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专题五第一讲A组1．(文)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是导学号 52134577( B )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱[解析] 由三视图知该几何体是一个横放的直三棱柱，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边长都是6，正对观察者．棱柱高为4．(理)(2017·沈阳高三质量监测一)“牟合方盖”是我国古代数学刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是导学号 52134578 ( B )[解析] 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．2．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为导学号 52134579( C )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π[解析] 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋ 23 2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C ．3．(文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为导学号 52134580( A )A ．12－πB ．12－2πC ．6－πD ．4－π[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，∴体积V ＝4×3×1－π×12×1＝12－π．(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于导学号 52134581( B )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC －A 1B 1C 1沿平面AB 1C 1截去一个三棱锥A －A 1B 1C 1余下的部分．∴VA －BCC 1B 1＝VABC －A 1B 1C 1－VA －A 1B 1C 1＝12×4×3×5－13×(12×4×3)×5＝20cm 3．4．(2017·武昌调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为导学号 52134582( B )A ．18＋2πB ．20＋πC ．20＋π2D ．16＋π[解析] 由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的14圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个14圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×14＝20＋π．故选B ．5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为＋＋＋__16__－－－.导学号 52134583[解析] 利用三棱锥的体积公式直接求解．VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13SD 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝16．6．已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC 与AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A －FEC 外接球的体积为＋＋＋__2π__－－－.导学号 52134584[解析] 如图，平面ABEF ⊥平面EFDC ，AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面ECDF ，将三棱锥A －FEC 补成正方体ABC ′D ′－FECD ． 依题意，其棱长为1，外接球的半径R ＝32， 所以外接球的体积V ＝43πR 3＝43π·(32)3＝32π．7．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.导学号 52134585(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积． [解析] (1)取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB ． 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝3． 又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 21，故OA 1⊥OC ．因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝ 3.故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3．8．(2017·全国卷Ⅱ，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.导学号 52134586(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] (1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD ． 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 故BC ∥平面PAD ．(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM ．由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD ．因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ． 因为CM ⊂底面ABCD ， 所以PM ⊥CM ．设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ． 如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ， 所以PN ＝142x ．因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2． 于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23．所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×2 2＋4 2×23＝43．B 组1．(2017·河南质检)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是导学号 52134587( B )A ．36cm 3B ．48cm 3C ．60cm 3D ．72cm 3[解析] 由三视图可知，该几何体的上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，梯形的上、下底分别为2、6，高为2.长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48(cm 3)，选B ．2．(2017·唐山统考)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为导学号 52134588( C )A ．4π3B ．4πC ．8πD ．20π[解析] 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C ．3．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为导学号 52134589( B )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 6[解析] 如图，四面体的直观图是棱长为2的正方体ABCD －MNPQ 中的三棱锥Q －BCN ，且QB ＝22＋ 22 2＝23，NC ＝QN ＝QC ＝22，四面体Q －BCN 各面的面积分别为S △QBN ＝S △QBC ＝12×2×22＝22，S △BCN ＝12×2×2＝2，S △QCN ＝34×(22)2＝23，面积最大为23．4．(2017·淄博一模)三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为导学号 52134590( B )A ．211B ．4 2C ．38D ．16 3[解析] 由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形， 在△ABC 中AC ＝4，AC 边上的高为23， 故BC ＝4，在Rt △SBC 中，由SC ＝4， 可得SB ＝42．5．(2017·广西南宁检测)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是＋＋＋__94__－－－.导学号 52134591[解析] 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，则S 1S 2＝(r 1r 2)2＝94．6．(2017·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D －ABC ，当三棱锥D －ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为＋＋＋__43π__－－－.导学号 52134592[解析] 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值．此时易知BC ⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD ，又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π．7．如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .导学号 52134593(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． [解析] (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ． 故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED ． (2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中， 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ， GB ＝GD ＝x2．因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x ． 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x ． 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63． 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6．所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为5． 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋25．8．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.导学号 52135097(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH //平面AEF ； (3)求多面体ABCDEF 的体积．[解析] (1)证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ．又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ， 且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：在△CEF 中，因为G 、H 分别是CE 、CF 的中点， 所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以GH ∥平面AEF ．设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以OH ∥平面AEF ．又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF ． (3)解：由(1)，得AC ⊥平面BDEF ，又因为AO ＝2，四边形BDEF 的面积S BDEF ＝3×22＝62， 所以四棱锥A －BDEF 的体积V 1＝13×AO ×S BDEF ＝4．同理，四棱锥C －BDEF 的体积V 2＝4． 所以多面体ABCDEF 的体积V ＝V 1＋V 2＝8．。
专题检测（四） 空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92 C.32D ．3解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x ，故该几何体的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，解得x ＝3.3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为43π，平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，则球心O 到平面α的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D. 6解析：选B 依题意，设该球的半径为R ，则有4π3R 3＝43π，由此解得R ＝3，因此球心O 到平面α的距离d ＝R 2－12＝ 2.5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫a 2a 2＝22. 7．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M PBC ＝V P MBC ＝13×92×1＝32.8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D 正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S正视图＝12a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a2＝2. 9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④解析：选D 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫R －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C ，则三棱锥B ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203πC ．10πD ．34π解析：选D 依题意，在三棱锥B ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π.11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x 2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r2－r 3)(0<r <1)，则V ′＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8π27.12．已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：选 C 取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.二、填空题13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案：3314．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π215．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ， 设球O 的半径为R ， ∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点， ∵SA ＝AC ，SB ＝BC ， ∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴AO ⊥平面SCB ，∴V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 答案：36π16．某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，CD ＝y2，AB＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，∴BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ， 则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立． 此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.答案：37。
1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为()【答案】C2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()【解析】由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.【答案】C3.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为()【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.【答案】C4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()【解析】左视图是从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.【答案】C5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．【答案】8 26.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是()A．24 B．12C．8 D．4【解析】由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2，32，所以三棱柱的底面积为12×2×32＝32，所以三棱柱的体积为32×4＝6.即该几何体的体积为2×6＝12，故选B. 【答案】B7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.12B.32C ．1 D. 3【答案】B8．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋16B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12【解析】据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA ，BC ，BP 两两垂直，且BA ＝BC ＝BP ＝1，∴(半)球的直径长为AC ＝2，∴该几何体的体积为V＝V半球＋V P-ABC＝12×43π⎝⎛⎭⎫AC23＋13×12×BA·BC·PB＝2π6＋16.【答案】C9.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.【答案】C10.四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．12π B．24π C．36π D．48π【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a .设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 的中点为G ，连接OG ，OA ，AG .根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为22，即正方体的面对角线长也是22，可得AG ＝2＝22a ，所以正方体的棱长a ＝2，在Rt △OGA 中，OG ＝12a ＝1，AO ＝3，即四棱锥P -ABCD 的外接球半径R ＝3，从而得外接球表面积为4πR 2＝12π，故选A.【答案】A11．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为 3 cm 和 2 cm ，其余四根的长度均为1 cm ，则这样的三棱锥的体积为________cm 3.【答案】21212．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．【解析】由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 【答案】24 213．如图所示，E ，F 分别是正方体的面ADD 1A 1，面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)【解析】由正投影的定义，四边形BFD 1E 在面AA 1D 1D 与面BB 1C 1C 上的正投影是图③；其在面ABB 1A 1与面DCC 1D 1上的正投影是图②；其在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1上的正投影也是②，故①④错误． 【答案】②③14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】715．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 【解析】如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，△P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.【答案】1416．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.【答案】16＋8π17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．18．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．【解析】(1)正六棱锥．(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.19.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .【解析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5. 左、右侧面的底边上的高为h 2＝42＋42＝4 2. 故几何体的侧面面积为： S ＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋24 2.20.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．(2)设正三棱锥P -ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P -ABC ＝V O -P AB ＋V O -PBC ＋V O -P AC ＋V O -ABC ＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P -ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23（32－23）18－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.。
【命题热点突破一】三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1、【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【变式探究】【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 (1)D (2)D【命题热点突破二】 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2、【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R====【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【方法技巧】(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．【变式探究】在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________．答案1 24【命题热点突破三】多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．例3、【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径r ==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π4V r h ==⨯⨯=，故选B.【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【方法技巧】三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1)P 可作为长方体上底面的一个顶点，A 、B 、C 可作为下底面的三个顶点；(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．【变式探究】在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________.答案6π【高考真题解读】1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.2.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 【答案】D【解析】该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是115341032V =⨯⨯⨯⨯=，故选D. 4.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【答案】36π5.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ====6.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】3 2【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rππ⨯==．故答案为32．7.【2017山东，文13】由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.【答案】π22 +1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A2.【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.3.【2016年高考北京文数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A4.【2016高考新课标3文数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B5.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C【解析】由三视图可知,的半球,体积为311423V =⨯π⨯=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C. 6.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．7.【2016年高考四川文数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .正视图3318.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 321．(2015·广东，8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析 当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C.答案 C2．(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3 D.403cm 3解析 该几何体是棱长为2 cm 的正方体与一底面边长为2 cm 的正方形，高为2 cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm 3)．故选C.答案 C3．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案 B4．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π5．(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D6.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.答案 B7．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.答案 C8．(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．2π 解析 如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C9．(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π答案 A10．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D11．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3π D.12（2－1）3π解析 易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，答案 A。
送分专题(五)空间几何体的三视图、表面积与体积[全国卷3年考情分析]1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于() A．1 B. 2C．2 D．2 2解析：选C依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于2，正视图的长是2，因此相应的正视图的面积等于2×2＝2.2.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：选B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为AC 1＝AC 2＋CC 21＝(22＋22)＋22＝2 3.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.2．(2017·云南11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1,2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝⎛⎭⎫12×1×2×3＝3. 3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.4．若正三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AC ，且BC ＝1，则三棱锥A -BCD 的高为( ) A.66 B.33 C.22D.63解析：选A 设三棱锥A -BCD 的高为h .依题意得AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝AD ＝22BC ＝22，△BCD 的面积为34×12＝34.由V A -BCD ＝V B -ACD 得13S △BCD ·h ＝13S △ACD·AB ，即13×34×h ＝13×12×⎝⎛⎭⎫222×22，解得h ＝66，即三棱锥A -BCD 的高h ＝66. 5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．60＋12 5C ．56＋12 5D ．30＋6 5解析：选D 如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，还原该三棱锥P -BCD ，易得BD ＝PB ＝41，PD ＝25，∴S △PBD ＝12×25×(41)2－⎝⎛⎭⎫2522＝65， 又易得S △BCD ＝12×4×5＝10，S △BCP ＝12×BC ×PC ＝10，S △PCD ＝12×CD ×CC 1＝10，∴该三棱锥的表面积是30＋6 5.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4. 2．(2017·贵阳检测)三棱锥P -ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P -ABC 的高的最大值为5＋3＝8.3．半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．答案：16(π－2)[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92C.32D ．3解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x ，故该几何体的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，解得x ＝3.3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为43π，平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，则球心O 到平面α的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D. 6解析：选B 依题意，设该球的半径为R ，则有4π3R 3＝43π，由此解得R ＝3，因此球心O 到平面α的距离d ＝R 2－12＝ 2.5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 7．在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M -PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M -PBC ＝V P -MBC ＝13×92×1＝32.8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P -BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D 正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S 正视图＝12a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2.9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④解析：选D 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π⎝⎛⎭⎫R －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B -AD -C ，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203π C ．10πD ．34π解析：选D 依题意，在三棱锥B -ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B -ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π.11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27. 12．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：选C 取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π. 二、填空题13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33.答案：3314．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. 答案：2＋π215．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V S -ABC ＝V A -SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π16．某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，CD＝y 2，AB＝y，AC＝5，CP＝7，BP＝x，∴BP2＝BC2＋CP2，即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，则xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V＝13×2＋42×3×7＝37.答案：37。
专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )【答案】D【解析】先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确． 2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π【解析】选B.旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高2，高即斜边的长的一半2，故所得几何体的体积V ＝13π(2)2×2×2＝42π3.4．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )A.13 B.512C.36D.16【解析】选D.V D 1B 1C 1E ＝V E B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝16，故选D.5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧 (左)视图中线段的长度x 的值是( )3A.7 B ．27 C ．4D ．5【解析】选C.分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，故其体积V ＝13×32＋32×4×CP ＝37，所以CP ＝7，所以x ＝32＋72＝4.7．如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧(左)视图的周长等于( )A ．17 cmB ．(119＋5)cmC ．16 cmD ．14 cm8．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3109．如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A ．6π B.23π＋ 3 C ．4π D ．2π＋ 3【答案】C【解析】此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S ＝4π2＋12×2×2π＝4π.10．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )A ．2 5B ．2 6C ．27D ．4 2【解析】选C.由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42＋32＝27，而P B ＝PA 2＋AB 2＝22＋42＝25，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是BC ，其长为27，选C.511．某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．17B ．22C ．14＋213D ．22＋21312．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π【解析】选B.题中的几何体是三棱锥A BCD ，如图所示，其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ，则有BM ＝CM ＝12AD＝1222＋22＝62.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622＝6π，应选B.13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】7【解析】利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.14．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥 D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.【答案】1415．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．7【答案】16＋8π【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.16．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．17．如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，。
一、选择题1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()解析：选A.正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.4．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.4π3B.5π3 C ．2＋2π3D ．4＋2π3解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V ＝23π×13＋12π×12×2＝5π3，故选B.5．(2018·长春质量检测(一))已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O -ABCD 的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．2 3 C.479D.13解析：选A.如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE ×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A.6．(2018·南昌调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.23 B.43 C ．2D.83解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A -BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23.7．(2018·辽宁五校协作体联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是( )A ．8B ．16C ．24D ．48解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥P ABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为6，2，4，△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝6，三棱锥P -ABC 的高为4，故其体积为13×12×6×2×4＝8，故选A.8．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27.9．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )A ．14B ．10＋4 2 C.212＋4 2 D.21＋32＋4 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D. 10．(2018·太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A ．3 3B ．2 6 C.21D ．2 5解析：选B.由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面P AD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B.11．(2018·南昌调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选B.取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32解析：选A.记该正方体为ABCD -A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.二、填空题13．(2018·洛阳第一次联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是一个对角线长为2的正方形，底面积S ＝12×2×2＝2，高h ＝1，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝23.答案：2314．(2018·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：在长、宽、高分别为3，33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C -BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝27 3.答案：27 315．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π16．(2018·潍坊模拟)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝⎛⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：2。
课时作业(十一)空间几何体的三视图、表面积和体积．②①① B．②①②．②④① D．③①①由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除该物体的表面积为S＝π×12＋π152＋1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1 3×12×1×2×2＋．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，2×3＝π2＋1.由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有10，故该多面体的所有棱中，最大值为．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为－ABCD ，如图所示，＝13S ▱ABCD ×PD ＝13(S ×3×4＋12×3×5＋12×3×5＋由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4cm2(24＋85＋82)cm2如图，依题意可知四棱锥P－ABCD是此几何体的直观图，在四棱锥ABCD是正方形，△PAD≌△(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，＋×2＝2答案：B该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截.的棱长为1，E，F分别为线段的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形FAB分别是以BC为折痕折起△DBC，△。
高考专题训练 ( 十一 )空间几何体的三视图、表面积与体积A级——基础稳固组一、选择题1．(2014 ·汉调研武 )一个几何体的三视图如下图，则该几何体的直观图能够是()分析 A 、 B、 C 与俯视图不符．答案D2．将长方体截去一个四棱锥，获得的几何体如下图，则该几何体的侧(左) 视图()分析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D 中，又联合直观图知， D 正确．答案D3． (2014 ·徽卷安 )一个多面体的三视图如下图，则该多面体的表面积为()A ．21＋ 3B．18＋ 3C． 21D．18分析由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如下图，则S＝ S 正方体－ 2S三棱锥侧＋2S1×1×1＋ 2×32三棱锥底＝ 24－ 2×3×4×( 2) ＝ 21＋ 3.2答案 A4．已知 S，A ，B ，C 是球 O 表面上的点， SA ⊥平面 ABCD ，AB ⊥ BC，SA ＝ AB ＝ 1，BC ＝2，则球 O 的表面积等于 ()A ．4πB ． 3πC． 2π D ．π分析如下图，由 AB ⊥BC 知， AC 为过 A ，B ， C， D 四点小圆直径，因此AD ⊥DC.又 SA⊥平面 ABCD ，设 SB1 C1D 1－ ABCD 为 SA， AB ， BC 为棱长结构的长方体，得体对角线长为12＋ 12＋22＝ 2R，因此 R＝ 1，球 O 的表面积2S＝4πR＝ 4π故.选 A.答案A5． (2014 ·湖南卷 )一块石材表示的几何体的三视图如下图．将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于()A ．1B ． 2C． 3 D ． 4分析由三视图可得原石材为如下图的直三棱柱 A 1B1C1－ ABC ，且 AB ＝ 8， BC ＝6， BB 1＝ 12.若要获得半径最大的球，则此球与平面 A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与△ ABC 内切圆的半径相等，故半径r＝6＋8－10＝2.应选 B.2答案 B6．点 A ，B ，C，D 均在同一球面上，此中△ABC 是正三角形， AD ⊥平面 ABC ，AD ＝ 2AB ＝ 6，则该球的体积为 ()A ．32 3π B． 48π C．64 3π D． 16 3π分析如下图， O1为三角形ABC 的外心，过O 做 OE⊥AD ，∴OO1⊥面 ABC ，∴AO 1＝3AB ＝ 3.∵ OD＝OA ，3∴ E 为 DA 的中点．∵ AD ⊥面 ABC ，∴ AD ∥ OO1，∴ EO＝ AO 1＝ 3.∴DO＝DE 2＋ OE2＝ 2 3.∴R＝DO ＝ 2 3.∴V ＝43π (2 3) 3＝ 32 3π.答案A二、填空题7．某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的体积是________．分析由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD. 此中 DC ＝ 2， AB ＝3， BC＝3，因此四棱锥的体积为12＋ 3×3533×2×2＝3.答案5338．如图，在三棱柱 A 1 B1C1－ ABC 中， D ，E， F 分别是 AB ，AC ， AA 1的中点，设三棱锥 F－ ADE 的体积为 V 1，三棱柱 A 1 1 1－ ABC 的体积为 V 2，则 V 1V2＝ ________.B C分析设三棱柱 A 1B 1C1－ABC 的高为 h，底面三角形ABC 的面积为111 S，则 V1＝×S·342h＝1Sh＝1 V2，即 V1V2＝124.2424答案1249．在四周体 ABCD中， AB ＝ CD＝ 6， AC ＝ BD ＝ 4， AD ＝ BC ＝5，则四周体 ABCD的外接球的表面积为 ________．分析结构一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、 5、 6，设长方体的三条边222772分别为 x，y，z，则 x＋ y＋z＝2 ，而长方体的外接球就是四周体的外接球，因此 S＝ 4πR ＝ 772 π.答案77 2π三、解答题10．以下三个图中，左侧是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右侧两个是其正 (主 )视图和侧 (左 )视图．(1) 请在正 (主 )视图的下方，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图( 不要求表达作图过程 )．(2)求该多面体的体积 (尺寸如图 )．解 (1)作出俯视图如下图．(2)依题意，该多面体是由一个正方体 (ABCD － A 1B1C1D1)截去一个三棱锥 (E － A 1B 1D 1) 获得的，因此截去的三棱锥体积1112VE － A 1B1D 1＝3·S△A 1B1D1·A 1 E＝3×2×2×2×1＝3，正方体体积V 正方体 AC 1＝ 23＝ 8，222因此所求多面体的体积V＝8－＝.11.(2014 ·徽卷安 )如图，四棱柱 ABCD － A 1B1C1D 1中， A 1A ⊥底面 ABCD. 四边形 ABCD 为梯形， AD ∥ BC，且 AD ＝ 2BC. 过 A 1， C， D 三点的平面记为α， BB 1与α的交点为 Q.(1)证明： Q 为 BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分红上下两部分的体积之比．解 (1)证明：因为 BQ ∥ AA 1，BC∥ AD ， BC∩BQ ＝ B， AD∩AA 1＝ A ，因此平面 QBC ∥平面 A 1 AD.进而平面 A 1CD 与这两个平面的交线互相平行，即QC∥ A1D.故△ QBC 与△ A1AD 的对应边互相平行，于是△QBC ∽△ A 1AD.BQ BQ BC1因此BB1＝AA 1＝AD＝2，即 Q 为 BB1的中点．(2) 如图，连结 QA ， QD.设 AA 1＝ h ，梯形 ABCD 的高为 d ，四棱柱被平面α所分红上下两部分的体积分别为V 上 和 V 下， BC ＝ a ，则 AD ＝ 2a.VQ －A 1AD ＝ 1 11ahd ，··2a ·h ·d ＝3 2 31 a ＋ 2a 1 1V Q －ABCD ＝ 3· 2 ·d ·2h ＝ 4ahd ，因此 V 下＝ VQ － A 1AD ＋ V Q －ABCD ＝7ahd ，12 3又 V 四棱柱 A 1B 1C 1D 1－ ABCD ＝ ahd ，23 7 11 V 上 11 因此 V 上 ＝ V 四棱柱 A 1B 1C 1D 1－ ABCD － V 下 ＝ ahd －12 ahd ＝ 12ahd.故 ＝ 7 .2V 下 B 级 —— 能力提升组1．(2014 ·京卷北 )在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0) ，B(2,2,0) ，C(0,2,0) ，D(1,1 ，2)．若 S 1， S 2，S 3 分别是三棱锥 D － ABC 在 xOy ， yOz ， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )A ．S 1＝S 2＝ S 3B ．S 2＝ S 1 且 S 2≠S 3＝S 且S ≠SD ．S 3 ＝S 且S ≠SC ．S 3 1 3 2 23 1分析 作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积． 如下图， △ ABC1为三棱锥在座标平面xOy 上的正投影， 因此 S 1＝ 2×2×2＝ 2.三棱锥在座标平面 yOz 上的正投影与△ DEF(E ， F 分别为 OA ，BC 的中点 )全等，因此 1S 2＝ ×2× 2＝ 2.三棱锥在座标平面2 1 xOz 上的正投影与△ DGH(G ，H 分别为 AB ， OC 的中点 )全等，因此 S 3＝ ×2× 2＝ 2.因此2＝S 且S ≠SS 2313.应选 D.答案 D2．(2014 山·东卷 )三棱锥 P －ABC 中，D ，E 分别为 PB ，PC 的中点， 记三棱锥 D －ABEV 1的体积为 V 1， P －ABC 的体积为 V 2，则 V 2 ＝ ________.分析 1 1 V P －ABE ，因此 因为 V P －ABE ＝V C －ABE ，因此 V P －ABE ＝ V P －ABC ，又因 V D － ABE ＝2 21 V 1 1V D－ABE ＝ V P －ABC ，∴＝ .4V 24答案143. (理 )(2014 课·标全国卷Ⅱ )如图，四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA ⊥平面 ABCD ，E 为 PD 的中点(1) 证明： PB ∥平面 AEC ；(2) 设二面角 D － AE － C 为 60°，AP ＝1， AD ＝ 3，求三棱锥 E － ACD 的体积．解 (1)连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO.因为 ABCD 为矩形，因此 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，因此 EO ∥ PB.EO? 平面 AEC ， PB?平面 AEC ，因此 PB ∥平面 AEC.(2) 因为 PA ⊥平面 ABCD ， ABCD 为矩形，因此AB ，AD ， AP两两垂直．→→如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， |PA|为单位长，成立空间直角坐标系 A － xyz.3 1→3 1则 D(0，3， 0)，E 0， 2 ， 2，AE ＝ 0， 2 ， 2 .设 B(m,0,0)(m>0) ，则 C(m ，→3， 0)，3， 0)，AC ＝ (m ， 设 n 1＝ (x ， y ， z)为平面 ACE 的法向量，→ ＝ 0，mx ＋ 3y ＝ 0，n 1·AC则即31→＝0， 2 y ＋ 2z ＝0，n 1·AE 可取 n 1＝3，－1， 3 .m又 n 2＝ (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量，由题设 |cos 〈 n ，n 〉|＝ 1，即3＝ 1，1223＋4m 22解得 m ＝ 3.因为 E 为 PD 的中点，因此三棱锥E － ACD 的高为 1 .三棱锥 E －ACD 的体221 13 1 ＝ 3积 V ＝ ×× 3×× 8.3 2 2 23． (文 )如图，在 Rt △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF ∥ BC 交AC 于点 F ，将△ AEF 沿 EF 折起到△ PEF 的地点 (点 A 与 P 重合 )，使得∠ PEB ＝ 30°.新高考数学二轮(文理)专题训练11：空间几何体的三视图、表面积与体积(含答案分析)(1)求证： EF⊥ PB；(2)试问：当点 E 在哪处时，四棱锥 P－ EFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P－ EFCB 的体积．解 (1)证明：∵ AB ＝ BC ，∴ BC ⊥ AB ，又∵ EF∥ BC ，∴ EF⊥ AB ，即 EF⊥ BE ， EF⊥ PE.又 BE∩PE＝ E，∴ EF⊥平面 PBE，∴ EF⊥ PB.(2) 设 BE ＝x， PE＝ y，则 x＋ y＝4.111x＋ y 2＝ 1.∴ S△PEB＝BE·PE·sin∠ PEB＝xy ≤2442当且仅当x＝ y＝2 时， S△PEB的面积最大．此时， BE＝PE＝ 2.由 (1) 知 EF⊥平面 PBE，∴平面 PBE⊥平面 EFCB ，在平面 PBE 中，作 PO⊥ BE 于 O，则 PO⊥平面 EFCB.即 PO 为四棱锥 P－ EFCB 的高．1又 PO＝ PE·sin30 °＝ 2×＝ 1.2S＝112(2 ＋ 4) ×2＝6. ∴ V＝3×6×1＝ 2.梯形 EFCB P－BCFE。
