多自由度自由振动算例

习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。

解：由题3-10的结果22121111)(l g m l gm m k k +++=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，22222l g m k k +=代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg l mg l mg l mg K 3 由频02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mg l mg lmgmp l mgB 0242222242=+-∴lg m p lg m p mlg p )22(1-=∴ ，lg p )22(2+=为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mpl mgadjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。

解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。

设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111ak b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到，12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+pm a k ak a k pa m a kb k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。

第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。

当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。

在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。

本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。

§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。

该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。

由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。

§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。

多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。

当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。

本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。

1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。

自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。

位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。

多自由度体系在地面运动作用下的振动方程我们要找出多自由度体系在地面运动作用下的振动方程。

首先，我们需要了解多自由度体系的振动方程的基本形式。

多自由度体系的振动方程通常由以下形式给出：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = F(t)
其中：
M 是质量矩阵，
C 是阻尼矩阵，
K 是刚度矩阵，
x 是位移向量，
{dot x} 是速度向量，
{ddot x} 是加速度向量，
F(t) 是外部作用力向量。

对于地面运动作用下的振动，我们需要考虑地面的运动对体系的影响。

假设地面以速度 v 和加速度 a 运动，那么地面的运动可以表示为：
x_ground = vt + at^2
其中 x_ground 是地面的位移。

由于地面和体系是相互作用的，我们需要将地面的位移和加速度引入到振动方程中。

具体来说，我们需要将地面的位移和加速度作为外部作用力加入到方程的右边。

因此，多自由度体系在地面运动作用下的振动方程为：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = -Kx_ground
其中 x_ground 是地面的位移，由地面的速度和加速度决定。

船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾1.几个重要概念主振型第阶主振型第二阶主振型多自由度系统主振型，第一阶主振型，第二阶主振型基频，第一阶固有频率，第二阶固有频率,……主振动，模态个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P37)⎬⎫=++−=−++00)(2212111x k k x k xm x k x k k xm &&&&⎭)(2321222个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P41-43)m &&⎭⎬⎫=++−=−++0)(0)(23212222212111x k k x k xm x k x k k x&&①假设简谐形式的解振动时，两个质量按相同频率和相位角作简谐振动。

()()⎭⎬⎫+=+=θωθωt A x t A x n n sin sin 2211上节课内容的回顾将简谐振动解代入运动方程式上节课内容的回顾解特征方程式的根，可以得到：上节课内容的回顾将特征值代入②的振幅A1和振幅A2，得到对应于和的振幅A1和振幅A2之间的两个确定的比值：21ω上节课内容的回顾⑥主振动的确定。

z 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，z 称为系统的主振动(1)(1)⎫第一阶主振动为：()1111(1)(1)(1)22111111sin()sin()sin x A t xA t A t ωθωθβωθ=+⎪⎬=+=+⎪⎭第二阶主振动为：(2)(2)1122sin()x A t ωθ⎫=+⎪()(2)(2)(2)22222122sin()sin x A t A t ωθβωθ⎬=+=+⎪⎭z 系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，z 以确定的频率和振型作简谐振动。

上节课内容的回顾⑦一般情况下自由振动的通解。

并非在任何情况下系统都会作主振动形式的运动，一般情况下系统运动方程的通解为上述两种主振动的叠加：o在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动。