空间立体几何专题复习《垂直关系》

高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二. 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．2、直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）⊥，直线AB叫做的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作ABα平面的垂线，平面α叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．★★几点说明★★1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

垂直关系定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．例1.已知直线a，b和平面α．如果a∥b，aα⊥．⊥，求证：bα例2.在正方体-''''ABCD A B C D中，求证：'B D⊥平面'D AC．定义平面的一条斜线和它在平面上的射影之间的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则说它们所成的角是0︒的角．例3.在正方体-''''ABCD A B C D中．（1）求直线'A B与平面''A B CD所成角的大小．（2）求直线''A B与平面'D AC所成角的正弦值．（3）求直线'D AC所成角的正弦值．AC与平面'定义 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB ，面分别为α、β的二面角记作--AB αβ．定义 在二面角--l αβ的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面内分别作垂直于l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 组成的AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的平面角是多少度，就说二面角．．．．．．．．．．．．．．．．．是多少度．．．．．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 定义 两个平面相交成4个二面角，若其中一个二面角是直二面角，则说这两个平面互相垂直． 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．例4. 在三棱锥-V ABC 中，2VA VB AC BC ====，AB =1VC =，求二面角--V AB C 的度数．例5. 求正四面体两个侧面之间夹角的余弦值．例6. 求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直．例7. 已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一点．求证：平面PAC ⊥平面PBC ．定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．定理 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．B A BC V。

§1立体几何中的垂直关系一知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义一般地，如果直线l 与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α.直线l 称为平面α的垂线，平面α称为直线l 的垂面，它们唯一的公共点称为垂足.注意：过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.(2)判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.(3)性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.2.直线与平面所成的角一条直线l 与一个平面α相交，但是不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P 向平面α引垂线P O ，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线与这个平面所成的角.APlαO 3.半平面一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.4.二面角(1)定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.(2)表示如图1，棱为AB ，面分别为α，β的二面角记作二面角α−AB −β.有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P ，Q ，将这个二面角记作二面角P −AB−Q .图1ABOl βα图2(3)平面角如图2，在二面角α−l −β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.二面角的平面角θ的取值范围是0◦⩽θ⩽180◦.平面角是直角的二面角叫做直二面角.5.平面与平面垂直(1)定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判断定理如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么两个平面互相垂直.(3)性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.二例题精讲考点一线面垂直与面面垂直的判定定理例1.下列命题中，正确的序号是.若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； 若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； 若直线l 不垂直于平面α，则α内没有与l 垂直的直线； 若直线l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直； 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．例2.如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：β∩γ=l ，l α，m ⊆α和m ⊥γ，那么必有()A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且mβC.mβ且l ⊥mD.αβ且α⊥γ例3.若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC例4.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中.(1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ；(2)求证：BD 1⊥平面ACB 1.AA 1D 1DB 1C 1BC例5.如图，在三棱锥P −ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC =90◦.求证：BC ⊥平面P AC .PBCA 例6.如图，在三棱锥P −ABC 中，P A =PB ，△ABC 是等边三角形，O 是AB 中点.求证：AB ⊥平面P OC .PBCA O例7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP =AB =2，BC =2√2，E ，F 分别是AD ，P C 的中点．证明：P C ⊥平面BEF.例8.如图所示，在四棱锥S −ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD.B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90◦，AC=例9.如图，三棱柱ABC−A1AA1，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC.2方法总结使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．证明线线垂直常见的方法(1)线面垂直的定义.(2)几何体本身的垂直关系.(3)等腰三角形的三线合一.(4)勾股定理逆定理.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．练1.如果一条直线垂直于一个平面内的： 三角形的两边； 梯形的两边； 圆的两条直径； 正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是.练2.如图，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面P AC.练3.如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.练4.如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：平面EF C⊥平面BCD.考点二线面垂直与面面垂直的性质定理例1.给出下列说法：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3例2.已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β.有下列四个说法：αβ⇒l⊥m；α⊥β⇒l m；l m⇒α⊥β；l⊥m⇒αβ.其中正确的说法是()A. B. C. D.B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF例3.如图所示，在正方体ABCD−ABD1.例4.如图，在三棱锥P−ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面P BC.求证：BC⊥AB.例5.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=√2，等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.例6.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60◦且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥P B；(2)若E为边BC的中点，能否在棱P C上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论方法总结证明线线平行时，可以利用线面垂直的性质定理.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：练1.若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线α垂直于平面a内的一条直线b，则()A.直线α必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直练2.如图，α∩β=l，P A⊥α，P B⊥β垂足分别为A，B，a⊆α，a⊥AB.求证：a l.练3.如图，四棱锥的底面是矩形，侧面V AB⊥底面ABCD，且V B⊥平面V AD.求证：平面V BC⊥平面V AC.考点三线面角与二面角例1.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正切值等于.例2.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90◦，∠BCCD=90◦，且AB=AD，则AC与平面BCD所成角的等于.例3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，求二面角B−A1C1−B1的正切值．例4.已知D，E分别是正三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.方法总结求线与面的夹角时，关键是找出或作出它们的夹角，再在三角形中进行计算.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角，证明，计算．练1.已知正四棱锥的高为3，底面对角线的长为2√6，求侧面与底面所成的二面角.练2.在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =1，AC =2，AA 1=3，∠BAC =60◦，则直线B 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为.三课后作业1.过两点与一个已知平面垂直的平面()A.有且只有一个B.有无数个C.有且只有一个或无数个D.可能不存在2.对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m ⊥n ，m α，nβB.m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊆αC.mn ，n ⊥β，m ⊆αD.mn ，m ⊥α，n ⊥β3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点P ∈l 给出下面四个结论：过P 与l 垂直的直线在α内； 过P 与β垂直的直线在α内； 过P 与l 垂直的直线必与α垂直； 过P 与β垂直的平面必与l 垂直.其中正确的命题是()A.B.C.D.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A.若m⊥n，nα，则m⊥αB.若mβ，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α5.在三棱锥P−ABC中，已知P C⊥BC，pc⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A.平面EF G平面P BCB.平面EF G平面ABCC.∠BP C是直线EF与直线P C所成的角D.∠F EG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角6.如图所示，在三棱锥P−AB C中，P A⊥平面ABC，∠BAC=90◦，则二面角B−P A−C的大小为.7.如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有.8.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是.9.如图，在三棱锥P−ABC中，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC=90◦，P A=1，AB=1，则P B=.10.已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC=3cm，BD=12cm，则CD的长为.11.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，P C⊥平面ABCD，E是P A的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.12.如图，在四棱锥P−ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60◦且P A=AB=BC，E是P C的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)P D⊥平面ABE.。

第02讲 空间中的垂直关系知识精讲一．空间中的垂直关系1．线线垂直垂直有相交垂直和异面垂直．2. 直线与平面垂直（1） 线面垂直的判定定理 线线 ⇒ 线面：121212a l a l l l P l l a ααα⊥⊥⋂=⊂⊂⇒⊥，，，，推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（2） 线面垂直的性质定理a b a b αα⊥⊥⇒⊥，（3） 推论：① 一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线． ② 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 ③ 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行； ④ 垂直于同一直线的两个平面平行．3．平面与平面垂直（1）面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． （2）两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示为：,,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥且,AB CD B =则AB β⊥二. 三垂线定理1．三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．2．平面延展问题此类问题的考查一般较难，涉及到的问题一般是题目所给几何图形中无直接相关的交点或交线，需要根据空间中点线面的位置关系来找到延展所得交点或交线．也可将原几何体放入我们所熟知的几何体中去研究，如：正方体、长方体、正四面体等．三点剖析一． 方法点拨1．线面垂直的判定方法（1）利用判定定理．如果一条直线和一个平面内的两条相交的直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直，即：要证l α⊥，只需在α内找两条相交直线m n 、，证明,l m l n ⊥⊥，从而可得l α⊥．简言之，线线垂直⇒线面垂直．（2）作定理用的推论．如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）用面面垂直的性质定理．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．（4）作定理用的正确命题．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么也垂直于另一个平面．2．面面垂直的证明方法（1）证明两个平面垂直，主要途径是：① 利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．② 面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（2）证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的；因此，在关于垂直问题的论证中，要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的。

空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。

理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。

下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。

一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。

2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。

三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。

2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。

3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。

2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

专题17 空间垂直关系空间异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直等垂直关系在复杂的空间图形中隐藏得比较深,不易发现或作出,若再渗透折叠,则容易产生思维痛点.证明空间垂直关系是高考数学命题中的必选项,垂直关系中,直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理、勾股定理的逆定理等是最基本的知识,不论是空间位置关系判定还是度量关系计算,基础都是人的空间概念与空间想象能力,没有在脑海中建立正确的空间概念是导致立体几何题求解失败的根本原因,看不清位置关系,卡壳点自然产生.一、巧连线寻找线面垂直关系二、问题1:如图1,已知三棱柱ABC−A1B1C1,平面A1ACC1⟂平面ABC,∠ABC=90∘,∠BAC=30∘,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.证明:EF⟂BC.【解析】卡壳点:不会寻找证明垂直关系的途径.应对策略1:把证明线线垂直关系转化为证明线面垂直关系.问题解答:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⟂AC.又平面A1ACC1⟂平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以A1E⟂平面ABC,则A1E⟂BC.又因为A1F//AB,∠ABC=90∘,故BC⟂A1F.所以BC⟂平面A1EF.因此EF⟂BC.应对策略2:发现三线垂直关系,利用空间向量运算证明垂直关系.问题解答:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⟂AC.又平面A1ACC1⟂平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⟂平面ABC.如图2,以点E为原点,分别以射线EC,EA 1为y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E −xyz . 不妨设AC =4,则A 1(0,0,2√3),B(√3,1,0),B 1(√3,3,2√3),F (√32,32,2√3),C (0,2,0)因此EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,2√3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0). 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得EF⟂BC . 【反思】证明空间位置关系时,寻找或添加关键的辅助线是一个智慧点.二、勾股定理促线线位置关系分析问题2:已知等边ΔABC 的边长为3,点D,E 分别是边AB,AC 上的点,且满足AD DB =CE EA=12(如图3).将ΔADE 沿DE 折起到ΔA 1DE 的位置,使二面角A 1−DE −B 成直二面角,连接A 1B,A 1C (如图4).求证:A 1D⟂平面BCED .【解析】卡壳点:折叠前后对线线位朢关系的分析不到位.应对策略：结合勾股定理的逆定理,由计算结果来验证垂直关系.问题解答:因为等边ΔABC 的边长为3,且AD DB =CE EA =12,所以AD =1,AE =2. 在ΔADE 中,∠DAE =60∘,由余弦定理得DE =√12+22−2×1×2×cos60∘=√3.因为AD 2+DE 2=AE 2,所以AD⟂DE ,折叠后有A 1D⟂DE .因为二面角A 1−DE −B 是直二面角,所以平面A 1DE⟂平面BCED .又平面A 1DE ∩平面BCED =DE,A 1D ⊂平面A 1DE,A 1D⟂DE ,所以A 1D⟂平面BCED .【反思】(1)题设信息中隐藏着AD⟂DE ,需要用勾股定理的逆定理来证明,这是解决问题的一个关键点,必须识破.(2)题设给定的面面垂直与目标要证的线面垂直之间只需证明直线垂直于棱即可.三、逆向存在性问题顺向思考问题3:如图5,三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长均为2,侧面BCC 1B 1⟂底面ABC ,侧棱BB 1与底面ABC 所成的角为60∘,在线段A 1C 1上是否存在点P ,使得平面B 1CP⟂平面ACC 1A 1?若存在,求出C 1P 的长;若不存在,请说明理由.【解析】卡壳点:存在性命题的顺向思考方法韩失.应对策略:若空间位置关系复杂,可将逆向设计的存在性问题顺向思考. 问题解答:过点B 1作B 1O⟂BC 于点O ,因为侧面BCC 1B 1⟂底面ABC ,所以B 1O⟂底面ABC,∠B 1BC =60∘,所以O 为BC 的中点.以O 为原点,以AO,OC,OB 1分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立如图6所示的坐标系, 则A(−√3,0,0),B (0,−1,0),C (0,1,0),B 1(0,0,√3),A 1(−√3,1,√3),C 1(0,2,√3). 假设在线段A 1C 1上存在点P ,使得平面B 1CP⟂平面ACC 1A 1.设C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λC 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−√3,−1,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3λ,1−λ,√3),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3).设平面B 1CP 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1−√3z 1=0,m ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3λx 1+(1−λ)y 1+√3z 1=0. 取z 1=1,则y 1=√3,x 1=2−λλ.故m =(x 1,y 1,z 1)=(2−λλ,√3,1).设平面ACC 1A 1的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则{n⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x2+y2=0,n⋅C1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y2−√3z2=0.取z2=1,则y2=−√3,x2=1.n=(x2,y2,z2)=(1,−√3,1).m⋅n=(2−λλ,√3,1)⋅(1,−√3,1)=2−λλ−2=0,解得λ=23.所以|C1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43.【反思】(1)建立空间直角坐标系时,要对位置关系进行证明,这一点很重要,然后根据已证明的位置关系去建立坐标系.(2)用坐标法时,确定点的坐标非常重要,不能有一点错误,否则前功尽弃.四、学云动态研究空间垂直关系问题4:如图7,已知边长为1的菱形ABCD,设∠ABC=120∘,沿AC折叠后,取AC 的中点E,连接DE,BE,BD.(I)当平面ABC⟂平面ACD时(如图8)或(II)当平面ABC与平面ACD所成二面角的平面角为α时(如图9),分别探究以下各题.(1)AC与BD,AD与BC的位置关系.(2)AD与BC所成角大小(或余弦值).(3)BC与平面ADC所成角大小(或正弦值).(4)求二面角A−BD−C大小(或余弦值).(5)在此问题情境下,请你提出一个新的问题并探究之.【解析】卡壳点:面对开放性问题,创新思维准备不足.应对策略:面对两平面垂直关系时,较容易;面对一般情形时,要善于用抽象符号来表达.问题解答:(I)当平面ABC⟂平面ACD时.(1)由于AC⟂平面BDE,所以AC⟂BD,AD与BC为异面直线.(2)取AB的中点F,BD的中点G,连接EF,EG,FG,则∠EFG为AD与BC所成的角,EF=12,EG=√24,FG=12,cos∠EFG=14+14−182×12×12=34.(3)BE⟂平面ADC,∠BCE为BC与平面ADC所成角为π6.(4)(4)见（II)(4),令α=π2即可.(5)（5）见（II）(5),令α=π2即可.(6)(II)当平面ABC与平面ACD所成二面角的平面角为α时.(7)(1)由于AC⟂平面BDE,所以AC⟂BD,AD与BC为异面直线.(8)(2)取AB的中点F,BD的中点G,AD与BC所成的角为∠EFG,EF=FG=1 2,BD=√14+14−2×14cosα=sinα2,EG=cosα22,(9)所以cos∠EFG=14+14−14cos2α22×12×12=1−12cos2α2.(10)(3)如图10,在平面BDE中,过点B作BH⟂DE,易知BH⟂平面ACD,于是∠BCH为BC与平面ADC所成的角,BH=12sinα,sin∠BCH=BHBC=12sinα.(11)(4)如图11,过AC作BD的垂面,交BD于点G,则∠AGC为所求二面角的平面角.(12)由于ΔABD为等腰三角形,所以G为BD的中点,故AG=√1−DG2=√1−(12sinα2)2=CG,cos∠AGC=AG2+CG2−AC22AG⋅CG =2−12sin2α2−42−12sin2α2.(13)(5)提出的新问题如下.层次一求证:当α=π2时,平面BDE⟂平面ABC,或平面BDE⟂平面ADC.层次二求证:不论α为何值,平面BDE⟂平面ABC,或平面BDE⟂平面ADC,层次三在折叠过程中,是否存在α,使得平面ABD⟂平面CBD?【反思】空间位置关系与度量关系,从特殊到一般的探究,对于学生是一次重要体验.五、驾㲼经典模型中的垂直关系问题5:如图12,AC为圆O的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,PA垂直于圆O 所在的平面,连接PB,PC,AB,BC.(I)图12中直角三角形的个数为,异面垂直的直线有对;(II)若在图12中添加AN⟂PB,AS⟂PC,连接SN,如图13,则图13中直角三角形个数为异面垂直的直线有对;(III)图12中直线垂直平面的对数为对,图13中直线垂直平面的对数为(IV)图12中互相垂直的平面对数为对;(V)证明:平面ANS⟂平面PBC.【解析】卡壳点:空间概念弱导致数不清檚符合要求的直线与平面数.应对策略:对照空间图形,分类思考或数数.问题解答:(I)观察可知直角三角形有4个,异面垂直的直线只有1对,即PA⟂BC.(II)若在图12中添加AN⟂PB,AS⟂PC,连接SN,如图13,则图13中直角三角形个数为异面垂直的直线有对;(III)图12中直线垂直平面的对数为对,图13中直线垂直平面的对数为(IV)图12中互相垂直的平面对数为对;(V)证明:平面ANS⟂平面PBC.【解析】卡壳点:空间概念弱导致数不清檚符合要求的直线与平面数.应对策略:对照空间图形,分类思考或数数.问题解答:(I)观察可知直角三角形有4个,异面垂直的直线只有1对,即PA⟂BC.(II)在图12中添加了AN,AS,SN后,增加6个直角三角形,共有10个直角三角形;异面垂直的直线有3对,增加了AN⟂BC,AN⟂PC.(III)图12中有2对直线垂直平面:PA⟂平面ABC,BC⟂平面PAB;图13中增加2对:PC⟂平面ANS,AN⟂平面PBC.图13中共有4对直线与平面垂直.(IV)图12中有3对互相垂直的平面:平面PAB⟂平面ABC,平面PAC⟂平面ABC,平面PAB⟂平面PBC;图13中有5对互相垂直的平面,增加2对:平面ANS⟂平面PBC,平面ANS⟂平面PAC.(V)因为PA⟂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⟂BC.又AC为圆O的直径,所以AB⟂BC.因为AB∩PA=A,所以BC⟂平面PAB.又AN⊂平面PAB,所以AN⟂BC.因为AN⟂PB,PB∩BC=B,所以AN⟂平面PBC.又PC⊂平面PBC,所以AN⟂PC.因为PC⟂AS,AS∩AN=A,所以PC⟂平面ANS.又PC⊂平面PBC,所以平面ANS⟂平面PBC.【反思】(1)此空间经典模型可以将立体几何的所有问题融人其中,且对于训练学生的空间概念与空间想象能力非常有利.(2)此空间经典模型中的线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系非常丰富,尤其是垂直关系.(3)学生在思考上述问题时,一是空间概念要清楚,二是观察要细致,三是思考要全面,四是证明的逻辑推理要有序.六、静态分析运动中的空间图形问题6:如图14,一个棱长为2的正四面体O−ABC的顶点O在平面α上,底面ABC 平行于平面α,平面OBC与平面α的交线为l.(I)当平面OBC绕l顺时针旋转时,求证:l⟂AO;(II)在上述旋转过程中,设ΔOBC在平面α上的投影为ΔOB1C1,如图15,若B1C1的中点为O1,当AO⟂平面α时,在OA上是否存在一点P,使O1P⟂平面OBC?【解析】卡壳点:面对几何体旋转的情境时不知所措.应对策略:面对运动的几何体,进行浯态分析.问题解答:(I)证明:因为平面ABC//平面α,平面ABC ∩平面COB =BC ,平面α∩平面COB =l ,所以BC//l .取BC 的中点E ,连接AE,EO ,则BC⟂AE,BC⟂EO .所以l⟂AE,l⟂EO,AE ∩EO =E,AE ⊂平面AOE,EO ⊂平面AOE ,所以l⟂平面AOE . 又AO ⊂平面AOE ,所以l⟂AO .(II)解法1当点P 与点A 重合时,O 1P⟂平面OBC ,如图16,因为BC⟂AE,BC⟂EO 1,所以BC⟂面AEO 1,BC⟂AO 1.在图中,作AS//OE,ES//OA ,由AS 2+O 1A 2=O 1S 2知∠SAO 为直角,OE⟂AO 1,AO 1⟂平面OBC .解法2易得AE =OE =√3,OA =2OE 1. 设点A 在平面OBC 上的射影为点G ,若O 1P⟂平面OBC ,则O 1P//AG,O 1E =1.所以OO 1=√2.设PO 1交OE 于点H,OH:OO 1=OO 1:OE,OH =2√33. 又OG =2√33,所以点P 与点A 重合. 解法3以O 1为原点,O 1C 1所在直线为x 轴,O 1O 所在直线为y 轴,O 1E 所在直线为z 轴建立平面直角坐标系,则O(0,√2,0),C (1,0,1),B (−1,0,1),A(0,√2,2).设P(0,√2,z),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√2,1),O 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,z).由于BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂O 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂O 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以z =2,即点A 与点P 重合时,O 1P⟂平面OBC .【反思】高考数学命题中关于空间图形的问题情景主要是静态的、规则的图形中的点、线、面位置关系及度量关系,其中出现比较多的是平面图形翻折成空间图形或由规则图形截取得到不规则图形后的点、线、面位置关系及度量关系.强化练习1.已知三棱锥P−ABC的底面ABC是边长为2√3的正三角形,点A在侧面PBC内的射影H为ΔPBC的垂心,二面角P−AB−C的平面角的大小为60∘,则AP的长为A.3 B.3√2 C.√7 D.4【解析】如答图所示,连接并延长BH,交PC于点E,连接AE,设点P在底面ABC内的射影为点O,则PO⊥平面ABC,连接CO并延长,交AB于点F.因为点A在侧面PBC内的射影H为△PBC的垂心,所以AH⊥平面PBC,BE⊥PC,所以AH⊥PC.因为BE∩AH=H,BE⊂平面ABE,AH⊂平面ABE,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.因为CB⊂平面ABC,PO⊥平面AC,所以PO⊥AB.因为PO∩PC=P,PO⊂平面PFC,PC⊂平面PFC,所以AB⊥平面PFC.因为CO⊂平面PFC,所以AB⊥CO.同理可证AC⊥BO.所以O是△ABC的垂心,所以三棱雉P−ABC为正三棱雉.因为三棱雉P−ABC的底面ABC是边长为2√3的正三角形,所以BF=√3,CF=3,则PO=1.因为二面角P−AB−C的平面角的大小为60∘,所以∠PFC为二面角P−AB−C的平面角.在Rt△POF中,∠PFC=60∘,FO=1,所以PF=2.在Rt△PFA中,PF=2,AF=√3,所以AP=√22+(√3)2=√7.故选C.第1题答图【反思】先判断三棱锥P−ABC为正三棱锥,然后根据异面直线所成的角的定义可得∠PFC为二面角P−AB−C的平面角,解直角三角形即可得解.2.如图,棱雉P−ABCD的底面是菱形,∠DAB=π,且ΔPAB是正三角形,求3证:PD⟂AB.【解析】取AB的中点O,连接OD,OP,由题意得△DAB为正三角形,所以AB⊥OD. 因为△PAB是正三角形,所以AB⊥OP.又OP∩OB=O,所以AB⊥平面POD且PD⊂平面POD,所以PD⊥AB.【反思】(1)立体几何命题的证明讲究逻辑,符合基本定理前提,此几何背景中有许多特殊的三角形,关键是找准一个点,即AB的中点.(2)为证线线垂直,转而证明线面垂直,而证线面垂直,线面垂直的判断是基础.3.如图,长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⟂EC1.求证:BE⟂平面EB1C1.【解析】由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.【反思】根据线面垂直的判定定理,在复杂空间图形中寻找需要的条件.4.图1是由矩形ADEB、RtΔABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB= 1,BE=BF=2,∠FBC=60∘,将其沿AB,BC折起,使得BE与BF重合,连接DG,如图2,证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⟂平面BCGE.5.【解析】由已知得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,故AD和CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.【反思】翻折前后线线、线面位置关系的变与不变是思考的基础.6.已知在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60∘,沿AC折叠后,设平面ABC与平面ACD所成角为α,折叠过程中,是否存在α,使得平面ABD⟂平面CBD?7.【解析】由对称性且△ABD与△CBD为等腰三角形,取BD的中点G,则∠AGC为平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角.在△BDE中,由余弦定理得BD2=34+34−2×34cos⁡α=3sin2⁡α2,或由三角函数定义可得BD=√3sin⁡α2,于是AG2=1−34sin2⁡α2=CG2.当AG2+CG2=AC2时,平面ABD⊥平面ADC,即当2(1−34sin2⁡α4)=1,也即sin⁡α2=√63时,平面ABD⊥平面ADC.由于12<69<34,所以π4<α2<π3.故存在α,使得平面ABD⊥平面CBD.【反思】(1)用最简单的平面图形创设问题情境,检测学生的空间想象能力与创新能力.面对新的数学问题,需要对问题情境有比较深入的理解,才能达到较高层次的认知,层次一属千找到一个;层次二不仅找到而且发现更一般的情形;层次三向更深的地方思考并探索,提出了存在性命题.这样一个开放性命题给不同数学认知水平的学生提供了一个平台,有利于培养学生创新意识.(2)在证明过程中,还可以逆向思考,要使∠AGC 为直角,只要AG =CG =√22,只要DG =√22,或BD =√2,只要sin⁡α2=√638. 如图,在矩形ABCD 中,点E 在线段CD 上,AB =3,BC =CE =2,沿直线BE 将ΔBCE 翻折成ΔBC ′E ,使点C ′在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上.求证:直线BE⟂平面CFC ′.9.【解析】(I)如答图所示,在线段AB 上取点G ,使BG =2,连接CG ,交BE 于点H .因为在正方形BCEG 中,BE ⊥CG ,所以翻折后,BE ⊥C ′H,BE ⊥GH .又C ′H ∩GH =H ,所以BE ⊥平面C ′HG .又BE ⊂平面ABED ,所以平面ABED ⊥平面C ′HG .又平面ABED ∩平面C ′HG =GC ,所以点C ′在平面ABED 上的射影F 落在直线GC 上.又点C ′在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上,所以F 为直线BD 与GC 的交点,所以平面CFC ′即平面C ′HG ,所以直线BE ⊥平面CFC ′.第6题答图【反思】按照直线与平面垂直判定的逻辑推理方式进行规范的叙述.7.如图,在四棱锥P−ABCD中,PC⟂平面ABCD,AB⟂AD,AB//CD,PD=AB=2AD=2CD=2,E为PB的中点.证明:平面EAC⟂平面PBC.【解析】证明:PC⊥平面ABCD,故PC⊥AC.又AB=2,CD=1,AD⊥AB,所以AC=BC=√2.故AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.所以AC⊥平面PBC,所以平面ACE⊥平面PBC.【反思】面对大量线段时,巧用勾股定理的逆定理判断位置关系.8如图,在三棱锥P−ABC中,PA⟂平面ABC,2AC=PC=2,AC⟂BC,D,E,F分别为AC,AB,AP的中点,M,N分别为线段PC,PB上的动点,且有MN//BC.(I)求证:MN⟂平面PAC;(II)探究:是否存在这样的动点M,使得二面角E−MN−F为直二面角?若存在,求CM的长;若不存在,说明理由.【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,所以BC⊥平面PAC.又因为MN//BC,所以MN⊥平面PAC.（II)由条件可得,∠FMD即为二面角E−MN−F的平面角. 若二面角E−MN−F为直二面角,则∠FMD=90∘.在Rt△PCA中,设CM=t(0⩽t⩽2),则PM=2−t.在△MDC中,由余弦定理可得，DM2=CM2+CD2−2CM⋅CDcos⁡60∘=t2+14−12t.同理可得,FM2=PM2+PF2−2PM⋅PFcos⁡30∘=(2−t)2+34−32(2−t)又由FD2=FM2+MD2,得2t2−3t+1=0,解得t=1,或t=12.所以存在直二面角E−MN−F,且CM的长度为1或12.【反思】求是否存在点的位置可以转化为求是否存在一定长度的线段,把对“形”的研究转化到对“数”的分析上.。

垂直关系一、知识点：1、线线垂直：1）线线垂直：三垂线定理及逆定理2）线面垂直：如果a ⊥α，b ⊂α，那么a ⊥b3）面面垂直：如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直4）平行关系：如果a ∥b ，a ⊥c ，那么b ⊥c2、线面垂直：1）线线垂直：如果a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊂α，c ⊂α，b ∩c=P ，那么a ⊥α2）面面垂直: 如果α⊥β，α∩β=b ，a ⊂α,a ⊥b ，那么a ⊥β3) 平行关系: 如果a ⊥α，b ∥a ，那么b ⊥α3、面面垂直：1）定义（二面角等于900）2）线面垂直：如果a ⊥α，a ⊂β，那么β⊥α4、距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。

1）异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。

2）线面距离，面面距离常化归为点面距离。

5、角：直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。

1）直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。

2）二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。

二、例题讲解：例1、在棱长为6厘米的正方体中，P 是A 1A 上一点，且1A P=2，在AB 上是否存在点Q ，使得1C P ⊥PQ ？例2、如图，已知AEFG SC ABCD SA 截面所在平面，正方形⊥⊥， 求证：（1）SD AG SB AE ⊥⊥，；（2）GE AF ⊥、例3、SA ⊥面ABCD ，AN ⊥SC ，∠ABC=90°，M 为SD 的中点，AB=CD=1，SA=AD=2，BC=2，求证：MN ⊥SD 。

例4、设S 是△ABC 所在平面外一点，且SA=SB=SC ，D 是BC 的中点，∠BAC=90° ，求证：SD ⊥面ABC 。

例5、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， F 为棱CC 1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证： 1）A 1O ⊥平面BDF ；2）平面BDF ⊥平面AA 1C 。

立体几何(垂直关系的证明)1. 什么是垂直关系垂直关系是指两条线、两个平面或者一条线和一个平面之间的互相垂直的关系。

在立体几何中，垂直关系是非常重要的，它涉及到角度、边长和面积等概念。

2. 垂直关系的证明方法证明两条线或者一个线和一个平面垂直可以采用不同的方法，以下是一些常见的证明方法：2.1. 利用垂直的性质证明当两个线段的斜率乘积为-1时，这两个线段就互相垂直。

这是一个常用的方法来证明两条直线的垂直关系。

例如，如果两条直线的斜率分别为m1和m2，并且m1 * m2 = -1，则可以证明这两条直线是垂直的。

2.2. 利用垂直线段的性质证明对于一个平面内的几条垂直线段来说，其平分线是相交于一个点，并且平分线与原始线段之间的夹角为90度。

这可以用来证明两条线段是垂直的。

2.3. 利用垂直平分线的性质证明对于一个多边形来说，如果一条线段能够将另外两条线段的中点连接起来并且垂直于它们，那么这条线段就是垂直于这两条线段的平分线。

这个原理可以用来证明线段和平面的垂直关系。

2.4. 利用垂直距离的性质证明如果一个点到一直线的距离为0，并且这个点在另外一条直线上，那么这两条直线是垂直的。

这个方法可以用来证明直线和平面的垂直关系。

3. 如何选择合适的证明方法在选择合适的证明方法时，需要根据具体问题的要求和条件进行判断。

通常来说，可以根据已知的条件和所需证明的结论来选择并结合不同的证明方法。

4. 总结在立体几何中，垂直关系的证明是一个重要的内容。

通过掌握不同的证明方法，我们可以更好地理解和应用垂直关系，进一步深入研究立体几何的问题。

空间几何中的垂直关系垂直关系是空间几何中的重要概念之一，它与直线和平面的相互关系密切相关。

本文将就空间几何中的垂直关系进行详细探讨。

一、垂直关系的定义和性质在空间几何中，我们称两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度（或称直角）。

垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是相对的：两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，可以理解为它们相互垂直的方向互为补角，即互为垂线。

2. 垂直关系具有传递性：如果直线AB垂直于直线BC，那么直线AB也将垂直于直线AC。

这个性质可以通过夹角定义和垂线的性质进行推导。

3. 平面与直线的垂直关系：当一条直线与一个平面垂直时，它与该平面的任意直线均垂直。

这一性质为建立空间几何中的垂直关系提供了便利。

4. 垂直关系与平行关系之间的关系：如果两个平面相互垂直，那么它们的任意一条公共直线与这两个平面都垂直；反之，如果两个平面的任意一条公共直线与这两个平面都垂直，那么这两个平面互相垂直。

二、垂直关系的应用垂直关系在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

以下列举了几个常见的应用场景：1. 建筑学中的垂直关系：在建筑设计与施工中，垂直关系是十分重要的，用来确保建筑结构的稳定和整体美观。

例如，墙面的垂直性要求、柱子与楼梯之间的垂直关系等都是基于几何理论的。

2. 地质学中的垂直关系：地层与地层之间的垂直关系是地质学家研究地壳演化和地层分析的基础。

通过研究地质层的垂直关系，可以推断出地层的变动和地质历史的变迁。

3. 数学建模中的垂直关系：在数学建模中，垂直关系被广泛应用于平面几何、三维几何以及向量分析等学科中。

它在描述和解决实际问题时，起到了重要的作用。

4. 导航和测量中的垂直关系：在导航和测量领域，垂直关系被用于确定方向、角度和高度。

例如，地球上的经线与纬线垂直相交，使得我们可以准确测量位置和方向。

三、总结空间几何中的垂直关系是一种重要的几何概念，它与直线和平面之间的关系密不可分。

立体几何中的垂直关系知识集结知识元线面垂直的定义及判定定理的理解知识讲解直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面αl⊥α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足．2文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相⇒l⊥α交直线都垂直，则该直线与此平面垂直3.证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.例题精讲线面垂直的定义及判定定理的理解例1.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α例2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直例3.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1例4.如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．例5.四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．线面垂直判定定理的应用知识讲解直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相⇒l⊥α交直线都垂直，则该直线与此平面垂直2.证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.例题精讲线面垂直判定定理的应用例1.如图，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．例2.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．例3.'如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.'直线与平面所成的角知识讲解一.．直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．（2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.（3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO.二.求直线和平面所成角的步骤1．寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．2．连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．3．把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．例题精讲直线与平面所成的角例1.如图，三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()A．∠BPA B．∠PBA C．∠PBC D．以上都不对例2.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于()A．20°B．70°C．.90°D．110°例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为() A．B．C．D．例4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°二面角知识讲解1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．（2）记法：αABβ，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作α-lβ或PlQ.2．二面角的平面角（1）定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，如图2316所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）直二面角：平面角是直角的二面角．例题精讲二面角例1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3例2.在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E是CD 的中点，则∠AED的度数为()A．45°B．30°C．60°D．90°例3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°平面与平面垂直的判定知识讲解1．平面与平面垂直的定义（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）画法：记作：α⊥β.2．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的⇒α⊥β垂线，则这两个平面垂直例题精讲平面与平面垂直的判定例1.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PBC例2.在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD例3.'如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.'例4.'如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.'线面、面面垂直的综合应用知识讲解1．直线与平面垂直直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．2．平面与平面垂直平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．例题精讲线面、面面垂直的综合应用例1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°例2.'如图2330，在三棱锥PABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角PABC的大小．'如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD＝AB＝CD＝2，AB∥CD，M为CE的中点．(1)证明：BM∥平面ADEF；(2)证明：平面BCE⊥平面BDE.'线面垂直性质定理的应用知识讲解1．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言例题精讲线面垂直性质定理的应用△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定例2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β例3.已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β例4.如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()A．PD⊥BD B．PD⊥CD C．PB⊥BC D．PA⊥BD 面面垂直性质定理的应用知识讲解1．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂文字语言直.符号语言⇒a⊥β图形语言例题精讲面面垂直性质定理的应用例1.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B 是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点例2.已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的结论有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.例3.'如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.'例4.'如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC ＝6，求PC的长度.'垂直关系的综合应用知识讲解1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．例题精讲垂直关系的综合应用例1.'如图，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，且BD⊥CD.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.'例2.'如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB交PB于F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF.'例3.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD 折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是()A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC备选题库知识讲解本题库作为知识点“空间中的垂直关系”的题目补充.例题精讲备选题库例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD1的中点，F为BD的中点，则（）A．EF∥C1D1B．EF⊥AD1C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1D例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DBC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1例3.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（）A．A′C⊥BDB．∠BA′C=90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′-BCD的体积为例4.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部当堂练习单选题练习1.已知α、β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β”是“l∥α”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面练习3.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE．证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO=O，所以__________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBDC．BD⊥平面PAC D．AC⊥平面BDE填空题练习1.在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)练习3.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.解答题练习1.'如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE=3CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；（2）求二面角F-BE-D的余弦值．'练习2.'如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC，且BC1⊥A1C，点D是棱A1C1的中点．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1，请说明理由．'练习3.'已知在直角梯形ABC′D中，∠A=∠B=90°，AD=AB=1，BC′=2，将△C′BD沿BD折起至△CBD，使二面角C-BD-A为直角．（1）求证：平面ADC⊥平面ABC；（2）若点M满足=λ，λ∈[0，1]，当二面角M-BD-C为45°时，求λ的值．'。

高中数学人教B 版一轮复习
第八部分 立体几何（8）
六、垂直关系
一、线线垂直
（1）90A ∠=
（2）勾股定理
（3）直径所对的圆周角
（4）全等三角形或相似三角形
（5）三线合一
（6）线面垂直
二、线面垂直定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

三、线面垂直判定1
内容：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直
符号语言：,,,,,a b a b A l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥
图形语言：
线面垂直判定2
内容：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直这个平面.
符号语言：,a b a b αα⊥⇒⊥
图形语言：
结论：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个
符号语言：,a b ααβα⊥⇒⊥
图形语言：
四、线面垂直性质
内容：垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言：,a b a b αα⊥⊥⇒
图形语言：
五、面面垂直判定
内容：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两面垂直。

符号语言：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥
图形语言：
六、面面垂直性质：（证明线面垂直）
内容：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 符号语言：,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥
图形语言：。