3mjt-上海市曹杨二中2019-2020学年上学期高二期末考试数学试题(简答)

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______.2．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 3．已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图A B C ，'''则A B C '''的面积为_________.4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为________5．正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.6．设正三棱锥V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.7．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=，，，则ΔBCD 是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)．9．设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.10．如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.11．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．12．如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）．二、单选题13．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中真命题的编号是（ ） A ．③④B ．①②C ．①③④D ．①④14．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．116．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的（ ） A ．棱长 B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离三、解答题17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证BD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB 求异面直线PB 与AC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．18．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1A C 与下底面所成角的大小为60°.(1)求三棱锥1A ACB -的体积； (2)求异面直线1A B 与OC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，2AC BC ==，1CC AC ＞，异面直线1AC 与1BA 所成角大小为arccos 10(1)求三棱柱111ABC A B C -的高；(2)设D 为线段11A B 的中点,求二面角11A C D A --的大小(结果用反三角函数表示)； (3)求点1B 到平面1AC D 的距离.20．已知正三棱锥A BCD -的底面边长为3，侧棱长为2，E 为棱BC 的中点．(1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求三棱锥A BCD -的体积；(3)在三棱锥A BCD -的外接球上,求A 、B 两点间的球面距离．21．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)． (1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的几何意义．参考答案1．相交或异面 【解析】 【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交， //AB DC ，1ABAA A =，DC 与1AA 异面，∴直线//a b ，b c A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面 【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 2．15π 【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．3【分析】由已知中正ABC ∆的边长为1，可得正ABC ∆的面积，进而根据ABC ∆的直观图△A B C '''的面积S '=，可得答案． 【详解】 解：正ABC ∆的边长为1，故正ABC ∆的面积231S ==设ABC ∆的直观图△A B C '''的面积为S '则36S '==【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S '与原图面积S 之间的关系S '=，是解答的关键． 4．32 【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积. 【详解】四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱∴四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD∴直线1B C 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠= 1224BB BC AB ∴=== ∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32 【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题. 5．94π 【分析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD =而经过点D 的球O 的截面，当截面与OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值． 【详解】解：设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上， 1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，1O C =又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，1112O D O C ==Rt ∴△1OO D 中，OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径32r ==，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为：94π． 【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题． 6．45︒ 【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案． 【详解】 解：如图，三棱锥V ABC -是正三棱锥，V ∴在底面ABC ∆上的投影为ABC ∆的中心O ，连接VO ，AO ，则VAO ∠即为侧棱VA 与底面ABC ∆所成的角，三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为 高2VO =，则底面三角形一边BC 上的高3AD =， 2AO ∴=，2tan 12VO VAO AO ∴∠===． ∴侧棱与底面所成角的大小为45︒．故答案为：45︒ 【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题． 7．必要不充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α， 向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件， 故答案为：必要不充分 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键． 8．锐角 【分析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角． 【详解】 解：22()()0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=>，∴cos 0||||BC BDB BC BD ⋅=>⋅,故B 是锐角，同理D ∠，C ∠都是锐角，故BCD ∆是锐角三角形， 故答案为：锐角 【点睛】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，属于基础题． 9．23R π 【分析】甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离． 【详解】由于甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上， 它们的纬度差是：120︒，就是大圆周的13则甲、乙两地球面距离为：23R π 故答案为：23R π 【点睛】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．103 【分析】取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，折起后的图形中，2DE BE ==，又知BD a =，由此三角形BDE 三边已知，求出BED ∠，解出三角形BDE 的面积，可求得三棱锥D ABC -的体积。

上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程是______.3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9.1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10.已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11.已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12.已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A.1个B.2个C. 3个D.4个16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.10. 5052 11. 5 12. ①③二、选择题 13-16：BCBB 三、解答题17.32z i =+或12z i =-+. 18.()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=.21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22.椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎫⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； （3）由（2）知，2222212i m x x k-=+， 而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT ∆∆⇒⋅==:.。

上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程为________．3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______. 5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______. 9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．10.已知一族双曲线22:2019n n E x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.11.已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标绝对值最大．12.已知椭圆C：)222106x y m m +=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP 最大值为6，其中正确命题的序号是______. 二、选择题 13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A. 43B. 5C. 5D. 3215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 16.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.172 D. 10三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221i z i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5. .（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 的距离是13时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C 的参数方程是222412t x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程； （2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.。

2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 【答案】B【解析】先化简条件“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”，结合k 的范围进行判定. 【详解】因为方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；因为211k k -<<-⇒<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.2．双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A ．BCD ．2【答案】C【解析】根据双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直可求k ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知0k >，因为双曲线221kx y -=的渐近线为y =，且一条渐近线与直线210x y ++=垂直，12=，即14k =；此时双曲线为2214x y -=，224,5a c ==,. 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确,,a b c 的关系式，或者,,a b c 的值，侧重考查数学运算的核心素养.3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得. 【详解】对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得()()1122220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故②不正确； 对于③：当0z =时，满足22z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.二、填空题5．若复数()1231i z i +=-，则z =______.【解析】先化简求解z ，然后再求解模长. 【详解】因为()1231i z i +=-，所以()()()()3i 112i 3i 155i1i 12i 12i 12i 5z ---+====+++-，所以z ==【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．抛物线2y x =的准线方程为________．【答案】14x =-【解析】抛物线2y x =的准线方程为14x =-；故填14x =-. 7．椭圆2236x y +=的焦距是______. 【答案】4【解析】先把椭圆方程化为标准形式，结合,,a b c 的关系可求焦距. 【详解】2236x y +=可化为22162x y +=，所以226,2a b ==，因为2224c a b =-=，所以2c =，焦距24c =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的方程求解焦距，从给定的方程中求解,,a b c 是关键，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.【答案】1【解析】根据集合相等的含义，分别求解复数,a b ，然后可求ab . 【详解】因为1b b ≠+，{}{}2,,1a b a b -=+，所以21a b b a-=+⎧⎨=⎩， 即有210a a ++=，解得12212a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或12212a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 所以1ab =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.9．计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______. 【答案】56i +【解析】先求解n i ，然后再根据复数的加法规则进行求解. 【详解】因为2349i 1,i i,i 1,,i i =-=-==L ，所以23912i 3i 4i 10i 12i 34i 10i =5+6i ++++⋅⋅⋅+=+--+⋅⋅⋅+.故答案为：56i +. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确4414243i 1,i i,i 1,i i nn n n +++===-=-是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______. 【答案】[)4,+∞【解析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得12y y +，然后把PQ 用12y y +表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线:1l x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得2440y ty --=，12124,4y y t y y +==-，22112212()41441P y Q x x x x t y t ++=++===++++；因为20t ≥，所以4PQ ≥. 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】(-∞【解析】把所求问题转化为求点P 到直线2y x =+的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，而直线2y x =+与y x =平行，平行线间的距离d ==由题意可知点P 到直线2y x =+；所以m ≤故答案为：(-∞. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.12．平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.【答案】【解析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求. 【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由1,2a c ==可得23b =，所以机器人的运动轨迹方程为221(1)3y x x -=≥；直线3(y k x -=，即(3y k x =+，联立22(313y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩得2222(3)6)3120k x k k x -+-+--=， 当230k -=时，若k =则此时直线(3y k x =-+=恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若k =.当230k -≠时，由∆<0得22226)4(3312)0k k k -----<，k <<综上可得k的取值范围是.故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______． 【答案】3 【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ∆为正三角形，且PQ x ⊥轴，设2PF t =，可得1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.【详解】因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上，则1PF PQ =，160F PQ ∠=oQ ，1F PQ ∴∆为正三角形，11F Q F P ∴=，又1212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=Q ， 所以PQ x ⊥轴，设2PF t =，则1122,3PF t F F t=， 即2332323323c c t c t e a a t a t⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩，故答案为33. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．14．已知一族双曲线22:2019n nE x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与nE 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.【答案】5052【解析】设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】 设()00,n A x y ， 双曲线22:2019n nE x y -=的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C，则n n n n A B A C ==易知n n n A B C V为直角三角形，22001=2420194n n nA B C x y nS -==⨯V 即20194n na =⨯为等差数列，其前2019项的和为()12019201912019201920195052019420194=222a a S ⎛⎫+⨯ ⎪+⨯⨯⨯⎝⎭==【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.15．已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u v =2PB u u u v ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.16．已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______. 【答案】①③【解析】利用椭圆的定义先求解P 的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确. 【详解】由题意，点P 在椭圆C ：)222106x y m m+=>>上，所以1212PF PF PB PB +=+=所以点P 也在以12,B B 为焦点的椭圆222166y x m+=-上， 所以点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆222166y x m +=-的交点，共4个，故①正确，②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=， 22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，所以OP ，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知复数z 满足2274z z i -=+，求z . 【答案】32z i =+或12z i =-+.【解析】设出复数,,z a bi a b R =+∈，代入已知条件，利用复数相等的含义可求. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，222i,z z a a b b =-=+， 因为2274z z i -=+，所以222(i)=7+4i a a b b +--，2227a b a +-=且24b =，解得2b =，1a =-或3，所以32z i =+或12z i =-+. 【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -55≥. 【解析】（1）先对复数进行化简，然后结合z 是纯虚数可求m 的值； （2）结合复数的模长公式，表示出1z -，利用二次函数的知识求解. 【详解】（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，22214(1)521z m m m m -=+-=-+，因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45； 所以1z -25≥. 【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 13弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）(22,22k ∈-. 【解析】（1）根据题意可得2,6a c a c -=+=，从而可求椭圆C 的标准方程； （2）根据与轨道中心O 13P 的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线320kx y k -+-=的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于,,a b c 的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20．已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）.（1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）22240x x y y --+=. 【解析】（1）先把24x t=+12t t =+，然后两式平方相减可得曲线C 的普通方程；（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求. 【详解】 （1）因为24x t=+12t t =+，所以有2222221121,144t t x t y t =++=+-，两式相减可得2222x y -=，即2212y x -=.（2）设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，则222212121,122y y x x -=-=，两式相减得12121212()()()()02y y y y x x x x -+-+-=，即121212122()x x y y y y x x +-=+-. 因为M 为PQ 的中点，所以12122,2x x x y y y +=+=，因为,M A 均在直线上，所以121212y y y x x x --=--，整理可得22240x x y y --+=，经检验知符合题意，即线段PQ 中点M 的轨迹方程22240x x y y --+=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养. 21．由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =;（2）存在实数12k =+QBA PBA ∠=∠. 【解析】（1）通过点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上可求a 的值；（2）根据题意得出1QB QA k k ⋅=，结合斜率公式即可求出k 的值. 【详解】（1）由题意易知，点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上，所以()2321a =-，即1a =.（2）假设存在，由题意可知QBA PBA ∠=∠，90APB ∠=︒， 所以90QBA BAP ∠+∠=︒，所以1QB QA k k ⋅=.设()200,1Q x x -，其中00x >，22000000111,111QBQA x x k x k x x x --==-==++-， 所以2011QB QA k k x ⋅=-=， 因为00,x >所以0x =所以1QA k k ==+.故存在实数实数1k =+QBA PBA ∠=∠. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围； （3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=;（2）λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U ;（3）是定值，23AT BT ⋅=. 【解析】（1）把两点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -代入方程可得椭圆C 的方程； （2）先根据直线和圆相切，求出223220m k --=，然后联立方程，结合韦达定理求出1212,x x y y ++，结合平行四边形性质和Q 在椭圆上可得实数λ的取值范围； （3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把AT BT ⋅转化为AT TB ⋅u u u r u u r，结合向量运算及韦达定理可求. 【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -， 所以222121411a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l ：y kx m =+与圆2223x y +=3=， 即223220m k --=①.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ()()1212y y kx m kx m =++++()122x x m k =++2212mk =+.由向量加法的平行四边形法则，得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r， 因为,OP OQ λ=u u u r u u u r 所以OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r .由题意易知0λ≠，设00(,)Q x y ，则()()()112200,,,x y x y x y λ+=，()()0121211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即()()0202412 212km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以()()222242221212kmmk k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得()222412m k λ=+②由>0∆可得2212k m +>，所以2224m m λ>， 204λ<<，即20λ-<<或02λ<<.由①②可得2228(1)3(12)k k λ+=+，令212t k =+，则2811()322t λ=+， 因为0,t ≥所以24833λ<≤，解得33λ-≤<-或33λ<≤，综上可得λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U . （3）由（2）知223220m k --=，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++222212m k k -=+设33(,)T x y ，则33y kx m =+，由T 为切点可知OT AB ⊥,所以330x ky +=， 解得321kmx k =-+. ()()31312323,,AT BT AT TB x x y y x x y y ⋅=⋅=--⋅--u u u r u u r()()31212121222333x x x y x x x y y y y y ++--+=--22332243222123my kmx m k k --++=-+ 22232222()22221123123kmm km m kmx k k k ---+=-=-++ 222242213333m k =-=-=+.所以AT BT 是定值且定值为23. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.。

2019-2020年曹二高二上10月月考试卷一、填空题.1.在数列－1，0，211298n n-L ，，，，…中，0.08是它的第________项． 【答案】10 【分析】根据通项公式列方程，解得结果. 【详解】令22n n-＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.2.若数列{}n a 满足1*1204,2,nn a a a n n N -=-⎧⎨=+≥∈⎩，则该数列从第____项起为正值； 【答案】7 【分析】根据2n ≥时的递推公式可知,该数列为等差数列,由1a 和d 可得该等差数列的通项公式,进而得解.【详解】因为当2n ≥时满足14n n a a -=+ 即14n n a a --=,所以数列{}n a 为等差数列,120a =-,4d =所以通项公式为()11n a a n d +-=()2014n =-+-⨯424n =-所以当4240n ->时,解得6n > 即从第7项开始,数列{}n a 为正值 故答案为:7【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.3.若3a > ，则113lim 3n nn n n a a++→∞-+=______； 【答案】1a- 【分析】对要求极限的数列分子分母同时除以n a ,根据指数函数的性质即可求得极限值. 【详解】对数列分子分母同时除以n a 可得113lim 3n nn n n a a++→∞-+ 31lim 33nn n aa a →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭因为3a >所以301a <<,根据指数函数的性质可知当n →∞时, 30na ⎛⎫→ ⎪⎝⎭所以31011lim 033nn n a a a a a →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-+⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1a-【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题. 4.观察下式：211=，22343++=， 2345675++++=，2456789107++++++=，则可归纳出一般结论：________．【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L根据所给式子，归纳第n 个式子左边应该为()()()1232n n n n +++++⋯+-，右边为()221n -，所以填()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-.5.已知等差数列{}n a 中，1591317117a a a a a -+-+=，则315a a +=_____； 【答案】234 【分析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得9a ,进而可求得315a a +. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列 由等差中项定义可知, 117513a a a a +=+所以159********a a a a a a -+-+==而315922117234a a a +==⨯=故答案为:234【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题. 6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,n n a a S +=-=，则n a =______； 【答案】122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥ 【分析】根据条件1n n a S +=,通过递推法,然后作差即可证明数列{}n a 为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为1n n a S += 当2n ≥时,1nn a S -=两式相减可得11n nn n a a S S +--=-即1n n n a a a +-=,变形后可得12n na a += 因为1n n a S +=,且12a =-所以当1n =时, 2112a S a ==-=所以数列{}n a 从第二项开始是以22a =-,2q =为公比的等比数列所以21222n n n a --=-⨯=-而12a =-不满足上式所以122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥故答案为: 122n --⎧⎨-⎩12n n =≥ 【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题. 7.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若10a >，且1520S S =，则当n =____时，n S 取得最大值； 【答案】17或18 【分析】根据等差数列1520S S =,可求得180a =,结合10a >可判断出等差数列为递减数列,进而可得n S 取得最大值时n 的值.【详解】因为{}n a 为等差数列,且1520S S = 所以16171819200a a a a a ++++=根据等差中项的性质可得180a =因为10a >所以等差数列{}n a 为递减数列, 180a =,从第19项开始为负数所以当17n =或18n =时, n S 取得最大值故答案为:17或18【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.8.若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n 次分裂之后共有______个细胞. 【答案】124n -+ 【分析】设n 次分类后共有n a 个细胞,则根据题意可得递推公式()122n n a a +=-,通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设n 次分类后共有n a 个细胞 则第1n +次分裂后共有细胞个数为()122n n a a +=-即124n n a a +=-,且15a =对数列等式两端同时减去4,可得()1424n n a a +-=-即1424n n a a +-=-,14541a -=-= 所以数列{}4n a -是以141a -=为首项,2q =为公比的等比数列所以1412n na --=⨯,化简可得124n n a -=+即n 次分裂之后共有124n -+个细胞 故答案为: 124n -+【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.9.已知数列{}n a 满足：112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2019a =_________；【答案】37【分析】通过列举法,可以根据数列{}n a 的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得2019a .【详解】因为数列{}n a 中167a =,满足112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩所以2165212177a a =-=⨯-= 3253212177a a =-=⨯-=43362277a a ==⨯=546521277a a =-=⨯= 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列 所以20196733337a a a ⨯=== 故答案为:37【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.10.平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成()f k 个区域，则1k +条直线把平面分成的区域数(1)()f k f k +=+____________. 【答案】1k +第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即()()1?1f k f k k +=++。

曹杨二中高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．三个平面最多把空间分成 个部分．2．若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += ． 3．若行列式31227314k--中元素1-的代数余子式的值为5，则k = ．4．已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为 ． 5．已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3A B =，则外接球面上 两点A 、B 间的球面距离是 ．6．在正方体1111A BCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为 ． 7．若正四棱锥的底面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为 ． 8．已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为 ． 9．若数列{}n a 满足112a =，212323,n n a a a na n a n *+++⋅⋅⋅+=∈N ，则20a = ． 10．某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1，2，3，则这条棱的长为 ．11．对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若1233n n n a ⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为 ．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里， 母线长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公里．为了发展旅游业， 要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后 首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里．二、选择题13．在学习等差数列时，我们由1121310,1,2,a a d a a d a a d =+=+=+L ，得到等差数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ） A ．不完全归纳法 B ．完全归纳法 C ．数学归纳法 D ．分析法14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．4- B ．6 C ．14 D ．1815．已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，P 是棱SA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ<16．已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面,αβ上 的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，则m 与n 的位置关系是（ ） A ．可能垂直，但不可能平行 B ．可能平行，但不可能垂直 C ．可能垂直，也可能平行 D ．既不可能垂直，也不可能平行三、解答题17．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米．（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用．（结果精确到1元）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3A D =，3PA =，AD BC ∥，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒．（1）求异面直线PC 与A D 所成角的大小； （2）求点A 到平面PCD 的距离．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*461,n n S n a n =--∈N ． （1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由．20．如图，在三棱柱111A BC A B C -中，12A C BC A B ===，1A B ⊥平面ABC ，1A C A C ⊥，,D E 分别是11,A C B C 的中点． （1）求证：11A C B C ⊥； （2）求证：DE ∥平面11A A B B ；（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小．21．对于给定的正整数(4)n n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤．（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，(0)d d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和．参考答案一、填空题1．8 2．12 3．4- 4．3π 5．23π6．2 7．24 82 9．35107 11．724 12．18 【第5题解析】由题意，记外接球球心为O ，半径为R ，则112R OC OD CD ====，在AOB △中，应用余弦定理，可求出球心角23A OB π∠=，从而A 、B 间的球面距离为»23AB A OB R π=∠⋅=． 【第8题解析】取AB 、CD 的中点分别为M 、N ，易证M N AB ⊥且M N CD ⊥， 则M N 即为异面直线AB 与CD 间的距离，计算得2M N =． 【第9题解析】记n n b na =，其前n 项和为n S ， 则11111(1)(1)nnn n n n n n n S nb b n b nb b b S n b +++++=⎧⇒=+-⇒=⎨=+⎩， ∴{}n b 为常数列，112012123112205n n b b a a a n ==⋅=⇒=⇒==． 【第11题解析】223133n n n ⎧⎪⎧⎫⎪=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，1121231333nn n n n n a n ++⎧⎪⎧⎫⎪=⋅=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，其奇数项和偶数项分别构成公比为211()39=的等比数列，∴其各项和为12712419a a S +==-． 【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ， 记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，¼2102AA A OA SA A OA ππ'''=∠⋅=⋅⇒∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+=，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的 距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ， 由Rt Rt SA B H SB '△∽△，可求出18HB =．二、选择题13．A 14．B 15．B 16．D三、解答题17．（1）32.1米；（2）220元．18．（1）；（2． 19．（1）114611461n n n n S n a S n a ++=--⎧⎨=+--⎩，作差得14155n n a a +=+，∴14111455115n n n n a a a a ++--==--， 对461n n S n a =--，令1n =，可求出112a =-， ∴数列{1}n a -是以13-为首项，公比为45的等比数列， ∴141135n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，从而141315n n a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭；（2）45101log 12.513n a n <⇒<+≈，∴当12n ≤时，0n a <，当13n ≥时，0n a >， ∴当12n =时，n S 取最小值．20．（1）∵1A B ⊥平面ABC 且A C Ü平面ABC ，∴1A B A C ⊥，又1A C A C ⊥且11,A B A C Ü平面11A B C ，∴A C ⊥平面11A B C ，∴11A C B C ⊥；（2）取AB 中点M ，联结1,DM M B ，可证1EB DM ∥，∴四边形1EDM B 为平行四边形， ∴1DE M B ∥，又1M B Ü平面11A A B B ，DE ⊄平面11A A B B ，∴DE ∥平面11A A B B ； （3）∵11A C B C ⊥且11BC B C ∥，∴AC BC ⊥，后续可建立空间直角坐标系进行求解， 具体过程略，直线DE 与平面11BB C C21．2019黄浦区一模21题【注】①本题答案非标准答案；②第（3）小问没有给出元素互异性证明！！！ （1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）由题意，111(1)(1)2(2)i j a a a i d a j d a i j d +=+-++-=++-， 又{2,3,4,,2}i j n +∈L 且0d ≠，∴i j a a +共有21n -个不同的值， 即集合B 中的元素个数为21n -；（3）i j a a +的所有不同的取值恰能得到如图的矩阵111213122232333n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++⎛⎫⎪+++⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭L L LLL ，即集合B 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=L 个，考虑到123,,,,n a a a a L 出现的次数均相同，其结果为(1)221n n n n+⨯=+， ∴集合B 中所有元素的和为11233(13)(1)(33)(1)()(1)132n n n n n a a a a n +-+-+++++=+=-L ．。

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线 【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确； 命题B 显然正确； 若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。

2018-2019学年曹二高二上期末数学试卷2019.1一、填空题：1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位值关系是________； 答案：平行或异面2、若两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为____； 答案：493、若正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线AC 和'BD 所成角的大小为_____； 答案：2π 4、若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；答案：2π5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 答案：1636、若增广矩阵1111a a -⎛⎫⎪-⎝⎭对应的线性方程组为无穷多紹，则实数a 的值为________；答案：-17、有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，12为公比的等比数列，设它们的体积依次为12,,,n V V V ，则()12lim n n V V V →∞+++=__________；答案：878、已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）. 答案：直角9、在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________； 答案：3π10的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD ，其三组对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______；答案：211、已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心M 且与平面α呈45°二面角的平面β截该球面得圆N ，若球的半径为4，圆M 的面积为12π，则圆N 的面积为__________； 答案：14π 12、如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，如顶点,B C 到平面α的距离分别为D 到平面α的距离为___________；二、选择题13、“直线l 垂直于ABC ∆的边,AB AC ’’是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件答案：A14、如果三棱锥S ABC -的底面不是等比三角形，网组对棱互相垂直，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的（）A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心 答案：B15、底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A 、一点时增三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥 答案：D16、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱长一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为（）A. 0B.3C.4D.6 答案：B三、解答题：17、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求三棱锥1D A BE -的体积； （2）求异面直线BE 与1CC 所成角大小.解：（1）因为11D A BE B A DE V V --=，121224A DEa a Sa ==，并且1AB A DE ⊥平面， 所以11231133412D A BE A DE a a V a S a -=⋅==（2）因为11//CC DD ，所以异面直线BE 与1CC 所成角为直线BE 与直线1DD所成角，即BED ∠，因为2a BE =，BD ==，所以32a BE ==，所以12332aCOS BED a ∠==，所以 1arccos()3BED ∠=，所以异面直线BE 与1CC 所成角为1arccos()3.18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。

曹杨二中高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 1-的平方根为2. 复数2i iz +=的虚部为 3. 抛物线2y x =的焦点到准线的距离为 4. 若复数z 满足||1z =，则|1i |z -+的最大值是5. 若双曲线的焦点在x 轴上，焦距为4，且过点(2,3)P ，则双曲线的标准方程为6. 用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任意相邻两个数码的奇偶性都不同，则这样的六位数的个数是7. 已知直线1l ：10mx y +-=，2l ：(2)20m x my ++-=，若1l 与2l 平行，则实数m 的值为8. 已知方程220x x p -+=的两个虚根为α、β，且||4αβ-=，则实数p =9. 已知直线l 过点(0,5)，且它的一个方向向量为（1,2），则原点O 到直线l 的距离为10. 设6523001230(1)x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+，其中01230,,,,a a a a ⋅⋅⋅是各项的系数，则在01230,,,,a a a a ⋅⋅⋅这31个系数中，值为零的个数为11. 在直角坐标系中，已知(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12. 从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①a 、b 都至少属于其中一个集合；②对选出的两个子集A 、B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有 种不同的选法二. 选择题13. 若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ）A. 2b =, 5c =B. 2b =-,5c =C. 2b =-,3c =-D. 2b =,1c =-14. 若m 是小于10的正整数，则(15)(16)(20)m m m --⋅⋅⋅-等于（ ）A. 515m P -B. 1520m m P --C. 520m P -D. 620m P -15. 已知曲线C :421x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在复数列{}n z 中，1816i z =+，1i 2n n z z +=⋅()n *∈N ，设n z 在复平面上对应的点为n Z ， 则（ ） A. 存在点M ，对任意的正整数n ，都满足||10n MZ ≤B. 不存在点M ，对任意的正整数n ，都满足||55n MZ ≤C. 存在无数个点M ，对任意的正整数n ，都满足||65n MZ ≤D. 存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足||85n MZ ≤三. 解答题17. （1）已知2||()i 32i z z z ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z -为纯虚数，且|i |1z -=，求复数z .18. 已知41(2)n x x+的展开式的二项式系数之和为1024.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.19. 如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇，若有一条竖直线段的为第一层，有二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第n 层的第m 个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为(,)A n m .（1）求(2,1)A ，(3,1)A ，(4,2)A 的值；（2）猜想(,)A n m 的表达式（不必证明），并求不等式(9,)28A m ≤的解集.20. 已知复数z 满足|1||1|z z -++=z 在复平面上对应点的轨迹为C ，A 、B 分别 是曲线C 的上、下顶点，M 是曲线C 上异于A 、B 的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若M 在第一象限，且||OM =，求M 的坐标； （3）过点M 作斜率为1的直线分别交曲线C 于另一点N ，交y 轴于点D ，求证：存在常数λ，使得||||||||DM DN DA DB λ⋅=⋅恒成立，并求出λ的值.21. 已知抛物线Γ：24y x =，F 为其焦点，过F 的直线l 与抛物线Γ交于A 、B 两点.（1）若2AF FB =u u u r u u u r ，求B 点的坐标；（2）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于M 点，求证：||||AB FM 为定值； （3）设(1,2)P ，直线PA 、PB 分别与抛物线的准线交于点S 、T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.参考答案一. 填空题1.i ±2.2-3.12 4. 1+5.2213y x -= 6. 72 7.1- 8. 510. 10 11. (,)-∞+∞U 12. 32二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）1-±；（2）2i z =，1i z =-+，1i z =+.18.（1）180；（2）2515360x .19.（1）(2,1)1A =，(3,1)1A =，(4,2)3A =；（2）11m n C --，{1,2,3,7,8,9}.20.（1）2212x y +=；（2）；（3）43. 21.（1）1(,1)4±；（2）2；（3）(0,0)，(2,0)-.。

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l P 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．已知正方体''''ABCD A B C D -记过点A 且与三直线AB AD 、 、'AA 所成的角都相等的直线的条数为m ,过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则（ ）A.11m n ==，B.41m n ==，C.34m n ==，D.44m n ==，【答案】D【解析】根据正方体的结构特征、空间中线线角、线面角定义,即可得到答案.【详解】作图如下:过点A 与三条直线'AB AD AA 、、所成角都相等的直线有：'AC ,过A 作'BD 的平行线,过A 作'A C 的平行线，过A 作'B D 的平行线,共4条,故4m =；过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线'AC ;第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条；故4n =.故选：D【点睛】本题考查空间直线与平面所成角和直线与直线所成角;结合正方体的结构特征,准确找出符合题意的线线角和线面角是求解本题的关键;注重考查学生的空间想象能力;本题属于抽象型、难度大型试题.3．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为1，过顶点A 作一平面α与侧面11BCC B 交于EF ，且EF ∥BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角的大小为06x x π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭＜，四边形BCEF 面积为y ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】先作出平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角为x ，如图为GAH ∠,在直角三角形AGH 中用x ,及3AH =表示出GH ,再利用四边形BCEF 面积为y BC GH =⨯求出()f x ,根据解析式，作出简图，即可得到答案. 【详解】作图如下：过A 作AM BC P ,,H G 分别是,BC EF 中点,则AH BC ⊥,所以AH AM ⊥,在等腰三角形AEF ∆中,AG EF ⊥，//EF BC Q ,AG AM ∴⊥,所以GAH ∠是平面α与底面ABC 所成角的平面角.GAH x ∴∠=,tan GH x AH=, 3GH x ∴=,所以四边形BCEF 面积为：()y f x =BC GH =⨯23tan x =根据正切函数图象可知C 符合.故选:C【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明GAH ∠是平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.4．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在截面1A DB 上,则线段AP 的最小值为（ ）A.13B.12C.3D.22【答案】C 【解析】由已知可得,1AC ⊥平面1A DB ,可得P 为1AC 与截面1A DB 的垂足时线段AP 最小,然后利用等体积法求解即可.【详解】如图所示:连接1AC 交截面1A DB 于P ,由1CC ⊥底面ABCD ,可得,1CC BD ⊥,由AC BD ⊥,可得,BD ⊥面11A ACC ,则1AC BD ⊥.同理可得,11AC A B ⊥,1AC ∴⊥面1A DB ,此时线段AP 最小.由棱长为1,可得等边三角形1A BD ,112A BD S ∆∴==由11-ABD A A A BD V V -=,可得,1111113232AP ⨯⨯⨯⨯=⨯，可得3AP =. 故选:C【点睛】 本题考查点、线、面间距离的计算和线面垂直的判定;利用等体积法间接地求出AP 的距离是求解本题的关键;属于中档题;二、填空题5．直线l 和平面α相交于点A,用集合符号表示_________.【答案】l A α=I【解析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解.【详解】由题意可得,答案为：l A α=I【点睛】本题考查直线与平面相交的符号表示,属于基础题,解题时注意符号的合理运用.6．ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等,那么点P 在平面α内的射影一定是ABC ∆的_______.【答案】外心【解析】由ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等可得,斜线,,PA PB PC 在底面的射影相等;由三角形外心的性质可得是ABC ∆的外心.【详解】作图如下:由题意可得,PA PB PC ==,PO ⊥面ABC ,,,PO OA PO OB PO OC ∴⊥⊥⊥,故POA POB POC ∆≅∆≅∆,OA OB OC ∴==,故答案为:外心【点睛】本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义;属于中档题；三角形外心是三角形外接圆的圆心,亦是三角形三边垂直平分线的交点;其性质:到三角形三个顶点的距离相等.7．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】2R =Q ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得, 2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.8．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l =，15S rl 侧ππ==．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．9．已知地球的半径为R ，在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是 ．(飞机的飞行高度忽略不计) 【答案】3R π【解析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【详解】解：由已知地球半径为R ，则北纬45°的纬线圈半径为2R ， 又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L 2=R =R ， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角∠AOB 3π=， 则A 、B 两地之间的距离是3R π． 故答案为：3R π．【点睛】 本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．10．设α表示平面,a b 、表示直线,给定下列四个命题：①a a b b αα⊥⇒P P ，；②a b a b αα⊥⇒⊥P ，；③a a b b αα⊥⊥⇒P ，；④.a b a b αα⊥⊥⇒P ，其中正确的命题是___________(填序号).【答案】②④【解析】利用线面垂直的判定方法、线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法、性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.【详解】对于①,,a a b α⊥⇒P b 与α平行、相交或b α⊂，故①错误;对于②,a b a α⊥∥，,由直线与平面垂直的性质：两条直线平行,其中一条直线垂直与一个平面,则另外一条直线也垂直此平面.b α∴⊥.故②正确;对于③,,α⊥⊥a a b ,由线面垂直的性质可得,b αP ，或b α⊂,故③错误;对于④,,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两直线平行,a b ∴∥，故④正确;故答案为: ②④【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直的判定、线面垂直的性质和线面平行的判定、线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;11．已知点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点(包括边界)，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________.【解析】建立空间直角坐标系,设(),,0P x y,[](),0,1x y∈.可得,()()22111111222PA PC x x y y x y⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v，即可得出答案. 【详解】如图所示：建立空间直角坐标系.则()()()10,0,0,0,0,1,1,1,1A A C.设(),,0P x y，[](),0,1x y∈.则(),,1PA x y=--u u u v，()1,1,1PC x y=--u u u v.()()111PA PC x x y y∴⋅=----+u u u v u u u v22111222x y⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[],0,1x y∈Q,∴当11,22x y==时,PA PC⋅u u u v u u u v有最小值12.当点P取()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0时,PA PC⋅u u u v u u u v有最大值1.【点睛】本题考在空间直角坐标系中两向量数量积的坐标表示:121212+a b x x y y z z ⋅=+v v 及其取值范围的求解;建立合适的空间直角坐标系是求解本题的关键;着重考查学生的运算能力和知识迁移能力; 属于中档题.12．半径为R 的两个球,其中一个球的球心在另一个球的球面上,则两球的交线长为_____. 【答案】3R π 【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,容易求得CD 的长为3R .从而求得其周长即可.【详解】 将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示:由题意得,,AB R AC R ==，故22232R CD R R ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 所以两球交线所在圆面的半径为3r R =, 所以所求的交线长为3232l R R ππ=⋅=. 故答案为3R π【点睛】 本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力;把空间立体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题.13．已知正四棱锥P ABCD -的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．【答案】255【解析】如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，∴∠EAO为所求二面角的平面角．又EO=12AO=2a，AO=2a，∴AE=10a∴cos∠EAO=255．∴截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是25．14．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】4 3【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． 15．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。

2019-2020学年上海市第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设()()224522z t t t t i =-++++⋅，其中t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） A ．复数z 可能为纯虚数 B ．复数z 可能是实数C ．复数z 在复平面上对应的点在第一象限D ．复数z 在复平面上对应的点在第四象限 【答案】C【分析】根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z 在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.【详解】因为()2245210t t t -+=-+>，()2222110t t t ++=++>， 故ABD 均错误，C 正确. 故选：C.2．已知曲线C 的方程是(),0F x y =，则下列命题中错误的是（ ） A ．不在曲线C 上的点的坐标可以满足方程(),0F x y = B ．曲线C 上的点的坐标都满足方程(),0F x y = C ．坐标不满足方程(),0F x y =的点都不在曲线C 上 D ．不在曲线C 上的点的坐标都不满足方程(),0F x y = 【答案】A【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.【详解】满足方程是(),0F x y =的解对应点都在曲线C 上, 曲线C 上的点的坐标都满足方程，则曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则不在曲线C 上的点的坐标不可能满足方程 0(),F x y =，故A 错误. 故选：A.340y +-=和圆()2cos 022sin 1x y ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=+⎩的位置关系为（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离【答案】B【分析】化为圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，圆()2cos 022sin 1x y ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=+⎩，消去参数，可得22(1)4x y +-=，则圆心坐标为(0,1)，半径为2r，又由圆心到直线340x y +-=的距离为221432(3)1d -==+，可得d r <， 又由圆心不适合直线340x y +-=方程， 所以直线与圆相交但不过圆心. 故选：B.4．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为------------------------------------------------------------------A ．10B ．8C ．45D ．12【答案】A【详解】由题意，可设切线的斜率为k （k 必存在），圆C 的半径为r ，则切线的方程为()1200kx y k x r -+-=≤≤，2121kr r kr k-+-=+，()12y k x -=-，则点,M N的坐标分别为21,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭，()012k -，，且210120k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，，即0k <，所以MON C ∆=二、填空题5．i是虚数单位，1212ii+-的虚部是_______________．【答案】4 5【分析】根据复数的除法运算，化简12341255iii+=-+-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()1212123434 121212555i ii iii i i+++-+===-+--+，可得复数1212ii+-的虚部是45.故答案为：4 5 .6．复数21zi=-（i为虚数单位）的共轭复数是________．【答案】1i-【详解】复数21zi=-()()()21111iii i+==+-+,其共轭复数为1z i=-,故填1i-.7．双曲线2214xy-=的渐近线方程________．【答案】12 y x =±【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214xy-=的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214xy-=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±1 2 x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想8．设P是椭圆22153x y+=上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.【答案】【分析】由椭圆方程求出a ，再根据椭圆的定义可求得结果.【详解】由22153x y +=得25a =，所以a =由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =.故答案为：9．抛物线2x y =的准线方程为_______. 【答案】14y =-【分析】由抛物线方程求出11224p p =⇒=，判断焦点位置，从而可得答案. 【详解】因为抛物线方程为2x y =， 所以11224p p =⇒=， 又因为抛物线焦点在y 轴上， 所以抛物线2x y =的准线方程为14y =-， 故答案为：14y =-. 【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题. 10．已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ． 【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则5=． 故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．11．已知双曲线22:145x y C ，则以双曲线C 的中心为顶点，以双曲线C 的右焦点为焦点的抛物线方程为_______________． 【答案】212y x =【分析】先求解出双曲线的右焦点坐标，然后设抛物线方程22(0)y px p =>，根据抛物线的焦点列式求解p .【详解】由双曲线的方程可得，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，因为抛物线以双曲线C 的右焦点为焦点，所以设抛物线方程为22(0)y px p =>，由32p ，得6p ，所以抛物线方程为212y x =. 故答案为：212y x =.12．已知直线l 过点()1,2且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_______________． 【答案】()1,0【分析】根据截得线段长可求a ，从而可求焦点坐标.【详解】在抛物线24y ax =的方程中令1x =，则y =±4=， 故1a =，所以抛物线的方程为：24y x =，故其焦点坐标为：()1,0.故答案为：()1,0.13．如果双曲线22145x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是1，那么点P 到y 轴的距离是_______________． 【答案】2【分析】由题意可知点P 为双曲线的右顶点，由此可求得点P 到y 轴的距离.【详解】在双曲线22145x y -=中，2a =，b =3c ==，所以，双曲线22145x y -=的右焦点为()3,0F ，而双曲线22145x y -=的右顶点到F 的距离为1，则()2,0P ，因此，点P 到y 轴的距离是2. 故答案为：2.14．设椭圆22162x y +=和双曲线2221x y a-=的公共焦点为1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12F F P S =△_______________． 【答案】2【分析】利用已知条件求出a ，运用椭圆和双曲线的定义，求解三角形的边长，然后求解三角形的面积．【详解】椭圆22162x y +=的焦点坐标(20)，双曲线2221x y a-=的焦点坐标(20)，所以3a =，设1||AF m =，2||AF n =，不妨P 在第一象限， 由椭圆的定义可得26m n +=，① 由双曲线的定义可得23m n -=，② 由①、②，可得63m =+，63n =-，1263626362161cos 32(63)(63)F PF ++++--∠==+-， 所以1222sin F PF ∠=． 所以三角形的面积为：121122sin (63)(63)222mn F PF ∠=⨯+-⨯=．故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用好椭圆与双曲线的定义，然后把问题转化为解三角形问题.15．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 【答案】94【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.【解析】1.新定义；2.直线与曲线的位置关系16．若a ∈R ，直线1:30l x ay a +-=与2:40l ax y a --=交于点P ，点P 的轨迹C 与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，O 为坐标原点（A 、B 异于原点O ），则满足PA PB OA OB -=-的位于第一象限内的点P 坐标为_______________．【答案】7296,2525⎛⎫⎪⎝⎭【分析】分别求得直线1l 过定点(0,3)M ，直线1l 过定点(4,0)N ，且12l l ⊥，根据MP NP ⊥，求得点P 的轨迹方程22325(2)()24x y -+-=，得到(4,0),(0,3)A B ，联立方程组，求得4PA =，再结合两点间的距离公式和圆的方程，联立方程组，即可求得点P 的坐标.【详解】由题意，将直线1:30l x ay a +-=变形为(3)0x a y +-=，由030x y =⎧⎨-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 过定点(0,3)M ，同理可得直线1l 过定点(4,0)N ，且12l l ⊥， 设点P 的坐标为(,)x y ，则MP NP ⊥， 由(,3),(4,)MP x y NP x y =-=-，可得(,3)(4,)(4)(3)0MP NP x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-+-=， 整理得22325(2)()24x y -+-=， 令0y =，可得4x =，令0x =，可得3y =，即(4,0),(0,3)A B , 所以AB 时点P 的轨迹圆的一条直径，则90APB ∠=， 由勾股定理，可得2225PA PB +=，联立方程组22125PA PB OA OB PA PB ⎧-=-=⎪⎨+=⎪⎩ ，解得4,3PA PB ==， 由于点P 在第一象限，则0,0x y >>，由两点间的距离公式，可得222(4)16PA x y =-+=，联立方程组()()22224163252240,0x y x y x y ⎧-+=⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>>⎩，解得7296,2525x y ==，即点P 的坐标为7296(,)2525. 故答案为：7296(,)2525.【点睛】方法点睛：本题解答的关键在于找出直线所过的顶点，以及垂直条件，求得点P 的轨迹方程，以及结合题设条件联立方程组进行求解.三、解答题17．若z 是关于x 的方程2x x 50++=的一个虚根，求z 的值．【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，根据实系数一元二次方程有虚根的情况及系数关系判断5z z ⋅=，得到22a b +，再计算z =即可【详解】设复数(),,z a bi a b R =+∈，因为z 是关于x 的方程2x x 50++=的一个虚根，所以其共轭复数z a bi =-也是该方程的根，根据两根之积5z z ⋅=，可知225a b +=，故z ==18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PA l ⊥，A 为垂足． （1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）若直线AF 的斜率k =PF 的长． 【答案】（1）2:4C y x =，:1l x =-；（2）4．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可求得p 的值，可得出抛物线C 的方程，进而可求得抛物线C 的准线l 的方程；（2）利用斜率公式求出点A 的坐标，由PA l ⊥以及点P 在抛物线C 上可求得点P 的坐标，利用抛物线的定义可求得线段PF 的长．【详解】（1）由于抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，则12p=，可得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线l 的方程为1x =-；（2）设点()1,A t -，则2tk ==-，可得t =，即点(1,A -，设点()00,P x y ，PA l ⊥，则0y =，20034y x ∴==，即点(3,P ，因此，014PF x =+=.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抛物线的定义求焦半径，解题的关键就是求出点P 的坐标，注意到PA l ⊥，可以通过点A 与点P 之间的关系来求解. 19．已知点()3,1在双曲线()222:0C x y aa -=>上．（1）求正数a 的值；（2）求双曲线C 上的动点P 到定点()8,0A 的距离的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）把点()3,1代入双曲线的方程，直接求出a 的值；（2）设点()00,P x y ，由两点的距离公式表示出2PA ，然后化简得关于0x 的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.【详解】（1）由题意，将点()3,1代入双曲线方程得，222318-==a ，又0a >，所以a =（2）由（1）知，228x y -=，设点()00,P x y ，则22008-=x y ，且0≤-x 或0x ≥则()()22222220000000888216562(4)+24=-+=-+-=-+=-PA x y x x x x x ，所以当04x =时，2PA 取得最小值为24，所以PA 的最小值为20．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||DM m DA =（0m >且1m ≠），当点A 在单位圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．【答案】（1）2221y x m+=（0m >且1m ≠）；（2）当01m <<时，曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，两焦点分别为()，)；当1m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(．【分析】（1）首先设出点M 和点A 的坐标，利用||||DM m DA =，确定点M 和点A 坐标之间的关系，再利用点A 在单位圆221x y +=上运动，即可求得曲线C 的方程； （2）根据（1）中曲线C 的方程，分别分析01m <<和1m 两种情况下曲线C 为何种圆锥曲线，再根据曲线的方程求出焦点坐标. 【详解】（1）设00(,),(,)M x y A x y ，因为点M 和点A 满足||||DM m DA =（0m >且1m ≠），所以00,==x x y m y ①，又因为点A 在单位圆221x y +=上，所以22001x y +=②，将①代入②可得曲线C 的方程为2221y x m+=（0m >且1m ≠）；（2）因为0m >且1m ≠，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点分别为()，)；当1m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(．【点睛】关于动点轨迹方程的求解，一般比较常用的方法是定义法、代入法以及相关点法，关于定义法需要掌握几种曲线的定义表示并判断题干条件符合哪个曲线的定义；代入法则直接代入计算，但需要注意定义域；相关点法的应用则需要寻找不同动点之间的关系列式，然后写出轨迹方程.21．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点()0,B b ，过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ,112DF F F = (1)求证:b =； (2)若过2,,B D F 三点的圆与直线:0l x y +=相交于,E F 两点,且EF =求Γ的方程；(3)若2a ，=过2F 且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于,P Q 两点,点M 是点P 关于x 轴的对称点,在x 轴上是否存在一个定点N ,使得,,M Q N 三点共线?若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由．【答案】(1)见解析；(2) 22186x y +；(3)存在，(4,0)N【分析】(1)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半得到答案.(2) 过2,,B D F 三点的圆，半径为2c ，圆心(,0)c -，圆心到直线0x y +=的距离为：d =，再根据垂径定理得到答案. (3) 设直线为：1x ky =+ 112211(,),(,),(,)P x y Q x y M x y -，联立方程，根据韦达定理得到：122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，直线MQ l ：212221()y y y x x y x x +=-+-，取0y =化简得到答案.【详解】(1)在2Rt BDF ∆中，112DF F F =，1F 是2DF 中点，故1212BF DF =14222a c c b =⨯=∴= (2) 过2,,B D F 三点的圆，半径为2c ，圆心(,0)c -圆心到直线0x y +=的距离为：d =根据垂径定理得到：222(2)c=+解得：c=根据（1）知：a b==Γ的方程为：22186x y+(3) 存在定点，(4,0)N22143x y+=，2(1,0)F，设直线为：1x ky=+112211(,),(,),(,)P x y Q x y M x y-221431x yx ky⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到：22(34)690k y ky++-=, 2F在椭圆内，一定有两个交点.故122122634934ky yky yk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线MQl：212221()y yy x x yx x+=-+-取0y=得到222121212212 2222212121()11 x x k y y ky ky y ky ky yx y x y kyy y y y y y---+++=-+=-++=+ +++12212181146ky y ky y k-=+=+=+-故存在定点(4,0)N【点睛】本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定点问题，综合性大，技巧性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

上海市曹杨二中2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题：1.在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是________；【答案】平行或异面【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断【详解】与无公共点，与可能平行，可能异面。

【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题。

2.两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．考点：球的表面积，体积公式．3.若正方体中，异面直线和所成角的大小为_____；【答案】【解析】【分析】根据题意，，，所以平面，根据面面垂直的性质定理可得，即可求和所成的角。

【详解】如图，连接，因为正方体，所以,又正方形ABCD，所以，所以平面，所以，即和成角为【点睛】本题考查线线垂直的判定及性质定理，考查学生的空间想象能力，属基础题。

4.若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；【答案】【解析】【分析】根据题意得圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，根据几何性质即可求解。

【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由题意知，圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，所以，即。

所以侧面积。

【点睛】本题考查圆柱的几何性质，表面积的求法，属基础题5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；【答案】【解析】【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解。

【详解】如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形中，，所以，故答案为。

【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题6.若增广矩阵对应的线性方程组为无穷多解，则实数的值为________；【答案】【解析】【分析】将原方程组写成Ax=b，其中A为方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量，当它的系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解，由此求得a的值。

曹杨二中高 二期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 三个平面最多把空间分成 个部分2. 若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 若行列式31227314k--中元素1-的代数余子式的值为5，则k =4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为5. 已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3AB =，则外接球面上 两点A 、B 间的球面距离是6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为7. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为8. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为9. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a +++⋅⋅⋅+=，*n ∈N ，则20a =10. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为11. 对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若12{}33nn n a =⋅， *n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，侧棱长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里二. 选择题13. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）A. 不完全归纳法B. 完全归纳法C. 数学归纳法D. 分析法14. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A. SB. 6C. 14D. 1815. 已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，P 是棱SA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. βγ<，αγ<B. βα<，βγ<C. βα<，γα<D. αβ<，γβ<16. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面α、β上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，则m 与n 的位置关系是（ ）A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行三. 解答题17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用.（结果精确到1元）18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3AD =，3PA =，AD ∥BC ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒.（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；（2）求点A 到平面PCD 的距离.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，*n ∈N .（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由.20. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D 、E 分别是AC 、11B C 的中点.（1）求证：11AC B C ⊥；（2）求证：DE ∥平面11AA B B ；（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小.21. 对于给定的正整数n （4n ≥），设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，d （0d >）为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和.参考答案一. 填空题1. 82. 123. 4-4. 3π5.23π 6. 7. 24 8. 29.35 10. 11. 724 12. 18二. 选择题13. A 14. B 15. B 16. D三. 解答题17.（1）32.1m ；（2）220元.18.（1）arccos4；（2）5. 19.（1）45q =；（2）12.20.（1）证明略；（2）证明略；（3. 21.（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）元数个数为2n 个，和为29(31)4n -.。

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯B. 192盏灯C. 195盏灯D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得，结合离心率和椭圆的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）①当的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，代入可求得；②当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.【详解】（1）椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点，又，椭圆的标准方程为（2）设，①当的斜率存在时，设由得：则，又，即满足到直线的距离又圆的半径直线与圆相切②当的斜率不存在时，所在的两条直线分别为与椭圆方程联立可求得交点横坐标为或可得到所在的直线为：或直线与圆相切综上所述：当时，直线与圆相切【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的判定等知识；求解直线与椭圆综合问题的常用方法是将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出已知等量关系；易错点是忽略直线斜率是否存在的讨论.20.已知函数（其中为自然对数的底数，）.（1）若是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）若时都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）由极值点可知，从而求得；根据导函数的正负即可确定的单调区间；（2）求导后得到导函数；当和时，可根据导函数正负确定单调递增，从而，满足题意；当时，由零点存在定理可知存在，使得时，，由单调性可知不恒成立；从而得到所求范围.【详解】（1）由得：定义域为，是的极值点，解得：此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增的单调递减区间为，单调递增区间为（2），①当时，恒成立单调递增，满足题意②当时，是上的增函数，且若，即，则且不恒等于单调递增，满足题意若，即，，存在，使得当时，，则单调递减即不恒成立，不合题意综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点的应用、利用导数求解函数的单调区间、零点存在定理的应用、恒成立问题的求解等知识；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式得到导函数在不同情况下的正负，进而确定函数的单调性，通过单调性得到能使得不等式恒成立的参数的范围.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算整理可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.设，则“”是“”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集，根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】的解集的解集且“”是“”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够根据不等式的解法求得解集，根据集合包含关系可得结果.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A. 24B. 20C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可将所求式子化为，由求得后即可得到结果.详解】故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差中项的性质、下标和性质的应用，属于基础题.4.若，则下列命题正确的个数（）①；②；③；④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由特例，可验证出①②③错误；由作差法可知④正确.【详解】，当，时，对于①：，，则，①错误；对于②：，，，②错误；对于③：，，则，③错误；对于④：当时，，，，即，④正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质判断不等关系的问题，关键是能够熟练掌握不等式的性质，解决此类问题通常采用特殊值法快速排除错误选项.5.明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层有（）A. 3盏灯 B. 192盏灯 C. 195盏灯 D. 200盏灯【答案】A【解析】【分析】由等比数列前项和公式可构造方程求得首项.【详解】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，解得：，即顶层有盏灯故选：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.6.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（）A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由焦距可求得，进而得到；由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆定义知：的周长为故选：【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即.7.在中，，，的面积为，则中最大角的正切值是（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】【分析】结合三角形面积公式求得，分为和两种情况；当时，自然为最大角，得到；当时，利用余弦定理求得，根据大边对大角原则可知最大；通过正余弦定理求得，进而求得.【详解】或当时，最大角为，则当时，由余弦定理可得：最大角为，综上所述：中最大角的正切值为或故选：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到三角形面积公式、三角形大边对大角原则的应用等知识；关键是能够通过分类讨论的方式，根据边的长度关系确定最大角.8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理可构造出关于的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径由双曲线方程得其渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离，解得：故选：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到垂径定理的应用；关键是明确直线被圆截得的弦长为.9.已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和切点处的导数值表示出切线斜率，从而构造方程求得结果.【详解】由题意得：，直线恒过设直线与相切于点则，即，解得：故选：【点睛】本题考查过某一点的曲线的切线方程的求解，关键是能够通过假设切点的方式，将切线斜率利用两点连线斜率公式和导数值分别表示出来，构造出等量关系.10.对于函数，，下列说法正确的有（）①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③；④在上单调函数.A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.【详解】当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，④错误；在处取得极大值，①正确；在必有一个零点又，即为的一个零点且在无零点恰有两个不同的零点，②正确；，又在上单调递减，③正确则正确的命题为：①②③，共个故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，，则_______.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于基础题.12.已知为坐标原点，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，若的面积为32，则_______.【答案】20【解析】【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，利用三角形面积公式可求得点纵坐标，进而得到点横坐标；利用抛物线焦半径公式求得结果.【详解】由题意得：设，则，解得：故答案：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够利用三角形面积求得抛物线上点的横坐标.13.平面直角坐标系中第一象限的点到点和到点的距离相等，则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】利用两点间距离公式可整理得到，由可得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】，整理可得：（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够对“”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.14.已知数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】令可求得，根据可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，，解得：当且时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列故答案为：【点睛】本题考查等比数列中的项的求解，关键是能够利用与的关系证得数列是等比数列，同时确定首项和公比.15.已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，由数形结合知，由解析式可求得，从而将表示为关于的函数，利用导数可求得最值.【详解】令，则，如下图所示：，令，则当时，在上单调递增，即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将所求式子转化为关于某一变量的函数的形式，同时利用数形结合的方式确定变量的范围；易错点是忽略变量的取值范围，造成最值求解错误.三、解答题：本大题共5小题，满分40分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知在中，角所对的边分别为，且，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将已知等式转化为余弦定理的形式求得，根据可得到结果；（2）利用正弦定理可求得，知，根据三角形内角和可求得，得到；由三角形面积公式求得结果.【详解】（1）（2）由（1）知：由正弦定理得：又【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理和余弦定理的应用、三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，成等比数列.（1）求数列的通项公式，并求；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质；利用和表示出可求得，从而得到等差数列通项公式并求得首项；由等差数列前项和公式求得；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、裂项相消法求和，进而得到.【详解】（1）由成等比数列得：设等差数列公差为，则解得：，则（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解、数列求和中的分组求和、公式法和裂项相消法的应用等知识；确定求和方法的关键是能够通过通项公式的形式来选择对应的方法.18.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由面面垂直性质可得平面，可知；由长度关系可结合勾股定理证得；利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面平面（2）平面以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，则，，，，，，则，，由（1）知，平面平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，即，令，则，设所求的锐二面角为，则【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直判定与性质定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】。

上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷命题人：黄坪校对人：郭天翔试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.4.若直线l的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.10.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.12.如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ的取值范围为______.二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A.22- B.12C.22D.115.已知曲线C ：()3222216x yx y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p 、q 都是真命题B.p 是真命题，q 是假命题C.p 是假命题，q 是真命题D.p 、q 都是假命题16.四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.21,22⎤⎢⎥⎣⎦ B.31,42⎤⎥⎣⎦C.21,42⎤⎥⎣⎦D.23,44⎣⎦三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.19.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y.（1）若点N的坐标为()，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷命题人：黄坪校对人：郭天翔试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故答案为：4π3．2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【答案】63【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，323CO CG ∴==，63AO ∴==，∴该正四面体的高为3．故答案为：3．3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为：35.4.若直线l的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【答案】0x -=【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故答案为：0x -=5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【答案】4【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得12222O A ''=⨯⨯=则132622224A B C S '''=⨯⨯=故答案为：64.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故答案为：2π.7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【答案】2【分析】根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.32c e a =====.故答案为：2【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【答案】π3π[0,[,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故答案为：π3π[0,[,π)44⋃9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【答案】12【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为1311sin 6024⨯⨯⨯︒=，下底面的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=积为113412⎛⨯+⨯= ⎝.故答案为：731210.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=，圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值=故答案为：.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故答案为：8π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12.如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【答案】23,23⎡⎤+⎣⎦【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23-，最大值为23+，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：23,23⎡⎤-+⎣⎦二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A.22-B.12C.22+ D.1【答案】B【详解】试卷分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅的最小值为12.考点：向量数量积以及二次函数最值．15.已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p 、q 都是真命题B.p 是真命题，q 是假命题C.p 是假命题，q 是真命题D.p 、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16.四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.1,22⎤⎢⎥⎣⎦ B.31,42⎤⎥⎣⎦ C.21,42⎤⎥⎣⎦ D.23,44⎣⎦【答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢==，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即11613C D <£，则所求面积即11111111161,262A B C D S A B C D ú=ú棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，163C E h ==；②当平面ABD α 时，132C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故12322C E ＃，则所求面积即111111123,244A B C S A B C E 犏=鬃犏臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎣⎦.故选：D三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试卷分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试卷解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【小问1详解】证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD 【小问2详解】解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= 因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【答案】（1）()42Q ，（2）(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【小问1详解】由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x =-设00(,2)(0)Q x x >，由5=及图，得04x =，()42Q ∴，.【小问2详解】直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【答案】（1）证明详见解析（2）存在，且112CF CC =（3）15arcsin ,arcsin35⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CFCC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =--，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =-，111010D E B C ⋅=-++=，所以11B C D E ⊥.【小问2详解】若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z =，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=-，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.【小问3详解】()0,2,0AB =，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z =，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则sin m AB m AB θ⋅==⋅由于2202,04,559,3t t t ≤≤≤≤≤+≤，所以1sin ,35θ⎡=⎢⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin35θ⎡∈⎢⎣⎦.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.【答案】（1）8（2）证明见解析（3）直线AB 倾斜角的最小值为6arctan2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【小问1详解】椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()2,0，若点N 的坐标为()2,0-，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P 的坐标为)2,2m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.【小问2详解】证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以033mk x m kx -'==-，所以k k'为定值．【小问3详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭．由0m >，00x >，可得0k >，所以16k k +≥16k k =，即66k =时，取得等号，6=，解得147m =，所以直线AB斜率的最小值为2，直线AB 倾斜角的最小值为6arctan 2．。

2019-2020学年曹杨二中高二上期末数学试卷一、填空题1.三个平面最多把空间分割成 个部分． 【答案】 8 【解析】试题分析：两个平面相交把空间分成四部分，第三个平面从中间截开，把每一部分一分为二，故可把空间分成八部分． 考点：空间两个平面的位置关系．2.若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=_______； 【答案】12 【解析】 【分析】根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将02x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到12,c c 的值，即可得答案．【详解】由题意，此增广矩阵对应的线性方程组为：122,34,x y c x y c +=⎧⎨+=⎩将02x y =⎧⎨=⎩代入方程组得：12,4,8c c == ∴1212c c +=. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数，属于基础题.3.若行列式31227314k--中元素1-的代数余子式的值为5，则k =______；【答案】4- 【解析】 【分析】由题意可知求得122(23)31kA k =--=-+，代入即可求得k 的值． 【详解】由题意可知求得122(23)31kA k =--=-+，∴(23)54k k -+=⇒=-. 故答案为：4-.【点睛】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义及行列式的运算，考查计算能力，属于基础题．4.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于____． 【答案】3π 【解析】 【分析】分别求得底面积和高，利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为R ，因为轴截面是等边三角形，所以母线长为2R ，高为3R ，侧面积S ＝12262R R ππ⨯⨯=，解得：R ＝3， 所以，圆锥的体积为：V ＝21(3)33π⨯⨯⨯＝3π.故答案为3π.【点睛】本题主要考查了圆锥的体积的计算，属于基础题. 5.．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，，在外接球面上A B ，两点间的球面距离是 ． 【答案】【解析】【详解】因为四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，，所以在外接球面上A B ，两点间的球面距离是23π. 6.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，二面角A ﹣BD ﹣A 1的大小为_____．【答案】3rccos a 【解析】 【分析】连接,AC BD ，交于O ，连1A O ，可得1A OA ∠是二面角A ﹣BD ﹣A 1的平面角，在直角三角形1A OA 中可求得结果.【详解】连接,AC BD ，交于O ，连1A O ， 如图所示：因为BD AC ⊥，且1A O 在底面ABCD 内的射影是AO ，所以由三垂线定理可得1BD AO ⊥， 所以1A OA ∠是二面角A ﹣BD ﹣A 1的平面角，设正方体的棱长为1，则2AO =，22211261()22AO A A AO =+=+=，所以11232cos 36AO AOA AO ∠===， 因为102AOA π<∠<，所以13rccos 3AOA a ∠=. 故答案为：3rccos3a . 【点睛】本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题.7.若正四棱锥的底面边长为3，高为2.则这个正四棱锥的全面积为______； 【答案】24 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再由正方形及三角形面积公式求解． 【详解】如图所示，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，高2OP =，底面边长3AB =． 过O 作OG BC ⊥，垂足为G ，连接PG ，则斜高22352()22PG =+=．∴正四棱锥的全面积是1533432422S =⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：24.【点睛】本题考查正四棱锥的全面积求法，考查计算能力，是基础题．8.已知ABCD 是棱长为a 的正四面体.则异面直线AB 与CD 间的距离为_______；【答案】2 a【解析】【分析】连结AF、BF，推导出EF AB⊥，EF CD⊥，由此能证明线段EF是异面直线AB与CD 的公垂线段．在Rt AEF∆中，求出EF的长度即可.【详解】如图，取E为AB 的中，F为CD的中点，连结AF、BF，由ACD∆、BCD∆为等边三角形，AF BF∴=，EF AB∴⊥．同理，EF CD⊥．又EF与AB、CD都相交，故线段EF是异面直线AB与CD的公垂线段．在Rt AEF∆中，31,2AF a AE a==，∴2EF a=，故异面直线AB与CD的距离为22a．【点睛】本题考查两条异面直线的公垂线长的求解，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．9.若数列{}n a满足112a=，212323n na a a na n a++++=，*n N∈，则20a=______；【答案】35【解析】【分析】根据递推关系，少递推一项再相减，从而得到11(2)nna nna n--=≥，再利用累乘法求得答案.【详解】∵212323n na a a na n a++++=，∴21231123(1)(1)n na a a n a n a--++++-=-，两式相减得：222211(1)()(1)n n n n n na n a n a n n a n a --=--⇒-=-，∴11(2)n n a n n a n--=≥， ∴3202121912192320a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅， ∴20123205a ==. 故答案为：35.【点睛】本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意累乘法的运用.10.某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别1，2，3，则这条棱的长为______； 【解析】 【分析】由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，利用三视图中的三个投影是三个面上的对角线， 即可求出棱长的值． 【详解】如图所示，由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体， 则三视图中的三个投影，是三个面上的对角线，设这个长方体的长、宽、高分别是x 、y 、z ，对角线长为a ， 则221x z +=，224y z +=，229x y +=，22214972x y z ++∴++==， 22227a x y z ∴=++=，a ∴=．【点睛】本题考查棱的三视图，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意构造长方体模型进行求解.11.对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{}10=，{}3.140.14=，若1233n n na ⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*n N ∈，则数列{}n a 的各项和为______；【答案】724【解析】 【分析】根据{}x 的定义得数列1233n n na ⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭的特点，再利用无穷递减等比数列的求和公式，进行求和.【详解】根据{}x 的定义得：2133n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或2233n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴123456S a a a a a a =++++++12341211121133333333=⋅+⋅+⋅+⋅+ 324211111()()333333=+++++ 2221172173327118332411339=+==--.故答案为：724.【点睛】本题考查无穷递减等比数列求各公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所有项的和分成奇数项和与偶数项的和. 12.下图是一座山的示意图.山呈圆锥形.圆锥的底面半径为10公里.侧棱长为40公里.B 是SA 上一点，且10AB =公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路这条铁路从A 出发到B 的最短距离为_______公里；【答案】50 【解析】 【分析】将圆锥的侧面展开，求得其展开图的扇形的圆心角为2π，利用勾股定理可求得AB 的长度. 【详解】如图所示为圆锥的侧展图， ∵210402ππ⋅=，∴2ASB π∠=， ∴22||403050AB =+=. 故答案为：50.【点睛】本题考查圆锥的侧展图、弧度计算、勾股定理，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力. 二、选择题13.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+.312a a d =+，……，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=.像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）A. 不完全归纳法B. 完全归纳法C. 数学归纳法D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】本题由题干可知由特殊到一般性的推理属于归纳推理．【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于不完全归纳法， 但本题并不是数学归纳法， 故选：A ．【点睛】本题主要考查归纳法的特点，以及数学归纳法与不完全归纳法的区别． 14.执行如图所示的程序框图.则输出的S 的值为（ ）A. 4B. 8C. 14D. 18【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【详解】第一次，2i =，20218S =-=，不满足条件5i >， 第二次，4i =，18416S =-=，不满足条件5i >，第三次，8i =，1688S =-=，满足条件5i >， 输出8S =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 15.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.16.已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面α，β上的直线.若m ，n 均与l 既不平行.也不垂直，则m 与n 的位置关系是（ ） A. 可能垂直，但不可能平行 B. 可能平行，但不可能垂直 C. 可能垂直，也可能平行 D. 既不可能垂直，也不可能平行【答案】D 【解析】 【分析】利用反证法，结合线面平行、垂直的判定定理与性质定理推导出与题设的矛盾，从而证明结论．【详解】①假设m n ⊥，n 与l 既不垂直，也不平行，n l O ∴⋂=，过O 在β内作直线c l ⊥，αβ⊥，c α∴⊥，m α⊂，c m ∴⊥，又m n ⊥，c n O ⋂=，m β∴⊥，l β⊂，m l∴⊥这与m 与l 既不垂直，也不平行矛盾，m ∴不可能垂直于n ， 同理：n 也不可能垂直于m ； ②假设//m n ，则//m β，m α⊂，l αβ=，//m l ∴这与m 和n 与l 既不垂直，也不平行矛盾，故m 、n 不平行． 故选：D ．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直的判定及性质，考查转化与化归思想，考查空间想象能力． 三、解答题17.如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆锥形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）. 【答案】（1）32.1m ；（2）220元 【解析】 【分析】（1）根据球的半径得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；（2）计算球的表面积公式和圆柱侧面积公式，结合条件，即可得到结论． 【详解】（1）球的半径r 为0.5米，∴两个半球的体积之和为3441133386V r m πππ==⋅=球，圆柱的高为2米，3112242V r h m πππ∴=⋅=⨯⨯=圆柱，∴该“浮球”的体积是：322.13V V V m π=+=≈球圆柱；（2）圆柱筒的表面积为222rh m ππ=；两个半球的表面积为224r m ππ=， 圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，∴该“浮球”的建造费用为2203070220πππ⨯+⨯=≈元．【点睛】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于中档题．18.如图.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3AD =，3PA =//AD BC ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒.（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PCD 的距离. 【答案】（1）2arccos 4；（2）355； 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC 与AD 所成角大小．（2）求出平面PCD 的一个法向量，利用向量法能求出点A 到平面PCD 的距离.【详解】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则3)P ，(2,1,0)C ，(0,3,0)D ，∴(2,1,3)PC =-，(0,3,0)AD =，设异面直线PC 与AD 所成角为θ， 则||2cos 4||||89PC AD PC AD θ⋅===⋅，所以异面直线PC 与AD 所成角大小为2arccos4. （2）设平面PCD 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，(2,1,3)PC =，(2,2,0)CD =-，(2,1,0)AC =则·230,·220,n PC x y z n CD x y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,3)n =，∴点A 到平面PCD 的距离||35||5n AC d n ⋅===.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且461n n S n a =--，*n N ∈. （1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）12； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系，多递推一项再相减，得1541n n a a -=+，再利用定义证明数列为等比数列；（2）由（1）得n S 关于n 的表达式，再判断n S 的单调性，即可得答案. 【详解】（1）∵461n n S n a =--，∴11(1)461n n S n a --=---， 两式相减得：1541n n a a -=+，2n ≥，∴111441455115n n n n a a a a -----==--， ∴数列{}1n a -是等比数列.（2）由（1）得：数列{}1n a -以11a -为首项，以45为公比的等比数列， ∵1111146112S a a a =--=⇒=-，∴14112()5n n a --=-⋅，∴14614(1)6548654()5n n n n S n a n a n -=--=---=+⋅-，∴1148654()5n n S n +=++⋅-，∴11144()(()0148148555)15n n n n S S -+--=+⋅-=<-12n ⇒<， ∴1211121314S S S S S S >>>><<，∴12n =时，n S 取最小值.【点睛】本题考查利用数列的递推关系证明等比数列、数列的单调性判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的求解. 20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AC BC AB AB ===⊥平面ABC ，1AC ⊥AC ，,D E 分别是11AC B C ，的中点.（Ⅰ）证明：11AC B C ⊥；（Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；（Ⅲ）求DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】【详解】分析：（Ⅰ）先证明AC ⊥平面11AB C ，再证明11AC B C ⊥.( Ⅱ) 取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ．先证明DE ∥AM ，再证明DE //平面11AA B B .( Ⅲ)利用向量法直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值.详解：（Ⅰ）因为1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AB AC ⊥． 因为1AC AC ⊥，11AB AC A =，1AB ，1AC ⊂平面11AB C ，所以AC ⊥平面11AB C ． 因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥．（Ⅱ）取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ． 因为E 、M 分别是11B C 、11A B 中点，所以ME ∥11A C ，且ME 1112A C =． 在三棱柱111ABC A B C -中，11AD A C ，且1112AD AC =， 所以ME ∥AD ，且ME =AD ， 所以四边形ADEM 是平行四边形，所以DE ∥AM ．又AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ．（Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ， 因为11AC B C ⊥，所以AC BC ⊥． 在平面1ACB 内，过点C 作1//Cz AB ， 因为，1AB ⊥平面ABC ， 所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则()0,0,0C ,()2,0,0B ,()10,2,2B ,()12,2,2C -,()0,1,0D ,()1,2,2E -. ()1,1,2DE =-，()2,0,0CB =，()10,2,2CB =．设平面11BB C C 的法向量为(),,n x y z =，则100n CB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z =⎧⎨+=⎩， 得0x =，令1y =，得1z =-，故()0,1,1n =-． 设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ，则sin θ＝cos ,DE n DE n DE n⋅=⋅=， 所以直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值为点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和线面角的向量求法，意在考查空间位置关系证明中的转化能力和运算能力.21.给定整数n (4n ≥)，设集合12{,,,}n A a a a =，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤．（1）若{}3,0,1,2A =-，求集合B ； （2）若12,,,n a a a 构成以1a 为首项，d (0d >)为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -； （3）若12,,,n a a a 构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B 中元素的个数及所有元素之和．【答案】（1）{}6,3,2,1,0,1,2,3,4B =----（2）见解析（3）()()231312n nn C n +-+，【解析】 【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合；（2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数； （3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论． 【详解】（1）因{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤，当{}3,0,1,2A =-时，632101234i j a a +=----，，，，，，，，，∴{}6,3,2,1,0,1,2,3,4B =----． (2) 因为12,,,n a a a 构成以1a 为首项，d (0d >)为公差的等差数列，所以有11i n i n a a a a --+=+(22i n ≤≤-)，以及112i i i a a a -+=+(21i n ≤≤-)．此时，集合B 中的元素有以下大小关系：11213123122n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<．因此，集合B 中含有21n -个元素．(3)由题设，3nn a =．设集合1{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤<≤，2{2|,1,2,,}i i B a a A i n =∈=．①先证1B 中的元素个数为2n C ，即从集合A 中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设1i j k l ≤<<<，于是33333i j k l ≤<<<． 显然3333i j k l +<+．假设3333i l j k +=+，可得1333l i j i k i ---+=+，即()()133333311j i k i l i j i k j l k ------=+-=⋅-⋅-+．因为3k j -，33l k -≥，所以()33115k jl k ---⋅-+≤-，又30j i ->，于是()()333110j i k j l k ---⋅-⋅-+<，等式3333i l j k +=+不成立．因此，3333i l j k +≠+． 同理可证3333i k j l +≠+． ②再证12B B ⋂=∅．不妨设1i j k ≤<<，于是3333i j k ≤<<． 显然2333i j k ⨯<+，3323i j k +<⨯．假设2333j i k ⨯=+，可得2313j i k i --⨯=+，即()1233323j ik i j i k j ----=⨯-=⋅-，因为33k j -≥，所以230k j --<，又30j i ->，于是()3230j ik j --⋅-<，等式2333j i k⨯=+不成立．因此，2333j i k ⨯≠+．由①②，得12B B B =⋃，且12B B ⋂=∅．此时，集合B 中的元素个数为2n C n +．集合B中所有元素的和为()()()()2313113332nn nn+-++++=．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式及求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．。

上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa →•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a ∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√49a29a32=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a +4，y 1y 2=−213a +4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．11。

上海市普陀区曹杨二中2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为．2．（4分）数据：1，1，3，4，6的方差是．3．（4分）已知三角形OAB顶点O（0，0），A（2，4），B（3，﹣6），则过B点的中线长为．4．（4分）用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是9πcm2.则球心到截面的距离为cm．5．（4分）若圆心坐标为（2，﹣1）的圆被直线x﹣y﹣1＝0截得的弦长为，则圆的半径为．6．（4分）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，则三角形A'B'C'的面积为．7．（5分）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝．8．（5分）甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是．9．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为．10．（5分）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，当三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为．11．（5分）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，从下列四个条件：①；②；③；④中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一的所有c的值为．12．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．若对任意的正整数n，都有，则t﹣k的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．（5分）已知点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量＝（2，﹣1，2），则下列点不在α上的是（）A．（2，3，3）B．（3，7，4）C．（﹣1，﹣7，1）D．（﹣2，0，1）14．（5分）实数m≠n且m2sinθ﹣m cosθ+1＝0，n2sinθ﹣n cosθ+1＝0，则经过（m，m2），（n，n2）两点的直线与圆C：x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定15．（5分）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：①a＝0.03；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在〖15，20），〖20，25），〖25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在〖20，25）内的学生中选取的人数为3．其中正确的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③16．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m+n，则下列说法正确的是（）A．事件“t＝12”的概率为B．事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件C．事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件D．事件“t＞8且mn＜32”的概率为三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y＝2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．18．（14分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．（1）设BC＝1，AB＝2，求这个几何体的表面积；（2）设G是弧的中点，设P是弧上的一点，且AP⊥BE．求异面直线AG与BP所成角的大小．19．（14分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）．（1）证明图2中的水面也是平行四边形；（2）当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角的大小．20．（16分）已知数列{a n}满足a1＝，3a n+12＝2a n2+1，b n＝1﹣a n2，n为正整数．（1）证明：数列{b n}是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式nb n＞m的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围.21．（18分）已知直线l：x＝my﹣1，圆C：x2+y2+4x＝0．（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（本大题共有12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1．〖解析〗将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为.2．3.6〖解析〗对于数据1，1，3，4，6，其平均数＝＝3，则其方差S2＝〖（1﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（6﹣3）2〗＝3.6，故答案为：3.6．3．〖解析〗设AO的中点为D，∵O（0，0），A（2，4），∴D（1，2），∴BD＝．故答案为：．4．4〖解析〗设截面圆的半径为r，则πr2＝9π，故r＝3，∴球心到截面圆的距离d＝＝4．故答案为：4．5．2〖解析〗由题意可得弦心距d＝＝，故半径r＝＝2，故答案为：2．6．〖解析〗根据题意，三角形A'B'C'为正三角形ABC的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，则正三角形ABC中，边BC＝2，则有S△ABC＝×4＝，又由＝，计算可得S△A′B′C′＝×＝，故答案为：．7．x+2﹣x﹣1〖解析〗根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，又由y＝f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x﹣2﹣x+1）＝x+2﹣x﹣1，故当x＜0时，f（x）＝x+2﹣x﹣1，故答案为：x+2﹣x﹣1．8．26〖解析〗根据茎叶图中的数据知，甲得分的极差为32，即（30+x）﹣6＝32，解得x＝8，乙得分的平均值为×〖12+25+26+（20+x）+31〗＝24，解得y＝6，所以甲、乙两组数据从小到大排列为：6、12、14、25、26、26、28、31、34、38，所以中位数是26．故答案为：26．9．〖解析〗∵正三棱台ABC﹣A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，∴，，又高为1，∴这个正三棱台的体积为V＝＝．故答案为：．10．2〖解析〗连接AD，∵SD是球O的直径，∴∠SAD＝90°，∴SA＝SD cos30°＝SD，同理可得SB＝SC＝SD，∴SA＝SB＝SC，设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，球的半径为R，则OO1⊥平面ABC，SO1⊥平面ABC，因此S，O，O1三点共线，∵三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，即△ABC的外接圆半径r＝AO1＝＝，SA＝SB＝SC＝•2R＝R，三棱锥的高SO1＝＝，在Rt△OAO1中有OA2＝AO12+OO12，即R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝2，故答案为：2．11．①③④，；②③④，〖解析〗由①②结合正弦定理可得，所以，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，故只能是①③④或②③④，若选①③④，，由余弦定理可得，，解得；若选②③④，，∴，且B为钝角，由正弦定理可得，，解得，故答案为：①③④，；②③④，．12．〖解析〗因为2S n是6和a n的等差中项，所以4S n＝6+a n＝6+S n﹣S n﹣1（n≥2），所以3S n＝6﹣S n﹣1，即S n﹣＝﹣（S n﹣1﹣）（n≥2），当n＝1时，S1＝a1＝2，故{S n﹣}是以为首项，﹣为公比的等比数列，所以S n﹣＝×，即S n＝×+，若n为奇数，则S n∈（，2〗；若n为偶数，则S n∈〖，），而f（S n）＝3S n﹣是关于S n的单调递增函数，且f（）＝，f（2）＝，所以t﹣k的最小值是﹣＝．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．D〖解析〗点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量，对于A，∵（2，3，3）﹣（1，﹣1，2）＝（1，4，1），且（2，﹣1，2）•（1，4，1）＝2﹣4+1＝0，∴点（2，3，3）在α内，故A错误；对于B，∵（3，7，4）﹣（1，﹣1，2）＝（2，8，2），且（2，8，2）•（2，﹣1，2）＝4﹣8+4＝0，∴点（3，7，4）在α内，故B错误；对于C，∵（﹣1，﹣7，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣2，﹣6，﹣1），且（﹣2，﹣6，﹣1）•（2，﹣1，2）＝﹣4+6﹣2＝0，∴点（﹣1，﹣7，1）在α内，故C错误；对于D，∵（﹣2，0，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣3，1，﹣1），且（﹣3，1，﹣1）•（2，﹣1，2）＝﹣9≠0，∴点（﹣2，0，1）不在平面α内，故D正确．故选：D．14．B〖解析〗∵实数m≠n且m2sinθ﹣m cosθ+1＝0，n2sinθ﹣n cosθ+1＝0，∴m，n为x2sinθ﹣x cosθ+1＝0 的两根，∴，，直线为＝（m+n）（x﹣m）+m2，＝＝，故经过（m，m2），（n，n2）两点的直线与圆C：x2+y2＝1的位置关系是相切．故选：B．15．D〖解析〗由频率分布直方图得：对于①，（0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01）×5＝1，解得a＝0.03，故①正确；对于②，平均数为：2.5×0.02×5+7.5×0.04×5+12.5×0.06×5+17.5×0.04×5+22.5×0.03×5+27.5×0.01×5＝13.75小时，故②正确；对于③，从每周使用时间在〖15，20），〖20，25），〖25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在〖20，25）内的学生中选取的人数为：8×＝3，故③正确．故选：D．16．D〖解析〗连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记t＝a+b，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”共有9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D．三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．〖解〗（Ⅰ）∵圆心在直线y＝2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴，解得a＝2，r＝．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r＝．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x＝﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d＝3＜r＝，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3＝k（x+1），即kx﹣y+k+3＝0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d＝＝．∵直线与圆相切，∴d＝r，即＝．∴（3k﹣1）2＝5+5k2，解得k＝2或k＝．∴直线l的方程为2x﹣y+5＝0或x+2y﹣5＝0．18．〖解〗（1）几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．BC＝1，AB＝2，则这个几何体的表面积为：S＝+2×1×2+2×＝2π+4．（2）G是弧的中点，P是弧上的一点，且AP⊥BE，∵AB⊥BE，BP∩AB＝B，∴BE⊥平面ABP，以B为坐标原点，BE为x轴，BP为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，2），G（，，2），B（0，0，0），P（0，1，0），＝（，0），＝（0，1，0），设异面直线AG与BP所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴异面直线AG与BP所成角的大小为30°．19．〖解〗（1）证明：如图，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），由题意知，水的体积为4×4×2＝32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），则PC＝3，D1Q＝1，水的体积为S BCPN•CD＝32，∴•BC•CD＝32，即×4×4＝32，∴BN＝1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H∥NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，∴NH＝AM＝C1P＝D1Q＝1，∴MN PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴图2中的水面也是平行四边形．（2）由（1）得B1H＝BB1﹣NH﹣BN＝4﹣1﹣1＝2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C＝∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1＝＝＝2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角为arctan2．20．〖解〗（1）证明：由已知可知，a n≠±1，否则{b n}不可能是等比数列，∵a1＝，b n＝1﹣a n2，∴b1＝，∵3a n+12＝2a n2+1，∴3（1﹣a n+12）＝2（1﹣a n2），∴＝，∴数列{b n}是等比数列，∴b n＝，（n∈N*）．（2）证明：假设数列{b n}中存在三项b i，b j，b k（i＜j＜k）成等差数列，则2b j＝b i+b k，即＝+，整理得2j﹣i+1＝3j﹣i+2k﹣i•3j﹣k，即3k﹣j（2j﹣i+1﹣3j﹣i）＝2k﹣i，∵2j﹣i+1﹣3j﹣i是奇数，∴上式左侧是一个奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，∴数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列．（3）关于正整数n的不等式nb n＞m，即，当n＝1时，m＜；当n＝2时，m＜1；当n＝3时，m＜1；当n＝4时，m＜，当n≥3时，＝＜1，∵关于正整数n的不等式nb n＞m的解集中有且仅有三个元素，∴实数m的取值范围是〖，）．21．〖解〗（1），化简整理可得，（m2+1）y2+2my+3＝0，Δ＝4m2+12（m2+1）＝16m2+12＞0，所以直线l与圆C恒相交．（2）设M（x，y），则有，∵圆心C（﹣2，0），P（﹣1，0），∴（x+2，y）•（x+1，y）＝0，整理可得，x2+y2+3x+2＝0，即，∴点M的轨迹方程是，表示的是以（﹣，0）为圆心，半径长为的圆．（3）当m变化时，点Q恒在直线x＝2上，理由如下：设Q（x0，y0），由题意可得，Q，A，B，C四点共圆，且圆的方程为（x﹣x0）（x+2）+（y﹣y0）y＝0，即x2+y2+（2﹣x0）x﹣y0y﹣2x0＝0，与圆C的方程x2+y2+4x＝0，消去二次项得（x0+2）x+y0y+2x0＝0，即为直线l的方程，与l：x＝my﹣1比较可得，x0+2＝2x0，解得x0＝2，所以当m变化时，点Q恒在定直线x＝2上．上海市普陀区曹杨二中2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为．2．（4分）数据：1，1，3，4，6的方差是．3．（4分）已知三角形OAB顶点O（0，0），A（2，4），B（3，﹣6），则过B点的中线长为．4．（4分）用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是9πcm2.则球心到截面的距离为cm．5．（4分）若圆心坐标为（2，﹣1）的圆被直线x﹣y﹣1＝0截得的弦长为，则圆的半径为．6．（4分）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，则三角形A'B'C'的面积为．7．（5分）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝．8．（5分）甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是．9．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为．10．（5分）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，当三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为．11．（5分）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，从下列四个条件：①；②；③；④中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一的所有c的值为．12．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．若对任意的正整数n，都有，则t﹣k的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．（5分）已知点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量＝（2，﹣1，2），则下列点不在α上的是（）A．（2，3，3）B．（3，7，4）C．（﹣1，﹣7，1）D．（﹣2，0，1）14．（5分）实数m≠n且m2sinθ﹣m cosθ+1＝0，n2sinθ﹣n cosθ+1＝0，则经过（m，m2），（n，n2）两点的直线与圆C：x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定15．（5分）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：①a＝0.03；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在〖15，20），〖20，25），〖25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在〖20，25）内的学生中选取的人数为3．其中正确的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③16．（5分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m+n，则下列说法正确的是（）A．事件“t＝12”的概率为B．事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件C．事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件D．事件“t＞8且mn＜32”的概率为三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y＝2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．18．（14分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．（1）设BC＝1，AB＝2，求这个几何体的表面积；（2）设G是弧的中点，设P是弧上的一点，且AP⊥BE．求异面直线AG与BP所成角的大小．19．（14分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）．（1）证明图2中的水面也是平行四边形；（2）当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成的角的大小．20．（16分）已知数列{a n}满足a1＝，3a n+12＝2a n2+1，b n＝1﹣a n2，n为正整数．（1）证明：数列{b n}是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式nb n＞m的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围.21．（18分）已知直线l：x＝my﹣1，圆C：x2+y2+4x＝0．（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、填空题（本大题共有12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1．〖解析〗将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为.2．3.6〖解析〗对于数据1，1，3，4，6，其平均数＝＝3，则其方差S2＝〖（1﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（6﹣3）2〗＝3.6，故答案为：3.6．3．〖解析〗设AO的中点为D，∵O（0，0），A（2，4），∴D（1，2），∴BD＝．故答案为：．4．4〖解析〗设截面圆的半径为r，则πr2＝9π，故r＝3，∴球心到截面圆的距离d＝＝4．故答案为：4．5．2〖解析〗由题意可得弦心距d＝＝，故半径r＝＝2，故答案为：2．6．〖解析〗根据题意，三角形A'B'C'为正三角形ABC的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，则正三角形ABC中，边BC＝2，则有S△ABC＝×4＝，又由＝，计算可得S△A′B′C′＝×＝，故答案为：．7．x+2﹣x﹣1〖解析〗根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，又由y＝f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x﹣2﹣x+1）＝x+2﹣x﹣1，故当x＜0时，f（x）＝x+2﹣x﹣1，故答案为：x+2﹣x﹣1．8．26〖解析〗根据茎叶图中的数据知，甲得分的极差为32，即（30+x）﹣6＝32，解得x＝8，乙得分的平均值为×〖12+25+26+（20+x）+31〗＝24，解得y＝6，所以甲、乙两组数据从小到大排列为：6、12、14、25、26、26、28、31、34、38，所以中位数是26．故答案为：26．9．〖解析〗∵正三棱台ABC﹣A1B1C1上、下底面边长分别为1和2，∴，，又高为1，∴这个正三棱台的体积为V＝＝．故答案为：．10．2〖解析〗连接AD，∵SD是球O的直径，∴∠SAD＝90°，∴SA＝SD cos30°＝SD，同理可得SB＝SC＝SD，∴SA＝SB＝SC，设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，球的半径为R，则OO1⊥平面ABC，SO1⊥平面ABC，因此S，O，O1三点共线，∵三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，即△ABC的外接圆半径r＝AO1＝＝，SA＝SB＝SC＝•2R＝R，三棱锥的高SO1＝＝，在Rt△OAO1中有OA2＝AO12+OO12，即R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝2，故答案为：2．11．①③④，；②③④，〖解析〗由①②结合正弦定理可得，所以，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，故只能是①③④或②③④，若选①③④，，由余弦定理可得，，解得；若选②③④，，∴，且B为钝角，由正弦定理可得，，解得，故答案为：①③④，；②③④，．12．〖解析〗因为2S n是6和a n的等差中项，所以4S n＝6+a n＝6+S n﹣S n﹣1（n≥2），所以3S n＝6﹣S n﹣1，即S n﹣＝﹣（S n﹣1﹣）（n≥2），当n＝1时，S1＝a1＝2，故{S n﹣}是以为首项，﹣为公比的等比数列，所以S n﹣＝×，即S n＝×+，若n为奇数，则S n∈（，2〗；若n为偶数，则S n∈〖，），而f（S n）＝3S n﹣是关于S n的单调递增函数，且f（）＝，f（2）＝，所以t﹣k的最小值是﹣＝．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．D〖解析〗点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量，对于A，∵（2，3，3）﹣（1，﹣1，2）＝（1，4，1），且（2，﹣1，2）•（1，4，1）＝2﹣4+1＝0，∴点（2，3，3）在α内，故A错误；对于B，∵（3，7，4）﹣（1，﹣1，2）＝（2，8，2），且（2，8，2）•（2，﹣1，2）＝4﹣8+4＝0，∴点（3，7，4）在α内，故B错误；对于C，∵（﹣1，﹣7，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣2，﹣6，﹣1），且（﹣2，﹣6，﹣1）•（2，﹣1，2）＝﹣4+6﹣2＝0，∴点（﹣1，﹣7，1）在α内，故C错误；对于D，∵（﹣2，0，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣3，1，﹣1），且（﹣3，1，﹣1）•（2，﹣1，2）＝﹣9≠0，∴点（﹣2，0，1）不在平面α内，故D正确．故选：D．14．B〖解析〗∵实数m≠n且m2sinθ﹣m cosθ+1＝0，n2sinθ﹣n cosθ+1＝0，∴m，n为x2sinθ﹣x cosθ+1＝0 的两根，∴，，直线为＝（m+n）（x﹣m）+m2，＝＝，故经过（m，m2），（n，n2）两点的直线与圆C：x2+y2＝1的位置关系是相切．故选：B．15．D〖解析〗由频率分布直方图得：对于①，（0.02+0.04+0.06+0.04+a+0.01）×5＝1，解得a＝0.03，故①正确；对于②，平均数为：2.5×0.02×5+7.5×0.04×5+12.5×0.06×5+17.5×0.04×5+22.5×0.03×5+27.5×0.01×5＝13.75小时，故②正确；对于③，从每周使用时间在〖15，20），〖20，25），〖25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在〖20，25）内的学生中选取的人数为：8×＝3，故③正确．故选：D．16．D〖解析〗连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记t＝a+b，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”共有9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D．三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．〖解〗（Ⅰ）∵圆心在直线y＝2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴，解得a＝2，r＝．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r＝．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x＝﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d＝3＜r＝，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3＝k（x+1），即kx﹣y+k+3＝0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d＝＝．∵直线与圆相切，∴d＝r，即＝．∴（3k﹣1）2＝5+5k2，解得k＝2或k＝．∴直线l的方程为2x﹣y+5＝0或x+2y﹣5＝0．18．〖解〗（1）几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．BC＝1，AB＝2，则这个几何体的表面积为：S＝+2×1×2+2×＝2π+4．（2）G是弧的中点，P是弧上的一点，且AP⊥BE，∵AB⊥BE，BP∩AB＝B，∴BE⊥平面ABP，以B为坐标原点，BE为x轴，BP为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，2），G（，，2），B（0，0，0），P（0，1，0），＝（，0），＝（0，1，0），设异面直线AG与BP所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴异面直线AG与BP所成角的大小为30°．19．〖解〗（1）证明：如图，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），由题意知，水的体积为4×4×2＝32，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA1，BB1，CC1，DD1交于M，N，P，Q，（Q与E重合），则PC＝3，D1Q＝1，水的体积为S BCPN•CD＝32，∴•BC•CD＝32，即×4×4＝32，∴BN＝1．在平面BCC1B1内，过点C1作C1H∥NP，交BB1于H，则四边形NPC1H是平行四边形，∴NH＝AM＝C1P＝D1Q＝1，∴MN PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴图2中的水面也是平行四边形．（2）由（1）得B1H＝BB1﹣NH﹣BN＝4﹣1﹣1＝2，∵侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角，∴∠HC1C即为所求，而∠HC1C＝∠B1HC1，在Rt△B1HC1中，tan∠B1HC1＝＝＝2，∴侧面CDD1C1与桌面所成角为arctan2．20．〖解〗（1）证明：由已知可知，a n≠±1，否则{b n}不可能是等比数列，∵a1＝，b n＝1﹣a n2，∴b1＝，∵3a n+12＝2a n2+1，∴3（1﹣a n+12）＝2（1﹣a n2），∴＝，∴数列{b n}是等比数列，∴b n＝，（n∈N*）．（2）证明：假设数列{b n}中存在三项b i，b j，b k（i＜j＜k）成等差数列，则2b j＝b i+b k，即＝+，整理得2j﹣i+1＝3j﹣i+2k﹣i•3j﹣k，即3k﹣j（2j﹣i+1﹣3j﹣i）＝2k﹣i，∵2j﹣i+1﹣3j﹣i是奇数，∴上式左侧是一个奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，∴数列{b n}中的任意三项b i，b j，b k（i＜j＜k）都不成等差数列．（3）关于正整数n的不等式nb n＞m，即，当n＝1时，m＜；当n＝2时，m＜1；当n＝3时，m＜1；当n＝4时，m＜，当n≥3时，＝＜1，∵关于正整数n的不等式nb n＞m的解集中有且仅有三个元素，∴实数m的取值范围是〖，）．21．〖解〗（1），化简整理可得，（m2+1）y2+2my+3＝0，Δ＝4m2+12（m2+1）＝16m2+12＞0，所以直线l与圆C恒相交．（2）设M（x，y），则有，∵圆心C（﹣2，0），P（﹣1，0），∴（x+2，y）•（x+1，y）＝0，整理可得，x2+y2+3x+2＝0，即，∴点M的轨迹方程是，表示的是以（﹣，0）为圆心，半径长为的圆．（3）当m变化时，点Q恒在直线x＝2上，理由如下：设Q（x0，y0），由题意可得，Q，A，B，C四点共圆，且圆的方程为（x﹣x0）（x+2）+（y﹣y0）y＝0，即x2+y2+（2﹣x0）x﹣y0y﹣2x0＝0，与圆C的方程x2+y2+4x＝0，消去二次项得（x0+2）x+y0y+2x0＝0，即为直线l的方程，与l：x＝my﹣1比较可得，x0+2＝2x0，解得x0＝2，所以当m变化时，点Q恒在定直线x＝2上．。