第一章空间直线、平面平行垂直一、考纲解读1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.二、命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力. 平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.三、知识点精讲(一).直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平行，记作l∥α2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）表8-9文字语言图形语言符号语言线∥线⇒线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行11l ll llααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥面∥面⇒线∥面如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）表8-10文字语言图形语言符号语言线∥面⇒线∥线如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行ll l llαβαβ⎫⎪'⊂⇒⎬⎪'=⎭∥∥(二).两个平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面α和β,若αβφ=,则α∥β2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）表8-11文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面⇒面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行,,a b a b Pαα⊂⊂=a bββαβ⇒∥，∥∥线⊥面⇒面∥面如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行llααβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥β3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表8-12文字语言图形语言符号语言面//面⇒线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒////.a a bbαβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭线面平行”）面//面⇒线⊥面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//llαββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭(三).线面垂直1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）表1文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的,a ba llb la b Pαα⊂⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪=⎭两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直βα_b_a_a βα_ab_3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）表2文字语言图形语言符号语言_ab_文字语言图形语言符号语言_a βα线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直,l a l aαα⊥⊂⇒⊥(四).斜线在平面内的射影 1.斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足. 2.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.00,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦PA αA PO αO AO PA αPAO ∠PAα(五).平面与平面垂直 1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，，则）l αβ--l O O αβl OA OB OA OB AOB ∠[]0,πCD αβ=CD γ⊥AB αγ=BE βγ=AB BE ⊥αβ⊥一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直αβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥bbβα_b4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直ββαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥babba βα_b_a四、思路小结(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面图0（1） 证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2） 证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3） 证明线线平行的常用方法：○1利用直线和平面平行的判定定理；○2利用平行公理； (二).证明空间中直线、平面的垂直关系线线线面面面 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥,a b a b αα⊥⊂⇒⊥⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b b c P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥,a a βααβ⊥⊂⇒⊥性质性质性质性质性质 判定判定 判定 判定 判定 线∥面 线∥线面∥面线⊥面 线⊥线面⊥面图 3空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置. 五、解答题题型总结核心考点一：平行证明【例1】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示．求证：//AN MBD 平面．原图：连结AC 交BD 于O ，连结OM ，∵底面ABCD 为矩形，∴O 为AC 的中点， ∵M N 、为侧棱PC 的三等分点， ∴CM MN =，∴//OM AN ，∵OM ⊂平面MBD ，AN ⊄平面MBD ， ∴AN ∥平面MBD ．【例2】已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，F 为棱1BB 的中点，M 为体对角线1AC 的中点． 求证：直线MF ∥平面ABCD ．ABC D MN PPN MD CBAO原图：【解析】法一：延长1C F 交CB 的延长线于点N ，连接AN ．因为F 是1BB 的中点，所以F 为1C N 的中点，B 为CN 的中点． 又M 是线段1AC 的中点，故MF AN ∥． 又MF ⊄平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ． ∴MF ∥平面ABCD ．法二：（可将图形调整一下，看得会更明显） 连结1B D ，BD ，由11AD B C ∥，11AD B C =，∴点M 平分线段1B D ，又点F 平分线段1B B ，∴MF BD ∥． 又BD ⊂面ABCD ，MF ⊄面ABCD ， ∴直线MF ∥平面ABCD ．【例3】长方体1111ABCD A B C D -中，点1P BB ∈（异于B 、1B ），1P A B A M =，1PC BC N =，求证：MN ∥平面ABCD ． 【解析】 法一： ∵1PBM AA M △∽△，∴1PM PBMA AA =． ∵1PBN CC N △∽△，∴1PN PBNC CC =D 1A 1B 1C 1M ABC DF NFMD 1C 1B 1A 1DC BAFMD 1C 1B 1A 1D CBAABCD A 1B 1C 1D 1O又∵11CC AA =，∴PM PNMA NC=，∴AC MN ∥， 又MN ⊄面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴MN ∥面ABCD ． 法二：可利用直线与平面的性质定理证明． 连结AC 、11A C ，长方体中AC ∥面11A C B ，AC ⊂面ACP ，又1A B PA M =，1PC BC N =， ∴面ACP面11A C B MN =，∴AC MN ∥，又MN ⊄面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴MN ∥面ABCD ．核心考点二：垂直证明【例1】如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形， 且1160A AB A AD ∠=∠=︒，求证：1CC BD ⊥．原图：∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥DC BAD 1C 1B 1A 1NM P A 1D 1C 1B 1B CDAQP A BCDMN 连结BD ，AC 交于点O ，连结1A B ，1A D ∵1160A AB A AD ∠=∠=︒，由11A AD A AB △≌△可知， ∴1A BD △为等腰三角形，又BO OD =，∴1AO BD ⊥．又1AC AO O =， ∴BD ⊥面1A AO ，又11AA CC ∥，且1CC ⊂面1A AO ， ∴1CC BD ⊥．【例2】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PC 、AB 的中点．若45PDA ∠=︒，求证：MN ⊥面PCD ．【追问】设2AB AD =，则PC ⊥面DMN ．原图：法一：取PD 中点Q ，连结AQ ，MQ ，则12MQ CD ∥； ∴MQ NA ∥，∴ANMQ 是平行四边形；∵PA ⊥底面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，∴CD PA ⊥；又由底面是矩形有CD AD ⊥，∴CD ⊥面PAD ； 又AQ ⊂面PAD ，∴AQ CD ⊥；又∵45PDA ∠=︒，∴APD △是等腰直角三角形；NMDCBA PRPABCD MN又PQ QD =，∴AQ PD ⊥； 又CD PD D =，AQ ⊥面PCD ； 又MN AQ ∥，∴MN ⊥面PCD ． 法二：先完全仿照法一可证明CD ⊥面PAD ； 取CD 中点R ，连接MR 、NR 、PN 、NC ； 则MR PD ∥，NR AD ∥，∴面MRN ∥面PDA ； ∴CD ⊥面MRN ，∴MN CD ⊥； ∵45PDA ∠=︒，∴PA AD =， 又BC AD =，∴PA BC =，又AN BN =，且90PAN CBN ∠=∠=︒， ∴根据三角形全等可知PN NC =； 又PM MC =，∴MN PC ⊥； ∵CD PC C =，∴MN ⊥面PCD ． 【追问】∵45PDA ∠=︒，PA AD ⊥，∴2PD AD =又2AB AD =，∴PD AB CD ==，即PCD △是等腰三角形． ∵M 是PC 的中点，∴DM PC ⊥．由例题知MN PC ⊥，结合MN DM M =，得PC ⊥面DMN ．【例3】(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB ,AB 1⊥B 1C 1. 求证:(1)AB ∥平面A 1B 1C ;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.【例4】如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=,DF=,得cos∠BDF=,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.【例5】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.【例6】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.(1)证明:AD⊥平面P AC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.∵AC⊂平面P AC,PO⊂平面P AC,且AC∩PO=O,∴AD⊥平面P AC.(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.【例7】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面P AD⊥平面ABCD,P A⊥PD,P A=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面P AB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.证明(1)∵P A=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面P AD.∴AB⊥PD.又P A⊥PD,P A∩AB=A,∴PD⊥平面P AB.∵PD⊂平面PCD,∴平面P AB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.【例8】如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D是BN的中点.求证:(1)MD∥平面P AC;(2)平面ABN⊥平面PMC.3.证明(1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,所以MD∥AN.又因为AN⊂平面P AC,MD⊄平面P AC,所以MD∥平面P AC.(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB⊂平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.。
