空间几何体复习

空间几何体复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够识别和了解各种空间几何体的性质和特点；（2）能够运用空间几何体的知识和方法解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、交流等活动，提高空间想象能力；（2）学会运用分类讨论、数形结合等方法解决空间几何问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养对数学学科的兴趣和自信心；（2）培养合作交流意识，提高解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：（1）各种空间几何体的性质和特点；（2）空间几何体的计算方法和技巧。

2. 教学难点：（1）空间几何体的想象和建模能力；（2）运用空间几何体解决实际问题的方法。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的性质和特点；2. 利用多媒体技术，展示空间几何体的三维模型，增强学生的空间想象力；3. 采用小组合作交流的方式，培养学生的合作意识和问题解决能力。

四、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的空间几何体（如球、正方体、圆柱等）；（2）提出问题，引导学生思考空间几何体的特点和性质。

2. 探究与展示：（1）分组讨论，每组选取一个空间几何体，探究其性质和特点；（2）各组展示探究结果，总结空间几何体的共同点和不同点。

3. 讲解与示范：（1）讲解空间几何体的计算方法和技巧；（2）示范解决实际问题，让学生跟随步骤进行练习。

4. 练习与反馈：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）及时给予反馈，纠正错误，巩固知识点。

五、课后作业1. 复习本节课所学的内容，总结空间几何体的性质和特点；2. 完成课后练习题，提高空间几何体的计算能力和解决实际问题的能力。

六、复习与巩固1. 通过课堂讲解和练习，学生能够复习和巩固已学过的空间几何体的性质和特点。

2. 学生能够运用空间几何体的知识和方法解决实际问题，提高解决问题的能力。

七、拓展与应用1. 通过小组合作交流，学生能够运用空间几何体的知识解决实际问题，培养合作意识和问题解决能力。

立体几何复习题一、多面体的概念和性质1、下列说法正确的是___________________________（1）有一面是多边形，其余面为平行四边形的几何体是棱柱（2）棱柱侧面都是平行四边形；（3）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱（4）底面是矩形的直平行六面体是长方体（5）棱长都相等的长方体叫做正方体；（6）侧棱长与底面边长相等的正四棱柱是正方体（7）底面是矩形的直棱柱是长方体（8）侧面都是长方形的棱柱是长方体（9）直平行六面体是长方体（10）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；（11）正四面体是四棱锥 （12）正棱锥的棱都相等（13）三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥（14）底面是正多边形的棱锥是正棱锥（15）棱台的侧棱延长后交于一点；（16）上下底面为相似的正多边形的棱台一定的是正棱台；（17）用一个平面去截棱锥，夹在底面和截面间的几何体是棱台；（18）棱台的上下底面边长之比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高的比2、棱柱中的数量关系（1）长方体的全面积是11，所有棱长之和是24，则这个长方体的一条对角线的长为______.（2）若长方体三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积等于_________（3）底面是菱形的直棱柱，对角线D B '和C A '的长为9,15，侧棱长为5，则底面边长为（4）长方体长宽高分别是5、4、3，一蚂蚁从对角线一端点沿表面走到另一端点，走过的最短距离为______3、棱锥中的数量关系（1）已知正三棱锥的底面边长分别为6，侧棱为4，求该棱锥的斜高、高、表面积、体积（2）已知正四棱锥的底面边长分别为2，侧棱长为2，求该棱锥的斜高、高、表面积、体积4、棱台中的数量关系（1）棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分为两段之比是__________.（2）棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为（3）正四棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，则棱台的高、斜高、表面积、体积（4）已知一正三棱台的两底边长分别为30cm 和20cm,且其侧面积等于两底面积之和，求棱台高.（5）棱台的两个底面面积分别是245和80，截得这个棱台的棱锥的高为35，求这个棱台的体积。

821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C ．16π D ．24π【解析】 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以体积为43πR 3＝32π3. 【答案】 B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 由三视图可知，该几何体为半径为r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋12×4πr 2＝π×12＋12×4π×12＝3π.故选C. 【答案】 C3．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 【答案】 C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 【答案】 B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1 【解析】 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 【答案】 D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π【解析】 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B. 【答案】 B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.【答案】 B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋12×(4π×22)－π×22＝64＋4π. 【答案】 64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．【解析】 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥C D.在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π，A ，B 是球面上的两点，∠AOB ＝60°，C 是球面上的动点，则四面体OABC 体积V 的最大值为________．【解析】 设球的半径为R ，由4πR 2＝36π，得R ＝3.显然在四面体OABC 中，△OAB 的面积为定值，S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2＝934.要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC 的体积的最大值V ＝13×934×R ＝934. 【答案】 93411．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．【解析】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 12.如图所示，在空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分，求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比．【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF .理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE -BCF 的体积V ADE ­BCF ＝V ADE ­B ′CF －V F ­BB ′C＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M ­DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43， 所以V ADM ­BCF ＝203－43＝163， 所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。

专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。

空间几何体结构及其三视图【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识络】【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．2．旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．要点二．空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．3．平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．要点三．空间几何体的表面积和体积1．旋转体的表面积2．几何体的体积公式（1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ；（2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =13Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13（'S S ）h ；（4）设球半径为R ，则球的体积V =43π3R ． 要点诠释：1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】类型一．空间几何体的结构特征例1．若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC （ ）A ．一定是等边三角形B ．一定是锐角三角形C ．可以是直角三角形D ．可以是钝角三角形【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC为不同形状时沿△ABC三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，当△ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当△ABC为为直角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当△ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：△ABC一定是锐角三角形，故选B．【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．举一反三：【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形【答案】B【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为B例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【答案】D【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．举一反三：【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）A．6个B．7个C．10个D．无数个【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．【答案】D【解析】∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选D．类型二．空间几何体的三视图例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．举一反三：【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）【答案】A【解析】A中，的三视图：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D 中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选A例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C ，棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，故选B ．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32πB ．π+C ．32πD ．52π+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．【答案】A【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和． 又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12π， 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为12222⨯⨯⨯=则该几何体的表面积为32π．故选A ．【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为14112 2⨯⨯⨯=由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形23=此棱锥的体积为1232 3⨯⨯=故选B【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为13×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．类型三．几何体的直观图例5．如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8C．2＋3 2 D．2＋2 3【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．【答案】B【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝22，OA＝1，∴AB＝3，所以周长为8．故选B【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．举一反三：【变式】对于一个底边在x轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．【思路点拨】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，1''22O C OC ==，作C ＇D ＇⊥x ＇，可得''''24C D C ==．因此其直观图的面积1''''2C D A B =⋅⋅．【解析】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，1''22OC OC ==， 作C ＇D ＇⊥x ＇，则''''C D C ==．∴其直观图的面积11''''22244C D A B =⋅⋅=⨯=．故答案为：4类型四．空间几何体的表面积与体积例6．有一根长为3πcm ,底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD （如图），由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起．止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm．【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．举一反三：【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．【答案】圆半径r=10，面积S=100π，圆锥母线l==例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【答案】72，32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)=72 cm2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32【总结升华】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象力．举一反三：【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A ．πB ．2)π+C ．D ．2)+ 【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．【答案】B【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，∴根据勾股定理知圆锥的高是∴半个圆锥的体积是211623π⨯⨯⨯⨯=， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是∴三棱锥的体积是1112632⨯⨯⨯⨯=∴几何体的体积是2)π+=+，故选B ．。

立体几何一、考点分析：考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图、表面积和体积了解和正方体、球有关的简单几何体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征，能画出简单空间几何体的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图，会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间几何体的三视图或直观图，了解空间几何体的不同表示形式，能识别上述三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）考点二：点、直线、平面的位置关系理解空间中点、线、面的位置关系的定义，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

考点三：直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质掌握线面、面面平行（垂直）的判定与性质定理，能用判定定理证明线面、面面平行，线线、线面、面面垂直，会用性质定理解决线面、面面平行、线面、面面垂直的问题，理解线面角、二面角的概念，能证明一些空间位置关系的简单命题。

二、知识点指导：1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。

如下图：在正棱锥中，要熟记由高PO ，斜高PM ，侧棱PA ，底面外接圆半径OA ，底面内切圆半径OM ，底面正多边形半边长OM ，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。

3、球是由曲面围成的旋转体。

研究球，主要抓球心和半径。

4、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。

三、典型例题1．空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 2．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A 、一定是正三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥 3．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )A 、7B 、8C 、9D 、104、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。

必修2 第一章《 空间几何体 》期末复习制卷：王小凤 学生姓名【知识结构】【知识梳理】（一）空间几何体的三视图和直观图1．三视图（正、侧、俯视图）的画法：长对正、高平齐、宽相等．2．直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒；平行于x 轴（或z 轴）的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半． （三）空间几何体的表面积和体积几何体表面积相关公式体积公式棱柱 2S S S =+侧全底 V S h =⋅底高★棱锥 S S S =+侧全底13V S h =⋅底高★棱台 S S S S =++侧全上底下底1('')3V S S S S h =++圆柱222S r rl ππ=+表★（r 底面半径，l 母线长）2V r h π=★圆锥2S r rl ππ=+表★（r 底面半径，l 母线长）213V r h π=★圆台22('')S r r r lrl π=+++表（r 下底半径，'r 上底半径，l 母线长）''1()3V S S S S h =++（'S S 、为上下底面面积）球体24S R π=球面★343V R π=球★【考点题型】考点一：空间几何体的结构1．给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点二：三视图与直观图2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．如图所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是( )4．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )A ．角的水平放置的直观图不一定是角B ．相等的角在直观图中仍然相等C ．相等的线段在直观图中仍然相等D ．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等A B CD5．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( )A ．2倍B ．42倍C ．22倍 D ．21倍6．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别 如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．12π B ．24πC ．36πD ．48π7．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．223π+ B ．423π+C ．2323π+ D ．2343π+（第7题图） （第8题图）8．如图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为( ) A ．15πB ．18πC ．22πD ．33π9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ． 28+65B ．30+65C ．56+ 125D ．60+125 10．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+（ ）（第10题图） （第11题图）11．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ．5603B ．5803C ．200D ．240考点三：表面积、体积公式的应用12．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ． ππ21+ D ．ππ241+俯视图22 2 正视图22 2 侧视图656513．已知三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为（ ） A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:2714．若一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．π3B ．π2C ．π23D ．π415．设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为（ ）A ．π38 B ．2πC ．4πD ．π3416．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对17．要使圆柱的体积扩大8倍，有下面几种方法：①底面半径扩大4倍，高缩小21倍；②底面半径扩大2倍，高缩为原来的98；③底面半径扩大4倍，高缩小为原来的2倍；④底面半径扩大2倍，高扩大2倍；⑤底面半径扩大4倍，高扩大2倍，其中满足要求的方法种数是( )A ． 1B ．2C ．3D ．418．若圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 、2V ，则12:V V =（ ）A ．1:3B ．1:1C ． 2:1D ．3:119．向高为H 的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如下面左图所示，那么水瓶的形状是（ ）20．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）A ．π6B ．π34C ．π38D ．π33221．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．1200 B ．1500 C ．1800 D ．240022．体积相等的球和正方体，它们的表面积的大小关系是（ ） A ．S S >球正方体 B ．=S S 球正方体C ．S S <球正方体D ．不能确定。