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时域分析法

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第3章 时域分析法

第3章 时域分析法

第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。

由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。

3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。

瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。

稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。

在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。

所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。

选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。

常见的典型输入信号如下。

1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。

2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。

图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。

脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。

第四章时域分析法(武汉理工大大学,轮机工程,汤旭晶)

第四章时域分析法(武汉理工大大学,轮机工程,汤旭晶)

n2
e nt 1 e nt
1
2
2
( 1 2 cos d t sin d t )
sin( d t arctg 1 2 )
y (t )
ζ =0.3
(t 0)

ζ =0.6 ζ =1 ζ >1
1
2
1

§4－3 二阶系统的瞬态响应
d t p t p d n 1 2
§4－3 二阶系统的瞬态响应
3、超调量 p p
y(t p ) y () y ( )
1 1 2
1 1
2

ωn
e
nt p
1 2
2
sin(d t p )
ωd
)
t
取拉氏逆变换：
y (t ) 1 nte nt e nt
2
t0
y (t )
2、当 1 时，称为过阻尼；
s 1, 2 n n
Y ( s)
2 n
1
1
1 A B C ( s s1 )( s s2 ) s s s s1 s s2
k 0.3
§4－2 一阶系统的瞬态响应 二、一阶系统的单位斜坡响应
r (t ) t
1 R(s) 2 s
Y (s) 1 1 1 T T Y (s) R( s) 2 2 R(s) Ts 1 s s s s 1 T
y (t ) t T Te
t T
tg 1
1 2
1 1 2
e nt r sin( d t r ) 1

cos 1 sin 1 1 2

瞬态响应及误差分析(时域分析法)

瞬态响应及误差分析(时域分析法)

10K O 10K O K OG ( S ) 10K O 1 10K H ( s) 0.2s 1 0.2 1 K H G ( s) 1 10K H 0.2s 1 10K H s 1 0.2s 1 1 10K H 10K O 1 10K K * 10 K O 10 0.2 H T * 0.02 K H 0.9 1 10K H
12
3. 选取试验输入信号的原则：



选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况； 形式简单，便于用数学式表达及分析处理，实际中可 以实现或近似实现； 应选取那些能够使系统工作在最不利的情形下的输入 信号作为典型试验信号；
•如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统 。 •如控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号 •如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号； 宇宙飞船控制系统 •如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号
特征点： 1 A点 : xo (T ) 0.368 xo (0) ） 2）零时刻点： xo (t )

1 T
2e

t T t 0
1 2 ; x o ( 0) T T
24
1
一阶系统单位脉冲响应的特点： 1. 瞬态响应：(1/T )e –t/T；稳态响应0； 2. 瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的 系统，其响应速度慢于时间常数小的系统。 3. 输入试验信号仅是为了识别系统特性，系统特性只取 决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。 4. xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减。 5.
量从初始状态到稳定状态的响应过程。
稳态响应：当某一输入信号的作用下，系统的响应

时域分析法 (DEMO)

时域分析法 (DEMO)

从图 1—23 可以看出，信号的时域和频域描述是从不同的领域来 说明同一个信号。周期方波在时域可分解成许多不同频率和幅值的奇 次谐波，而在频域则表达了这些谐波的幅值与初始相位角随频率的变 化情况。（俯视为初始相位角）
实际上，各种幅域参数本质上是取决于随机信号的概率密度函数。 随机信号的概率密度函数表示幅值 x(t) 落在某一个指定范围内的概 率大小，随机信号的幅值取值的概率是有一定规律的，即对于同一过 程的多次观测中，信号中各幅值出现的频次将趋于确定的值。
p(x) 表示幅值落在小区间 (x, x x) 上的概率与区间长度之比，因 此称为幅值概率密度函数。
Xp＝
X (t)man
测试过程中如能充分估计峰值的大小，将便于确定测试仪器的动 态工作范围。若对峰值估计不足，可导致削波失真，甚至仪器被损坏。 信号的峰值也有它的自身作用，如在进行机械结构的强度或安全设计 时，就需要了解负荷的最大瞬时值。
峰值不能完全反映信号在整个时间过程中的状况。 2．均值 μ x 各态历经的平稳随机信号的均值是样本函数 x(t) 在整个时间坐标 上的积分平均即
式中，总是重点考虑较多出现的应力所造成的疲劳问题，所以它成为 产品设计的必要依据。
测试信号的频率域分析 在动态测试技术中往往需要将时间域信号变换列频率域上加以 分析，从频率角度来反映和揭示信号的变化规律，这种频率分析的方 法又称为频谱分析法。常用的频谱分析法有频率分析相功率谱分析两 种。 信号的时域分析 时域分析的主要特点是针对信号的时间顺序，即数据产生的先后 顺序。而在幅域分析中，虽然各种幅域参数可用样本时间波形来计算， 但忽略了时间顺序的影响，因而数据的任意排列所计算的结果是一样 的，在时域中提取信号特征的主要方法有相关分析和时序分析。 一、时域波形分析 常用工程信号都是时域波形的形式．时域波形有直观、易于理解 等持点。由于是最原始的信号，所以也含的信息量大，但缺点是不太 容易看出所包含信息与故障的联系 而对于某些故障信号，其波形具 有明显的特征，这时可以利用时域波形所作出初步判断。例如对于旋 转机械、其不平衡故障较严重时，信号中有明显的以旋转频率为持征 的周期成分；而转轴不对中时，信号在一个周期内，旋转频率的 2 倍 频成分明显加大，即一周波动 2 次。 而当故障轻微或信号中混有较大干扰噪声时，载有故障信息的波 形持征就会被掩没。为了提高信号的质量，往往要对信号进行预处理，

自动控制原理-第3章-时域分析法

自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

第3章 时域分析法

第3章 时域分析法

第 3章 时域分析
3.2.2 零输入响应与零状态响应
1. 系统的 0 初始状态与 0 初始条件
对于n阶系统，一般称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的 0 初始
状态，称 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 为系统的初始条件。 在系统微分方程的时域经典解法中，需要采用初始条件来确定 齐次通解的待定系数。也就是说：系统的初始条件可以通过奇异 函数匹配法以及初始状态和外激励产生的零状态响应及其各阶导 数的初始值 y ( j ) (0 ) ( j 0, 1, , n 1) 共同确定。 显然，在时域经典解法中初始条件的确定需要大量计算工作， 使微分方程的求解过程过于繁琐。而在 s 域内的Laplace变换方 法，可直接利用LTI系统已知的初始状态求解微分方程，避免了 确定初始条件的繁琐计算（详见第5章）。
第 3章 时域分析
齐次通解 yh (t ) 由微分方程的特征根决定。
表3-1 几种可能的特征根及其对应的齐次通解
几种可能的特征根 单实根
i
r 1
对应的齐次通解 yh (t )
Ci e t
Cr 1i e t Cr 2i r 2 e t C1i e t C0 e t
f (t ) Ae
st
根据式中 A 和 s 的不同取值，具体有下面三种情况： (1) 若 A = a1和 s =ζ 均为实常数，则 f (t) 为实指数信号
f (t ) Ae a1e
st
t
第 3章 形如图3.3-1所示。 由图5.3-1可知：当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数增长； 当 0 时， f (t ) 则等于常数 a ； 当 0 时， f (t ) 随 t 的增大而按指数衰减。

时域分析法

时域分析法

时域分析法
时域分析法作为一种数学方法，早已被广泛应用于现代科学技术领域。

这种方法在工程上有着极大的用处，可以帮助我们解决许多实际问题，比如电气、金属、机械等系统的模型分析和设计。

时域分析法主要是分析一种系统响应特性，从而获得某些关键参数，以及系统整体运行情况的一般特性以及变化规律。

这种方法会以时间为维度，用某种信号来描述系统的状态，然后利用图解、数学模型等数学方法，来推断系统的行为和特征。

时域分析法在工程应用上非常广泛，采用这种方法可以解决许多实际问题。

在电气系统中，可以用时域分析法来计算电路的状态参数、运行特性和变化规律，从而了解电路的整体状态和特点，比如电压、电流和功率等，这对电路的设计和修改有很大帮助。

时域分析必不可少，这是因为系统的状态参数和特性可能随时间变化，而且会受到其他因素的影响，因此必须进行实时的分析与监测才能保证系统的正常运行。

另外，时域分析法还可以帮助我们建立现有系统的数学模型，从抽象的角度来分析系统的行为特性，以便我们能够更好地掌握系统的特征和变化规律，以便更好地控制和应用它们。

时域分析法总结起来，可以帮助我们解决在工程领域中非常多实际问题，比如电气、金属和机械系统的动态分析和设计等，同时也能帮助我们分析和掌握复杂系统的行为特性，以便更好地控制它们。

正是由于这些优势，时域分析法已成为现代科学技术领域中最重要的分
析工具之一。

第3章 时域分析法

第3章 时域分析法

6．稳态误差 在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的稳态误差可以用ess来表 示，通常用ess反映系统跟踪输入时的稳态精度。
稳态误差ess：对单位负反馈系统，当t→∞时，系统单位阶跃响应的实际稳态 值与给定值之差，即
ess1= 1 − c(∞) 如果c(∞)为1, 则系统的稳态误差为零。
函数的图形如图3-5所示。
t 0
图3-5 正弦函数图形
3.2 阶跃响应的性能指标
（1）动态过程。动态过程也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信 号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数 选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式。显然，一 个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳 定的，动态过程除提供系统稳定的信息外，还可以提供其响应速度和阻尼 情况等信息，这些信息是用系统动态性能描述的 。
（2）稳态过程。稳态过程也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号 作用下，当t→∞时，其输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复 现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。在分 析系统性能时，认为当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围以后， 系统进入稳态。
由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳 态性能指标两部分组成，一般认为阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状 态，如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么在其他输入形式 作用下的动态性能也能满足要求。
时间ts。稳态值称为误差带，可以是5%或2%，前者称为5%误差带， 后者称为2%误差带。
5．峰值时间
在图3-6所示单位阶跃响应曲线中，对单位阶跃响应的峰值时间可以用tp来 表示，通常用tp评价系统的响应速度，也反映系统的局部快速性。

时域分析方法总结

时域分析方法总结

时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。

本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。

时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。

时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。

常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。

时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。

常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。

它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。

常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。

这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。

2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。

自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。

通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。

自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。

3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。

它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。

相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。

常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。

4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。

它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。

瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。

常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。

应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。

时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。

时域分析法

时域分析法

16:19
一般的控制系统多数为高阶系统，但是它们有可 能在一定的条件下用二阶系统去近似。因此，对 于二阶系统的分析具有重要的实际意义。在系统 的分析与设计中，通常将二阶系统的响应特性作 为一种基准。
16:19
二阶系统传递函数的标准形式
某随动系统方块图
如图所示随动系统的微分方程式：
TM
d
2c t
/ TM
s2
n2 2ns
n2
3.4.4
其中 n为无阻尼自然振荡角频率(固有频率)； 称为阻尼比；
均为二阶系统的特征参数，是系统本身的固有特性。
16:19
二阶系统的特征方程
s2
2
ns
2 n
0
3.4.5
由上式解得二阶系统的二个特征根(即闭环极点)为：
s1,2 n jn 1 2 3.4.6
当0 1时，特征根为一对实部为
16:19
当-1< <0 ，特征根是位于右半平面的共轭复根，呈发散振荡 状态。如图3 .6(e)所示。
当 < -1，呈单调发散状态。如图3 .6(f)所示 P53图3.7表明了极点分布与n、 的关系图。
16:19
二阶系统的单位阶跃响应 1. 欠阻尼状态
令r t 1t，则有Rs 1
s
二阶系统在单位阶跃函数作用下输出：
16:19
3.1 线性定常系统的时间响应及 暂态响应性能指标
一、时间响应
线性系统的动态方程
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1y&(t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) L b1x&(t) b0x(t)
经过拉氏变换得

自动控制原理 第三章时域分析方法

自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数

时域分析法

时域分析法

时域分析法时域分析法（TDA）是一种极其重要的系统工程的分析、设计和控制的一种方法，它是基于时间建模的数学系统分析方法。

它具有准确、有效和灵活的特性，被广泛应用于工程领域，包括电气工程、机械工程、生物工程、计算机工程、航空航天等领域。

时域分析可以研究许多复杂的系统，可以从数学上描述系统，从而给出系统的性能参数。

时域分析首先将工程系统转化为一组数学模型，然后采用积分、微分和变换方法对模型进行分析，从而分析出工程系统的性能参数和特性。

它可以研究复杂的非线性系统，而且它已经被广泛应用于工程领域，例如机械系统、电气系统、热系统、控制系统、汽车工程、上海等。

时域分析的基本思想是根据系统的动态建立模型，然后计算出系统的动态特性、性能参数等。

它可以研究系统的时间响应、频率响应和稳定性等关键特性，并可以从数学上描述系统。

与其它系统分析方法相比，时域分析具有以下优点：1、准确性高：时域分析可以精确分析出系统的时变特性。

由于它可以从数学上描述系统，所以它可以更加精确地研究系统的动态特性。

2、解决复杂的非线性系统：时域分析可以把复杂的非线性系统用一组简单的数学方程式来描述，从而分析子系统的性能参数和特征。

3、灵活性高：时域分析可以根据系统的不同要求来调整模型，从而更好地符合系统的特性。

4、适用性强：时域分析是一种现代系统分析模型，它可以用于许多不同类型的系统，包括机械系统、电气系统、计算机系统等。

时域分析可以应用于研究各种类型的系统，它比其它系统分析方法更有优势，不仅可以研究非线性系统，而且可以更准确、更有效地研究系统的性能参数。

由于时域分析的多种优点，它已广泛应用于工程领域，并取得了许多实际的成果。

总之，时域分析是一种极其重要的系统工程分析、设计和控制的一种方法，它具有准确、有效和灵活的特性，被广泛应用于工程领域，可以用于研究复杂的非线性系统，而且它可以从数学上描述系统，从而给出系统的性能参数。

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§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
稳态误差ess=0。
⑵ 如果阻尼比ζ=0，则系统响应变为无阻尼的等幅振荡，
其单位阶跃响应为
x0 (t) ＝1-cosωnt（t≥0）
（3.35）
等幅振荡的频率为ωn，故称ωn为无阻尼振荡频率或自然频 率。此时二阶系统不能完成控制任务。
所以，可先根据对系统振荡性的要求确定ζ ，然后再按其他 性能要求确定ωn。
不同阻尼比下的最大超调量如下：
ζ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 σ％100 72.9 52.7 37.2 25.4 16.3 9.5 4.6 1.5 0.15 0
通常系统阻尼比取0.4～0.8，相应的最大超调在25.4%～ 1.5%之间。
反映整体快速性。
性能指标与系统特征参数间关系： (1) 上升时间tr 由定义知当t=tr时，xO(tr)=1，故
xo (tr ) 1
e nt r
1 2
sin(d tr
) 1
e n t r
1 2
sin(d tr
)
0
tr
d
n
1 2
ζ一定， ωn↑ ， t r ↓ ； ωn一定， ζ ↑ ， t r ↑ 。
当 0.8 时，得
ts ts
3
n
4
n
( 5%的误差带) ( 2%的误差带)
(3-44) (3-45)
上式表明，调节时间ts和ζ、ωn 都成反比。
由于阻尼比ζ主要由对系统振荡性的要求来确定，故调节时 间ts可由自然频率ωn确定。
快速性与平稳性的关系：
一般ζ＝0.707（最佳阻尼比） 左右， σ% 约为5％此时快速性与 平稳性均令人满意。
图 3-7 极点分布图
阻尼比ζ则等于根矢量和负实轴的夹角β的余弦，即
ωd ——系统的阻尼振荡角频率。 根离负实轴越近，阻尼
比ζ越大； 根离虚轴越近，阻尼比
ζ越小。
临界阻尼、过阻尼、零阻尼二阶系统极点分布图：
图 3-7 极点分布图
二、二阶系统单位阶跃响应 欠阻尼二阶系统具有一对共轭复数特征根(闭环极点)，其 值为
例：图3-16是一个机械振动系统。当有3N的力（阶跃输入）作 用于系统时，系统中质量m作图示的运动。确定质量m，粘性 阻尼系数c和弹簧刚度k。
系统传递函数
m
d
2 x(t) dt 2
c
dx(t ) dt
k x(t )
F
• 1(t )
X (s) F (s)
ms2
1 cs
k
X
(s)
ms2
1 cs
k
运动方程 传递函数
mx cx kx F (t)
X (s) F (s)
ms2
1 cs
k
s2
1/ m cs / m k
/m
位移
稳态值 最大超调量
n k / m 3500/ 87 6.34
c c
350
0.317
2nm 2 mk 2 87 3500
X
(s)
s2
1/ m cs / m
开环传递函数
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
ωn：无阻尼固有频率 ζ ：系统的阻尼比
特征方程
s2
2ns
2 n
0
特征根
s 2 1
1, 2
n
n
根据ζ的不同取值，系统有几种工作状态：
0<ζ<1 ，欠阻尼状态，一对共轭复根 s1,2 n jn 1 2
ζ=1 ， 临界阻尼状态，两相等的负实根 s1,2 n
当ζ>1.25时，系统的调节时间可近似为ts=(3～4)T1。
综上所述，在不同ζ值下二 阶系统单位阶跃响应曲线簇如 图3-9所示。横坐标是无因次的 时间坐标ωn t 。
曲线分析：
阻尼比影响二阶系统的振荡性。当0 <ζ<1时， ζ愈小，振荡 越剧烈；当ζ>1时，曲线单调上升。
三、二阶系统的脉冲响应
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个单调衰减的指数项组 成，它们和稳态值共同组成了过阻尼系统的非周期响应过程。
当ζ远大于1时，两个衰减的指数项中相应于T2的项比另一指 数项衰减快得多，它在暂态分量中占的比例很小，只影响响应 的起始段，系统的暂态分量主要取决于对应s1=-1/T1的项，此时 可略去s２＝-１/T2对系统响应的影响；
(4) 调整（节）时间ts的估算 如果按调节时间的定义直接计算求ts，比较困难。单位阶
跃响应曲线都在包络线1 e nt / 1 2 内，图3-13。x0 (t)
的衰减速度取决于包络线的时间常数，故若包络线进入误差 带，则 x0 (t)必进入误差带。
由
| xo(t) - xo(∞) |≤ Δ xo(∞)
k
/
m
mg s
x(t) mg [1 k
e nt 1 2
sin(n
1 2t )]
lim x(t) mg / k 87 9.81/ 3500 0.244
t
当稳态值为0.224M时p 超 e调 /的1最2 大0.3值87
0.244 0.387 0.094
调节时间
ts 4 / n 4 / 0.317 6.34 2
(3) 临界阻尼(若ζ=1)二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统有相等负实根s1，2＝-ωn，系统单位阶跃 响应象函数为
1 s
(s
n n )2
s
1
n
故 x0 (t)
(3.24)
临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是稳态值为1的单调上升过 程。比过阻尼状态更早结束瞬态过程。
(4) 过阻尼(ζ >1)二阶系统的单位阶跃响应
得
ζ= 0.456
由
t 1 p n 1 2
得
ωn = 3.53
因此 K=12.51 Kt =0.178
结论： ⑴ 为使系统工作在一个最佳状态，就是选择合适的ζ与ωn 。 ⑵ ζ增大，可提高系统响应平稳性； ⑶ ωn增大，可提高系统响应快速性。
例：一刚性杆AA通过弹簧和阻尼器悬挂在天花板上，假定在 t=0时，一人重87kg向上跳起并抓住杆AA 。忽略弹簧阻尼器及 杆的重量，杆AA接着发生什么运动？用多少时间可以稳定下 来？最大超调量是多少米？粘性阻尼系数c＝350Ns/m，弹簧刚 度系数＝3500N/m。
10
x0 (t)
t
1 1.11e 10
0.11et
t
x0 (t) 1 e 10
系统的瞬态响应取决于T大的环节。 从极点分布来看，靠近虚轴的极点在系统瞬态响应中起主导作用。
图3-4 例3-1图
（a）极点分布
（ b）单位阶跃响应
三、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入 xi (t) t
象函数为 Xi s 1
反映了一阶系统惯性的大小。
T大，系统响应速度慢，惯性大。
T
,
1
1t
, eT
1t
, e T
1t
, (1 e T )
, 越慢
1。
T
2.调整时间
从响应开始到进入稳态所经历的时间。
ts ＝3T
（ Δ＝ ±5％）
或
ts ＝ 4T
（ Δ＝ ±2％）
参见响应曲线图。
例：若系统传递函数
X (s) 0
1
1 ，求其单位阶跃响应。
3 s
位移x(t)稳态值
x(t )
|t
lim
s0
sX
(s)
3 k
1,k
3N
/
cm
300N
/
m
由
M p 0.095 e / 1 2
t p n
2
1 2
得
0.6
将传递函数与标准形式比较
n 1.96
n2 k / m
反映初始阶段 的快速性。