2020年上海市曹杨二中高二(上)期中数学试卷(2020.11)(图片版 含答案)

上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知a ，b 是两个不同的平面，直线l Ìa ，则“l b ^”是“a b ^”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在四面体ABCD 中，已知,AB CD AC BD ^^，若BCD △不是等边三角形，且点A 在平面BCD 上的投影O 位于BCD △内，则点O 是BCD △的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心15．已知0a >，设函数cos y x =在区间[],2a a 上的最大值为s ，在区间[]2,3a a 上的最大值为t ，当a 变化时，下列情况不可能发生的是（ ）A．12B．22三、解答题17．已知公差d不为0的等差数列【分析】根据题意，按正方形ABCD在棱柱中的位置分2种情况讨论，分析正四棱柱的数目，相加可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①正方形作为对角面时，有6个，②正方形作为正四棱柱的底面或侧面，有6个，共有6+6=12种取法．故答案为：12.13．A【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若lÌa，则“l b^成立，满足充分^”则a b性；反之，若,la b a^Ì，则l与b的位置关系不确定，即不满足必要性；所以“l b^”的充分不必要条件，^”是“a b故选：A.14．D【分析】先证明CD^平面AOB，BD^平面AOC，进而可证得OB CD^，BD OC^，即可得解.【详解】如图，由题意可知OA^平面BCD，因为,CD BDÌ平面BCD，所以,^^，OA CD OA BD又,,,^Ç=Ì平面AOB，AB CD OA AB A OA AB所以CD^平面AOB，17．(1)2na n =；(2)124433n n n +++-.。

上海曹杨二中2020年期中单元测试一、选择题1．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移时间图像分别为图中直线a和曲线b．t=3s 时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是（）A．t=3s时，两车具有共同的加速度B．在运动过程中，b车始终没有超过a车C．a车做匀速运动，b车做加速运动D．在0-3s的时间内，a车的平均速度比b车的大2．第19届亚洲运动会将于2022年9月10日～9月25日在中国杭州举行．杭州是中国第三个取得夏季亚运会主办权的城市，图中的“莲花碗”是田径的主赛场，下列关于亚运会田径项目的叙述正确的是( )A．研究短跑运动员终点撞线时可将运动员看成质点B．在田径比赛中跑步运动员的比赛成绩是一个时间间隔C．短跑运动员跑100m和200m都是指位移D．高水平运动员400m比赛的平均速度有可能大于其他运动员200m比赛的平均速度3．未来“胶囊高铁”有望成为一种新的交通工具．“胶囊高铁”利用磁悬浮技术将列车“漂浮”km h．工程人员对“胶囊高在真空管道中，由于没有摩擦，其运行速度最高可达到5000/铁”在A城到B城的一个直线路段进行了测试，行驶了121.7公里，用时6分13秒．则( )km h是平均速度A．5000 /B．6分13秒是时刻C．“胶囊高铁”列车在真空管道中受重力作用D．计算“胶囊高铁”列车从A城到B城的平均速度时，不能将它看成质点4．质量为50kg的乘客乘坐电梯从四层到一层，电梯自四层启动向下做匀加速运动，加速度的大小是0.6m/s2，则电梯启动时地板对乘客的支持力为 ( )( g=10m/s2)A．530N B．500N C．450N D．470N5．“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置如图所示．实验中，为使小车运动时所受的拉力近似等于盘和重物的总重力，则盘和重物的总质量m与小车的质量M应满足的关系是（）A．m远大于M B．m远小于M C．m略大于M D．m略小于M6．有下列几种情形，正确的是（）A．点火后即将升空的火箭，因为火箭还没运动，所以加速度一定为零B．高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车，因紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大C．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度一定很大D．100米比赛中，甲比乙跑的快，说明甲的加速度大于乙的加速度7．下列说法正确的是( )A．木块放在桌面上所受到的向上的弹力是由于木块发生微小形变而产生的B．木块放在桌面上对桌面的压力是由于木块发生微小形变而产生的C．用细竹竿拨动水中的木头，木头受到的竹竿的弹力是由于木头发生形变而产生的D．挂在电线下面的电灯对电线的拉力，是因为电线发生微小形变而产生的8．把一个重为G的物体，用一个水平力F=kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整的墙上，如下图所示，从t=0开始物体所受的摩擦力F f随t的变化关系是（）A．B．C．D．9．在物理学的发展过程中，有一位科学家开创了以实验和逻辑推理相结合的科学研究方法，研究了落体运动的规律，这位科学家是（）A．伽利略B．牛顿C．库伦D．焦耳10．一辆汽车由车站开出，沿平直公路做初速度为零的匀变速直线运动，至第10 s末开始刹车，再经5 s便完全停下．设刹车过程汽车也做匀变速直线运动，那么加速和减速过程车的加速度大小之比是A．1∶2 B．2∶1C．1∶4 D．4∶111．近年来高楼坠物事故频发，若将高楼坠物视为自由落体运动，下列图像能基本反映高楼坠物下落时各物理量变化规律的是 ( )A．B．C．D．12．在公路的每个路段都有交通管理部门设置的限速标志，如图所示，这是告诫驾驶员在这一路段驾驶车辆时A．必须以这一速度行驶B．瞬时速度大小不得超过这一规定数值C．平均速度大小不得超过这一规定数值D．汽车上的速度计指示值，有时还是可以超过这一规定值的13．大雪天车轮打滑，车辆难以前进，交警帮忙向前推车，如图所示，在推车的过程中，关于人和车之间的作用力，下列说法正确的一是（）A．车对人有向后的力B．车对人没有作用力C ．人对车的力大于车对人的力D ．人对车的力小于车对人的力14．下列说法中正确的是A ．平时我们问“现在什么时间？”里的“时间”是指时刻而不是指时间间隔B ．“坐地日行八万里”是以地球为参考系C ．研究短跑运动员的起跑姿势时，由于运动员是静止的，所以可以将运动员看做质点D ．对直线运动的某个过程，路程一定等于位移的大小15．“蹦床”运动时奥运会新增的比赛项目之一，运动员在空中展示着优美的动作，深受观众欢迎，假设某运动员在弹力的作用下以8m /s 的初速度从蹦床上跃起，则可以估算运动员从跃起到落回蹦床瞬间，可以在空中展示动作的时间是(g 取()210m/s )? A ．1.6s B ．0.8s C ．0.4s D ．0.2s16．汽车在平直公路上做初速度为零的匀加速直线运动，途中用了6s 时间经过A 、B 两根电线杆，已知A 、B 间的距离为60 m ，车经过B 时的速度为15 m/s ，以下结论正确的是（ ）A ．车从出发到B 杆所用时间为10sB ．车的加速度为15 m/s 2C ．经过A 杆时速度为5 m/sD ．从出发点到A 杆的距离为15m17．一个物体做直线运动的位移与时间的关系式是x =5t +t 2(x 的单位为m ，t 的单位为s)，那么3s 时物体的速度是( )A ．7m/sB ．9m/sC ．11m/sD ．8m/s 18．物体由静止开始做匀加速直线运动，若第1秒内物体通过的位移是0.5m ，则第2s 内通过的位移是（ ）A ．0.5mB ．1.5mC ．2.0mD ．3.5m19．静止在斜面上的重物的重力可以分解为沿斜面方向向下的分力F 1和垂直于斜面方向的分力F 2，关于这两个分力，下列的说明正确的是（ ）A ．F 1作用在物体上，F 2作用在斜面上B ．F 2的性质是弹力C ．F 2就是物体对斜面的正压力D ．F 1和F 2是与物体的重力等效的力，实际存在的就是重力20．下列说法正确的是A ．竖直上抛物体到达最高点时，速度为零，物体处于平衡状态B ．人站在电梯中随电梯一起运动时，当电梯减速下降时，电梯对人的支持力大于人的重力C ．跳水运动员踩压跳板弯曲到最低点时，运动员对跳板的压力由跳板发生形变而产生D ．惯性是由物体的速度和质量共同决定的二、多选题21．从离地H 高处自由下落小球a ，同时在它正下方H 处以速度0v 竖直上抛另一小球b ，不计空气阻力，以下说法正确的（ ）A ．若0v gH >，小球b 在上升过程中与a 球相遇 B ．若0v gH <，小球b 在下落过程中肯定与a 球相遇 C ．若02gH v =，小球b 和a 不会在空中相遇 D ．若0v gH =，两球在空中相遇时b 球速度为零。

上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试题，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.4.若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.10.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.12.如图，已知F是椭圆22143x y+=的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆N，射线ON与圆N交于点Q，则AQ的取值范围为______.二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若点O和点F分别为椭圆2212x y+=的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅的最小值为A.2-B.12C.2D.115.已知曲线C：()3222216x y x y+=，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p、q都是真命题B.p是真命题，q是假命题C.p是假命题，q是真命题D.p、q都是假命题16.四面体ABCD的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.1,22⎤⎢⎥⎣⎦B.31,42⎤⎥⎣⎦C.21,42⎤⎥⎣⎦D.,44⎢⎥⎣⎦三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.19.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y.（1）若点N的坐标为()，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）【1题答案】4π3【2题答案】63【3题答案】35##0.6【4题答案】0x -=【5题答案】64【6题答案】2π【7题答案】32【8题答案】π3π[0,][,π)44⋃【9题答案】7312【10题答案】【11题答案】8π【12题答案】22⎡-+⎣二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）【13题答案】A 【14题答案】B 【15题答案】A 【16题答案】D三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）【17题答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【18题答案】（1）（2）45【19题答案】（1）()42Q ，（2）(1,5)C 【20题答案】（1）（2）存在，且112CF CC =（3）1arcsin ,arcsin 35⎡⎢⎣⎦【21题答案】（1）8（2）（3）直线AB倾斜角的最小值为arctan2。

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．2．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________.{}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可.n 【详解】因为是等差数列,{}n a 所以，31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以.12a =2d =故答案为:.23．已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为________.a b β//a b //a βb β【答案】或//b βb β⊂【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论.【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或.//a b //a βb β//b βb β⊂故答案为：或.//b βb β⊂4．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为____.{}n a n 2n nSa =-n a 【答案】1【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.n a n S n 【详解】当时，，当时，，1n =12a a =-2n ≥112n n S a --=-所以，()()111122222n n n n n n n n a S S a a ----=-==-=---又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，{}n a {}n a 12此数列的前项和，则的值为.n 122112nn n S -==--a 1故答案为：1.5．若数列为等比数列，且________.（其中为正{}n a 12,a q ==13521n a a a a -+++++= n 整数）【答案】4【分析】求出新等比数列的公比代入求和公式即可.【详解】因为数列为等比数列，.{}n a 12,a q =212q =则.1352124112n a a a a -+++++==- 故答案为：4.6．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.【答案】27π【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，6所以圆锥的母线长为，6l =设圆锥的底面半径为，则，所以，r 26r ππ=⨯3r =所以圆锥的表面积为.227S r rl πππ=+=故答案为：.27π7．如图所示，在地面上两点测得建筑物的仰角为，，若，则,A B PO 4530 90,60m OAB AB ∠== 该建筑物的高度为________.PO m【答案】【分析】先将未知量转化到同一个三角形中，再利用勾股定理即可求解.【详解】因为在地面上两点测得建筑物的仰角为，,A B OP 45 30所以，即，45,30PAO PAO ∠=∠=,OP OA OB ==又因为，所以，90,60m OAB AB ∠== 222OA AB OB +=所以，所以2236003OP OP +=OP =即该建筑物的高度为..OP m 故答案为：8．有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是_______.n n 【答案】122n ++【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式,n n a ()121n n a a +=-通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设次分类后共有个细胞，n n a 则第次分裂后共有细胞个数为，1n +()121n n a a +=-即,且，122n n a a +=-()12416a =-=对数列等式两端同时减去2,可得，()1222n n a a +-=-即,，1222n n a a +-=-12624a -=-=所以数列是以为首项,为公比的等比数列，{}2n a -124a -=2所以,化简可得，1242n n a --=⨯122n n a +=+即次分裂之后共有个细胞.n 122n ++故答案为: 122n ++9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形，则原梯形的面积为OA B C '''_______.【答案】4【分析】根据原图形面积是直观图面积的.【详解】设直观图的上下底为，高为，则直观图的面积为，,a b h 1()2a b h+则原梯形的上下底为，高为，,a b 2sin 45hh '=⨯=所以原梯形的面积等于,11()()22a b h a b h'+=+即原图形面积是梯形的面积OA B C '''因为梯形，所以原梯形的面积是.OA B C '''4故答案为:4.10．已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的2log ,()1,x x af x x x a >⎧=⎨-+≤⎩{}n a ()n a f n =n 3n a a ≥a 取值范围是_______.【答案】[3,4)【分析】根据分段函数的单调性与数列的最小值联系即可求解.【详解】当时，函数严格单调递减，x a ≤()f x 当时，函数严格单调递增，x a >()f x 所以当时，取到最小值，x a =()f x 因为数列满足，{}n a *(),na f n n =∈N 若，则是数列的最小项，3n a a ≥3a 所以，故实数的取值范围是.34a ≤<a [3,4)故答案为: .[3,4)11．中，边上的中垂线分别交于，若，则_______.ABC BC ,BC AC ,D M 6,2AM BC AB ⋅==AC =【答案】4【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，DM BC ⊥0DM BC ⋅=且，1,62AM AB BC DM AM BC =++⋅= 所以，221116222AB BC DM BC AB BC BC BA BC BC ⎛⎫++⋅=⋅+=-⋅+= ⎪⎝⎭ 所以，且，2212BA BC BC ⋅=- 2AB =在中，由余弦定理得即ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，()22222241216AC AB BC BA BC BC BC =+-⋅=+--= 所以.4AC = 故答案为:4.12．定义，设函数，数列是等比数列，公比，且,0,0ab ab a b aab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩2()log f x x x =⊗{}n a 0q >，则首项_______.()()()()()5011239991000131,a f a f a f a f a f a a =+++++=-1a =【答案】##0.12518【分析】根据题设对函数的定义结合等比数列运算求解.()f x 【详解】因为对任意实数，定义，,a b ,0,0ab ab a b aab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩函数，222log ,1()log log ,01x x x f x x x xx x ≥⎧⎪=⊗=⎨<<⎪⎩数列是公比大于的等比数列，且.{}n a 05011a =①当时，因为，1q >5011a =所以，[)1235005035025010001,,,,(0,1),,,,,1,a a a a a a a a ∈∈+∞ 由等比数列通项公得，所以，50050111a a q ==51001a q =整个数列为，2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q 因为，()()()()()123999100013f a f a f a f a f a a +++++=-所以代入得50010001000350023221222121log log log log 30log a a a a a a a a a a a +++++-=+ 即500499498222225004994981111log log log log log q q q q q q q q q q+++++ 2249949950022log log 3(i)q q q q q +++=- 由对数运算499499499498498498222249949811log log 0,log log 0(ii)q q q q q q qq+=+=⋯所以式化简得，即，所以.()i 50050025001log 3q q q =-500328q ==1500118a q ==②当时，，1q =12310001a a a a ==== 此时.()()()()()12399910000f a f a f a f a f a ====== ，所以不成立.()()()()()123499100003f a f a f a f a f a +++++=≠- ③当时，，所以，01q <<50050111a a q ==51001a q =整个数列为，2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q 所以，[)()1235015025031000,,,,1,,,,,0,1a a a a a a a ∞∈+∈ 因为，()()()()()991231000913f a f a f a f a f a a +++++=-代入得25021212223235002500502log log log log log 0a a a a a a a a a a ++++++，25032100050310001log log 3a a a a a +++=-即49822225005004994994982log 1111111log log log log q q q q q q q q q q +++++ 2499500222499log log 3(iii)q q q q q+++=- 由对数运算，499499499498498498222249949811log log 0,log log 0q q q q q q qq+=+=⋯所以式化简得.(iii)500250050011log 3q q q =-因为当时，，所以等式左边大于，等式右边小于，方程无解.1q <150011a q =>00综上所述，.118a =故答案为：.18二、单选题13．“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）{}n a {}2na A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列和等比数列的定义,结合充要条件定义判断即可.【详解】充分条件:若“数列为等差数列” 成立，则有（常数），{}n a 1n n a a d +-=所以(常数)，所以数列为等比数列.112222n n n n a a a da ++-=={}2n a 必要条件:若“数列为等比数列”，所以为常数，{}2na 11222n n n na a a a ++-=所以为常数，所以数列为等差数列，1n n a a +-{}n a 所以数列为等差数列是数列为等比数列的充要条件.{}n a {}2na 故选:.C 14．在梯形中，，，.将梯形绕所在直ABCD 90ABC ∠=︒//AD BC 222BC AD AB ===ABCD AD 线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A ．B ．C ．D ．23π43π53π2π【答案】C【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V Vπππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.【解析】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.15．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ）2a b+A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b+件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞b2a b+若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=，2a b +2a b+=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a ba b +>>>，得2a bb a +=+于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列2a b+故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．16．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45//EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面,11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误，11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B故②错误；因为与所成角就是，连接,EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11A C D 所以，故③错误；1160A C D ∠=由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 得平面，//EF 1111D C B A 故④正确；故选:B.三、解答题17．在中，.ABC 1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=-(1)求证：；tan 3tan B A =(2)求的长；AB 【答案】(1)证明见解析(2)2AB =【分析】(1)利用向量的数量积公式和正弦定理结合求解；(2)利用向量的减法运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=- 3AB AC BA BC ⋅=⋅ 所以，即，cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得，，sin sin b a B A =sin cos 3sin cos B A A B =又因为，所以，0πA B <+<cos 0,cos 0>>A B 在等式两边同时除以，得；cos cos A B tan 3tan B A =（2）由题意得，4AB AC AB BC ⋅-⋅=()4AB AC BC ⋅-= 所以，即.4AB AB ⋅=2AB =18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 中，PABC 平面是棱的中点.PA ⊥,,ABC AC BC D =AB(1)证明：，并判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角；若不是，说CD PB ⊥PACD 明理由；(2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成角的大小.PABC 2AP AB ==AP PCD 【答案】(1)证明见解析，四面体是鳖臑，直角分别为，和PACD PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC∠(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质即可说明；(2)利用等体积法求出椎体的高，进而利用三角函数值求线面夹角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，所以，PA ⊥,ABC CD ⊂ABC PA CD ⊥因为是棱的中点，所以，,AC BC D =AB CD AB ⊥又平面，所以平面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB CD ⊥PAB 因为平面，所以，所以四面体是鳖臑，PB ⊂PAB CD PB ⊥PACD 直角分别为，和.PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠（2）设到平面的距离为，A PCD h 因为平面，所以PA ⊥ABC 1133P ACD ACD PCD V S PA S h -=⋅=⋅ 因为四面体是鳖臑，，是棱的中点，，PABC AC BC =D AB 2AP AB ==所以，所以，，1AC BC AD ===PD =CD AB ⊥因为，所以平面，平面，则，AD PA A ⋂=CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥即，所以111111213232h ⨯⨯⨯⨯=⋅⨯h =设直线与平面所成角为，AP PCD 0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以，sin h AP θ===所以直线与平面所成角的大小为AP PCD 19．西部某地区有沙地亩，从年开始每年在沙地植树造林，第一年年底共植树亩，22002015100以后每一年年底比上一年年底多植树亩.50(1)假设所植树苗全部成活，则到哪一年年底植树后可将沙地全部绿化？(2)若每亩所植树苗木材量为立方米，每年所值树木，从它种下的第二年起，木材量自然增长率为2，求沙地全部绿化后的那年年底该山林的木材总量 (精确到整数).20%【答案】(1)年2022(2)立方米9060【分析】（1）利用等差数列求和公式即可求解；（2）利用等比数列求和公式即可求解【详解】（1）设植树年年底后可将沙地全部绿化，记第年年底植树量为，n n n a 由题意得数列是首项为，公差的等差数列，{}n a 1100a =50d =所以，所以，(1)1005022002n n n -+⨯=23880n n +-=所以，因为，所以，(11)(8)0n n +-=*n ∈N 8n =所以到年年底植树后可以将荒山全部绿化.2022（2）设年初木材存量为，到年底木材存量增加为，2015312a m 20228312 1.2a m ⨯年初木材存量为，到年底木材存量增加为，2016322a m 20227322 1.2a m ⨯，年初木材存量为，到年底木材存量增加为.⋯2022382a m 2022382 1.2a m ⨯则到年年底木材总量为202287612382 1.22 1.22 1.22 1.2S a a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯2678900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯237981.2900 1.2800 1.2400 1.2200 1.2300 1.2S ⨯=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯两式作差得()92380.2200 1.21001.2 1.2 1.2900 1.2S =⨯++++-⨯ ，所以，8840 1.21800840 4.318001812=⨯-≈⨯-=39060S m =答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量立方米.906020．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 2120°∠=BAD .1AP =(1)求证：平面；BD ⊥PAC (2)求到平面的距离；A PBD (3)设与交于点，为中点，求二面角的大小.AC BD O M OC O PM D --【答案】(1)证明见解析(3)【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明;(2)应用等体积法计算可求;(3)应用线面垂直的判定定理,结合二面角平面角定义,找到平面角计算即可.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，ABCD AC BD ⊥因为平面，在平面内，PA ⊥ABCD BD ABCD 所以，BD PA ⊥又因为，平面,平面.所以平面.PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC BD ⊥PAC （2）设到平面的距离为，A PBD h 因为平面，所以PA ⊥ABCD 11,33P ABD A PBD ABD PBD V V S PA S h --=⋅=⋅ 因为底面是边长为的菱形，，.ABCD 2120BAD ∠=1PA =所以，BD PB PD ===所以，解得11112213232h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =（3）过作交于，连接，O OH PM ⊥PM H HD由(1)因为平面，平面,,,平面,平面,DO ⊥PAC PM ⊂PAC DO ⊥PM OH PM ⊥DO ⊂DOH OH ⊂DOH 所以平面,平面得，DO OH O = PM ⊥DOH DH ⊂DOH DH PM ⊥平面,平面,所以为的平面角，DH ⊂PMD OH ⊂PMO OHD ∠O PM D --因为底面是边长为的菱形，，ABCD 2120BAD ∠=1PA =所以，13,22OD OM AM ===sin OH PA OMH OM PM ∠==从而，OM AP OH PM ⋅====所以，又二面角为锐角，tan OD OHD OH ∠===O PM D --所以二面角的平面角大小为O PM D --21．已知数列的各项均为正数，且，对任意的正整数，都有.{}n a 11a =n 121n n a a +=+(1)求证：是等比数列，并求出的通项；{}1n a +{}n a (2)设，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求()22log 11n n b a =+-{}n b {}n a {}n c ；12100c c c +++ (3)在（2）中，设，数列的前项和为，是否存在正整数、且，使11n n n d b b +=⋅{}n d n n S m n 1m n <<得、、依次成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1S m S n S m 【答案】(1)证明见解析，()21N n n a n *=-∈(2)11202(3)存在，2m =【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立，确定数列()1121n n a a ++=+的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；{}1n a +{}1n a +{}n a （2）求出数列的通项公式，分析可得出，，进而可得出{}n b 647127b a ==71078a b a <<，结合分组求和法可求得结果；()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ （3）利用裂项求和法可求得，根据等差数列的定义可得出，可得出，n S 12m n S S S =+152041m n m -=>-求出的取值范围，结合且可求得的值，并求出的值，即可得出结论.m N m *∈1m >m n 【详解】（1）解：因为，且，所以，且，121n n a a +=+11a =()1121n n a a ++=+112a +=故数列为等比数列，且首项为，公比为，{}1n a +112a +=2所以，，故.11222n n n a -+=⨯=()21N n n a n *=-∈（2）解：，且 ，()22log 121121n n b n =+--=- 11b =其中（常数），()()1211212n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦所以数列是以为首项、为公差的等差数列，{}n b 12，，，，111b a == 64127b =106211b =107213b =由（1）得，，，因为，，7127a =8255a =647127b a ==71078a b a <<所以 ()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ ()()()71272121071213107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦- .2810729=-+=11202（3）解：，()()111112*********n n n n n n n d b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝=⋅⎭ 111111111121335212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 其中，，，113S =21m m S m =+21n n S n =+假设存在正整数、且，使得、、依次成等差数列，m n 1m n <<1S m S n S 则有，即，所以，解得，12m n S S S =+2121321m n m n =+++152041m n m -=>-1542m <<又因为，，所以，此时，*N m ∈1m >2m =7n =所以存在满足题设条件的、，.m n 2m =。

上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．两条相交直线的夹角的取值范围是________2．直线2310x y +-=的一个法向量为__________.3．向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，则向量b 在a 上的投影向量的坐标为______．4．已知直线过点()1,5P ，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________.5．设αβ､是两个不同的平面，直线m α⊂，则“m β ”是“αβ∥”的__________条件.6．若空间中三点()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 共线，则m n +=__________.7．若直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，则=a ___________．8．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.9．正三棱柱1111,2,ABC A B C AB AA D -==为ABC 内（包括边界）的动点，则11A DB △的面积的取值范围是__________.10．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是________．11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD △是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．12．已知函数()()131f x a x b =+++，若关于x 的方程()0f x =在[]6,12上有解，则22a b +的取值范围是__________.二、单选题13．在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是（）A ．()6,6,6-B ．()6,6,6C ．()6,6,6-D ．()6,6,6--14．已知定点.()1,0P .和直线l ：()()133620x y λλλ++--+=，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（）ABC D ．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，八个顶点按红蓝间隔染色，使得每条棱上的两个顶点各不同色，则由红色顶点连成的四面体与蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积为（）A ．12B ．14C ．16D ．1816．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是122⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②三、解答题17．若直线l 经过()()21,4,2,3A x B x +两点，斜率为k ，倾斜角为α.(1)用x 分别表示直线l 的斜率k 和倾斜角α；(2)求α的取值范围.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===.(1)求异面直线AC 和1BC 所成角的大小；(2)求点1B 到平面11A BC 的距离.19．已知ABC 的顶点()4,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.求(1)顶点C 的坐标；(2)求点B 到直线AC 的距离.20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,BCD O 是BD 的中点，AB AD =.OCD 是边长为1的等边三角形，E 在射线DA 上.(1)证明：OA CD ⊥；(2)若2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求二面角A BC D --的大小；(3)若1AO =，求直线CE 与平面BCD 所成角的正弦的最大值.21．过点()2,1P 的直线l 分别交()0y x x =≥与()0y x x =-≥于A B ､两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求直线l 的一般式方程.(2)当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程；(3)已知O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，讨论这样的直线l 的条数.参考答案：1．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据两条相交直线的夹角的概念即得.【详解】两条相交直线的夹角的取值范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.2．()2,3(答案不唯一)【分析】根据直线的法向量的求法写出一个即可.【详解】解:由题知直线2310x y +-=的一个方向向量为()3,2-,故该直线的一个法向量可为:()2,3.故答案为:()2,3(答案不唯一)3．33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】向量b 在a 上的投影向量为||||a b a a a ⋅ ，利用公式求解.【详解】因为向量()1,0,1a =r ，(),1,2b x = ，且3a b ⋅= ，所以()()1,0,1,1,220x x ⋅=+=，解得2x =-，所以()2,1,2b =- ，所以333(1,0,1)()222||||a b a a a ⋅== ,则向量b 在a 上的投影向量的坐标为33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：33,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.4．60x y +-=或50x y -=【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x y a +=，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【详解】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x y a +=，把(1,5)代入所设的方程得：6a =，则所求直线的方程为6x y +=即60x y +-=；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y kx =，把(1,5)代入所求的方程得：5k =，则所求直线的方程为5y x =即50x y -=．综上，所求直线的方程为：60x y +-=或50x y -=．故答案为：60x y +-=或50x y -=【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．5．必要非充分【分析】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β ，得到答案.【详解】当m α⊂，m β 时，得到αβ∥或,αβ相交；当m α⊂，αβ∥时，得到m β .故“m β ”是“αβ∥”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分6．3【分析】A 、B 、C 三点共线，则AB AC ∥ ，求出AB 与AC 的坐标，用空间向量共线的坐标表示进行运算即可.【详解】∵()1,5,2A 、()2,4,1B 、(),3,C m n 三点共线，∴AB AC ∥ ，即AC AB λ= ，()1,1,1AB =-- ，()1,2,2AC m n =--- ∴()()()1,2,21,1,1,,m n λλλλ---=--=--∴122m n λλλ-=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得230m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3m n +=.故答案为：3.7．3【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线1:(1)10l a x y -+-=和直线2:620l x ay ++=平行，所以()()()1611261a a a ⎧-⨯=⨯⎪⎨-⨯≠⨯-⎪⎩，解得3a =，故答案为：3.8．2【分析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可．【详解】底面圆的周长为23π，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积1S 222sin α=⨯⨯⨯，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为2π时，截面面积最大为2【点睛】本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值．9．⎡⎣.【分析】D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，证明11A B HD ⊥，11A DB S =△，计算得到范围.【详解】如图所示：D 在平面111A B C 的投影为1D ，连接1DD ，过1D 作111D H A B ⊥于H ，连接HD ，1DD ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，故111DD A B ⊥，111D H A B ⊥，111D H DD D = ，11,D H DD ⊂平面1DD H ，故11A B ⊥平面1DD H ，HD ⊂平面1DD H ，故11A B HD ⊥，111112A DB S A B HD =⨯=△当D 在AB 上时，10HD =，11A DB △的面积最小，为2；当D 和C 重合时，1HD =11A DB △；所以11A DB △的面积的取值范围为⎡⎣.故答案为：⎡⎣10．①④【分析】证明AB 所在的平面与平面MNP 平行可判断①；若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB 可判断②；由AB ⋂面PMN B =可判断③；证明//AB NP 可判断④，进而可得正确答案.【详解】在①中：如图：因为,,M N P 分别为其所在棱的中点，所以//MN AC ，//NP BC ，因为MN ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以//MN 面ABC ，同理可得//PN 面ABC ，因为MN NP N ⋂=，所以面//ABC 面MNP ，因为AB ⊂面ABC ，所以//AB 平面MNP ，故①成立；在②中，若下底面中心为O ，连接NO ，可得//NO AB ，NO ⋂面MNP N =，所以AB 与平面MNP 不平行，故②不成立；在③中：如图：平面PMN 即为平面PNBC ，因为AB ⋂面PNBC B =，所以AB 与面MNP 不平行，故③不成立；在④中：如图：//AC BD 且AC BD =，所以四边形ACDB 是平行四边形，可得//AB CD ，因为//NP CD ，所以//AB NP ，因为AB ⊄面MNP ，NP ⊂面MNP ，所以所以//AB 平面MNP ，故④成立．故答案为：①④.113【分析】2AB R =，BC R =，AC =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，45AM AC =，类似有45AN AD =，24(5A BMN AMN A BCD ABCV S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积．【详解】2AB R = ，BC R =，AC =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，ABC AMB ∴∆∆∽，∴AB AC AM AB =，AM R ∴，∴45AM AC =，类似有45AN AD =，∴2416()525A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积：231612253A BMN V R R -=⨯⨯⨯=．3R．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据()0f x =得到310xa b x +++=，故222a b +≥，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】()()131310f x a x b xa b x =+++=+++=，转化为关于,a b 的直线方程，其中[]6,12x ∈，22a b +表示直线上一点到原点距离的平方，所以()2222222421199x x x a b x x -+++≥==+++，设4x t -=，[]6,12x ∈，则[]2,8t ∈，()()222422111259498x t y x t t t -=+=+++++++，函数()25g t t t=+在[]2,5t ∈上单调递减，在(]5,8上单调递增，故()()(){}max 298929max 2,8max ,282g t g g ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，249125458y t t=+≥++，所以22a b +的取值范围为49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：49,45⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．B【分析】根据点的对称直接求解.【详解】在空间直角坐标系中，点()6,6,6A -关于xOz 平面对称点的坐标是()6,6,6.故选：B 14．C【分析】确定直线过定点()0,2A ，故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA =，计算得到答案.【详解】直线()():133620l x y λλλ++--+=，整理得()()32360x y x y λ-+++-=，由320360x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，故直线过定点()0,2A故点()1,0P 到直线l 的距离的最大值为d PA ==故选：C 15．C【分析】画出几何体，找到多面体，根据棱锥体积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：多面体EFGHMN 即为四面体11D ACB -与四面体11A DBC -的公共部分，其中,,,,,E F G H M N 均为各个面的中心，且平面FGHM //面ABCD ，EN ⊥面FGHM ，故2EFGHMN E FGHM V V -=，又四边形FGHM 的面积与其投影在底面ABCD 所得四边形1111F G H M 的面积相等，如下所示：故四边形FGHM 的面积111122S =⨯⨯=，又点E 到平面FGHM 的距离为12，故1111223226EFGHMN E FGHM V V -==⨯⨯⨯=.故选：C.16．D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴，又1PE C D ⊥ ，1AD C D D = ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦.以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a << ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，212PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确；对于命题②，2CQ β⊥ ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=-⎝⎭ ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-== ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎝⎭ ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+= ，整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.17．(1)243k x x =-+，()2arctan 43x x α=-+或()2πarctan 43x x α=--+-(2)π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）计算243k x x =-+，根据0k ≥和0k <两种情况得到倾斜角.（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，得到倾斜角范围.【详解】（1）22344321x x k x x +-==-+-，当1x ≤或3x ≥时，0k ≥，()2arctan 43x x α=-+；当13x <<时，0k <，()2πarctan 43x x α=--+-；（2）2243(2)11k x x x =-+=--≥-，所以π3π0,π24α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.18．(1)arccos 4【分析】（1）作辅助线找到异面直线AC 和1BC 所成角，利用余弦定理进行求解；（2）结合第一问的求解结果，利用等体积法求解点1B 到平面11A BC 的距离.【详解】（1）连接1BC ，1BA ，因为AC ∥11A C ，所以异面直线AC 和1BC 所成角即为11A C 与1BC 所成角，即11BC A ∠，因为120ABC ∠=︒，12AB BC CC ===，所以由余弦定理可得：222cos 1202AC AB BC AB BC =+-⋅∠︒=，所以11AC =，由勾股定理得：11BC A B ==所以11cosBC A ∠设异面直线AC 和1BC 所成角为θ，则θ=.（2）由（1）可知：111122sin1202A B C S =⨯⨯⨯︒= 故11111111122333B A BC A B C V S BB -=⋅=⨯= ，又11cos BC A ∠=11sin BC A ∠=111111111sin 22BC A S BC A C BC A =⨯⨯⨯∠=⨯ ，设点1B 到平面11A BC 的距离为h ，则11111111133BC A B BC A B A B C S h V V --⋅=== ，解得：5h =，点1B 到平面11A BC 的距离为.19．(1)()3,0C【分析】（1）首先设出C 点坐标，代入CM 的直线方程，再利用AC 边上的高BH ，建立斜率之积为-1的关系式，再解方程组，即可求得坐标.（2）先设B 点坐标，代入BH 所在直线方程，再利用AB 中点满足CM 所在直线方程，得到方程组，解出B 点坐标,再利用点线距离公式，即可求解.【详解】（1）解：设(),C m n ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为30x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y +-=.∴3021142m n n m --=⎧⎪-⎨⎛⎫⨯-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩，解得30m n =⎧⎨=⎩∴()3,0C （2）设(),B a b ，则220423022a b a b +-=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得10323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴102,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭2AC k =， ()4,2A ∴直线AC 的方程为260x y --=∴点B 到直线AC的距离15d ==20．(1)证明见解析(2)arctan 2【分析】（1）证明AO ⊥平面BCD 得到答案.（2）确定EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，根据角度计算1AO =，再确定AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，计算得到答案.（3）过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，确定ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，sin ECF ∠=.【详解】（1）AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD⊥（2）过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG，由题意得//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又,BC FG FG EF F ⊥⋂=，,FG EF Ì平面EFG ，故BC ⊥平面EFG ，又EG ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1====CD DO OB OC ，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23===DE DF EF AD OD AO ，则312,,233AO EF OF DF ===，所以23BF GF BD CD ==，则23GF =，23==EF GF ，321==AO EF ，过点O 作OM BC ⊥与M ，连接AM ，AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，故AO BC ⊥，又OM BC ⊥，OM AO O = ，,OM AO ⊂平面OMA ，故BC ⊥平面OMA ，AM ⊂平面OMA ，故BC AM ⊥，故AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，1122MO CD ==，tan 2AOAMO OM∠==，故arctan 2AMO ∠=，即二面角A BC D --的大小为arctan 2（3）如图所示：过点E 作EF BD ⊥于F ，连接FC ，则//EF AO ，又AO ⊥平面BCD ，故EF ⊥平面BCD ，ECF ∠为直线CE 与平面BCD 所成角，设()0EF a a =≥，1AO OD ==，AOD △为等腰直角三角形，故DF a =，在CFD △中，22222cos 1FC DF DC DF DC FDC a a =+-⋅⋅∠=-+，所以222221EC FC EF a a =+=-+，则sin EFECF EC∠====当2a =时，sin ECF ∠最大为721．(1)10x y --=(2)2x =(3)答案见解析【分析】（1）直接根据点斜式得到答案.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到2631PA PB k =+-，得到最值和直线方程.（3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算()22211k S k -=-，得到()24410S k k S --++=，()43S S ∆=-，讨论得到答案.【详解】（1）若直线l 的倾斜角为π4，则直线l 的方程为()112y x -=-，即10x y --=；（2）法一：当直线l 的斜率不存在时，3PA PB =；当直线l 的斜率存在时，设直线():12l y k x -=-，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，()12y x y k x =⎧⎨-=-⎩得2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，()12y x y k x =-⎧⎨-=-⎩得2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，PA =PB =所以()222231163331111k k PA PB k k k k ++===+>+⋅---，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.法二：前面部分同法一，注意到133,,,1111k k PA PB k k k k --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭ ，且,PA PB 反向，所以2223363311k PA PB PA PB k k +=⋅==+>-- ，综上所述：·PA PB 的最小值为3，此时直线l 的斜率不存在，直线方程为2x =.（3）当直线斜率不存在时，()2,2A ，()2,2B -，142S OA OB =⋅=；当直线斜率存在时，()(),11,k ∈-∞-+∞ ，2121,11k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，2112,11k k B k k --⎛⎫⎪++⎝⎭，()2221121S k OA OB k -=⋅==-，即()24410S k k S --++=，当4S =时，方程有1解，此时54k =；当4S ≠时，()()()1644143S S S S ∆=--+=-，当3S <时，Δ0<，方程无解；当3S =时，Δ0=，2k =，方程有1解；当43S >>时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++，对称轴224S>-，且()110f =>，方程有两个大于1的解.当4S >时，0∆>，()()2441f k S k k S =--++开口向下，()110f =>，()190f -=>，方程有1个大于1的解，一个小于1-的解.综上所述：当3S <时，0条；当3S =时，1条；当3S >时，2条.。

⎨ ⎩⎨ ⎩1上海中学高二期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 点 P (2,3) 到直线3x - 2 = 0 的距离为2. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0, 2) 与点(-2,0) 重合，且点(2020,2021) 与点(m , n ) 重合，则n - m =3. 已知 A (2,1) ， B (-4, 2) ， C (1, -x ) ，若向量OA + OB 与OC 垂直（ O 为坐标原点）， 则实数 x 的值为4. 直线 x + (a 2 +1) y +1 = 0(a ∈ R ) 的倾斜角的取值范围是⎧ y ≤ 55. 若实数 x 、 y 满足不等式组⎪2x - y + 3 ≤ 0 ，则 z =| x | +2y 的最大值是⎪x + y - 3 ≥ 0 6. 平面内b 为单位向量， a = (1,1) ，且| a - 2b |= 6 ，则向量a 、b 的夹角为⎧x + z = 1 7. 若关于 x 、 y 、 z 的三元一次方程组⎪2x + y sin θ + 3z = 2 有唯一解，则实数θ 的取值⎪x s in 2 θ + z = 3 集合是8. 平行四边形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = 4 ， AB ⋅ AD = -6 ， DM = 1 DC ，则3MA ⋅ MB 的值为9. 已知圆C : x 2+ y 2- (6 - 2m )x - 4my + 5m 2- 6m = 0 ，直线l 经过点(1,1) ，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点 A (1, 2) 在动直线l : a x + b y +c = 0 上的射影为 P ，点Q 在直线l 1 : 3x - 4y +12 = 0 上，则线段 PQ 长度的最小值是11. 实数 x 、 y 满足 x 2+ y 2≤ 1，则x + y + 2的取值范围为x - y + 212. 过点 P (2,1) 任意作一条直线分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于点M 、N ，若| OM | + | ON | - | MN |≤ m (m ∈ R ) 恒成立，则m 的最小值为二. 选择题13. 已知 A ={(x , y ) | x (x -1) ≤ y (1- y )}， B ={(x , y ) | x 2 + y 2 ≤ a } ，若 A ⊆ B ，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0, 2)B. [ , +∞)2C. [2, +∞)D. [ 2, +∞) 214.已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且a ⋅b =-1，向量c 与a +b 共线，则| a +c | 2的最小值为（）A. 1B.12C.34D.3215.如图，△ ABC 是边长为1 的正三角形，点P 在△ ABC 所在的平面内，且| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 =a （a 为常数），下列结论中，正确的是（）A.当0 <a <1时，满足条件的点P 有且只有一个B.当a =1时，满足条件的点P 有三个C.当a >1时，满足条件的点P 有无数个D.当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个16.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE =x AD +y AP(x, y ∈R) ，则2x +y 的最小值为（）A.-1B. 1C. 2D. 3三. 解答题17.已知直线l 经过原点，且与直线y =3x +1的夹角为30°，求直线l 的方程.18.若矩阵A =⎛a11a12⎫，定义det( A) 为行列式a11a12的值，已知t ∈R ， a a ⎪ a a⎝21 22 ⎭ 21 22B =⎛t -t +1⎫，C =⎛2 0 ⎫，求矩阵BC 、CB ，并比较det(BC) 和det(CB) 的大小.0 -2 ⎪ -1 1 ⎪⎝⎭⎝⎭19. 如图， ∠xOy =π ，定义平面坐标系 xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一3点 P 的斜坐标这样定义： e 1 、e 2 分别为与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量，若OP = xe 1 + ye 2 (x , y ∈ R )，则规定点 P 的斜坐标为(x , y ) .（1） 求以O 为圆心，半径为 1 的圆在该仿射坐标系中的方程； （2） 已知点 A 的斜坐标为(1, 2) ，点 B 的斜坐标为(-2,0) ，求直线 AB 在该仿射坐标系中的方程.20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x 2 + y 2 -12x + 32 = 0 的圆心为Q ，过点 P (0, 2) 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点 A 、 B .（1） 求k 的取值范围；（2） 是否存在常数k ，使得向量OA + OB 与 PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.21. 已知△ABC 的三个顶点A( 1,0) ，B(1,0) ，C(3, 2) ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.参考答案一. 填空题1. 432. 1 3. -234. [3π,π)45. 126. 2π7. {θ| θ≠kπ, k ∈Z} 8. 169. 2x +y - 3 = 0310. 1 11. [2 -23, 2 +3]12. 2【第11 题】设x +y + 2=t ，整理得(t -1)x -(t +1) y + 2t - 2 = 0 ，原点到该直线的距离x -y + 2| 2t - 2 |d =≤ 1 ，解得t ∈[2 -(t -1)2 + (t +1)23,2 + 3]【第 12 题】当该直线无限接近于 x = 2 ，| OM | +| ON | -| MN | 无限接近于2，当该直线无限接近于 y =1，| OM | + | ON | -| MN | 无限接近于 1，∴| OM | +| ON |-| MN |∈(1,2)二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. B【第16 题】以AB 中点为原点建系，设A(-1,0) ，B(1,0) ，P(cosθ,sinθ) ，θ∈[0,π]，∴(2,1) =x(0,2) +y(cosθ+1,sinθ) ，整理得y cosθ+y = 2 ，2x +y sinθ= 1，表示出 y =2cosθ+1，2x = 1-2sinθcosθ+1sinθ-1，∴2x +y =1- 2( ) ，cosθ+1sinθ-1cosθ+1可看作点P 与点(-1,1) 连线的斜率，结合图像可知其范围为(-∞,0] ，即2x +y 的最小值为1 三. 解答题17.18. x = 0 或y =BC =⎛3t -13x .3-t +1⎫⎛2t，CB =-2t + 2⎫，det(BC) = det(CB) =-4t .2 -2 ⎪ -t t -3 ⎪⎝⎭⎝⎭19.（1）x2+y2+xy=1；（2）2x-3y+4=0.20.（1）(-3,0) ；（2）不存在. 421.（1）x2+(y-3)2=10；（2）x=3或y =4x - 2 ；（3）(310,4 10) .3 5。