自动控制原理第三章时域分析法

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自动控制原理第三章

➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)

精品文档-自动控制原理及其应用(第二版)温希东-第3章

能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节，即
(3-9)
第3章时域分析法
20
1. 一阶系统的单位阶跃响应当r(t)=1(t)时，有
第3章时域分析法
对上式进行拉氏反变换，得
根据式(3-10)，可得出表 3-1 所列数据。
21 (3-10)
第3章时域分析法
第3章时域分析法
63
图 3-14 二阶系统单位阶跃响应包络线
第3章时域分析法
第3章时域分析法
57
2) 求峰值时间tp 由峰值时间tp的定义知，tp为c(t)响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
由式(3-14)和式(3-19)得
(3-21)
第3章时域分析法
58
根据数学求极值概念，令
即
第3章时域分析法
59
因为
所以
由此可得, ωdtp=π, 则 (3-22)
28
3.3 二阶系统的动态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节。
第3章时域分析法
29
二阶系统的典型传递函数为
当r(t)=1(t)时，有
则
第3章时域分析法
44
对上式进行拉氏反变换，可得
(3-17)
其响应曲线如图 3-10所示，系统为无阻尼等幅振荡。该种情况实际系统不能用。
第3章时域分析法
45

《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标

i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2

自动控制原理-第3章-时域分析法

系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进行计算，计算过程相对简单，易于实现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算，计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章线性系统的时域分析法
图 3-2 动态性能指标
第三章线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼对应的过渡过程时间最短。在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章线性系统的时域分析法

自动控制原理第3章

本方法是分析系统的最早、也是最基本的分析方法，时域分析法直覌、物理概念清晰。
2
一、典型的输入信号
1、阶跃信号数学表达式
r(t) A t 0
拉氏变换式
R(s) A s
当A=1时，称为单位阶跃信号！
r(t) 1
2.斜坡信号数学表达式
r(t)
R(s) 1 s
At t 0 0 t0
3
典型的输入信号
y(tr ) 1
经整理得
tr
n
1
2
25
二阶系统分析
t tp
2、超调量：
暂态过程中被控量的最大值超过稳态值的百分数。
即
%
y(t
P ) y y
100
%
峰值时间 t t p
在 t 时t p刻对求y导t，令其等于零，经整理得
tp 1 2n
将其代入超调量公式得
% e 1 2 100%
r(t)
A 0t 0 t0 t
拉氏变换式 R(s) A
5
典型的输入信号
当A=1时，称为单位理想脉冲信号
r(t) (t) R(s) 1
5、正弦信号数学表达式
r(t) Asin t t 0
拉氏变换式
R(s)
A s2 2
6
二、时域性能指标
以单位阶跃信号输入时，系统输出的一些特征值来表示。
系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。
例3-1(解释)
14
第三节二阶系统分析一、二阶系统
用二阶微分方程描述的系统。二、二阶系统典型的数学模型
先看例：位置跟踪系统
15
二阶系统分析系统结构图：

自动控制原理第三章一控制系统的时域分析

第三章控制系统的时域分析法
第三章控制系统的时域分析法
第一节第二节第三节第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标增加零极点对二阶系统响应的影响反馈控制系统的稳态误差劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应，可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt

第三章自动控制系统的时域分析(1)《自动控制原理与系统》

第二节一阶系统的动态响应
凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，成为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的时域微分方程为
T dc (t ) c(t ) r (t ) dt
式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为
)] T
这里，输入信号t是输出量的期望值。上式还表明，一阶系统在跟踪单位斜波输入信号时，输出量与输入量存在跟踪误差，其稳态误差值与系统的“T”的值相等。一阶系统在跟踪斜波输入信号，所带来的原理上的位置误差，只能通过减小时间常数T来降低，而不能最终消除它
第三章自动控制系统的时域分析
4.单位冲激响应单位脉冲函数是单位阶跃函数的一阶导数。因此其单位脉冲响应是单位阶跃响应的一阶导数
r(t)＝A sinωt
周期性输入信号
第三章自动控制系统的时域分析
二、动态过程与稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都是由动态过程和稳态过程组成 1.动态过程
又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。 2.稳态过程
稳态过程是指时间t趋于无穷时的系统输出状态。
第三章自动控制系统的时域分析
第三节二阶系统的动态响应
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位。
一、二阶系统的数学模型

自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统时域分析法

impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法根轨迹法频域分析法
数数数数
数数数数数数数求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计

朱玉华自动控制原理第3章时域分析3-1,2,3

1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s4 3s3 s2 3s 1 0 s3 3 3
试判别该系统的稳定性。 s2 0 1
当 0时,3 3 0,
s1 3 3 0
s0
1
有2个特征根在s平面第右3章边控. 制系系统统的是时域不分析稳定的
10 0 0
(2) 劳斯表中某一行的元素全为零。
——这时系统在s平面上存在一些大小相等符号相反的
61
s0 6
劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。这时，系统所有的特征根均处于s平面的左半平面。
第3章控制系统的时域分析
课程回顾(1)
1、稳态性能指标 2、动态性能指标
ess
lim[r(t)
t
cr (t)]
(1)延迟时间td (2)上升时间tr
(3)峰值时间tp
(4)调整时间ts
负可化为全为正）（2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。
第3章控制系统的时域分析
例3-1 已知三阶系统特征方程为 a0s3 a1s2 a2s a3 0
试写出系统稳定的充要条件
解：列写劳斯表 s3
a0
a2
0
s2
a1
a3
0
s1 a1a2 a0a3 0
a1
s0
a3
0
故得出三阶系统稳定的充要条件为：
0
9
s0 5
s1 32
0
s0 5
所得结论不变
第3章控制系统的时域分析
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该行其它元不为零。
——计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。

自动控制原理第三章时域分析方法

位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数

自动控制原理与系统第3章自动控制系统的时域分析法

【例3-2】求典型一阶系统的单位斜坡响应。典型一阶系统惯性环节的微分方程为
T dc(T) c(t) r(t) dt
上式的拉氏式为 TsC(s) C(s) R(s)
由于为单位斜坡输入，即r(t)=t,因此，R(s) 1 ， s2
代入上式有
TsC(s)

C(s)

1 s2
由上式有
【例3-1】设典型一阶系统的微分方程为：
T dc(t(t) 为输入信号；c(t) 为输出信号；T称为间
常数，其初始条件为零。解 1) 对微分方程两边进行拉氏变换有:
TsC(s)+C(s)=R(s)
由题意可知，系统的输入信号为单位阶跃信号，
即r(t)=1(t),则 R(s) 1 ,代入上式有:
(3 9)
由式(3-9)可画出如图3-3中ξ =1所示的曲线。此曲
4) 当ξ >1(过阻尼)时：
特征方程的根 s1,2 n n 2 1
是两个不相等的负实根。过阻尼时的阶跃响应也为单调上升曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间。因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性，便成了研究自动控制系统的一个重要的课题。
由上式可知，响应曲线在起点的斜率m为时间常数T
的倒数，T愈大，m愈小，上升过程愈慢。
② 过渡过程时间。由图2-3可见，在t经历T、2T、3T、 4T和5T的时间后，其响应的输出分别为稳态值的 63.2%、86.5%、95%、98.2%和99.3%。由此可见，对典型一阶系统，它的过渡过程时间大约为(3～5)T，到达稳态值的95%～99.3%。

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析(w)

自动控制原理第三章
42
因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性，便成了研究自动控制系统的一个重要的课题。
控制工程中一般希望具有适度的阻尼, 较快的响应速度和较短的调节时间.二阶系统一般取0.4~0.8，最佳阻尼0.707
欠阻尼二阶系统的动态过程分析
自动控制原理第三章
26
自动控制原理第三章
27
自动控制原理第三章
28
自动控制原理第三章
系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。
29
自动控制原理第三章
30
自动控制原理第三章
31
自动控制原理第三章
32
自动控制原理第三章
40
et / T1 et / T2 h(t ) 1 ,t 0 T2 / T1 1 T2 / T1 1
自动控制原理第三章
41
由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间。
t

第三章
44
% e
1 2
(5) 调节时间ts:
100% 3 . 5 3 .5 ts
n

欠阻尼二阶系统的动态分析小结
自动控制原理
n G(S ) 2 2 S 2 n S n
2
R(S)
0 1
C(S)
n 2 s(s 2n )

自动控制原理第三章时域分析c1

2时 5时
h(t)
其他动态性能指标：
td 0.69T
tr 2.20T
ts 3T (5%误差带）
16 t
3-2 一阶系统的时域分析
自控原理
3.一阶系统单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数δ (t)时，R(S)＝1，输出量的拉氏
变换与传递函数相同，即 C(s) 1 TS 1
t
eT
)
t0
2
S3
2
上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
单位斜坡
函数响应
函数响应
函数响应
微分
微分
微分
单位抛物线函数响应
20
3-2 一阶系统的时域分析
自控原理
例: 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：

T ct ct rt rt
其中， 1 (T ) 0
结论：一阶系统无法跟踪加速度形式的输入信号
19
3-2 一阶系统的时域分析
自控原理
输入信号输入信号
时域
频域
输出响应
传递函数
(t)
1
1
t
eT
T
(t 0)
1
1(t)
S
t
1e T t 0
1
t
1
t
TS 1
S2
t T Te T t 0
1 t2
1
1
t2
Tt

T
2 (1
2.能熟练运用劳斯稳定性判据判断系统的稳定性
3.正确理解对控制信号和干扰作用的稳态误差定义，能熟练应用静态误差系数法计算稳态误差。

自动控制原理第3章时域分析

该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。

自动控制原理-03-01

td
稳态误差(t→∞)
tr tp
t ts
6
第三章线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。
3-2 一阶系统的时域分析
小结
一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。
17
例：某一阶系统如图,（1） Kh=0.1, 求调节时间ts, （2）若要求ts=0.1s,求反馈系数 Kh . R(s) E(s) (- )
ur (t )
C
uc (t )
结构图：
R(s)
E(s) (- )
1/Ts
C(s)
10
3-2 一阶系统的时域分析
2. 一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数 r(t)=1(t) ，可得一阶系统的单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
S平面 j
1 t T
(t 0)
P=-1/T
7
第三章线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。调节时间ts：响应到达并保持在终值 ±5% 内所需时间。超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即
%
h( t p ) h() h()

自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)

(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章时域分析法图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1
时
, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根，即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中， ξ为阻尼比， ωn为无阻尼自然振荡频率，它们均为系统参数。
第3章时域分析法
由式(3-21)可以看出，二阶系统的动态特性可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。如果0<ξ<1，则闭环极点为共轭复数，并且位于左半s平面，这时系统叫做欠阻尼系统，其瞬态响应是振荡的。如果ξ=1，那么就叫做临界阻尼系统。而当ξ>1时，就叫做过阻尼系统。临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。如果ξ=0，那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1

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延迟时间td(Delay time):响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。
▪ 二.峰值时间tp (Time of peak value )
响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。
▪ 三.调节时间ts
在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取
5%h(), 2%h()
响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。
ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。
▪ 四.超调量σ%
响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即
% h(t p ) h() 100%
h()
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。 ▪ 五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上升升时时间间ttrr
调调节节时时间间tsts
tt
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
h(t)
1.0 0.5 td
0 tr tp ts
误差带5%或2%
h()
▪ 一.上升时间tr (Rising time)
响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10% 上升到90 %所需的时间。
kt
解Hale Waihona Puke 系统的闭环传递函数(s) 100 / s 1/ kt
1
100 s
kt
0.01s 1 kt
当kt
0.1时, (s)
10 0.1s 1
显然时间常数T 0.1秒.
因此调节时间为ts 3T 0.3秒，
如果要求ts
0.1秒, ts
3T
3
0.01 kt
0.1,
故kt 0.3
一阶系统单位脉冲响应
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e h h()
ss
0
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
对C(s)进行拉氏反变换 h(t) 1 et /T t T , h(T ) 0.632 t 2T , h(2T ) 0.865 t 3T , h(3T ) 0.950 t 4T , h(4T ) 0.982
% 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。
1t
c(t) 1 e T
与此对应，性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标
▪ 控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应——单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。
实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%%==
AA BB
曲线
C(t)
1 1/T斜率
0.632
h(t) 1 et/T
0
T
t
t 3T (5%误差带) s
ts 4T (2%误差带)
T越小，系统的快速性越好。
例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1, 试求系统的调节时间ts。如果要求ts 0.1 秒。试求反馈系数应取多大？
R(s)
-
100/s
C(s)
第三章时域分析法
3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应 3-3 二阶系统分析 3-4 控制系统的稳定性和代数判据 3-5 稳态误差的分析和计算
3-1 控制系统的时域指标
所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。
闭环传递函数：（s） C(s) 1
R(s) Ts 1
结构图和闭环极点分布图为：
j
R(s)
-
k/s
C(s)
-1/T 0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应当r(t) 1(t)时，R(s) 1 ,
s
则C(s) (s) R(s) 1 1 1 T
Ts 1 s s Ts 1
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要的两个动态性能的指标。
3-2 一阶系统的时间响应
一.一阶系统的数学模型
微分方程为：T dc(t) c(t) r(t),T为时间常数。 dt
开环传递函数：G(s) 1 k , k 1 为开环增益 Ts s T
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s 2 s 2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
C (t) (t T ) Tet/T (t 0) t
其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
动态和稳态过程
1、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等
2、系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成
3、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。
4、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间t趋向无穷时，系统输出量的表现形式。
c(0) 0,c() 1
c(t)
1
1t
eT
T
t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0) 1 T
特点：（1）初始斜率为1/T；（2）无超调（3）稳态误差ess=0 。
性能指标：（1）延迟时间：td=0.69T （2）上升时间：tr=2.20T （3）调节时间：ts=3T (△=0.05)
r(t) (t) R(s) 1
C(s) (s)R(s) 1 1/T Ts 1 s 1/ T
c(t)
1
1t
e T (t
0)
T
c(t)
1
c(t ) 1 e t/T
T
T
初始斜率为 1T 2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线

自动控制原理第三章时域分析法

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