四边形ABDC 的面积为A．6+311B．62+311C．2+211D．6+7118．设双曲线1:2222=-by a x C （0,0>>b a ），,M N 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，P 为双曲线C 上的一动点，若=4PM PN k k ⋅，则双曲线C 的离心率为A．235D．59．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。

2020年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区民族中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③其中假命题的个数为（）参考答案：C2. 设全集U是实数集R，函数的定义域为集合M，集合，则为（）A.{}B. 2C.{}D.参考答案：C或，所以，所以，故选C.3. 不等式（A）（B）（C）（D）参考答案：D4. 若复数，则A.1B. 0C.D.参考答案：A.故选A.5. 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，36，则输出的a=（）A. 3B. 6C. 9D. 18参考答案：C【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】由a=63，b=36，满足a＞b，则a变为63-36=27，由a＜b，则b变为36-27=9，由b＜a，则a =27-9=18，由b＜a，则，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，则输出的a的值为9．故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．6. 设是虚数单位，若复数是实数，则实数的值为（）.A. B. C.D.参考答案：D略7. 下列四个命题中正确的命题序号是（）①向量共线的充分必要条件是存在唯一实数，使成立。

②函数的图像关于直线对称.③成立的充分必要条件是。

④已知为全集，则的充分条件是。

A．②④B．①②C．①③D．③④参考答案：A8. 利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（）A．46 B．48 C．50 D．52参考答案：D【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．【解答】解：这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的频率为1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52∴用电量落在区间[150，250]内的户数为100×0.52=52．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．9. 在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是()参考答案：B略10. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为（）cm2.A．50 B．60C．70 D．80参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 方程的实根的个数为____________.参考答案：1略12. 已知平面量，，若向量，则实数的值是__________．参考答案：∵，，∴，∵，∴，∴，解得，．13. 下列几个命题：①方程有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有______________.参考答案：①④14. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为．参考答案：37【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】设数据的值为a，利用回归直线方程恒过样本中心点，求出a．【解答】解：设数据的值为a，依题意知， =3.5， =（131+a），∵利用回归直线方程恒过样本中心点，∴（131+a）=3.5×9.4+9.1，∴a=37，故答案为：37．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．15. 在的展开式中，的系数是，则实数__________ .参考答案：答案：16. （09南通交流卷）右边是根据所输入的值计算值的一个算法程序, 若依次取数列中的前200项，则所得值中的最小值为▲参考答案：答案：117. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，若，则实数a的取值范围是___________．参考答案：(－2,1)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（理科）数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,3aA =，{,}B a b =，若13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则22a b -=（ ）A. 0B.43C.89D.【答案】C 【解析】 【分析】由13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,可解得,a b ,代入即可求得结果.【详解】13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,331=a ∴,解得:1a =-, 13b =,22181-=99a b -∴=.故选:C.【点睛】本题考查已知交集求解参数,难度容易.2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发xi 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，6i e π表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由cos sin ixe x i x =+可知当6x π=时,6=cossin66ii e πππ+,化简即可求得结果.【详解】cos sin ix e x i x =+,∴ 当6x π=时,61=cossin662ie i i πππ+,∴6ieπ表示的复数对应的点为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在第一象限. 故选:A.【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系,难度容易. 3. 已知角α的终边经过点(-4,-3)，则cos(2)2πα+=（ ）A. 2425-B. 1225-C.1225D.2425【答案】A 【解析】 【分析】根据角α的终边经过点(-4,-3)，利用三角函数的定义得到3tan 4α=，再利用诱导公式及二倍角公式，商数关系，转化为cos(2)2πα+222sin cos tan 22sin cos tan 1αααααα=-=-++求解.【详解】因为角α的终边经过点(-4,-3)， 所以3tan 4α= 所以cos(2)sin 22sin cos 2παααα+=-=-，222sin cos tan 2422sin cos tan 125αααααα=-=-=-++，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及诱导公式，二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）A. 43+B. 843+C. 883+D. 8163+【答案】D 【解析】 【分析】根据在直角三角形的边角关系求出弦心距,弦长及“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可.【详解】设半径为r ,圆心到弦的距离为d ,则121cos 232d r r π⎛⎫=⋅⨯=⎪⎝⎭, 11422r d r r r -=-==8,4r d ∴==∴ 所以弦长为2222641683r d -=-=, ∴弧田面积为()21834481632⨯+=+故选:D.【点睛】本题考查新定义的面积公式,考查学生分析问题的能力和计算能力,难度较易. 5. 我区的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改变.督导一年后.分别随机抽查了高中（用A 表示）与初中（用B 表示）各10所学校.得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（ ） ①高中得分与初中得分的优秀率相同 ②高中得分与初中得分的中位数相同 ③高中得分的方差比初中得分的方差大 ④高中得分与初中得分的平均分相同A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图可计算优秀率、中位数、平均数;根据得分的分散程度可判断方差大小关系,从而可得各个选项的正误.【详解】从茎叶图可知抽查的初中得分优秀率为:3100%30%10⨯= ；高中得分的优秀率为:3100%30%10⨯=可知①正确;高中的中位数为75.5,初中的中位数为72.5,可知②错误；初中得分比较分散，所以初中的方差大，可知③正确;高中的平均分为75.7,初中的平均分为75,可知④错误. 故选:B.【点睛】本题考查利用茎叶图求解频率、中位数、平均数、方差的问题,难度较易.6. 已知抛物线22y px =的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为E ，若60,EPF PEF ∠=∆的面积为3p =（） A. 2 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p 即可．【详解】抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，过P 作抛物线的准线的垂线，垂足是E ，若∠EPF ＝60°，△由抛物线的定义可得：|PF |＝|PE|，△PEF 是正三角形，所以|PE|=2p ，△PEF 的面积为163， ∴122602p p sin ⨯⨯⨯︒=163得p ＝4， 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 7. 如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 63C. 642+D. 322+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+． ∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)()()2111f =-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8. 袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A ，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计事件A 发生的概率为（ ） A.29B.518C.13D.718【答案】C 【解析】【分析】18组随机数中，利用列举法求出事件A发生的随机数有共6个，由此能估计事件A发生的概率．【详解】解：18组随机数中，事件A发生的随机数有：210，021，001，130，031，103，共6个，∴估计事件A发生的概率为61183p==．故选：C．【点睛】本题考题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9. 已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a//b，则α//γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a// α，a// β，b//α，b//β，则α//β；③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①②③④【答案】C【解析】【分析】①通过实际模型判断；②由面面平行的判定定理判断；③由面面垂直的性质定理判断；④由线面垂直的判定定理判断.【详解】①若α∩β=a，β∩γ=b，且a//b，则α//γ或αγ⋂，故错误；②若a，b相交，且都在α，β外，a// α，a// β，b//α，b//β，则α//β；由面面平行判定定理知正确；③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α，由面面垂直的性质定理知正确；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，由线面垂直的判定定理知，当a与b⊂相交时，l⊥a则故错误；故选：C【点睛】本题主要考查直线，平面间的位置关系以及面面垂直的判定定理，性质定理，线面垂直的判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10. 设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右两焦点分别为12,F F，P是双曲线右支上一点，且三角形2OPF 为正三角形(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率是（ ） A.31+ B.31+C.6 D.10 【答案】B 【解析】 【分析】依题意画出草图，根据双曲线的定义计算可得；【详解】解：依题意，三角形2OPF 为正三角形，则22OP OF PF c ===，连接1PF 可得13=PF c ，又122PF PF a -=，即32c c a -=，所以3131c e a ===+- 故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.11. 已知()'f x 是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有()(23)()xf x e x f x '=++(e 是自然对数的底数)，f (0)=3，若方程f (x )=m 恰有三个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 21[0,)e B. 21(0,)e C. 2313[,]e e D. 2313(,)e e 【答案】D 【解析】 【分析】根据()(23)()xf x e x f x '=++，构造函数()()xf xg x e=，由()()()23x f x f x g x x e '-'==+，设()2+3g x x x c =+，g 0)=f (0)=3,得到()()2+33xf x x x e =+，再利用导数研究其单调性，极值，最值，画出图象求解即可.【详解】因为()(23)()xf x e x f x '=++， 所以()()23xf x f x x e '-=+，令()()xf xg x e =， 所以()()()23xf x f xg x x e'-'==+， 所以()2+3g x x x c =+，()()2+3xf x x x c e =+，又f (0)=3，解得3c =， 所以()()2+33xf x x x e =+，所以()()()+32xf x ex x '=+，当()0f x '>时，3x <-或2x >-，当()0f x '<时，32x -<<-， 所以()f x 在(),3-∞-和()2,-+∞上递增，在()3,2--上递减， 所以()f x 的极大值是()333f e -=，极小值是()212f e-=， 因为方程f (x )=m 恰有三个实数根，如图所示：所以2313m e e <<，所以则实数m 的取值范围是2313(,)e e 故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数利用导数研究函数的单调性，极值，最值方程的根，还考查了转化化归思想，数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题.12. 有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料111,ABC A B C -其各棱长都为2,已知点1O ，O 分别为上，下底面的中心，M 为1OO 的中点，过A ， B ，M 三点的截面把该木料截成两部分，则此截面面积为（ ） A.7B.319C.163D. 2【答案】C 【解析】 【分析】 取11A B 的中点D ，AB 的中点N ，连接NM 并延长交1DC 与G ，过G 作11//EF A B ，则梯形ABFE 即为所求的截面，然后根据M 为中点，1O 为中心，得到1113C G CD =， 进而求得EF 和梯形的高即可. 【详解】如图所示：取11A B 的中点D ，AB 的中点N ，连接NM 并延长交1DC 与G ，过G 作11//EF A B ，因为11//AB A B ，所以//EF AB ， 则梯形ABFE 即为所求的截面， 则11DO O G =，因为M 为中点，1O 为中心，1O 为中心， 所以1113C G CD =，因为12233EF =⨯=，3AE BF ===，=，故S 梯形ABFE =12223⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体的截面问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=2____．（用数字作答） 【答案】12- 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进行化简，求得结果.【详解】根据题中的条件可得：222cos542sin182cos18844sin 18-=⋅-=sin 3612sin 362-==-，故答案是：12-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式子进行正确的变形是解题的关键.14. 在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =且224bc b c +=+，则角A =___.【答案】3π 【解析】 【分析】根据已知条件,反凑余弦定理,即可求得角A. 【详解】2a =,2224bc a bc b c +=+=+∴,222b c a bc ∴+-=由余弦定理得: 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又03A A ππ<<∴=，. 故答案为:3π. 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.15. 直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】 (1). 2 (2). 1 【解析】 【分析】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果.【详解】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程24y x =．当直线AB 斜率不存在时：1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=．当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理，得 ()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++． （方法二）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.16. 已知函数f (x )的定义域为(0,+∞)，若()f x y x=在(0,+∞)上为增函数，则称f (x )为“一阶比增函数"；若2()=f x y x 在(0,+∞)上为增函数，则称f (x )为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B .若函数32()2,f x x mx mx =--且f (x )∈A ，f (x )∉B ，则在区间(-3, 3)内满足上述条件的所有整数m 为___ 【答案】2,1-- 【解析】 【分析】 由()f x A ∈且()f x B ∉知2()()2f x g x x mx m x==--在(0,)+∞是增函数而2()()2f x mh x x m x x==--在(0,)+∞不是增函数，分别求出m 的取值范围求交集，再根据m ∈ (-3, 3)即可求解． 【详解】()A f x ∈且()f x B ∉，即2()()2f x g x x mx m x==--在(0,)+∞是增函数， 0m ∴．而2()()2f x mh x x m x x ==--在(0,)+∞不是增函数， 而2()1mh x x '=+， ∴当()h x 是增函数时，有0m ，∴当()h x 不是增函数时，有0m <．∴ 在(-3, 3)内满足上述条件的所有整数m 为-2，-1故答案为：2,1--【点睛】本题主要考查了函数的单调性，导数在研究函数单调性上的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤，第17一21 题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，22BC =，45ABC ∠=︒，点E 是CD 边的中点，将DAE △沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且26PB =.（1）求证；平面PAE ⊥平面ABCE ； （2）求点E 到平面P AB 的距离. 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】（1）推导出AE AB ⊥，AB PA ⊥，从而AB ⊥平面P AE ，由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE. （2）推导出AE PE ⊥，CE ⊥平面P AE ，以E 为原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E 到平面P AB 的距离.【详解】（1）∵在平行四边形ABCD 中，4AB =，22BC =45ABC ∠=︒， 点E 是CD 边的中点，将DAE △沿AE 折起， 使点D 到达点P 的位置，且6PB =∴22(22)22222cos452AE =+-⨯⨯⨯︒=，∴AE AB ⊥，∵222AB PA PB +=，∴AB PA ⊥， ∵AE PA A =，∴AB ⊥平面P AE ，∵AB平面ABCE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE.解：（2）∵2AE =，2DE =，22PA = ∴222PA AE PE =+，∴AE PE ⊥. ∵AB ⊥平面P AE ，//AB CE ， ∴CE ⊥平面P AE ， ∴EA ，EC ，EP 两两垂直，以E 为原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), (0,0,2)E A B P ，(0,0,2)PE =-，(2,0,2)PA =-，(2,4,2)PB =-设平面P AB 的法向量(,,)n x y z =，则2202420n PA x z n PB x y z ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩，取1x =，得(1,0,1)n =，∴点E 到平面P AB 的距离||2||2PE n d n ⋅===【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1111,2,3426,n n n a b a a b +===++13426n n n b b a +=+-.（1）证明：{}n n a b +是等比数列；（2）求数列{(21)()n n n a b ++}的前n 项和.n S 【答案】（1）证明见解析（2）33(21)2nn +-⋅ 【解析】 【分析】（1）根据递推数列及等比数列的定义即可证明； （2）根据错位相减法求数列的和求解. 【详解】（1）由1111,2,3426,n n n a b a a b +===++13426n n n b b a +=+-，可得()()1136n n n n a b a b +++=+， 即()112n n n n a b a b +++=+，则{}n n a b +是首项为3，公比为2的等比数列（2）由（1）知132n n n a b -+=⨯，1(21)()3(21)2n n n n a b n -∴++=+⋅，()23133527292(21)2n n S n -=+⨯+⨯+⨯++⋅∴+()2341332527292(21)2(21)22n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅∴，两式相减得()2341332222222222(21)2n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+-+⋅42233(21)212n n n ⎛⎫-⨯=+-+⋅ ⎪-⎝⎭3(12)23n n =-⋅- 33(21)2n n S n ∴=+-⋅【点睛】本题主要考查了递推关系，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.19. 以“立德树人”为目标的课程改革正在积极有序推进，普通高中招生对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.2020年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校为了掌握初三年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下面频率分布直方图，且规定计分规则如下表：（1）请估计学生的跳绳个数的众数、中位数和平均数(保留整数)；（2）若从跳绳个数在[155,165)、[165, 175)两组中按分层抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人,求两人得分之和不大于34分的概率.【答案】（1）180，184，185；（2）1 12.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可得众数，由中位数和平均数公式可得中位数和平均数；（2）由表格可求得跳绳个数在[155,165)、[165, 175)两组中的人数分别为6和12，根据分层抽样可得在[155,165)中抽3人，在[165, 175)中抽6人，然后由古典概型的概率求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知：众数为1751851802+=，中位数为：0.50.060.120.321751751840.0340.034m--=+=+≈，平均数1600.061700.121800.341900.302000.12100.08185X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）跳绳个数在[155,165)有1000.066⨯=人，在[165, 175) 1000.1212⨯=人， 因为一共抽取9人，所以在[155,165)中抽3人，在 [165, 175)中抽6人，基本事件的总数为2936C =种，若两人得分之和不大于34分，则两人都从[155,165)中选，基本事件共有233C =种，所以两人得分之和不大于34分的概率313612p ==. 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求众数，中位数，平均数和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20. 已知函数()()1(0)f x xln x a a =++<.（1）若函数()f x 在定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）证明:()sin xf x e x <+.【答案】（1）(2,a e -⎤∈-∞-⎦；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先判断出函数的定义域，进而通过求导，求导函数的导数并求其最小值解答问题． （2）转化的思想，要证明()sin xf x e x <+，只需证明sin 1x xlnx e x <+-，进而利用分类讨论的思想解答问题．【详解】解：（1）()f x 的定义域为(,)a -+∞，且()()xf x ln x a x a'=+++， 设()()()x m x f x ln x a x a '==+++，则2212()()()a x a m x x a x a x a +'=+=+++，0a <．2a a ∴->-，令()02m x x a '=⇒=-，则当(,2)x a a ∈--时()0m x '<；当(2,)x a ∈-+∞时，()0m x '>． ()m x 在(,2)a a --上单调递减，在(2,)a -+∞上单调递增，由已知函数()f x 在定义域上增函数，得()(2)()20min m x m a ln a =-=-+解得2a e --， a ∴的取值范围是(2,a e -⎤∈-∞-⎦，（2）：0a <，x a >-．0x ∴>，()()11f x xln x a xlnx =++<+，要证明()sin xf x e x <+， 只需证明sin 1x xlnx e x <+-，()i 当01x <时，sin 10x e x +->，0xlnx ．所以sin 1x xlnx e x <+-成立，()ii 当1x >时，设()sin 1x g x e x xlnx =+--，则()cos 1x g x e lnx x '=-+-，设()()h x g x ='，则1()e sin xh x x x'=--， 1x >，()110h x e ∴'>-->，即()h x 在(1,)+∞上单调递增，()()1cos110h x h e ∴>=+->，即()0g x '>，()g x ∴在(1,)+∞上单调递增，()()1sin110g x g e >=+->即sin 1x xlnx e x <+-， 综上可知，0a <时，()sin xf x e x <+．【点睛】（1）主要考察函数的定义域，导函数，利用导函数判断元函数的单调性． （2）考察转化的思想，分类讨论的思想，以及导函数的应用，属于中档题．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点且椭圆的短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于,M N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得，13516QM QN ⋅=-恒成立？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）存在，11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）由椭圆性质可知2b =点代入即可求得结果.（Ⅱ）假设存在定点(,0)Q m 符合题意，①当直线l 的斜率不存在时，由13516QM QN ⋅=-解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时,解得114m =-或114m =.由①②可得114m =,然后证明当114m =时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示13516QM QN ⋅=-即可证得结论.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=.又椭圆的短轴长为2b =212b =， 解得216a =.所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-， ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3),(2,3)QM m QN m =-=--，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0),(4,0)M N -，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-， 由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =. 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222234161630k x k x k +-+-=， 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点， 且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++， 所以11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222221631116121135124434431616k k k k k k k -⎛⎫=+-+++=- ⎪++⎝⎭. 综上所述，在x 轴上存在定点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-恒成立.. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆位置关系中定点定值问题,难度较难. (二)选考题:共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线(0)3πθρ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当||||AB OP =时，求a 的值.【答案】（Ⅰ）:0l y a +-=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ）0或【解析】【分析】（Ⅰ）将l 参数方程消去t 即可得到普通方程；由24cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原则可得C 的直角坐标方程；（Ⅱ）联立C 和射线的极坐标方程可得P 点极坐标，从而得到OP ；将l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用t 的几何意义，结合韦达定理构造关于a 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）将直线l 的参数方程消去t0y a +-=由4cos ρθ=得：24cos ρρθ= 224x y x ∴+=整理可得曲线C 的直角坐标方程为：()2224x y -+= （2）由()4cos 03ρθπθρ=⎧⎪⎨=≥⎪⎩得：2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2OP ∴= 将直线l 的参数方程代入C得：()2220t t a ++=由()22240a ∆=->得：44a -<<设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则：122AB t t =-=== 解得：0a=或a =∴所求a 的值为0或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型.23. 已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a ∈R ）．（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()5|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{|04}x x x ≤≥或（2）4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当4a =-时不等式()6f x ≥化为2226x x -+-≥，即22x -≥，即可求得不等式的解集；（2）不等式化为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即2|2||42|5x a x a ++-≥，利用绝对值不等式化为245a a +≥，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥，即为|24||2|6x x -+-≥，所以|2|2x -≥，即22x -≤-或22x -≥，原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或．（2）不等式2()5|2|f x a x ≥--即为2|2||2|5|2|x a x a x ++-≥--，即关于x 的不等式2|2||42|5x a x a ++-≥恒成立．而|2||42||4|x a x a ++-≥+，所以2|4|5a a +≥，解得245a a +≥或245a a +≤-，解得415a -≤≤或a φ∈． 所以a 的取值范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题．。

2020年内蒙古自治区赤峰市赤峯蒙古族中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则A表示的平面区域的面积是（）A．B．C．D．1参考答案：D【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，联立，得A（0，1），联立，得B（﹣，﹣），联立，得C（，﹣）；∴又直线x﹣y﹣1=0交y轴于点D（0，﹣1）∴不等式组表示的平面区域面积为S=S△ABD+S△ACD=×2×+×2×=1．故选：D．2. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( )种．A．240 B．180 C．150 D．540参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150故选：C【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．3. 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x［0,2］时，f(x)=x2-2x，若x［－4,－2］时，f(x)恒成立，则实数t的取值范围是A、（－∞，－1）∪（0,3］B、（－∞，－）∪（0, ］C、［－1,0）∪［3，＋∞）D、［－,0）∪［，＋∞）参考答案：C4. 由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A．B．2﹣ln3 C．4+ln3 D．4﹣ln3参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．故选D．5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为参考答案：D6. 已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．7. 已知定义在R上的偶函数f(x)满足，且当时，（其中e=271828…是自然对数的底数）.若关于x的方程在[0,4]上恰有四个解，则实数a的取值范围（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据题意，可以得到是一个周期为4的偶函数，将在[0,4]上恰有四个解，转化为函数与直线的图像恰有4个交点，结合函数的单调性，即可求得实数a 的取值范围。

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x+2>0}，B={−3,−2,−1,0}，则(∁R A)∩B=()A. {−3,−2}B. {−3}C. {−2,−1,0}D. {−1,0}2.复数z=1−i2+i在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35)3.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A. 23B. 12C. 15D. 254.已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(3)+f(4)+f(5)=()A. 2B. 0C. −2D. 45.在2010∼2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及新一代智能手机的规格升级，电动汽车及物联网等迎来新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为()①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013∼2014年；③这8年的增长率约为；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳．A. 1B. 2C. 3D. 46.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<17.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则C的焦点到准线的距离为()A. 2B. 4C. 6D. 88.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，O为坐标原点，点M，N是双曲线C上异于顶点的关于原点对称的两点，P是双曲线C上任意一点，PM，PN的斜率都存在，则k PM⋅k PN的值为()A. a2b2B. b2a2C. b2c2D. 以上答案都不对9.将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)的数表示为a ij(i,j∈N∗)，例如a32=10.若a ij=2020，则i−j=()A. 25B. 22C. 23D. 2110. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=−5，S 9=−27，{b n }为等比数列，且b 3=a 3，b 5=a 5，则b 9的值为( )A. −9B. 9C. −27D. 2711. 设函数f (x )=x −e −x ，直线y =mx +n 是曲线y =f (x )的切线，则m +n 的最小值是( )A. −1eB. 1C. 1−1eD. 1+1e 3 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AD =2，BD =4，点M 、N 分别为BD 、BC 的中点，将其沿对角线BD 折起成四面体QBCD ，使平面QBD ⊥平面BCD ，P 为QC 的中点．则点D 到平面QMN 的距离为( )．A. √63B. 2√33C. √32D. √64二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5=8，a 7=8，则a 1的值是______．15. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AD ，D 1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为____．16. 函数y =x +2sinx 在区间(0,2π)内的极大值是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c.已知sinAsinC =34，b 2=ac ．(1)求角B 的值；(2)若b =√3，求△ABC 的周长．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=3，BC=6，PB=3√3．(Ⅰ)若PC的中点为E，求证：DE//平面PAB；(Ⅱ)若∠PAB=60°，求直线DC与平面PAB所成角的余弦值．19.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则X=3．(1)求三只黑猫挨在一起出笼的概率；(2)求X的分布列和数学期望．20.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−2，g(x)=|2x+a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)若f(x)≥g(x)在[6,8]上恒成立，求实数a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x>−2}；∴∁R A={x|x≤−2}；∴(∁R A)∩B={−3,−2}．故选：A．解出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．2.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：本题考查了古典概型的计算与应用，属于基础题．从5种物质中任取2种，共有10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，即可得出结果．解：依题意，从5种物质中任取2种，设五种物质分别为A，B，C，D，E，则所有选法为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种选法，根据相生相克的关系可知恰有5种选法具有相克的关系，故取出的两种物质恰好是相克关系的概率为510=12，。

2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230,{|1sin ,0}A x x x B y y x x =+-<==->，则A B =I （ ）A ．[)3,1-B ．[)0,1C ．[]1,2D ．()3,2-【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，求三角函数值域求得集合B ，由此求得A B I . 【详解】由()()223310x x x x +-=+-<解得31x -<<.当0x >时，函数[]1sin 0,2y x =-∈，所以[)0,1A B ⋂=.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有sin x 的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3 B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C【解析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-，32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知115232,5,log 2a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】由11522,511a b =>=>，而3log 21c =<，即可得到,a c b c >>.在比较10a 和10b ，即可,a b 大小关系，进而求得a bc ，，的大小关系. 【详解】Q 11522,511a b =>=>，3log 21c =<∴,a c b c >>又Q 1052=32a =，1025,=25b=∴1010a b >，即a b >综上所述，c b a << 故选：B. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】()f x 的定义域为R .由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫-=+=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不是单调递增函数，所以②错误.当0x ≥时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=±=±≤ ⎪⎝⎭，且存在4x π=，使sin cos 444f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 所以当0x ≥时，()f x ≤由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()f x ≤， 所以()f x，所以③错误.依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以令sin cos 0x x +=，解得74x π=，令sin cos 0x x -=，解得54=x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是（ ） A． B ．1CD ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r，计算得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,2C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.10．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a>=，所以2918a+>，所以双曲线的离心率22910, 92ea⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以20,2e⎛⎫⎪⎪⎝⎭∈.故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.11．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA==，.若E F，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E=，1114C F CC=，则异面直线1A E与AF所成角的余弦值为（）A．210B26C13D13【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E与AF所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为O，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF=-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E与AF所成角的余弦值为11824261342213A E AFA E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞.故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a r ，b r 满足2b a =v v，且()b a a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为____________. 【答案】3π（或写成60︒） 【解析】设a r 与b r的夹角为θ，通过()b a a -⊥r r r ，可得()=0b a a -⋅r r r ，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.【详解】设a r 与b r的夹角为θ Q ()b a a -⊥r r r可得()=0b a a -⋅r r r，∴()2=0a b a⋅-r r r故2cos =0a b a θ⋅⋅-r r r ，将2b a =v v代入可得得到1cos 2θ=， 于是a r 与b r的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.【答案】5639【解析】先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365=⨯+⨯=.由正弦定理得56sin 56653sin sin sin 395a b b A a A B B⋅=⇒===.故答案为：5639【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 【答案】536【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22426C C ⨯=种.当中间是5时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有225310330C C ⨯=⨯=种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有226415690C C ⨯=⨯=种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22752110210C C ⨯=⨯=种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22862815420C C ⨯=⨯=种.当中间是9时，其它4个数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有22973621756C C ⨯=⨯=种.所以该验证码的中间数字是7的概率为210210563090210420756151236==+++++. 故答案为：536【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.三、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O （A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 【答案】3 π【解析】判断出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值. 【详解】根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为22BD ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1). 3 (2). π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，45AB AD ADC AD ⊥∠=︒，，∥22BC AD AB ==，，ADP △为等边三角形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCE ； （2）点F 在线段CD 上，且32CF FD =，求平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（24183【解析】（1）根据等边三角形的性质证得PE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥底面ABCD ，由此证得PE BC ⊥，结合CE BC ⊥证得BC ⊥平面PCE ，由此证得：平面PBC ⊥平面PCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面PBF 和平面PAD 的法向量，计算出平面PAD 与平面PBF 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PAD △为等边三角形，E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥ ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 底面ABCD AD =， ∴PE ⊥底面ABCD BC ⊂，平面ABCD ，∴PE BC ⊥ 又由题意可知ABCE 为正方形，CE BC ⊥ 又PE EC E =I ，∴BC ⊥平面PCEBC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCE（2）如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,00,1,01,1,01,0,0E A B C --，，，，()0,1,0D ，(0,0,3)P ，由已知35CF CD =u u u r u u u r ，得23,,055F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23(1,1,3),,,355PB PF ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r设平面PBF 的法向量为(),,n x y z =r，则 30233055n PB x y z n PF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 令3z =，则249,55x y ==， ∴249,,355n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r由（1）知平面PAD 的法向量可取为()1,0,0m =u r∴2222441835|cos ,|249(3)55m n <>==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r r ∴平面PAD 与平面PBF 4183. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥.（1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）见解析（2）112231n n S +=-+ 【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到113n nn n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-11*,2,3n nn n a b n N n a b ---∈≥=-所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，()()1111113,22nn n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，∴()()11134311231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭∴1111111241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111122431231n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望()Eξ附表及公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，17 6【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生中喜欢古典文学的人数为n ，则m n ξ=+.且2,3,4ξ=1211222132431(2)(1,1)3C C C C P P m n C C ξ======； 21111222221222323243431(3)(2,1)(1,2)2C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=； 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======. 所以ξ的分布列为则11117()2343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）24x y =（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程. （2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】（1）依题意d =1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =，即214y x =，得12y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+- ∵21114y x =，∴112xy x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，1112x t y -=-①，同理，2212xt y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12xt y -=-.即直线:12tAB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t=-，得PF AB ⊥于是1||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()22210y t y -++=21224AB y y t=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+当0t =时，PAB S V 最小，且最小值为4 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.21．已知函数()ln f x x =.（1）设2()()f x g x x=，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1ae -+上不单调，证明：111a a a +>+.【答案】（1）(x ∈为增区间；)x ∈+∞为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得()g x 的定义域，然后利用导数求得()g x 的单调区间，结合零点存在性定理判断出()g x 有唯一零点.（2）求得()h x 的导函数()'h x ，结合()h x 在区间()1,1ae -+上不单调，证得1ln a e a a -+->，通过证明111ln 1a e a a a -+>+-+，证得111a a a +>+成立. 【详解】（1）∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，由312ln ()0xg x x -'=>，解得(x ∈为增区间；由312ln ()0xg x x -'=<解得)x ∈+∞为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵2110,02g e g e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以函数在区间(内有零点，∵,()0x g x →+∞→，函数在区间)+∞上没有零点， 故函数只有一个零点.（2）证明：函数()(1)ln(1)x x h x e af x e a x =--=--，则 (1)(),111x xa x e ah x e x x x --'=-=>--当0a ≤时，()0h x '>，不符合题意； 当0a >时，令()(1),1x m x e x a x =-->，则()0xm x xe '=>，所以()m x 在(1,)+∞上单调增函数，而()10m <，又∵()h x 区间()1,1a e -+上不单调，所以存在()01,1a x e -∈+，使得()h x '在()1,1ae -+上有一个零点0x ，即()00h x '=，所以()00m x =，且()()11010ae e am eee a ea m x ααα---+-+-+=⋅-=->=，即1a e e a α--+>两边取自然对数，得1ln a a e a --+>即1ln a e a a -+->， 要证111a a a +>+，即证111ln 1a e a a a -+>+-+， 先证明：1(0)x e x x >+>，令()1x n x e x =--，则()10x n x e '=-> ∴()n x 在(0,)+∞上单调递增，即()()00n x n >=，∴()10xe x x >+>①在①中令x a =，∴111111aaa e a e e a a ->+⇒<⇒<++ 令1ln x a=∴1ln1ln 1ae a >+，即111ln 11ln a a a a>+⇒>-即111ln 1a e a a a -+>+-+，∴111a a a +>+. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA 的最大值为，求a 的值.【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a =或1a =-【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C 上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】（1）Q 22123sin ρθ=+， ∴2223sin 12ρρθ+=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得223412x y +=，曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=由22220143x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 故C上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为d ==则||sin 45d PA ︒===当0a ≥时，||PA1a =；当0a <时，||PA=1a =-.综上所述，1a =或1a =- 【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式()1f x ≤；（2）记函数()f x 的最大值为s ，若(),,0a b c s a b c ++=>，证明：2222223a b b c c a abc ++≥.【答案】（1）(],1-∞；（2）证明见解析第 21 页 共 21 页 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）Q ()12f x x x =+--3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩①当1x ≤-时，31-≤恒成立，∴1x ≤-；②当12x -<<时，211x -≤，即1x ≤，∴11x -<≤；③当2x ≥时，31≤显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为(],1-∞.（2）由（1）知max ()3f x s ==，于是3a b c ++=由基本不等式可得222222a b b c ab c +≥= （当且仅当a c =时取等号）222222b c c a abc +≥= （当且仅当b a =时取等号）222222c a a b a bc +≥=（当且仅当c b =时取等号）上述三式相加可得()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++（当且仅当a b c ==时取等号）Q 3a b c ++=，∴2222223a b b c c a abc ++≥，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。

2020年内蒙古自治区赤峰市土默特中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：A2. ，则（）A．R B．(0,+∞) C．{1} D．[1,+∞)参考答案：B3. 已知全集U=R，集合，集合，那么（A）（B）（C）（D）参考答案：B略4. （多选题）设函数，则（）A. f(x)在单调递增B. f(x)的值域为C. f(x)的一个周期为πD. 的图像关于点对称参考答案：BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.【详解】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.5. 函数的定义域是（）A. B. C.D.参考答案：C6. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）．A．B．C．D．参考答案：A该几何体是一个四棱锥，在长方体中画出该四棱锥如图，则，，，，则. 故选A.7. 已知O为坐标原点，双曲线的右焦点F，以为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，则双曲线的离心率为（）Ａ．2 B．3 Ｃ． D．参考答案：C8. 设函数时，，又函数，则函数零点的个数为A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D9. 下列命题中的真命题是A.对于实数a、b、c，若B.的充分而不必要条件C.，使得成立D.成立参考答案：C10. 记满足下列条件的函数f（x）的集合为M:当|x1|≤1,|x2|≤1时, |f（x1）－f （x2）|≤4|x1－x2|.若有函数g（x）＝x2＋2x－1, 则g（x）与M的关系是（）A．g（x）M B．g（x）M C．g（x）M D．不能确定参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三个数中，最小的数是_______．参考答案：【知识点】对数与对数函数指数与指数函数【试题解析】故答案为：12. 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．参考答案：（27，－5）13. 已知，则。