第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。
熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。
2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。
3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。
4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。
5熟练掌握计算稳态误差的方法。
6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。
3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。
依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。
这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。
2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。
单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。
④正弦函数其拉氏变换为：22sin )()]([ωs ωdt e ωt s F t f L st+===⎰∞-000sin )(<≥⎩⎨⎧=t t ωt t f 其数学表达式为：f(t)三、典型时间响应初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。
定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应，常用h(t)表示。
()s Φ若系统的闭环传函为，则h(t)的拉氏变换为[]1()()h t L H s -=故1()()()()H s s R s s s =Φ⋅=Φ⋅(311)--定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用表示。
()t ct 故[]1()()t t c t L C s -=则有21()()()()t C s s R s s s=Φ⋅=Φ⋅(312)--定义：系统在单位脉冲输入r(t)=δ(t)作用下的响应，常用k(t)表示。
注：关于正弦响应，将在第五章里讨论故[][]11()()()k t L K s L s --==Φ则有()()()()1()K s s R s s s =Φ⋅=Φ⋅=Φ(313)--4.三种响应之间的关系由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为：11()()()H s s K s s s=Φ⋅=⋅22111()()()()t C s s K s H s s s s=Φ⋅=⋅=⋅相应的时域表达式为0()()th t k d ττ=⎰0()()tt c t h d ττ=⎰四、阶跃响应的性能指标t)(t h )(p t h 1p t st 误差带1、峰值时间t p：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。
2、超调量σ％：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。
3、调节时间t s：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近±5%h(∞)或±2%h(∞)误差带，而不再超出的最小时间。
4、稳态误差e ss：指响应的稳态值与期望值之差。
注意事项：。
％和而没有稳态误差入，则只有而言的，对于非阶跃输应三项指标是针对阶跃响及s ss ss s t e e t σσ,%,3－2 一、二阶系统分析与计算一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
一阶系统数学模型微分方程：动态结构图：传递函数：)()()(trtcdttdcT=+11)()(+=TssR sCTs1 )(sR)(sC一阶系统单位阶跃响应输入：输出：)(1)(t t r =ss R 1)(=sTs s R s s C 111)()()(*+=*=ΦTt et C --=1)(单位阶跃响应曲线初始斜率：0()1|t dh t dt T==性能指标1. 平稳性σ%：2. 快速性t s ：3.准确性e ss ：非周期、无振荡，σ%＝0]%5[95.0)(3误差带对应时，==t c T t ]%2[98.0)(4误差带对应时，==t c T t 0)(1=∞-=c ess举例说明（一阶系统）一阶系统如图所示，试求：1.当K H＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间t s，放大倍数K，稳态误差e ss；2.如果要求t s＝0.1秒，试问系统的反馈系数K H应调整为何值？3.讨论K H的大小对系统性能的影响及K H与e ss的关系。
看懂例题3-1并回答上述各题s100)(sR)(sCH)(sE)(sB100sHK二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：ς-阻尼比无阻尼振荡频率-n ω2222()()2()()n n n d c t dc t c t r t dt dtςωωω++=(0)n ω>二阶系统的反馈结构图)2(2n n s s ξωω+)(s R )(s C 2(2)nn s s ωςω+二阶系统的传递函数开环传递函数：222()()2nn nC s R s s s ωςωω=++2()(2)nn G s s s ωςω=+闭环传递函数：二阶系统的特征方程为2220n ns s ςωω++=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012()s t s tc t A A e A e=++式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。
012,,A A A s 1,s 2完全取决于，ωn 两个参数。
ς21,21n n s ςωως=-±-此时s 1,s 2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。
01ς<<①特征根分析—（欠阻尼）21,21n n s s j ςωως=-±-②特征根分析—（临界阻尼）此时s 1,s 2为一对相等的负实根。
s 1=s 2=-ωn21,21n n ns ςωωςω=-±-=-1ς=⑷特征根分析—（过阻尼）此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。
21,21 n nsςωως=-±-1ς>⑤特征根分析—（零阻尼）❑此时s 1,s 2为一对纯虚根，位于虚轴上。
❑S 1,2= ±j ωn21,21n n ns j ςωωςω=-±-=±0ς=⑥特征根分析—（负阻尼）此时s 1,s 2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。
21,21n n s j ςωως=-±-10ς-<<⑦特征根分析—（负阻尼）此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。
21,21 n nsςωως=-±-1ς<-二阶系统单位阶跃响应21111/n n s T ςωως=-+-=-1.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应22211/n n s T ςωως=---=-21212111()()()(1)(1)nC s s s s s s T s T s sω=⋅=⋅--++取C(s)拉氏反变换得：1211211211()1,(0)/1/1t t T T h t ee t T T T T --=++≥--(314)--(1)ς>过阻尼系统分析⏹衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。
绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；⏹衰减项前的系数一个大，一个小；⏹二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；⏹离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。
过阻尼系统单位阶跃响应tc(t)与一阶系统阶跃响应的比较tc(t)二阶过阻尼系统一阶系统响应1二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析.2=％响应没有振荡σ0)]()([lim .1=-=∞→t c t r e t ss 误差对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定的表达式是很困难的，一般根据（3－1－4）取相对量及经计算机计算后制成曲线或表格。
s t s t 1/s t T 12/T T2.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应(01)ς<<21,21n n s j ςωως=-±-dj ωσ±-=222()()2nn nC s R s s s ωζωω=++n σςω=为根的实部的模值；21d n ωως=-为阻尼振荡角频率二阶欠阻尼系统的输出2221()2nn n c s s s sωςωω=⋅++22221()()n n n d n ds s s s ςωςωςωωςωω+=--++++拉氏反变换得：2()1[cos (sin )]1n td d c te t t ςωςωως-=-+-21()1sin(arccos )n td c t et ςωωςς-=-+二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。
稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
下面根据上图来分析系统的结构参数、对阶跃响应的影响ζn ω•平稳性（σ％）21n teA ςως-=-暂态分量的振幅为：结论：越大，ωd 越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。
反之，越小，ωd 越大，振荡越严重，平稳性越差。
ςςς21d n ωως=-振荡角频率为：ζnω当＝0时，为零阻尼响应，具有频率为的不衰减（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示21d n ωως=-结论：对于二阶欠阻尼系统而言，大，小，系统响应的平稳性好。
