第6章 连续信号的复频域分析
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第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t) X ( j)
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
信号的复频域分析
Re( s ) 0
tu ( t )
n
s
L
L
1 s
2
Re(s) 0 Re(s) 0
1
t u (t )
n!
n 1
te
t
u (t )
L
(s )
2
Re(s)
e
0t
cos 0 t u ( t )
L
s (s 0 )
e
t
f (t ) F ( s )
L
0
0
Re( s )
2）线性加权性质
tf ( t )
L
dF (s) ds
Re( s )
0
五、单边拉普拉斯变换的性质
6. 微分特性
d f (t ) dt
L
f (t ) F ( s )
0 e
( s )t
dt
若
1 s
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
推广到一般情况
F [ f (t )e
t t j t ( j ) t
] f ( t ) e
e
dt
f ( t ) e
dt
令s= +j 定义：
f ( t ) e
L
Re( s ) 1 Re( s )
f 2 (t ) F2 ( s )
L L
2
f 1 ( t ) * f 2 ( t ) F1 ( s ) F 2 ( s )
Re( s ) max( 1 , 2 )
例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解：
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
第六章连续信号与系统复频域分析
第六章连续信号与系统复频域分析第六章习题6.1是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入某）1．若L[f(t)]F(),则L[f(tt0)]etF()（）02．L1ein(t1)（）211(1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。
（）4．若已知系统函数H()，激励信号为某(t)e2tu(t)，则系统的自由响应中必包含稳态响应分量。
（）5．强迫响应一定是稳态响应。
（）6．系统函数与激励信号无关（）6.2求L[2e()d]t6.3已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（）。
6.4对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以某（t）作为激励，v2(t)作为响应，0.5F+某（t）-2Ω+（1）…01234t某（t）v2（t）-1．求系统的冲激响应h（t）与阶跃响应g（t），并画出h（t）及g（t）的波形；2．若激励信号某1(t)u(t)u(t1)，求系统响应v2(t)；3．若激励信号某2（t）如题图所示，求系统响应v2(t)。
126.5系统如题图所示，L=1H，R=2Ω，C=RLEi(t)F，t=0以前开关位于“1”，电路已进入稳定状态；t=0开关从“1”倒向“2”，12RC1．画出系统的域模型；2．求电流i（t）。
6.6有一一阶低通滤波器，当激励为intu（t）时，自由响应为2e3tu(t)，求强迫响应（设起始状态为零）。
6.7电路如题图所示，某（t）为激励信号，以vc(t)作为响应。
2Ω+某（t）-1H+1Fvc（t）-1．求该系统的系统函数H（）及冲激响应h（t）；2．画出该系统的域模型图（包含等效电源）；3．求系统的起始状态iL(0),vc(0)，使系统的零输入响应等于冲激响应；4.求系统的起始状态iL(0),vc(0)，使系统对某(t)u(t)的全响应仍为u(t)。
6.8选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（）内）1．若一因果系统的系统函数为H()论——————————（）（1）若bi0(i0,1,n,且n2)，则系统稳定。
信号与系统-连续系统的复频域分析
连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不 仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的 微分值 f (0) 或 函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面， 既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外， 对所有拉普拉斯变换来 说，ROC 内部不包括任何极点； 如果信号的收敛域包括虚轴， 则 这个信号的傅立叶变换和拉普 拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件 关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统 的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数
信号与系统—信号的频域分析
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t) Cn e jn0t
n =
其中
Cn
1 T
T 2 T
fT (t)e jn0t dt
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
3.卷积性质
若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且 f1(t) C1n , f2 (t) C2n
则有 f1(t) * f2 (t) T0C1n C2n
4. 微分特性
若
则有
f (t) Cn
f '(t) jn0Cn
5. 对称特性
(1)若f(t)为实信号
则 | Cn || Cn | n n
• 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
fT (t) Cn e jn0t
n =
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
2、频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的An、 Cn线状 分布图形，这种图形称为信号的频谱图。
)
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
Cn
1 T
T 2 T
f (t)e jn0t dt 1 ( 0 te jn0t dt 2 1
信号与系统-第6章信号与系统的时域和频域特性
19
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
连续信号的频域分析
T 2
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲信号
连续信号的频域分析
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
连续信号的频域分析
一、 周期信号的频谱分析
1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnwt, sinnwt|n=0,1,2,… ｝是一个正交函数
集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/w是各个函数cosnwt，
sinnwt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
连续信号的频域分析
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
2Fn Fn趋于无穷小量，但 Fn T 可望趋于有限值，且为一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
连续信号的频域分析
Fn jnt 1 f (t ) lim e T 2 n
非周期信号的傅里叶变换可简记为
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
－3 －2
－
o
2
3
x
图 2.3-4 Sa(x)函数的波形
连续信号的频域分析
Fn E T 2 o 3
4
图 2.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱
连续信号的频域分析
由图 2.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率
第六章 控制系统的复频域分析
2、奈奎斯特图（幅相频率特性图） exp6_11.m 对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一 系列数值，分别求出Im(G(jw))和Re(G(jw))。以Re(G(jw)) 为横坐标， Im(G(jw)) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性 图。
MATLAB提供了函数nyquist()来绘制系统的极坐标图， 其用法如下： nyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组Nyquist曲线，每条 曲线相应于连续状态空间系统[a,b,c,d]的输入/输出组合对。 其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位 置会自动采用更多取样点。
[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)：由幅值 mag（不是以dB为单位） 、相角phase及角频率w矢量 计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率 wcg、截止频率wcp，而不直接绘出Bode图曲线。
freqs()函数
exp6_13.m
freqs用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器H(s)=B(s)/A(s) 的幅频响应。
1、零极点图绘制 exp6_19.m MATLAB提供了函数pzmap()来绘制系统的零极点 图，其用法如下：
[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量和零点 矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。 [p,z]=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢量和零 点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。 pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不带输出参数项，则直接在s 复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用×表示，零点用o 表示。
三、根轨迹分析应用实例
例exp6_21.m 已知某单位反馈系统的开环传递函数为：
《信号与系统》复习重点
《信号与系统》期末复习重点一、考核目标和范围通过考核使学生了解和掌握信号与系统的基本原理、概念和方法，运用数学分析的方法解决一些简单问题，使学生在分析问题和解决问题的能力上有所提高，为学生进一步学习后续课程打下坚实的基础。
课程考核的命题严格限定在教材第1—8章内，对第9、10章不做要求。
二、考核方式三、复习资源和复习方法（1）教材《信号与系统》第2版，陈后金，胡健，薛健编著，高等教育出版社，2007年。
结合教材习题解答参考书（陈后金，胡健，薛健，钱满义，《信号与系统学习指导与习题精解》，清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005）进行课后习题的练习、复习。
（2）离线作业。
两次离线作业题目要熟练掌握。
（3）复习方法：掌握信号与系统的时域、变换域分析方法，理解各种变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换）的基本内容、性质与应用。
特别要建立信号与系统的频域分析的概念以及系统函数的概念。
结合习题进行反复练习。
四、期末复习重难点第1章信号与系统分析导论1. 掌握信号的定义及分类。
2. 掌握系统的描述、分类及特性。
3. 重点掌握确定信号及线性非时变系统的特性。
第2章信号的时域分析1．掌握典型连续信号与离散信号的定义、特性及其相互关系。
2．掌握连续信号与离散信号的基本运算。
3．掌握信号的分解，重点掌握任意连续信号分解为冲激信号的线性组合，任意离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合。
第3章系统的时域分析1．掌握线性非时变连续时间系统时域描述。
2．掌握用卷积法计算连续时间系统的零状态响应3．掌握离散时间系统的时域描述。
4．掌握用卷积法计算离散时间系统的零状态响应。
第4章 周期信号的频域分析1．掌握连续周期信号的频域分析方法。
2．掌握离散周期信号的频域分析方法。
第5章 非周期信号的频域分析1．掌握常见连续时间信号的频谱，以及Fourier 变换的基本性质及物理含义。
2．掌握连续非周期信号的频域分析。
3．掌握离散非周期信号的频域分析。
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第六章 连续信号的复频域分析在复频域分析方法中，用复指数信号e st作为基本信号，将系统的输入信号分解为复指数信号的叠加，然后同样根据线性时不变系统的特性求解系统的输出响应，并进一步分析系统的性能。
连续信号和系统的复频域分析是基于另外一种数学工具，即拉普拉斯变换。
本章首先介绍连续信号的拉普拉斯变换及反变换，下一章介绍连续系统的复频域分析。
6.1 基本要求1．基本要求♦ 掌握双边和单边拉普拉斯变换的定义；♦ 了解拉普拉斯变换的零极点及收敛域；♦ 掌握单边拉普拉斯变换的性质；♦ 熟练掌握单边拉普拉斯反变换的两种典型方法；♦ 了解信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
2．重点和难点♦ 单边拉普拉斯变换的性质♦ 单边拉普拉斯反变换6.2 知识要点1．拉普拉斯变换的定义（1）双边拉普拉斯变换及反变换⎰∞∞--=t t f s F st d e )()( （6-1）⎰∞+∞-=σσs s F t f st d e )(πj 21)( （6-2） （2）单边拉普拉斯变换及反变换 ⎰∞--=0d e )()(t t f s F st （6-3） 0,d e )(πj 21)(≥=⎰∞+∞-t s s F t f st σσ （6-4）信号的拉氏变换是信号的复频域描述（复频域表达式），对这些定义说明如下几点：（1）式（6-3）中积分下限取为0- 是考虑到信号f (t )中可能会含有δ(t )。
如果给定信号中没有δ(t )，计算时可以将积分下限设为0。
（2）拉氏反变换的定义只需做一般了解，实际求反变换时，一般不用该定义直接计算。
（3）注意到式（6-2）和式（6-4）的区别，说明单边拉氏反变换的结果都为因果信号。
（4）本课程重点掌握单边拉氏变换的定义、性质及反变换。
2．拉普拉斯变换的零极点和收敛域信号的拉普拉斯变换一般都是有理分式，可以表示为11011)()()(a s a s b s b s b s D s N s F n n n m m m m ++++++==---- 令F (s )的分子多项式N (s )=0，可以得到一系列根z i （i = 1，2，…，m ）。
当s = z i 时，F (s )=0，因此将这些根称为F (s )的零点。
同样，令F (s )的分母多项式D (s )=0，可以得到一系列根p j （j = 1，2，…，n ），称为F (s )的极点。
[s ]平面是一个复平面，其上每个点都代表s 的一个取值。
在[s ]平面上分别用“ ”和“⨯”将所有的零点和极点表示出来，称为信号拉氏变换的零极点图。
为使信号f (t )的拉普拉斯变换F (s )存在所允许的σ = Re[s ]的取值范围称为该信号的拉普拉斯变换的收敛域。
显然，收敛域实质上就是函数F (s )的定义域，并且该定义域只与其复数自变量s 的实部有关，因此在s 平面上表现为这样一个连续的区域，该区域以平行于虚轴的直线为边界。
3．典型信号的拉氏变换（1）δ(t )↔1（2）t n e -at u (t ) ↔ 1)(!++n a s n 根据这一对拉氏变换还可以得到单边指数信号、单位阶跃信号、单位斜变信号等的拉氏变换。
（3）e -at cos ω0tu (t ) ↔202)(ω+++a s a s e -at sin ω0tu (t ) ↔2020)(ωω++a s当a =0时，由以上两对变换得到正弦信号和余弦信号的拉氏变换。
4．单边拉氏变换的性质教材P.148表6.2.1总结了单边拉氏变换的常用性质。
学习这部分内容时需要密切注意与傅里叶变换各性质的区别和联系，特别是大多数性质都有附加条件。
具体再总结如下：（1） 大多数性质中所涉及到的信号都必须是因果信号。
（2） 时移性质：t 0>0；尺度变换性质：a >0。
（3） 终值定理要求F (s )的所有极点中，最多只有一个极点等于零（位于[s ]平面的坐标原点），其余极点实部都必须小于零（位于左半平面2、3象限）。
4．单边拉氏反变换单边拉氏反变换是已知信号的复频域表达式求信号的时域表达式，反变换结果一定都为因果信号。
（1）部分分式展开法如果F (s )为有理真分式，直接根据其极点进行部分分式展开，得到的每项部分分式都具有如下标准形式，即ii p s K )(- （6-5）相应的反变换为)(e )!1(1t u t i K pt i i -- （6-6）如果F (s )为有理假分式，先通过长除法变为F (s )＝F 1(s )＋F 2 (s )其中F 1(s )和F 2 (s )分别为s 的多项式和有理真分式。
对其中的有理真分式F 2 (s )，按上述方法求其对应的反变换；而对其中的多项式F 1(s )，每项反变换结果为K i δ(i )(t )。
最后将所有项的反变换结果相叠加得到总的反变换结果。
（2）留数法（反演积分法）对F (s )中每个各不相同的极点求出其对应的留数，即[]p s str r r p s F p s s r =----=e )()(d d )!1(1Res 11（6-7）式中，r 为极点p 的重数。
将所有极点的留数相加后再乘以u (t )即得到反变换结果。
如果已知的F (s )为假分式，也必须先通过长除法分解一个真分式和一个多项式之和，对其中的真分式才能用留数法。
不管是留数法还是部分分式展开法，反变换时都要注意充分利用性质以简化计算。
5．LT 与FT 的关系信号的拉普拉斯变换（LT ）与其傅里叶变换（FT ）之间的关系，根据F (s )极点在[s]平面上的位置总结为三种情况：（1）如果F (s )的极点都在右半平面，则信号f (t )不存在傅里叶变换；（2）如果F (s )的极点都在左半平面，则信号f (t )一定存在傅里叶变换F (j ω)，并且ωωj )()j (==s s F F （6-8）（3）如果F (s )有N 个极点在虚轴上（即为纯虚数或者0），其余极点都在左半平面，则∑==+=Ni i i s K s F F 1j )-(π)()j (ωωδωω （6-9）其中，ωi 为第i 个虚轴上的极点的虚部，K i 为对应这个极点的部分分式的系数。
6.3 补充例题例6-1 分别用定义求图6-1所示各信号的单边和双边拉氏变换。
图6-1 例6-1图解 （1）双边拉氏变换：01101e e 1e e 2()()e d e d (-1)e d s s s s st st stF s f t t t t s s s --∞----∞---+-==+=-=--⎰⎰⎰单边拉氏变换：100e 1e 1()()e d (-1)e d s s st stF s f t t t s s ---∞----===-=-⎰⎰ （2）双边拉氏变换：10e 1e 1()()e d (-1)e d s s st st F s f t t t s s --∞---∞--===-=-⎰⎰单边拉氏变换：100e 1e 1()()e d (-1)e d s s st stF s f t t t s s ---∞----===-=-⎰⎰（3）双边拉氏变换： 011e e 1()()e d e d s s st st F s f t t t s s ∞---∞---====-⎰⎰ 单边拉氏变换：00()()e d 0e d 0st st F s f t t t --∞∞--==⋅=⎰⎰说明：根据时间波形，信号分为因果信号、反因果信号和双边信号三种；而根据定义，拉氏变换分为单边拉氏变换和双边拉氏变换。
任何一种信号都可以根据要求求得其单边或双边拉氏变换。
但是，对于不同的信号，两种拉氏变换之间的关系各有不同，总结如下：（1）双边信号和反因果信号的单边和双边拉氏变换一定不相同；（2）因果信号的单边和双边拉氏变换一定相等； （3）反因果信号的单边拉氏变换一定都为零。
由于实际系统分析中大多是因果信号，因此这里只要求掌握单边拉氏变换。
例6-2 已知某信号拉氏变换的零极点图如图6-2所示，并且F (0)=-2，求F (s )。
解 由零极点图可知F (s )共有两个极点p 1=-1+j ，p 2=-1-j ，两个零点z 1=-1，z 2=1，则可设 22(1)(1)(1)()(1j)(1j)22K s s K s F s s s s s +--==+-++++令上式中s =0，代入已知条件得到(0)22K F -==-图6-2 例6-2图由此求得K =4，则224(1)()22s F s s s -=++ 说明：零极点图给出了一个信号拉氏变换的所有零极点。
如果已知一个信号的拉氏变换，可以根据定义求得其所有零极点，并画出零极点图。
反之，如果已知了零极点图，可以完全确定一个信号的拉氏变换，最多差一个常数（如本例中的K ）。
例6-3 已知信号f (t )的时间波形如图6-3（a ）所示。
（1）画出f 1(t )=f (2t -4)的时间波形；（2）用定义求f (t )的单边拉氏变换F (s )；（3）用性质求f 1(t )的单边拉氏变换F 1(s )。
图6-3 例6-3图 解 （1）先将f (t )压缩一半得到f (2t )的波形如图6-3（b ）所示，再将其右移2得到f 1(t )=f (2t -4)的时间波形如图6-3（c ）所示。
（2）根据定义得到22000221()()e d e d de 1(21)e st st st s F s f t t t t t s s s -∞----===--+=⎰⎰⎰（3）由时移性质和尺度变换性质得到--212122(1)e ()()e e 22b ss s a s s F s F s--+== 例6-4 用性质求图6-3（a ）所示信号的单边拉氏变换。
解 将f (t )求一阶导数得到f 1(t )=f '(t )=f 2(t )-2δ(t -2)，其中f 2(t )=g 2(t -1)。
将f 2(t )再求一阶导数得到f 3(t )=f 2'(t )。
f 1(t )和f 3(t )的波形分别如图6-4（a ）和（b ）所示。
f 3(t )0 2 t 1(b)(b)-1 (a) (b) (c)图6-4 例6-4图因为3()()(2)f t t t δδ=--，则由时移性质和线性性质得到23()1e s F s -=-因为(1)23()()f t f t -=，并且f 3(t )为因果信号，则由时域积分性质得到232()1e ()sF s F s s s--== 因为f 1(t )=f '(t )=f 2(t )-2δ(t -2)，则由时移性质和线性性质得到2222121e 1()()2e 2e [1(21)e ]s ss s F s F s s s s-----=-=-=-+ 因为f 1(t )为因果信号，并且(1)12()()f t f t -=，最后由时域积分性质得到212()1()[1(21)e ]s F s F s s s s -==-+ 例6-5 利用性质求下列信号的拉氏变换。